Hilbert: Lo efectivo, un nuevo planteo de lo finito

La Beweistheorie, o teoría de la prueba de Hilbert se orienta hacia el estudio de las bases teóricas y metodológicas que sustentan el conocimiento matemático. Tales cuestiones conformaban ya el horizonte de la reflexión matemática a fines del siglo XIX, pero es con el trabajo de la escuela de Hilbert que todos estos problemas se articulan en un marco epistemológico general y son estudiados dentro de un plan sistemático donde la misma matemática se constituye en objeto de estudio para sí misma.

En el planteo de la Beweistheorie, Hilbert logra vincular de una manera positivamente fructífera para sus propósitos las dos tradiciones previas (Bernays 1998:8): el

-45-

enfoque constructivista sostenido por Kronecker y el enfoque logicista y abstracto de Dedekind y también de Frege. Ninguno de estas dos perspectivas satisfacen por sí solas los objetivos fundacionales de Hilbert, mientras que la tendencia constructivista es primordialmente limitativa, la tendencia logicista no pudo evitar caer en las paradojas de la teoría de conjuntos. Hilbert se propone entonces tomar de cada enfoque aquello que le resulte conveniente para desarrollar una nueva perspectiva superadora. Del enfoque constructivista, Hilbertretoma la restricción metodológica según la cual sólo podemos concebir objetos matemáticos en tanto podamos dar una construcción algorítmica de ellos, pero a diferencia de la restricción ontológica impuesta por Kronecker, él plantea un procedimiento abstracto a partir de signos y reglas obtenidos mediante la simbolización de la inferencia. Hilbert rescata entonces el método de simbolización propio del enfoque logicista, pero va más allá, puesto que para que la misma inferencia sea tomada como objeto de estudio de la Beweistheorie aquélla debe ser proyectada dentro del mismo formalismo. En consecuencia, la formalización tiene lugar cuando las sentencias matemáticas sustantivas –con contenido [inhaltliche]- son reemplazadas por fórmulas y, consecuentemente, las inferencias son reemplazadas por secuencias finitas de fórmulas, las cuales se siguen unas de otras de acuerdo a ciertas reglas preestablecidas. En este sentido la fórmula se halla desprovista de todo contenido semántico y la inferencia ya no es expresión de un pensamiento, ya no es tampoco expresión de las estructuras lógico-matemáticas abstractas, sino que se halla reducida a un una secuencia limitada de signos y reglas.

Dado que la formalización convierte a la deducción en una cadena finita de signos, la prueba matemática puede ser estudiada como un objeto matemático finito, Hilbert agudiza su propuesta a tal respecto y desarrolla su punto de vista finito

[finiterstandpunkt] o postura finita [finiteEinstellung], cuya orientación no se reduce al finitismo constructivista sino que toma una dimensión meta-matemática y, en tal sentido, fundamentalmente epistemológica. Es de destacar que el punto de vista finito de Hilbert es metodológico y no asume un compromiso ontológico al estilo

-46-

de Kronecker, por tanto, este finitismo no responde a principios ontológicos definidos previamente, sino que puede ser mejor entendido en tanto estrategia metodológica para desarrollar un proyecto epistemológico específico.

Hilbert nunca especificó cuáles son los recursos de los que dispone la postura finita, sin embargo hay tres tesis que son comúnmente asociadas a este enfoque: i) el punto de vista finito asume las restricciones constructivistas de Kronecker (Hilbert, 1993: 125); ii) el razonamiento finito se identifica con el modo de pensar recursivo de Skolem (Hilbert, 1967: 387)1 _{y iii) la matemática finita es la matemática}

de la evidencia intuitiva (Hilbert, 1967: 376; Gödel, 1990: 245).

El punto de vista finito de Hilbert asume la perspectiva restrictiva de Kronecker mediante el ideal de una metamatemática rigurosa y controlable, pero al preguntarse por los métodos admitidos en este nivel de la teoría su respuesta se orienta hacia los procedimientos recursivos. Se entiende fácilmente que el razonamiento inductivo simple de los constructivistas satisfaga la tercera tesis relativa al requerimiento de evidencia intuitiva, sin embargo, no es evidente cómo el razonamiento recursivo, haciendo uso de la noción de conjunto infinito, pueda satisfacer esta misma demanda.

Para acceder a una comprensión más amplia sobre este aspecto, debemos destacar que lo valioso de la idea de función recursiva se halla en el hecho de definir una función en términos de sí misma, usando para su resolución sólo procesos de sustitución. Llevar a cabo una cantidad finita de sustituciones es un procedimiento que se ajusta a lo que es intuitivo, sólo es necesario seguir las reglas de intercambio y el proceso terminará tras la aplicación de las reglas una cantidad finita de veces. En tal caso la tesis de Dedekind de la determinación completa de los objetos matemáticos queda evidentemente satisfecha. El problema se presenta al tratar con conjuntos infinitos, en tal caso, la tesis de la determinación completa no es

1 _{No es claro que Hilbert haya conocido el trabajo de Skolem cuando formuló los lineamientos de su}

enfoque finito, sin embargo las ideas a las que se arriban son similares: todas las definiciones son recursivas y todas las pruebas son dadas por inducción matemática. Cf. Adams, 2011: 22.

-47-

aceptada fácilmente ¿cómo es posible completar un proceso infinito de sustituciones?

El punto de vista finito asume el concepto de infinito actual derivado de aproximaciones conceptuales, pero éste debe responder de alguna manera al ideal metodológico de controlabilidad [kontrollierbarkeit] exigido por los constructivistas. Hilbert da una respuesta concreta a esta tensión, en primer lugar, establece un vínculo entre exactitud, controlabilidad y recursión: en Die Grundlegen der elementaren Zahlenlehrede 1904 presenta el principio metateórico que asegura que es posible considerar a la prueba como un objeto matemático susceptible de una descripción exacta; y a ello agrega una tesis fundamental: la descripción exacta de una prueba puede ser dada siempre por recursión (Hilbert, 1967: 137). En segundo lugar, en Über das Unendlichede 1925, Hilbert explicita que todos los procesos y definiciones de aritmética elemental pueden ser obtenidos a partir de la sustitución y la recursión y agrega: “The method of search for the recursions requiredis in essence equivalent to that reflection by which one recognizes that the procedure used for the given definitionis finitary” (Hilbert, 1967: 388).

Estas ideas constatan la existencia de un concepto de finitud más abstracto que el que se deriva de aquella intuición primaria sostenida por los constructivistas; el mandato finitario para acceder al infinito de manera rigurosa y segura ya no se limita a la repetición indefinida de un mismo acto:

... the literature of mathematics is replete with absurdities and inanities, which can usually be blamed on the infinite. So, for example, some stress the stipulation, as a kind of restrictive condition, that, if mathematics is to be rigorous, only a finite number of inferences is admissible in a proof - as if anyone had ever succeeded in carrying out an infinite number of them!. (Hilbert, 1967: 370. La cursiva me pertenece).

-48-

Lo finito para Hilbert debe exceder necesariamente la idea elemental que puede ser rápidamente asociada a la exigencia de proceso finito y se acerca a la noción de efectividad en el proceso. Esto trae aparejada la explicitación de una tesis fundamental que esclarece muchos aspectos de aquella discusión temprana en torno a decibilidad y finitismo, a saber, la diferenciación entre las nociones de definibilidad finita y decibilidad finita: la exigencia de un cálculo que sea definido mediante una cantidad finita de términos es satisfecha trivialmente por cualquier inferencia; en cambio sí es relevante la exigencia de un cálculo donde cada paso sea recursivo. La naturaleza de esta última es distinta, se orienta no a la finitud trivial de la exposición de la inferencia, sino a la intuición de efectividad que se advierte precisamente en los procesos de recursión, es esta sola idea la que permite sostener la tesis de la completitud de los objetos que aquellos procesos determinan. Dada la idea de cálculo controlable asociada al enfoque de Hilbert y la identificación de esta condición con la recursión, la exigencia de finitud se enfrenta con el desafío de encontrar un modo efectivo para llevar a cabo, y así validar, los procesos de sustitución.

Hilbert pone en evidencia entonces que para tratar con la decidibilidad es necesario contar con un concepto de finitud no restricitvo que vaya más allá del proceso intuitivo implicado en la inducción simple y que, asumiendo la tesis de la determinabilidad completa de los objetos matemáticos, vaya más allá también del problema de la definibilidad finita, lo que se requiere entonces es una noción precisa de efectividad.

Se comprende que desde esta perspectiva el objetivo central de las investigaciones metamatemáticas se haya dirigido a precisar tanto la clase de funciones efectivamente calculables como el concepto mismo de efectividad. Al mismo tiempo que se vislumbra la significatividad que adquiere el Entscheidungsproblemen este escenario.

-49-

A modo de conclusión

Atendiendo a que el logro de la tesis de Church-Turing es, en gran medida, la caracterización de la noción intuitiva de efectividad, hemos tratado de explicitar los procesos histórico-conceptuales que fueron condición de posibilidad para que surgiera la necesidad de preguntarse por dicho concepto y éste se ubicara en el centro de la investigación matemática en las primeras décadas del siglo XX.

En las discusiones sobre fundamentos de las matemáticas hallamos complejos nudos conceptuales difíciles de desenredar si no se asume una perspectiva histórica y epistemológica, a tal respecto consideramos que uno de los corolarios más relevantes de nuestro estudio es la diferenciación y vinculación de los distintos enfoques y conceptualizaciones a la base de las discusiones sobre las nociones de decibilidad y finitismo, al mismo tiempo que ponemos en relieve cómo esto condujo finalmente al planteo central de la efectividad. Por lo tanto, consideramos que el establecimiento de los alcances y límites de las distintas propuestas evidencia no tan sólo la complejidad de los mismos conceptos, sino también la necesidad de abandonar la certeza teórica que los reviste en el ámbito propio de las ciencias formales y que resguarda cierta interpretación conclusiva de la tesis de Church-Turing.

Alcanzar una comprensión más amplia sobre conceptos fundantes tales como finitismo, decibilidad y efectividad nos habilitará, en última instancia, a cuestionar desde sus bases el concepto más general de computación. Con ello es claro que este estudio no tiene pretensiones tan sólo históricas sino que se orienta a elucidar aristas poco visibles en las discusiones actuales en filosofía de la ciencia computacional y campos afines.

-50-

Bibliografía

ADAMS, Rod (2011). An Early History of Recursive Functions and Computability: From Gödel to Turing. Massachusetts: Docent Press.

BERNAYS, Paul (1998). “On Hilbert’s Thoughts Concerning the Grounding of Arithmetic”. En Paolo Mancosu, From Brouwer to Hilbert: The debate on the foundations of mathematicsin the 1920s. Oxford: University Press. Pp. 215-222. DEDEKIND, Richard (2005). “Was sind und was sollen die Zahlen”. En Williams

Ewald, From Kant to Hilbert: A Source Book in Mathematics, Vol. II. Oxford: Clarendon Press. Pp. 787-833.

GANDY, Robin (1998). “The Confluence of Ideas in 1936”. En R. Herken (Ed.), A Half-century Survey on The Universal Turing Machine. Oxford: University Press. Pp. 55-11.

GÖDEL, Kurt (1990). “On a Hitherto Unutilized Extension of the Finitary Standpoint”. En Solomon Feferman (Ed.), Kurt Gödel. Collected Works Vol. II.

Oxford: University Press. Pp. 241-255.

HILBERT, David (1967). “On the foundation of logic and arithmetic”. En Jean Van Heijenoort (Ed.), From Frege to Gödel. Cambridge: Harvard University Press. Pp. 129-138.

HILBERT, David (1967). “On the Infinite”. En Jean Van Heijenoort (Ed.), From Frege to Gödel. Cambridge: Harvard University Press. Pp. 367-392.

HILBERT, David (1993). “La Fundamentación de la Teoría Elemental de Números”. En Carlos Álvarez y Felipe Segura (Comps.), David Hilbert. Fundamentos de las matemáticas. México D.F.: UNAM. Pp. 485-494.

KRONECKER, Leopold (2005). “On the Concept of Number”. En Williams Ewald,

From Kant to Hilbert: A Source Book in Mathematics, Vol. II. Oxford: Clarendon Press. Pp. 947-55.

POINCARÉ, Henri (1952). Science and Hypothesis. New York: Dover Publications. SIEG, Wilfred (1991). Mechanical Procedures and Mathematical experience. Technical

-51-

SIEG, Wilfred (2006). Computability Theory. Pittsburgh: Carnegie Mellon University. WANG, Hao (1974). From Mathematics to Philosophy. London: Routledge&Kegan

Paul.

WEBB, Judson (1980). Mechanism, Mentalism, and Metamathematics. Dordrecht, Holland: Reidel Publishing Company.

-52-

¿CÓMO CONCLUIR LA DISEMINANTE LECTURA?