Hip´otesis alternativas con ra´ıces de m´odulo diferente

Para comprobar la potencia del contraste ante hip´otesis alternativas con ra´ıces de distinto m´odulo, se han generado 10 000 r´eplicas de tama˜no muestral 150 de cinco tipos de modelos:

1. Modelo con dos ra´ıces fuera del c´ırculo unidad y nueve ra´ıces unitarias. 2. Modelo con cuatro ra´ıces fuera del c´ırculo unidad y siete ra´ıces unitarias. 3. Modelo con seis ra´ıces fuera del c´ırculo unidad y cinco ra´ıces unitarias. 4. Modelo con ocho ra´ıces fuera del c´ırculo unidad y tres ra´ıces unitarias. 5. Modelo con diez ra´ıces fuera del c´ırculo unidad y una ra´ız unitaria.

Para todas las ra´ıces fuera del c´ırculo unidad se ha tomado un m´odulo igual a 1/0,85. Para todas las replicaciones se ha estimado la ecuaci´on (5.24) por m´ınimos cuadra- dos no lineales, utilizando el algoritmo de Gauss-Newton, posteriormente se ha calcu- lado el estad´ıstico t del coeficiente ˆγ1 y se han obtenido los resultados del Cuadro 5.7.

Cuadro 5.7: Potencia de t(ˆγ1)ante alternativas con ra´ıces de distinto m´odulo.

Probabilidad de rechazar Modelo la hip´otesis nula

1 0,0496

2 0,0845

3 0,1231

4 0,1589

5 0,2934

Como se puede ver, la potencia aumenta al crecer el n´umero de ra´ıces fuera del c´ırculo unidad. Tambi´en se aprecia que la potencia es mayor en los cuatro ´ultimos mo- delos que la que se ten´ıa frente a la hip´otesis alternativa con todos los m´odulos iguales a 1/0,85. Esto es comprensible ya que ahora se est´a incumpliendo tambi´en la hip´otesis de igualdad de m´odulos, la ecuaci´on (5.24) es una mala especificaci´on para series genera- das por procesos con m´odulos diferentes en sus distintas ra´ıces estacionales y para estas series el estimador del par´ametro γ es inconsistente.

5.5. M ´ETODO DE CONTRASTE BASADO EN UN ESTAD´ISTICO DE TIPO T 55 De nuevo, si se compara la potencia del estad´ıstico t frente a la del estad´ıstico FD, se aprecia que ´este tambi´en es m´as potente ante hip´otesis alternativas con diferentes m´odulos en sus ra´ıces.

Ap´endice

5.A. Polinomio con ra´ıces del mismo m´odulo

Si todas las ra´ıces del polinomio tienen el mismo m´odulo (1/Aj = 1/Aconstante

para todo j). El polinomio φ(L) se puede escribir:

φ(L) = 1 + AL + (AL)2+ (AL)3+ (AL)4+ (AL)5 +(AL)6+ (AL)7+ (AL)8+ (AL)9+ (AL)10+ (AL)11 Demostraci´on:

Para verlo se ha de tener en cuenta que

φ(L) = 1 − φ1L − φ2L2− · · · − φ11L11= (1 − µ1L)(1 − µ2L) · · · (1 − µ11L)

que a su vez es igual a

(1 − m1L)(1 − ¯m1L)(1 − m2L)(1 − ¯m2L) · · · (1 − m6L).

Recordemos que si mj y ¯mjson dos ra´ıces conjugadas, entonces:

mj+ ¯mj = 2A cos 2πj 12 y mj· ¯mj = A 2 por tanto, (1 − mjL)(1 − ¯mjL) = 1 − 2A cos 2πj 12 + (AL) 2

teniendo en cuenta esta ´ultima expresi´on, se obtiene que

para j = 1 (1 − m1L)(1 − ¯m1L) = 1 − 2A cos 2π 6 + (AL) 2 para j = 2 (1 − m2L)(1 − ¯m2L) = 1 − AL + (AL)2 para j = 3 (1 − m3L)(1 − ¯m3L) = 1 + (AL)2 para j = 4 (1 − m4L)(1 − ¯m4L) = 1 + AL + (AL)2 para j = 5 (1 − m5L)(1 − ¯m5L) = 1 − 2A cos 5π 6 + (AL) 2 para j = 6 (1 − m6L)(1 − ¯m6L) = 1 + AL (5.25) 57

58 CAP´ITULO 5. CONTRASTES DE INTEGRACI ´ON ESTACIONAL as´ı que multiplicando,

(1 − m2L)(1 − ¯m2L)(1 − m4L)(1 − ¯m4L) = 1 + (AL)2+ (AL)4

(1 − m1L)(1 − ¯m1L)(1 − m5L)(1 − ¯m5L) = 1 − (AL)2− (AL)4 (5.26)

y el producto de estas dos expresiones da:

(1 − m1L)(1 − ¯m1L)(1 − m2L)(1 − ¯m2L)(1 − m4L)(1 − ¯m4L)·

·(1 − m₅L)(1 − ¯m5L) = 1 + (AL)4+ (AL)8 (5.27)

que multiplicado por (1 − m3L)(1 − ¯m3L)es igual a:

1 + (AL)2+ (AL)4+ (AL)6+ (AL)8+ (AL)10

y, finalmente multiplicando por (1 − m6L)se obtiene el polinomio original φ(L) en

funci´on del m´odulo (com´un) de todas sus ra´ıces:

φ(L) = 1 + AL + (AL)2+ (AL)3+ (AL)4+ (AL)5

+(AL)6+ (AL)7+ (AL)8+ (AL)9+ (AL)10+ (AL)11 (5.28)

5.B. Modelos para hip´otesis alternativas con diferente n´ume-

ro de ra´ıces unitarias

Las ecuaciones que se han utilizado para simular el modelo bajo hip´otesis alternati- vas son las siguientes: (Se ha utilizado A = 1 y B = 0.85)

10 ra´ıces con m´odulo 1/A y una con m´odulo 1/B (Frec. π): (1 + BL + A2L2+ A2BL3+ A4L4+ A4BL5+ A6L6+

A6BL7+ A8L8+ A8BL9+ A10L10+ A10BL11)xt= t (5.29)

9 ra´ıces con m´odulo 1/A y dos con m´odulo 1/B (Frecs. ±π/2) (1 + AL + B2L2+ AB2L3+ A4L4+ A5L5+ A4B2L6+

A5B2L7+ A8L8+ A9L9+ A8B2L10+ A9B2L11)xt= t (5.30)

8 ra´ıces con m´odulo 1/A y tres con m´odulo 1/B (Frecs. ±π/2 y π) (1 + BL + B2L2+ B3L3+ A4L4+ A4BL5+ A4B2L6+

A4B3L7+ A8L8+ A8BL9+ A8B2L10+ A8B3L11)xt= t (5.31)

7 ra´ıces con m´odulo 1/A y cuatro con m´odulo 1/B (Frecs. ±π/6 y ±5π/6) (1 + AL + (2A2− B2_)L2_{+ (2A}3_{− AB}2_)L3₊ (2A4− 2A2_B2_{− B}4_)L4_{+ (2A}5_{− 2A}3_B2_{− AB}4_)L5₊ (A6− 2A4_B2_{− 2A}2_B4_)L6_{+ (A}7_{− 2A}5_B2_{− 2A}3_B4_)L7₊ (−(A6B2) − 2A4B4)L8+ (−(A7B2) − 2A5B4)L9− A6B4L10− A7_B4_L11_)x t= t (5.32)

5.B. MODELOS PARA HIP ´OTESIS ALTERNATIVAS CON DIFERENTE N ´UMERO DE RA´ICES UNITARIAS59 6 ra´ıces con m´odulo 1/A y cinco con m´odulo 1/B (Frecs. ±π/6, ±5π/6 y π).

(1 + BL + (2A2− B2_)L2_{+ (2A}2_{B − B}3_)L3₊ (2A4_{− 2A}2_B2_{+ B}2_)L2_{+ (2A}4_{B − 2A}2_B3_{+ B}5_)L5₊ (A6− 2A4_B2_{+ 2A}2_B4_)L6_{+ (A}6_{B − 2A}4_B3₊ 2A2B5)L7+ (−(A6B2) + 2A4B4)L8+ (−(A6B3)+ 2A4_B5_)L9_{+ A}6_B4_L10_{+ A}6_B5_L11_)x t= t (5.33)

Para el modelo con cinco ra´ıces unitarias y seis estacionarias se ha utilizado la ecuaci´on (5.33) pero con B = 1 y A = 0,85. De la misma forma, para el modelo con cuatro ra´ıces unitarias se ha utilizado la ecuaci´on (5.32), para el de tres la ecuaci´on (5.31), para el de dos la ecuaci´on (5.30) y para el de una la ecuaci´on (5.29), utilizando en todas ellas B = 1y A = 0,85.

Cap´ıtulo 6

M´etodos de estimaci´on de modelos

de factores comunes

6.1. Introducci´on

A lo largo del cap´ıtulo 3 se ha comprobado que el concepto de cointegraci´on est´a es- trechamente relacionado con el concepto de factor com´un. En la literatura sobre cointe- graci´on se ha puesto mucha atenci´on y esfuerzo en la estimaci´on de los vectores cointe- grantes, tanto en lo que se refiere a la frecuencia cero (Ver por ejemplo Engle y Granger, 1987; Johansen, 1988) como a las frecuencias estacionales (Ver Engle et al, 1989; Lee, 1992; Engle et al, 1993; Hylleberg et al, 1990). Sin embargo, se ha dedicado relativa- mente poca atenci´on a la estimaci´on de los vectores de factores comunes. Hay varias razones por las que puede resultar interesante disponer de una estimaci´on de los facto- res. Por ejemplo, cuando se dispone de un sistema con una gran cantidad de variables y se necesita reducir su dimensi´on. El modelo, para todo el conjunto de variables, puede parecer muy complejo, pero si lo que interesa es su comportamiento a largo plazo, pue- de utilizarse una representaci´on formada por un conjunto m´as peque˜no de variables, que son los factores comunes de las originales. El an´alisis del comportamiento a largo plazo de un sistema macroecon´omico completo puede hacerse encontrando primero los facto- res comunes de cada sector de la econom´ıa y estudiando despu´es la cointegraci´on entre ellos. Otra raz´on para que interese extraer los factores es que la estimaci´on de ´estos per- mite descomponer el vector yt, formado por las series originales, en dos componentes

ft(vector de factores comunes) y (yt− Aft)que contienen diferentes tipos de informa-

ci´on. Por ejemplo, los encargados de la pol´ıtica econ´omica pueden estar interesados en el componente permanente ft(que puede incluir la tendencia y la parte no estacionaria

del componente estacional), mientras que los empresarios, m´as preocupados por contro- lar el ciclo de negocios, estar´an m´as interesados en el componente c´ıclico o transitorio (yt− Aft). Otra ventaja que tiene la extracci´on de los factores es que permite estudiar

su relaci´on con variables reales, as´ı a veces ser´a posible establecer la similitud entre un factor y una variable o una combinaci´on de variables reales.

En lo que se refiere a la estimaci´on de factores de tendencia com´un, se conocen 61

62 CAP´ITULO 6. ESTIMACI ´ON DE MODELOS DE FACTORES COMUNES