La incertidumbre obtenida de acuerdo a ecuaci´on 3.10 es
∆t = 13, 0 − 12, 0
2 = 0, 5s
y por la ecuaci´on 3.11 intervalo de la medici´on obtenido es t = (12, 6 ± 0, 5)s
En resumen podemos decir que cuando:
N = 1 Se realiza la medida y el error de apreciaci´on. N < 10 Se calcula el promedio y el error m´aximo.
N ≥ 10 Se realiza tratamiento estad´ıstico (C´alculo de promedio y error est´andar).
3.3
Histograma
En la secci´on anterior se explic´o que al relizar N mediciones de una magnitud x el mejor valor de la medici´on es el valor promedio y que la desviaci´on estandar nos informa c´omo se distribuyen los N datos alrededor de este valor. Si se analizan detenidamente los datos, se encuentra que hay unos que se repiten m´as que otros. Si se agrupan de acuerdo al n´umero de repeticiones, se puede observar que los de mayor frecuencia son los que est´an cerca del valor promedio. Esto nos da la idea de que hay valores que tienen m´as probabilidad de obtenerse que otros al hacer la siguiente medici´on. Entonces podemos preguntarnos, ¿Cu´al es la probalilidad de obtener un dato en el intervalo x y x + ∆x? Si agrupamos los datos por intervalos de ancho ∆x y contamos el n´umero de datos en ese intervalo y ahora hacemos un gr´afico xy en donde los intervalos se colocan en la abcisa y las frecuencias en la ordenada, obtenemos un Histograma de las mediciones. En el histograma se puede observar claramente c´omo se dispersa el conjunto de mediciones al rededor del valor medio y se puede entender mejor el signifidado de la desviaci´on estandar y de probabilidad de la medici´on. En teor´ıa de probabilidades, cuando se hace un n´umero muy grande de mediciones, se habla de funci´on de distribuci´on de probabilidades f (x) y un gr´afico de x en funci´on de f (x) describe una curva que comunmente se le conoce como campana de Gauss.
En la figura 3.1, se muestra esquem´aticamente un histograma. En el se han dibu- jado 6 rect´angulos cuyas bases corresponden al ancho de los intervalos de medici´on y cuyas alturas representan la frecuencia o n´umero de datos en el int´ervalo. El ´area de estos rect´angulos representa la probabilidad de obtener cualquier valor, dentro de ese int´ervalo, al hacer una medici´on.
30 Cap´ıtulo 3. Tratamiento estad´ıstico de medidas
Figura 3.1: Ejemplo de un Histograma
3.3.1
Construcci´on del Histograma
Para construir un histograma, se van a seguir los siguientes pasos:
1. Se ordenan los datos recopilados de menor a mayor y se establece la frecuencia de los datos que se repiten.
2. Calcular el Rango de la variable restando al dato mayor el dato menor.
Rango = dato mayor − dato menor (3.12)
3. Elegir un n´umero impar de intervalos para el histograma que est´e comprendido entre 7 y 15.
4. Calcular el ancho ∆x de los intervalos.
∆x = Rango
N ´umero de intervalos (3.13)
5. Si el cociente anterior no es un n´umero entero, puede ampliarse el rango de la variable escogiendo un valor mayor que dato mayor y un valor menor que el menor valor y obtener un nuevo rango y el ancho del intervalo
∆x = N uevo Rango
N ´umero de intervalos =
x>xm´ax − x<xm´in
3.3 Histograma 31
6. Determinar los extremos de los intervalos de tal forma que el primero sea cerrado y el segundo abierto.
7. Obtener la frecuencia contando el n´umero de datos en cada intervalo.
8. Calcular las marcas, en donde las marcas son los puntos medios de cada inter- valo.
9. Elegir unidades arbitrarias sobre los ejes, para representar las frecuencias en ordenadas y los anchos de los intervalos en abscisas.
10. Dibujar los rect´angulos correspondientes.
Ejemplo
En la tabla 3.1 se muestran los datos experimentalmente del tiempo de reacci´on de una persona, medidos cuando se solt´o una regla entre sus dedos la cual deb´ıa agarrar cuando la ve´ıa cayendo. Se desea saber: a) el tiempo de reacci´on promedio ¯t, b) la desviaci´on est´andar S, c) el intervalo de la medici´on, d) la distribuci´on de los datos mediante un histograma, e) el significado f´ısico de ¯t, S y ¯t ± S, .
Tabla 3.1: Mediciones del tiempo de reacci´on
t(s) frecuencia 0,185 1 0,186 1 0,191 2 0,193 1 0,203 2 0,204 2 0,205 2 0,211 3 0,219 4 0,220 3 0,223 2 0,224 2 0,230 1 0,233 2 0,234 2 0,235 1
32 Cap´ıtulo 3. Tratamiento estad´ıtico de medidas
Soluci´on:
a) Haciendo uso de la ecuaci´on 3.2 se tiene ¯
t = 0, 214 s b) Con la ecuaci´on 3.5 se tiene
S = 0, 015 s
c) Despu´es de haber obtenido ¯t y S calculamos la incertidumbre est´andar de acuerdo a la ecuaci´on 3.7 para obtener el intervalo medici´on del tiempo:
∆¯t = 0, 015 s√
16 = 0, 00375 s La medici´on es: t = (0, 214 ± 0, 015) s
d) Para el histograma, obtenemos primero el rango de los datos
RAN GO = 0, 250 − 0, 180 = 0, 070 y
∆t = 0, 070 7
Por tanto, construimos el histograma comenzando en 0,180 s con intervalos de ancho 0,010 s en los que las frecuencias estan dados en la tabal 3.2
Tabla 3.2: Intervalos para el histograma
Intervalos Rangos Frecuencia
1 0,180 - 0,190 2 2 0,190 - 0,200 3 3 0,200 - 0,210 6 4 0,210 - 0,220 7 5 0,220 - 0,230 7 6 0,230 - 0,240 5 7 0,240 - 0,250 2
3.2 C´alculo de la incertidumbre para N peque˜no 33
e) El valor ¯t = 0, 214 s es el valor m´as probable, es decir se puede considerar como el valor que se encuentra m´as cercano al valor verdadero de t.
El valor S = 0,015 s es una medida de la dispersi´on de los valores medidos. Con este valor podemos calcular el porcentaje datos caracter´ısticos del intervalo de dispersi´on dado por:
¯
t = (0, 2140, 015) s
Esto significa que el 68,27% de los 31 datos est´an entre 0, 199 s y 0, 229 s . Es decir 0,6827 × 31 = 21 datos.
Si observamos la tabla de datos, estos valores est´an en el comienzo del intervalo 3 y el final del 5 (entre 0,200 y 0,230) en donde se encuentran 20 datos. (6 datos en el intervalo 3, 7 en el 4 y 7 en el 5).
34 Cap´ıtulo 3. Tratamiento estad´ıstico de medidas