Guia Para Analisis de Experimentos Correg_feb_2014

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Gu´ıa para An´

alisis de Experimentos

Laboratorios de F´ısica

Preparado por:

Prof. EULER EUGENIO CORAL, DSc Programa de F´ısica

Facultad de Ciencias B´asicas Universidad del Atl´antico

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Gu´ıa para An´

alisis de Experimentos

Laboratorios de F´ısica

Preparado por:

Prof. EULER EUGENIO CORAL, DSc Programa de F´ısica

Facultad de Ciencias B´asicas Universidad del Atl´antico

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Contenido

1 Introducci´on 1

1.1 Enfoque del Trabajo de Laboratorio . . . 1

1.2 Magnitudes F´ısicas . . . 2

1.3 Las Unidades B´asicas del SI . . . 3

1.4 Sistema de unidades . . . 3

1.5 Prefijos para los M´ultiplos y Subm´ultiplos . . . 4

1.6 Factores de Conversi´on . . . 5

1.7 An´alisis Dimensional . . . 6

1.8 Orden de Magnitud . . . 6 1.9 Ejercicios . . . 7 2 Mediciones y Errores 9 2.1 El proceso de medici´on . . . 9 2.2 Tipos de medici´on . . . 9 2.3 Cifras significativas . . . 9

2.4 Operaciones con cifras significativas . . . 11

2.4.1 Criterio de aproximaciones . . . 11

2.4.2 Suma . . . 11

2.4.3 Multiplicaci´on . . . 12

2.5 Errores Experimentales . . . 12

2.5.1 Errores Sistem´aticos . . . 13

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ii CONTENIDO

2.6 C´alculo de Errores . . . 15

2.6.1 Error Absoluto . . . 15

2.6.2 Incertidumbre relativa y porcentaje de error . . . 15

2.6.3 C´alculo pr´actico de la incertidumbre . . . 16

2.7 Propagaci´on de errores . . . 18

2.7.1 Incertidumbre en funciones de una sola variable . . . 18

2.7.2 Funciones de dos o m´as variables . . . 19

2.7.3 M´etodo general para calcular errores . . . 20

2.8 Problemas . . . 22

3 Tratamiento estad´ıstico de medidas 25 3.1 C´omo se minimiza este error? . . . 25

3.1.1 Valor Promedio . . . 25

3.1.2 Desviaci´on de la Media . . . 26

3.1.3 Desviaci´on Promedio . . . 26

3.1.4 Desviaci´on Est´andar . . . 26

3.1.5 La Varianza . . . 27

3.1.6 Incertidumbre Est´andar de la Media . . . 27

3.1.7 Error Relativo Porcentual . . . 27

3.2 An´alisis de error para N peque˜no . . . 28

3.3 Histograma . . . 29

3.3.1 Construcci´on del Histograma . . . 30

3.4 Ejercicios . . . 34

4 Evaluación de Experimentos 35 4.1 Análisis de gráficas . . . 35

4.2 Linealizaci´on de gr´aficos . . . 37

4.2.1 Ecuaci´on lineal y m´ınimos cuadrados . . . 37

4.2.2 Ejemplo . . . 39

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CONTENIDO iii

4.3.1 Funci´on Potencial . . . 40

4.3.2 Funci´on exponencial . . . 41

4.3.3 Ejemplo . . . 42

4.3.4 Linealizaci´on de modelos conocidos . . . 44

4.4 An´alisis de gr´aficos con ayuda de calculadoras . . . 45

4.4.1 Calculadoras Cassio FX95MS Y FX100MS . . . 46

4.4.2 Calculadora Cassio FX350ES . . . 46

4.5 Uso de programas de computador . . . 47

4.5.1 Gr´aficas en Excel . . . 47

4.6 Ejercicios . . . 50

Ap´endices 51 A Instrumentos de Medici´on 1 53 A.1 Calibrador o Pie de rey . . . 53

A.1.1 Principales partes del calibrador . . . 53

A.1.2 Principio de funcionamiento . . . 54

B Instrumentos de Medición 2 57 B.1 Micrómetros y Esferómetros . . . 57

B.1.1 El micr´ometro . . . 57

B.1.2 El Esfer´ometro . . . 59

C Modelo de informe 61

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Lista de figuras

2.1 Medici´on de una magnitud . . . 10

2.2 Errores aleatorios y sistemáticos en un ejercicio de práctica de tiro. a)Alta precisión y exactitud: Debido a que las marcas de los disparos están muy cerca unas de otras, podemos decir que los er-rores aleatorios son pequeños (buena precisión). Debido a que la distribución de disparos está centrada en el blanco, los errores sis-temáticos también son (buena exactitud). b) Alta precisión y baja exactitud: Los errores aleatorios son todav´ıa pequeños, pero los sis-temáticos son mucho más grandes, los disparos están sistemáticamente corridos hacia la derecha. c) Baja precisión y Buena exactitud: En este caso, los errores aleatorios son grandes, pero los sistemáticos son pequeños, los disparos están muy dispersos, pero no están sis-temáticamente corridos del centro del blanco. d) Baja precisión y baja exactitud: Aqu´ı ambos errores son grandes. . . 14

3.1 Ejemplo de un Histograma . . . 30

3.2 Histograma para los datos del ejemplo . . . 33

4.1 Ejemplo de una figura bien realizada . . . 36

4.2 Grafica de la funci´on y = kxn en papel logar´ıtmico . . . 41

4.3 Gr´afica de la funci´on y = Aekx en papel semilogar´ıtmico . . . 42

4.4 Decrecimiento exponencial del Voltaje de un condensador . . . 43

4.5 Linealizaci´on de los datos de la tabla 4.2 dibujados en papel semilog. 43 4.6 La pantalla en el modo Regresi´on Lineal presenta dos columnas x y y. 46 4.7 Pantalla inicial de Excel . . . 48

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vi LISTA DE FIGURAS

4.9 Selecci´on de ajuste de la gr´afica . . . 49

4.10 Esta figura muestra los tipos de ecuaciones que se pueden seleccionar para el ajuste. . . 49

A.1 Partes del Calibrador o Pie de rey. . . 54

A.2 Divisiones del Nonio para un rango de 9 mm . . . 54

A.3 La divisi´on 3 del Nonio coincide con la 3 de la escala principal, las puntas se separan 0,3 mm . . . 55

A.4 Las puntas están separadas 1,4 mm, puesto que la cuarta división del nonio coincide con una división de la escala principal . . . 56

B.1 Esquema de un micr´ometro y sus partes. . . 57

B.2 Imagen de una medici´on con el micr´ometro. . . 58

B.3 Lectura de una medici´on con un micro´ometro. . . 58

B.4 Esquema de un esfer´ometro y sus partes. . . 60

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Lista de tablas

1.1 Unidades b´asicas del SI . . . 3

1.2 Definici´on de las Unidades b´asicas del SI . . . 3

1.3 Sistemas de Unidades . . . 4

1.4 M´ultiplos . . . 4

1.5 Subm´ultiplos . . . 4

1.6 Algunos Factores de conversi´on . . . 5

1.7 Algunos Ordenes de Magnitud . . . 6

2.1 Ejemplo de cifras significativas . . . 11

2.2 Ejemplo de aproximaciones con cifras significativas . . . 12

3.1 Mediciones del tiempo de reacci´on . . . 31

3.2 Intervalos para el histograma . . . 32

4.1 Datos para an´alisis de un comportamiento lineal . . . 39

4.2 Datos para la descarga de un condensador . . . 42

4.3 Ejercicio 1 . . . 50

4.4 Ejercicio 2 . . . 50

4.5 Ejercicio 3 . . . 50

(10)

(11)

Cap´ıtulo 1

Introducci´

on

1.1 Enfoque del Trabajo de Laboratorio

El objetivo del trabajo en el laboratorio es familiarizarse con el aspecto fenomenológico de la F´ısica. En cierta forma, el estudiante comprobará las leyes y principios que se imparten en el curso teórico o que han sido estudiadas previamente por el. Por otro lado y de acuerdo a la orientación del profesor, el estudiante podrá llegar a las leyes a partir del experimento.

Los experimentos propuestos no se realizarán siguiendo una serie de instrucciones como se ha hecho tradicionalmente. El estudiante debe recordar permanentemente que la F´ısica es una disciplina cient´ıfica y que en su formación, debe hacer destacar su esp´ıritu cient´ıfico y es aqu´ı en el Laboratorio de F´ısica, en donde debe apropiarse de esto, ya que los experimentos propuestos son ante todo un problema que los estudiantes deben resolver, y para lograr soluciones satisfactorias, deben investigar la bibliograf´ıa citada, leer otras gu´ıas de laboratorio, navegar en la Internet, etc. Más concretamente, el estudiante debe ser conocedor del Método Cient´ıfico y aplicarlo en su investigación.

El trabajo en el laboratorio corresponde a una parte de la investigación que los estudiantes van a realizar para resolver su problema experimental. Básicamente los estudiantes van al laboratorio a medir las magnitudes de las propiedades del sistema f´ısico que van a investigar. Pero, como se insinuaba en el párrafo anterior, antes y después de las mediciones, se requiere una buena dedicación de tiempo estudiando y entendiendo el problema de laboratorio, para esto, los estudiantes deber´ıan conocer previamente los siguientes aspectos:

(12)

2 Cap´ıtulo 1. Introducci´on

a) Conceptos te´oricos involucrados en el tema que se va a experimentar b) El sistema que se va a estudiar.

c) Las variables o propiedades que se van a medir.

d) Distinguir la variable dependiente de la variable independiente. e) Las unidades en que se van a medir las variables.

f ) Los factores que pueden afectar las mediciones.

El estudiante debe tener en cuenta todo lo que acontece en el laboratorio, lo m´as aconsejable es que tome nota de todo lo que suceda, especialmente de su propio procedimiento. Cada estudiante debe tener una libreta de apuntes. Al finalizar la pr´actica de laboratorio, cada grupo debe entregar un preinforme de los datos medidos en el formato que aparece al final de esta gu´ıa.

Para evaluar los datos experimentales se debe tener el conocimiento básico de las Teor´ıa de Errores y Análisis de Gráficos, temas que se van a exponer en una forma breve en esta gu´ıa. El reporte de sus resultados se debe entregar en un informe que presente el formato de Art´ıculo Cient´ıfico que también se incluye en esta gu´ıa.

1.2 Magnitudes F´ısicas

Magnitud es toda cantidad que se puede medir. Medir significa comparar. Cuando medimos cualquier magnitud, ya sea,una longitud o la intensidad de una corriente eléctrica, en realidad estamos comparando esa magnitud con otra de la misma especie que consideramos arbitrariamente como patrón. Por ejemplo, al determinar una masa desconocida en la balanza, lo que hacemos es comparar esa masa con masas patrones (las “pesas” de la balanza). Estas pesas, a su vez, han sido comparadas (o calibradas) con algún patrón secundario y al seguir la cadena de comparaciones se llega hasta el patrón universal de masa (kilogramo) que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas (BIPM) en Sèvres, cerca de Par´ıs, donde fue adoptado mediante convenios internacionales.

De igual forma, se definen patrones para otras magnitudes que se consideran magnitudes fundamentales, puesto que las unidades de una de ellas no se puede expresar en funci´on de las otras. Existen diferentes sistemas que definen las unidades de estas magnitudes. Uno de estos, el Sistema Internacional de Unidades (SI) vigente en la mayor´ıa de los pa´ıses desde 1960, considera siete unidades b´asicas a partir de las cuales se pueden derivar todas las restantes unidades de medida de otras magnitudes f´ısicas, ver tabla 1.1.

(13)

1.3 Las Unidades B´asicas del SI 3

Tabla 1.1: Unidades b´asicas del SI

Magnitud Unidad S´ımbolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

temperatura Kelvin K

cantidad de sustancia mol mol

intensidad de la corriente Ampere A intensidad de la luz buj´ıa o candela cd

1.3 Las Unidades B´

asicas del SI

La definición de las unidades básicas ha venido cambiando por la necesidad de tener patrones o referencias más estables y precisas a través del tiempo. La definición actual de las unidades básicas del SI aprobada por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM) en 1983 se muestran en la tabla 1.2.

Tabla 1.2: Definici´on de las Unidades b´asicas del SI

Magnitud Unidad Definici´on

longitud metro Distancia recorrida por la luz en el vac´ıo durante un intervalo de 1/299.792.458 s - 17a. CGPM, 1983. masa kilogramo Masa de un cilindro de PLATINO-IRIDIO que se

conserva en la BIPM en Par´ıs - 3a. CGPM, 1901. tiempo segundo Duraci´on de 9.192.631.770 vibraciones en la

transi-ci´on de dos niveles hiperfinos del ´atomo de 123Cs -13a. CGPM, 1968.

temperatura Kelvin Es 1/273,16 de la temperatura termodin´amica del punto triple del agua - 13a. CGPM 1968.

1.4 Sistema de unidades

Es importante señalar que existen varios grupos de unidades asociadas a las mag-nitudes básicas longitud, masa, tiempo, conocidas como sistemas de unidades. Como ya se indicó anteriormente, el SI es el más utilizado en la actualidad, pero existen pa´ıses como los de habla inglesa que usan diferentes unidades de medición,

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(ver tabla 1.3). El estudiante debe estar en capacidad de pasar las unidades de un sistema a otro aplicando los factores de conversi´on de unidades.

Tabla 1.3: Sistemas de Unidades

Sistema Longitud Masa Tiempo

SI m kg s

CGS cm g s

INGLES pie slug s

1.5 Prefijos para los M´

ultiplos y Subm´

ultiplos

Los prefijos son nombres que se les da a ciertas potencias de 10 cuando usamos notación cient´ıfica y sirven para determinar los múltiplos y submúltiplos de la unidad principal. Para utilizarlos, basta con expresar una cantidad en notación cient´ıfica y reemplazar la potencia por el s´ımbolo correspondiente seguido de la unidad básica.

Tabla 1.4: M´ultiplos

Factor Prefijo S´ımbolo

1024 _yotta _Y 1021 _zetta _Z 1018 _exa _E 1015 peta P 1012 _tera _T 109 _giga _G 106 _mega _M 103 kilo k 102 _hecto _h 101 _deca _d

Tabla 1.5: Subm´ultiplos

Factor Prefijo S´ımbolo

10−1 deci d 10−2 centi c 10−3 mili m 10−6 micro µ 10−9 nano n 10−12 pico p 10−15 femto f 10−18 atto a 10−21 zepto z 10−24 yocto y

Veamos como ejemplo el metro: 1 m esta dividido en 100 partes y cada una de estas equivale a 0, 01 m o 10−2m y de acuerdo a la tabla, corresponde a un cent´ı-metro, abreviado 1 cm. La mil´esima parte del metro es igual a 0, 001 m o 10−3m corresponde a 1 mm.

Existen otras magnitudes como la capacitancia el´ectrica que solo se expresa en subm´ultiplos del Faradio (F ), su unidad de medida, como 10−6 F = 1 µF , 10−9F = 1 nF , 10−12F = 1 pF .

(15)

1.6 Factores de Conversi´on 5

1.6 Factores de Conversi´

on

Para pasar de un sistema de unidades a otro es necesario conocer la relación que hay entre los distintos sistemas. Muchas veces también necesitamos pasar múltiplos y submúltiplos a la unidad fundamental o viceversa. Algunas factores de conversión entre el Sistema Inglés y el SI se encuentran en la tabla 1.6.

Tabla 1.6: Algunos Factores de conversi´on

Longitud masa

1 m = 39,37 in = 3,281 ft =102 _cm _{1 lb = 0,454 kg = 16 oz}

1 in = 0,0254 m = 2,54 cm 1 oz = 28,35 g = 0,0625 lb 1 ft = 0,3048 = 30,48 cm = 12 in 1Kg = 103 g = 2.2 lb 1 mi = 5280 ft = 1609 m = 1,609 km

Veamos como ejemplo las unidades del tiempo que, aunque no corresponden al sistema decimal, si son aceptadas por el SI. ¿Cu´antos segundos tiene un d´ıa? usando los factores de conversi´on tenemos los siguiente:

1 dia = 1dia × 24h 1dia× 60min 1h × 60 s 1min = 86400 s

Ahora, si queremos convertir de km/h a m/s, por ejemplo 72 km/h, procedemos de manera similar al caso anterior pero convirtiendo dos unidades:

72 km/h = 72km h × 1h 3600 s × 103m 1km = 20 m s

Otro caso es el de las unidades de capacidad o volumen. Como estas unidades corresponden a unidades lineales elevadas al cubo, lo mejor es escribir el m´ultimplo de la unidad y elevarlo al cubo, por ejemplo 1 m3 convertirlo a mililitros (ml):

1 m3 = 1m3×(10 2_cm)3 1m3 = 106 cm3× 1 ml 1_cm3 = 10 6 ml

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1.7 An´

alisis Dimensional

Para verificar si una ecuación está bien formulada, se debe tener en cuenta las variables que operan en dicha ecuación. Al hacer un análisis dimensional, las di-mensiones se pueden tratar como cantidades algebraicas. Los s´ımbolos empleados para denotar las dimensiones de longitud, masa y tiempo son respectivamente L, M y T. Dos cantidades que se suman, al igual que los términos a ambos lados de una ecuación, deben tener las mismas dimensiones.

Como ejemplo, mostremos que la ecuación x = vt, es dimensionalmente correcta. Por ser x una longitud tiene dimensión [x] = L y t tiene dimensión [t] = T . La velocidad por medirse en metros sobre segundo, tiene dimensión [v] = L/T , por tanto

[x] = [v][t] L = L

T × T L = L

Al cancelar T en la derecha, las unidades tienen la misma dimensi´on que en la izquierda.

1.8 Orden de Magnitud

Cuando queremos hacer cálculos aproximados de ciertas cantidades, es importante aproximar los factores que intervienen en las operaciones, a la potencia de 10 más cercana. De esta forma, se dice, que la potencia de 10 representa el orden de mag-nitud de una cantidad. El orden de magmag-nitud también sirve para referirse en forma oral o escrita de ciertas cantidades cuyas cifras son enormes o muy pequeñas, como la masa de un electrón o la masa del sol y su distancia a la tierra. Algunos ejemplos se dan en la tabla 1.7.

Tabla 1.7: Algunos Ordenes de Magnitud

Cantidad magnitud Orden de Magnitud

Radio de la ´orbita tierra-sol 1.5 × 1011 _m ₁₀11 _m

Masa del electr´on 9.11 × 10−31 kg 10−31 kg Edad promedio de un estudiante 5.7 × 108 s 108 s

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1.9 Ejercicios 7

1.9 Ejercicios

Conversi´on de Unidades

1. ¿Cu´ales de las siguientes unidades no son fundamentales:

a) m b) m/s c) ◦C d) l e) m/s2 _{f) N} _{g) s} _{h) kg.}

2. ¿Cu´al es su estatura en pies?

3. Un cohete alcanz´o una altura de 300 km. ¿A cu´anto equivale esta distancia en millas?

4. ¿Cu´antos segundos tiene 1 a˜no?

5. La rapidez de la luz en el vac´ıo es aproximadamente 3, 00 × 108_{m/s. ¿Cu´}_antos

km viajar´ıa un pulso de un l´aser en 1 h?

6. Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año a 300.000 km/s. ¿Cuál es esta distancia en m? Exprese la distancia de la tierra al sol en años luz. 7. Una certificación de buceo se realiza a 40 pies. ¿Cuántos metros debe bajar

el buzo a pulm´on libre para certificarse? 8. ¿Cu´al es su peso en libras?

9. 1 cm3 _{equivale a 1 ml. ¿Cu´}_{antos litros hay en 1 m}3_?

Orden de magnitud

11. ¿Cu´al es el orden de magnitud de su edad en meses, d´ıas y segundos?

12. Estime el número de veces que el corazón de un humano late en una vida promedio de 70 años.

13. El radio promedio de la tierra es de 6, 37 × 106 _{m, y el de la luna es de}

1, 74 × 108_{cm. Con estos datos calcule la raz´}_{on entre el ´}_{area superficial de la}

tierra y de la luna.

14. Determine el n´umero aproximado de ladrillos necesarios para cubrir los cuatro lados de una casa de tama˜no regular.

15. Una persona utiliza 200 l de agua por d´ıa aproximadamente. ¿Cu´al debe ser el orden de magnitud en m3 _{del volumen de un recipiente capaz de abastecer}

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Determine el orden de magnitud de los resultados de las siguientes operaciones. 16. (3 × 108_{m/s) (3 × 10}5_s)

17. 7000/0,0035

18. (0,501 × 0,042)/420.000.000

19. Suponga que un prot´on tiene la forma de un cubo cuya arista es del orden de 10−13cm. ¿Cu´al es el orden de magnitud del volumen del cubo?

20. Deseando construir un modelo del sistema solar, un estudiante representa el sol por medio de una pelota de balompi´e. Se sabe que el orden de magnitud del radio del sol es de 109 _{m y el de la tierra es de 10}7_{m, siendo la distancia de}

la tierra al sol del orden de 1011m. ¿Cu´al deber´ıa ser entonces, en este modelo, el orden de magnitud de la esfera que representa la tierra?, ¿La distancia de esta esfera a la pelota de balompi´e?

An´alisis Dimensional

Diga si las ecuaciones siguientes son dimensionalmente correctas. (v es velocidad, a es aceleraci´on, t es tiempo, A es ´area, T periodo y r radio)

21. v2 = v₀2+ 2at 22. x = xo + vt 23. x = at 24. v = vo + ax 25. A = πr2 26. t =q2x_a 27. v =√2ax − v0t 28. T = 2πq_gl

29. ¿Cu´ales son las unidades de las constantes en la ecuaci´on x = At2 _{+ Bt + C,}

para que sea dimensionalmente correcta?

30. Muestre que si x = At3 _{+ Bt es dimensionalmente correcta cuando x tiene}

unidades de longitud y t tiene unidades de tiempo, entonces la derivada dx/dt tiene unidades de longitud sobre unidades de tiempo.

31. ¿Cu´al es el valor de los exponentes para que la ecuaci´an v2 _{= ka}m_sn _sea

dimensionalmente correcta?

32. ¿Para qu´e valores de m y n la ecuaci´on x = kamtn es dimensionalmente correcta?

(19)

Cap´ıtulo 2

Mediciones y Errores

2.1 El proceso de medici´

on

Medir es comparar una magnitud desconocida con otra llamada patrón. Al realizar una medición de cierta magnitud, se obtiene un número acompañado de una unidad asociada a la magnitud respectiva. En el caso más general, este resultado debe ir acompañado por otro número que representa la incertidumbre en la medición.

2.2 Tipos de medici´

on

Las mediciones pueden obtenerse de dos formas:

Mediciones Directas: Son el resultado de comparar directamente una magni-tud desconocida con un instrumento de medida calibrado según un patrón estable-cido previamente. El resultado se mide directamente en una escala numérica que posee el instrumento.

Mediciones Indirectas: Se obtienen a través de una operación entre dos o más mediciones directas o a través de una función de las cantidades medidas. Por ejemplo la densidad se obtiene como función de la masa y el volumen de una sustancia.

2.3 Cifras significativas

El Número de cifras que debe tener el escalar que representa una magnitud medida, está muy relacionado con el número de divisiones que tenga la escala del instrumento de medida. Por ejemplo, si ustedes miden cierta longitud con una cinta métrica

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10 Cap´ıtulo 2. Mediciones y Errores

que solo está graduada en metros (m), el resultado será un entero que representa cuantas veces cabe la unidad patrón en esa longitud y es una cifra que tiene certeza en su medida. Pero si existe cierta fracción de la longitud que no se puede medir directamente con el instrumento, ustedes tendrán que hacer uso de la apreciación simple vista, dando en este caso, un único decimal que es incierto. Por ejemplo: 2,4 m de longitud. En este caso decimos que hay dos cifras significativas.

Si ahora usamos una cinta métrica divida en dec´ımetros dm, al reportar el re-sultado de la medición en metros m, el número de cifras ciertas corresponde a los metros y a los dec´ımetros. Pero si el extremo de la magnitud a medir se ubica entre una división de un decámetro y el siguiente, podremos ahora apreciar una fracción más pequeña imaginando diez divisiones en este espacio cuyo valor ser´ıa una cifra dudosa dada en cent´ımetros cm. Por ejemplo, la medición de la fig. 2.1 se puede reportar como L = 2,46 m. Aunque este resultado está por encima de la mitad del intervalo de 1 dm, las mediciones 2,45 m o 2,47 m, también son válidas, ya que la ´

ultima cifra siempre va a ser incierta. De esta manera podemos decir que hay tres cifras significativas en esta medici´on.

Figura 2.1: Medici´on de una magnitud

Veamos como mejora la medición de la misma magnitud, pero usando ahora una cinta métrica dividida en cent´ımetros cm. Al reportar el resultado en m, estamos seguros de la posición de los metros, los dec´ımetros y los cent´ımetros, pero podemos hacer una apreciación del orden de los mil´ımetros, obteniendo as´ı una última cifra dudosa o incierta. Ejemplo: 2,463 m. En este caso la cifra apreciada está por debajo de la mitad de la división más pequeña, los cm. Un resultado aceptable también podrá ser 2,462 m o 2,464 m. En este caso, tenemos una medición con cuatro cifras significativas. Escribir una quinta cifra carece de sentido ya que no hay más divisiones en nuestro instrumento de medición. Para tener una cifra segura en la posición de los mil´ımetros, debemos usar una cinta métrica graduada en mil´ımetros y tendr´ıamos as´ı una cuarta posición decimal como cifra apreciada, o cifra incierta, para un total de 5 cifras significativas, por ejemplo: 2,3638 m.

Como se puede ver en los ejemplos anteriores, el resultado de una medición va acompañado de un número de cifras que tienen certeza y una última cifra que siempre es dudosa. Estas son las llamadas cifras significativas.

(21)

2.4 Operaciones con cifras significativas 11

En una medici´on se debe tener en cuenta que los ceros a la izquierda no son cifras significativas, mientras que los ceros intermedios y ceros a la derecha si son cifras significativas.

Cuando se tenga un número muy grande de ceros a la izquierda la mejor manera de expresar el resultado de la medición es usando potencias de diez, pero conservando el mismo número de cifras significativas. Algunos ejemplos se dan en la tabla 2.1.

Tabla 2.1: Ejemplo de cifras significativas

Magnitud N´umero de cifras significativas

0,012 mm 2

0,1204 g 4

1,0200 s 5

4,34 ×104 _m ₃

2.4 Operaciones con cifras significativas

2.4.1 Criterio de aproximaciones

Al realizar operaciones resultan n´umeros con muchas cifras decimales. Algunas de estas cifras deben ser eliminadas (redondeo) para dejar las m´as significativas, de acuerdo al siguiente criterio:

1. La cifra que queda se aumenta en una unidad si la cifra contigua que se quita es > 5.

2. Si la primera cifra que se elimina es < 5, la que queda se deja igual.

3. Si la primera cifra que se elimina es = 5 y no existen otros d´ıgitos a su derecha o son solamente ceros, el n´umero que queda se aumenta en 1 siempre y cuando la cifra resultante sea par.

2.4.2 Suma

Cuando se suman dos o más números con distintas cifras significativas, los decimales del resultado debe igualar al operando que posea el menor número de estos, usando el criterio anterior. Ver ejemplo en la tabla 2.2

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Tabla 2.2: Ejemplo de aproximaciones con cifras significativas

número original aproximación descripción

20,45 20,45 Menor No. de decimales

40,1368 40,14 Elimina 6 y 8. 3 aumenta en 1

20,5500 20,55 Elimina ceros, 5 no cambia

60.6952 60,69 Elimina 5 y 2, 9 no cambia

30,365 30,37 Elimina 5, 6 aumenta en impar

Suma = 172,1970 Suma = 172,20 Aproxima a dos cifras decimales

2.4.3 Multiplicaci´

on

Al multiplicar o dividir dos cantidades, el resultado debe tener el mismo n´umero de cifras significativas del operando que tenga el menor n´umero de ellas.

Ejemplo

Calcular el volumen de un cilindro circular recto donde r = 4, 5 cm y h = 55, 7 cm. Sabemos que V = πr2_{× h. El n´}_{umero π = 3,14159..., ¿Cu´}_{antas cifras le asignamos}

al este n´umero irracional? Como vemos r tiene dos cifras significativas, h tiene tres, por lo tanto, asignamos a π el mismo n´umero de cifras significativas de h, es decir, 3,14.

Valor obtenido con la calculadora: V = 3541.6845 cm3

Valor obtenido seg´un el criterio dado: V = 3, 5 × 103 cm3

Para expresar las dos cifras significativas hemos usado potencias de diez.

2.5 Errores Experimentales

En general, todo procedimiento de medición tiene imperfecciones que dan lugar a un error en el resultado de la medición, lo que hace que el resultado sea sólo una aproximación del valor real de la magnitud medida. De acuerdo a la naturaleza de los errores experimentales, se acostumbra a dividirlos en dos clases: Errores Sistemáticos y Errores Aleatorios.

(23)

2.5 Errores Experimentales 13

2.5.1 Errores Sistem´

aticos

Se deben a diversas causas y se repiten constantemente cuando las mediciones se realizan en las mismas condiciones. Los resultados se ven afectados en el mismo sentido. Estos errores se pueden detectar f´acilmente y se pueden eliminar si se conoce la causa. Algunas fuentes de error sistem´atico son:

a) Errores de calibraci´on de los instrumentos de medida. Ajuste del cero, escala inapropiada, construcci´on defectuosa.

b) Condiciones de trabajo no apropiadas (presi´on, temperatura, humedad, lumi-nosidad, frecuencia de la red).

c) T´ecnicas imperfectas. Generalmente por falta de experiencia del experimen-tador o por falta de planeaci´on de los procedimientos.

d) F´ormulas incorrectas. Cuando se hacen aproximaciones, los resultados expe-rimentales no son exactamente los esperados en la teor´ıa.

2.5.2 Errores Aleatorios

Se deben a perturbaciones pequeñas o fluctuaciones y no es posible detectar la causa que los produce. Si un experimento se repite en condiciones idénticas, los resultados de la medición no son siempre los mismos cuando se presenta este error. Para disminuir el error aleatorio, se debe realizar un número determinado de mediciones y realizar un tratamiento estad´ısticos de los resultados. Se puede dar una idea de cómo se presentan estos errores:

a) Errores de apreciación. Se presentan al leer en la escala de un instrumento haciendo estimación de una fracción de la división más pequeña de la escala. Al realizar varias mediciones esta apreciación var´ıa aleatoriamente.

b) Condiciones de trabajo. La variación de las condiciones ambientales, vibra-ciones de la mesa de trabajo, señales electromagnéticas.

c) Falta de definici´on de la cantidad a medir. Como el di´ametro de una esfera ya que esta no es una esfera perfecta.

Seg´un el tipo de error, las mediciones se pueden clasificar en:

Precisas.- Son aquellas mediciones que tienen errores aleatorios pequeños. Exactas.- Son aquellas mediciones que tienen errores sistemáticos pequeños. Esto se puede observar claramente en la figura 2.2,

(24)

(a) (b)

(c) (d)

Figura 2.2: Errores aleatorios y sistemáticos en un ejercicio de práctica de tiro. a)Alta precisión y exactitud: Debido a que las marcas de los disparos están muy cerca unas de otras, podemos decir que los errores aleatorios son pequeños (buena precisión). Debido a que la distribución de disparos está centrada en el blanco, los errores sistemáticos también son (buena exactitud). b) Alta precisión y baja exactitud: Los errores aleatorios son todav´ıa pequeños, pero los sistemáticos son mucho más grandes, los disparos están sistemáticamente corridos hacia la derecha. c) Baja precisión y Buena exactitud: En este caso, los errores aleatorios son grandes, pero los sistemáticos son pequeños, los disparos están muy dispersos, pero no están sistemáticamente corridos del centro del blanco. d) Baja precisión y baja exactitud: Aqu´ı ambos errores son grandes.

(25)

2.6 C´alculo de Incertidumbres 15

2.6 C´

alculo de Incertidumbres

2.6.1 Error Absoluto e Incertidubre

En una medición la última cifra resulta siempre incierta. Esto quiere decir que nunca vamos a obtener el valor real de una medida, pero nos aproximamos a él mejorando el procedimiento y los instrumentos de medición. Toda medición va acompañada de una incertidumbre y su determinación nos dice que tan cerca estamos del valor real de la magnitud. Definimos el error absoluto , como la diferencia entre el valor real VR y el valor observado VO o valor medido, en la forma

= kVR− VOk (2.1)

Se expresa como el valor absoluto ya que podemos acercarnos al VR por exceso o

por defecto, es decir, que esta diferencia puede ser positiva o negativa. Pero ¿cómo calcular el error absoluto si jamás conoceremos el valor verdadero? En la práctica el error absoluto se define con relación a una medida arbitraria. Por eso definimos la incertidumbre ∆V tal que para cualquier VO se cumple que

= kVR− VOk ≤ ∆V (2.2)

Si podemos determinar ∆V , entonces para cualquier medici´on experimental VO

se cumple que el valor real de la cantidad satisface la desigualdad:

VO− ∆V ≤ VR ≤ VO+ ∆V (2.3)

Esto quiere decir, que al hacer una medición, lo que estamos buscando es un intervalo donde se encuentra el valor más probable del valor real. En otras palabras, buscamos los l´ımites superior e inferior de una magnitud. Una forma más útil de expresar este intervalo de medición es

VR= VO± ∆V (2.4)

Esta es la manera como deben reportarse el valor de una medici´on de cualquier magnitud, sea directa o indirecta.

2.6.2 Incertidumbre relativa e incertidumbre porcentual

Muchas veces necesitamos saber que tan significativa es ∆V respecto a VO. Por

(26)

Pero si medimos la distancia entre la tierra y la luna o el tama˜no de una bacteria con el mismo error, este carece completamente de sentido. Es por esto que es necesario comparar la incertidumbre estimada con el valor medido en la forma

R=

∆V VO

(2.5) Esta es la incertidumbre relativa que tambi´en se puede reportar como un por-centaje al multiplicar por 100 en la forma

R =

∆V VO

× 100 (2.6)

2.6.3 C´

alculo pr´

actico de la incertidumbre

Al cuantificar la incertidumbre de una cierta magnitud x debemos, en principio, tener en cuenta todos los tipos de incertidumbres que est´en presentes. Una forma de obtener el valor de la incertidumbre total es mediante la suma de los cuadrados de todas las incertidumbres presentes de acuerdo a la siguiente ecuaci´on,

(∆x)2 =

N

X

n=1

∆x2_n (2.7)

Por lo general en el laboratorios es frecuente encontrar las siguientes incertidum-bres:

a) Incertidumbre de escala (∆xe)

b) Incertidumbre de calibraci´on (∆xc)

c) Incertidumbre estad´ıstica o aleatoria (∆xa)

En este caso, el c´alculo de la incertidumbre total viene dado por

∆x =q(∆xe)2+ (∆xc)2+ (∆xa)2 (2.8)

Normalmente se atribuye como incertidumbre de escala de una medida a la mitad de la división más pequeña. Por ejemplo, si ustedes miden con una regla graduada en mil´ımetros entonces, la incertidumbre atribuida puede ser ± 0.5 mm (± 0.05 cm) (pero esto no es adecuado del todo ya que depende del estado del objeto a medir y del propio instrumento de medida).

(27)

2.6 C´alculo de Incertidumbres 17

Si se determina que una longitud tiene 15,00 cm y s´olo tenemos en cuenta esta incertidumbre, entonces el resultado de la medici´on es L = (15, 00 ± 0.05) cm o en otras palabras, su valor verdadero se encuentra en el intervalo

14, 95 cm < L < 15, 05 cm

Vamos a adoptar el siguiente método para obtener un intervalo de una medida, considerando que su instrumento de medición está bien calibrado.

1. Obtenemos los valores l´ımites , L1 y L2 observando la escala.

2. Calculamos el valor observado Lo como el promedio de estos dos valores

Lo =

L1+ L2

2 (2.9)

3. Asignamos la incertidumbre de escala seg´un la ecuaci´on

∆L = L1− L2

2 (2.10)

4. Expresamos el valor de la medici´on como L = (Lo± ∆L) unidad

Por ejemplo, observando en la figura 2.1, se puede apreciar que la longitud L est´a entre L1 = 2, 40 cm y L2 = 2, 50 cm. Con estos l´ımites podemos asignar el valor

central u observado

Lo =

2, 50 + 2, 40

2 = 2, 45 cm

en donde 5 es la cifra incierta en la medici´on. Ahora obtenemos el valor de la incertidumbre

∆L = 2, 50 − 2, 40

2 =

0, 10

2 = 0, 05 cm

la cual coincide con la mitad de la división más pequeña. El resultado final de la medición es

L = (2, 45 ± 0, 05) cm

(28)

εr =

0, 05

2, 45 × 100 = 0, 02 × 100 = 2%

Se aclara al estudiante que este método empleado es meramente didáctico, ya que al usar procedimientos de metrolog´ıa para calcular la incertidumbre en una medición, se encuentra que el método es mucho más refinado que el que se expone en estas notas.

2.7 Propagaci´

on de la Incertidumbre

Al hacer una medida indirectamente, como por ejemplo, calcular el área de un campo de fútbol, en donde se mide por separado el largo y el ancho, es obvio que la incertidumbre asignada a ambas mediciones conlleva a una incertidumbre en el área calculada. Es por esta razón que necesitamos conocer procedimientos matemáticos para obtener la incertidumbre en una medición indirecta, a partir de medidas directas, en donde se involucran funciones de una o más variables.

2.7.1 Incertidumbre en funciones de una sola variable

Supongamos que la medida de una magnitud es x = x0± ∆x y queremos calcular

el valor de z mediante la funci´on z = f (x). Es de esperarse que z = z0± ∆z, donde

z0 = f (x0) y el intervalo ±∆x alrededor de x0 genera un intervalo ±∆z alrededor

de z0.

Como ejemplo tomemos el caso de z = x2. Reemplazando x por x0± ∆x

obten-emos

z = z0± ∆z = (x0± ∆x)2 = x20± 2x0∆x + (∆x)2 (2.11)

Como ∆x es peque˜no, entonces (∆x)2 << 1, y podemos despreciarlo en la ecuaci´on anterior para obtener

∆z = 2x0∆x (2.12)

En forma general, para obtener la incertidumbre en un funci´on de un variable basta con calcular el diferencial de la funci´on z = f (x)

dz = df (x)

(29)

2.7 Propagaci´on de la Incertidumbre 19

y escribirlo en forma de incertidumbre

∆z = df (x)

dx ∆x (2.14)

2.7.2 Incertidumbre en funciones de dos o m´

as variables

Sean x y y dos magnitudes que se han medido independientemente una de otra con sus respectivos incertidumbres

x = x0± ∆x ; y = y0± ∆y (2.15)

a) Para la suma y la resta de x y y se tiene

s = x + y = x0± ∆x + y0± ∆y = (x0+ y0) ± (∆x + ∆y) (2.16)

s = s0± ∆s (2.17)

Por tanto, la incertidumbre en la suma es

∆s = ∆x + ∆y (2.18)

b) El producto de x y y es

p = x.y = (x0± ∆x)(y0± ∆y) = x0y0± (y0∆x + x0∆y) +_∆x∆y _(2.19)

p = p0+ ∆p (2.20)

La incertidumbre es

∆p = y0∆x + x0∆y (2.21)

El error relativo sobre p es ∆p p0 = ∆x x0 + ∆y y0 (2.22)

(30)

20 Cap´ıtulo 2. Mediciones y Errores c) La divisi´on de x y y d = d0± ∆d = x y = x0± ∆x y0± ∆y (2.23) ∆d = d − d0 = x0± ∆x y0± ∆y − x0 y0 = y0∆x − x0∆y y2 0 + y0∆y (2.24) Si en el denominador despreciamos el t´ermino y0∆y y asumimos el signo

ne-gativo en ∆y para que el resultado sea consistente con el incremento del error, la incertidumbre relativa es ∆d d0 = ∆x x0 + ∆y y0 (2.25) d) En forma general, para el producto de dos o m´as variables elevadas a distintas potencias, como se muestra en la ecuaci´on siguiente,

z = xmyn (2.26)

obtenemos primero el logaritmo de la funci´on

logz = m logx + n logy (2.27)

y luego obtenemos el diferencial dz z = m dx x + n dy y (2.28)

Convertimos los diferenciales en valores absolutos de las incertidumbres obte-niendo asi la incertidumbre relativa de z, ecuaci´on 2.29.

∆z z = m ∆x x + n ∆y y (2.29)

Nota: El valor absoluto siempre har´a que los errores se incrementen en medi-ciones indirectas, aunque los exponentes sean negativos,

2.7.3 M´

etodo general para el c´

alculo de Incertidumbres

(31)

2.7 Propagaci´on de la Incertidumbre 21

s = f (x, y, z) (2.30)

obtenemos primero el diferencial total

ds = k∂f ∂xkdx + k ∂f ∂ykdy + k ∂f ∂zkdz (2.31)

Luego convertimos los diferenciales en incertidumbres

∆s = k∂f ∂xk∆x + k ∂f ∂yk∆y + k ∂f ∂zk∆z (2.32)

En donde se deben conocer las incertidumbres en x, y y z, adem´as de obtener las derivadas parciales de la funci´on f evaluada en las cantidades x0, y0, z0.

Un método más aceptado actualmente, indica que la incertidumbre se obtiene como la ra´ız cuadrática dado por la ecuación

∆s = v u u t ∂f ∂x∆x !2 + ∂f ∂y∆y !2 + ∂f ∂z∆z !2 (2.33) Ejemplo

Determinación de la densidad de una esfera aparentemente de acero. El diámetro se midió con un micrómetro de precisión ±0, 01 mm: d = (15, 538 ± 0, 005) mm La masa se midió con una balanza de precisión ±0, 05 g: m = (15, 2 ± 0, 1) g

Empezamos expresando la densida ρ como una funci´on de m y d. Utilizando la ecuaci´on resultante y los valores dados para m y d, obtenemos el valor de la densidad mediante una calculadora, esto es:

ρ = m V = m 4 3π( d 2) 3 = 6m πd3 = 7, 73855038 g cm3 (2.34)

Para el cálculo de la incertidumbre, obtenemos el logaritmo natural de la ecuación anterior y luego el diferencial y lo expresamos en términos del valor absoluto de las incertidumbres, (ecuacion 2.36).

logρ = log6

π + logm − logd

3

(32)

22 Cap´ıtulo 2. Mediciones y Errores ∆ρ ρ = ∆m m + 3 ∆d d (2.36)

Despejamos ∆ρ y reemplazamos los valores correspondientes.

∆ρ = ρ(∆m m + 3 ∆d d ) = 7, 73855( 0, 1 15, 2 + 3 × 0, 005 15, 538) = 0, 05838 g cm3 (2.37) El valor obtenido es ρ = (7, 74 ± 0.06) g cm3

Ahora calculemos la incertidumbre usando la derivada de ρ respecto a m y a d ∂ρ ∂m = 6 πd3 ∂ ∂m(m) = 6 πd3 = 0, 509 cm −3 (2.38) ∂ρ ∂d = 6m π ∂ ∂d(d −3 ) = −18m πd4 = −14, 941 g cm4 (2.39)

Calculamos la incertidumbre en ρ usando la ecuaci´on 2.33.

∆ρ =

q

(0, 059 cm−3_{× 0, 1 g)}2_{+ (−14, 941 g/cm}4_{× 0, 0005 cm)}2

∆ρ = 0, 0514 g/cm3

Por tanto el valor de la densidad es

ρ = (7, 74 ± 0, 05) g cm3

2.8 Problemas

1. Determine el n´umero de cifras significativas en los siguientes n´umeros: 23 cm; 3,589 s; 4,67103 m/s; 0,0032 m; 1,007 m; 0,015 µs

2. ¿Cu´al de las siguientes cantidades tiene el mayor n´umero de cifras significati-vas: 0,254 cm; 0,00254 ×102cm; 254 ×103cm?

3. ¿Cu´al de estos n´umeros tiene 3 cifras significativas: 305,0 cm; 0,0500 mm; 1,00081 kg?

(33)

2.8 Problemas 23

4. Efect´ue la suma de los siguientes n´umeros: 756; 37,2; 0,83 y 2,5.

5. Si se mide la longitud y el ancho de una placa rectangular 15,30 cm y 12,80 cm respectivamente, calcule el ´area de la placa.

6. Calcule el ´area y la longitud de la circunferencia de un c´ırculo de radio igual a 4,65 cm.

7. Obtenga el producto de 3,2 × 3,563

8. Obtenga la suma de 4, 67 × 103 _{y 2, 2 × 10}2

9. Usando un metro de madera para medir un lado de mi escritorio, estoy seguro de que su longitud no es menor a 142,3 cm ni mayor que 142,6 cm. Enuncie esta medición como un valor central ± incertidumbre. ¿Cuál es la incertidumbre relativa de la medición?

10. Para realizar mediciones de tensión y corriente en un circuito utilizo un vol-t´ımetro y un amper´ımetro de aguja. Estoy seguro de que la lectura del am-per´ımetro está entre 1,24 A y 1,25 A, y la del volt´ımetro entre 3,2 V y 3,4 V . Exprese cada medida como un valor central ± incertidumbre, y evalúe la in-certidumbre relativa de cada medición.

11. Si se puede leer un metro de madera con una incertidumbre absoluta de ±1mm, ¿cu´al es la distancia m´as corta que puedo medir para que la in-certidumbre relativa no exceda el a) 1%, b) 5%?

12. Se utiliza un termómetro graduado en 1/5 grado Celsius para medir la tem-peratura del aire exterior. Medida con una aproximación de 1/5 de grado, la temperatura de ayer fue de 22,4C, y la de hoy es de 24,8C. ¿Cuál es la incertidumbre relativa en la diferencia de temperaturas entre ayer y hoy? 13. El reloj del laboratorio tiene un segundero que se mueve por pasos de un

segundo. Lo uso para medir un cierto intervalo de tiempo. Al principio del intervalo marcaba las 09:15:22, y al final las 09:18:16. ¿Cu´al es la incertidumbre relativa del intervalo medido?

14. En el escritorio mencionado en el problema 1, se mide ahora su ancho, y se observa que la medida cae entre 78,2 cm y 78,4 cm. ¿Cu´al es la incertidumbre absoluta en el ´area calculada de la cubierta del escritorio?

15. Para medir la resistencia de un resistor, se miden la ca´ıda de tensión entre sus terminales y la corriente que circula por él. La lectura del vol´ımetro es de (15, 2 ± 0, 2) V , y la lectura del amper´ımetro es de (2, 6 ± 0, 1) A. ¿Cuál es la incertidumbre absoluta de la resistencia calculada como R = V/I?

(34)

16. Un péndulo simple se usa para medir la aceleración de la gravedad, usando T = 2π(l/g)1/2 . El per´ıodo T medido fue de (1, 24 ± 0, 02) s. y la longitud de (0, 381 ± 0, 002) m. ¿Cuál es el valor resultante de g con su incertidumbre absoluta y relativa?

17. Un experimento para medir la densidad de un objeto cil´ındrico utiliza la ecuaci´on ρ = m/πr2_{l. Los valores medidos son: masa, m = (0, 029 ± 0, 005) kg,}

radio, r = (8, 2 ± 0, 1) mm y longitud, l = (15, 4 ± 0, 1) mm, ¿cu´al es la incer-tidumbre absoluta del valor calculado de la densidad?

18. Use el m´etodo general para c´alculo de incertidumbres en funciones y obtenga la incertidumbre de la medida indirecta de

z = x

x2_{+ 1}

19. La distancia focal f de una lente delgada se mide usando la ecuaci´on 1/o + 1/i = 1/f

en donde

distancia al objeto: o = (0, 154 ± 0, 002) m distancia a la imagen: i = (0, 382 ± 0, 002) m

¿Cu´al es el valor calculado de la distancia focal, su incertidumbre absoluta y su incertidumbre relativa?

20. Use la identidad trigonométrica para sen(a ± b) y demuestre que el error obtenido en el cálculo indirecto z = senθ es ∆z = (cosθ)∆θ, teniendo en cuenta que para ángulos pequeños sendθ ≈ dθ y cosdθ ≈ 1. ( Asuma que θ = θ0± ∆θ)

21. Se mide experimentalmente la longitud de onda de la luz, usando la ecuaci´on λ = d senθ. La medida de θ es de 13 34’ ± 2’. Suponiendo que el valor de d = 1420 × 10−9m no tiene error, ¿cu´al es el error absoluto y relativo en el valor de λ

22. Se da un valor como (14, 253 ± 0, 1) U . Reescr´ıbalo con el n´umero adecuado de cifras significativas. Si el valor se diera como (14, 253 ± 0, 15) U , ¿c´omo deber´ıa escribirse adecuadamente?

23. Se da un valor como 6,74914 ± 0,5 %. En´uncielo como un valor observado ± incertidumbre, ambos con el n´umero adecuado de cifras significativas.

(35)

Cap´ıtulo 3

Tratamiento estad´ıstico de

medidas

Los errores aleatorios se presentan como resultado de fluctuaciones o variaciones en la medida. Estos errores no se pueden eliminar ya que no podemos determinar la causa que los producen. Estas variaciones se pueden observar cuando ustedes hacen una serie de mediciones y se encuentra que todos los valores var´ıan al menos en su ´

ultima cifra.

3.1 C´

omo se minimiza este error?

Una manera de minimizar los errores aleatorios se obtiene realizando una serie de N mediciones.

x1, x2, x3, ... , xN (3.1)

3.1.1 Valor Promedio

Una vez se tiene un número de datos (N ≥ 10) obtenemos el valor promedio o valor más probable, que también es conocido como media aritmética.

¯ x = x1+ x2+ x3+ ... + xN N = 1 N = N X n=1 xn (3.2)

(36)

26 Cap´ıtulo 3. Tratamiento estad´ıstico de medidas

3.1.2 Desviaci´

on de la Media

La desviación nos indica que tan alejada está una medida del valor promedio de un grupo de mediciones. Si d1 es la desviación de la primera medida (x1) y d2 para la

segunda medida (x2), entonces, la desviaci´on de la media se puede expresar como:

d1 = x1− ¯x

d1 = x2− ¯x

..

. ...

d1 = xn− ¯x (3.3)

Observe que el valor de las desviaciones de la media puede tener valores tanto positivos como negativos y que la suma algebraica de todas las desviaciones debe ser cero.

3.1.3 Desviaci´

on Promedio

La desviación promedio es una indicación de la precisión de los instrumentos emplea-dos al hacer las mediciones. Instrumentos altamente precisos darán una desviación promedio muy baja. Por definición la desviación promedio es la suma de los valores absolutos de las desviaciones dividida por el número de lecturas. Teóricamente, esta debe tender a cero ya que las mediciones se ubican a la izquierda y derecha del valor promedio. ¯ d = kd1k + kd2| + kd3k + ... + kdNk N = 1 N N X n=1 kdnk (3.4)

3.1.4 Desviaci´

on Est´

andar

Cuando el conjunto de medidas se aleja mucho del promedio, la medida es poco precisa y se dice que hay alta dispersión de los datos. Por el contrario, cuando el conjunto de medidas está más concentrado en torno al valor promedio, se dice que la precisión de la medida es alta y los valores medidos tienen una distribución de baja dispersión. Cuantitativamente la dispersión de un conjunto de medidas se puede caracterizar por la desviación estándar del conjunto definido como

S = s d2 1+ d22+ d22+ ... + d2N N − 1 = v u u t 1 N − 1 N X n=1 d2 n (3.5)

(37)

3.1 C´omo se minimiza este error? 27

La desviaci´on est´andar S caracteriza un intervalo en donde hay el 68,27% de probabilidad de que un valor medido se encuentre dentro de este intervalo. Por ejemplo, si se realizan 100 mediciones, se encuentra que lo valores se distribuyen de tal forma que:

El 68,27% están entre x − S y x + S El 95,45% están entre x − 2S y x + 2S El 99,73% están entre x − 3S y x + 3S

3.1.5 La Varianza

La varianza es una cantidad conveniente en muchos c´omputos por cuanto tiene la propiedad aditiva.

V = S2 (3.6)

La desviación estándar, sin embargo, tiene la ventaja de tener las mismas unidades de la variable haciendo fácil la comparación de magnitudes.

3.1.6 Incertidumbre Est´

andar de la Media

A medida que se realizan más mediciones, la compensación de los errores aleatorios entre si van mejorando y la media del conjunto de medidas va a tener una mejor precisión. La incertidumbre estándar de la media se define como

∆¯x = Sm =

S √

N (3.7)

3.1.7 Incertidumbre Relativa Porcentual

El error relativo indica la calidad de la medici´on y viene dado por

εr =

∆¯x ¯

(38)

3.2 C´

alculo de la incertidumbre para N peque˜

no

El análisis estad´ıstico anterior se puede aplicar con confianza a un número de datos del orden de N = 100. Para medidas en el Laboratorio es aplicable a partir de N = 10. En el caso en que N es menor que 10 se procede de la manera siguiente: supongamos que tenemos N = 5 medidas, calculamos el promedio de los cinco valores de acuerdo a la ecuación dada (ecuación 3.2)

¯

a = a1+ a2+ a3+ a4+ a5

5 (3.9)

La incertidumbre se calcula restando al m´aximo de estos valores el valor m´ınimo de los mismos y dividendo entre 2

∆a = amax− amin

2 (3.10)

Finalmente el intervalo de medici´on se puede escribir

a = ¯a ± ∆a (3.11)

Ejemplo

Se mide el tiempo de ca´ıda de un cuerpo desde cierta altura. Los resultados de las 4 mediciones realizadas con un cron´ometro son:

t1 = 12, 0s; t2 = 12, 5s; t3 = 13, 0s; t4 = 12, 8s

El valor promedio del tiempo seg´un la calculadora es:

¯ t = 12, 0 + 12, 5 + 13, 0 + 12, 8 4 = 12, 575s Redondeando obtenemos ¯ t = 12, 6s

(39)

3.3 Histograma 29

La incertidumbre obtenida de acuerdo a ecuaci´on 3.10 es

∆t = 13, 0 − 12, 0

2 = 0, 5s

y por la ecuaci´on 3.11 intervalo de la medici´on obtenido es t = (12, 6 ± 0, 5)s

En resumen podemos decir que cuando:

N = 1 Se realiza la medida y el error de apreciaci´on. N < 10 Se calcula el promedio y el error m´aximo.

N ≥ 10 Se realiza tratamiento estad´ıstico (C´alculo de promedio y error est´andar).

3.3 Histograma

En la sección anterior se explicó que al relizar N mediciones de una magnitud x el mejor valor de la medición es el valor promedio y que la desviación estandar nos informa cómo se distribuyen los N datos alrededor de este valor. Si se analizan detenidamente los datos, se encuentra que hay unos que se repiten más que otros. Si se agrupan de acuerdo al número de repeticiones, se puede observar que los de mayor frecuencia son los que están cerca del valor promedio. Esto nos da la idea de que hay valores que tienen más probabilidad de obtenerse que otros al hacer la siguiente medición. Entonces podemos preguntarnos, ¿Cuál es la probalilidad de obtener un dato en el intervalo x y x + ∆x? Si agrupamos los datos por intervalos de ancho ∆x y contamos el número de datos en ese intervalo y ahora hacemos un gráfico xy en donde los intervalos se colocan en la abcisa y las frecuencias en la ordenada, obtenemos un Histograma de las mediciones. En el histograma se puede observar claramente cómo se dispersa el conjunto de mediciones al rededor del valor medio y se puede entender mejor el signifidado de la desviación estandar y de probabilidad de la medición. En teor´ıa de probabilidades, cuando se hace un número muy grande de mediciones, se habla de función de distribución de probabilidades f (x) y un gráfico de x en función de f (x) describe una curva que comunmente se le conoce como campana de Gauss.

En la figura 3.1, se muestra esquemáticamente un histograma. En el se han dibu-jado 6 rectángulos cuyas bases corresponden al ancho de los intervalos de medición y cuyas alturas representan la frecuencia o número de datos en el intérvalo. El área de estos rectángulos representa la probabilidad de obtener cualquier valor, dentro de ese intérvalo, al hacer una medición.

(40)

Figura 3.1: Ejemplo de un Histograma

3.3.1 Construcci´

on del Histograma

Para construir un histograma, se van a seguir los siguientes pasos:

1. Se ordenan los datos recopilados de menor a mayor y se establece la frecuencia de los datos que se repiten.

2. Calcular el Rango de la variable restando al dato mayor el dato menor.

Rango = dato mayor − dato menor (3.12)

3. Elegir un n´umero impar de intervalos para el histograma que est´e comprendido entre 7 y 15.

4. Calcular el ancho ∆x de los intervalos.

∆x = Rango

N ´umero de intervalos (3.13)

5. Si el cociente anterior no es un n´umero entero, puede ampliarse el rango de la variable escogiendo un valor mayor que dato mayor y un valor menor que el menor valor y obtener un nuevo rango y el ancho del intervalo

∆x = N uevo Rango

N ´umero de intervalos =

x>xm´ax − x<xm´in

(41)

3.3 Histograma 31

6. Determinar los extremos de los intervalos de tal forma que el primero sea cerrado y el segundo abierto.

7. Obtener la frecuencia contando el n´umero de datos en cada intervalo.

8. Calcular las marcas, en donde las marcas son los puntos medios de cada inter-valo.

9. Elegir unidades arbitrarias sobre los ejes, para representar las frecuencias en ordenadas y los anchos de los intervalos en abscisas.

10. Dibujar los rect´angulos correspondientes.

Ejemplo

En la tabla 3.1 se muestran los datos experimentalmente del tiempo de reacción de una persona, medidos cuando se soltó una regla entre sus dedos la cual deb´ıa agarrar cuando la ve´ıa cayendo. Se desea saber: a) el tiempo de reacción promedio ¯t, b) la desviación estándar S, c) el intervalo de la medición, d) la distribución de los datos mediante un histograma, e) el significado f´ısico de ¯t, S y ¯t ± S, .

Tabla 3.1: Mediciones del tiempo de reacci´on

t(s) frecuencia 0,185 1 0,186 1 0,191 2 0,193 1 0,203 2 0,204 2 0,205 2 0,211 3 0,219 4 0,220 3 0,223 2 0,224 2 0,230 1 0,233 2 0,234 2 0,235 1

(42)

32 Cap´ıtulo 3. Tratamiento estad´ıtico de medidas

Soluci´on:

a) Haciendo uso de la ecuaci´on 3.2 se tiene ¯

t = 0, 214 s b) Con la ecuaci´on 3.5 se tiene

S = 0, 015 s

c) Después de haber obtenido ¯t y S calculamos la incertidumbre estándar de acuerdo a la ecuación 3.7 para obtener el intervalo medición del tiempo:

∆¯t = 0, 015 s√

16 = 0, 00375 s La medici´on es: t = (0, 214 ± 0, 015) s

d) Para el histograma, obtenemos primero el rango de los datos

RAN GO = 0, 250 − 0, 180 = 0, 070 y

∆t = 0, 070 7

Por tanto, construimos el histograma comenzando en 0,180 s con intervalos de ancho 0,010 s en los que las frecuencias estan dados en la tabal 3.2

Tabla 3.2: Intervalos para el histograma

Intervalos Rangos Frecuencia

1 0,180 - 0,190 2 2 0,190 - 0,200 3 3 0,200 - 0,210 6 4 0,210 - 0,220 7 5 0,220 - 0,230 7 6 0,230 - 0,240 5 7 0,240 - 0,250 2

(43)

3.2 C´alculo de la incertidumbre para N peque˜no 33

e) El valor ¯t = 0, 214 s es el valor m´as probable, es decir se puede considerar como el valor que se encuentra m´as cercano al valor verdadero de t.

El valor S = 0,015 s es una medida de la dispersi´on de los valores medidos. Con este valor podemos calcular el porcentaje datos caracter´ısticos del intervalo de dispersi´on dado por:

¯

t = (0, 2140, 015) s

Esto significa que el 68,27% de los 31 datos est´an entre 0, 199 s y 0, 229 s . Es decir 0,6827 × 31 = 21 datos.

Si observamos la tabla de datos, estos valores est´an en el comienzo del intervalo 3 y el final del 5 (entre 0,200 y 0,230) en donde se encuentran 20 datos. (6 datos en el intervalo 3, 7 en el 4 y 7 en el 5).

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3.4 Ejercicios

1. Se mide 10 veces la temperatura del interior de una caja, con un mult´ımetro. Los valores expresados en◦C son los siguientes: 44,6 - 44,1 - 44,3 - 44,7 - 44,9 - 45,0 - 45,1 - 44,2 - 44,4 - 44,8 Hallar el valor m´as probable.

2. Se mide 35 veces la corriente que circula por un circuito con un galvanómetro. Los valores obtenidos, expresados en mA (miliamperes), son los siguientes: 21,90 22,00 21,86 21,93 22,01 21,71 21,76 21,83 21,82 21,75 21,48 21,85 21,76 21,87 21,74 21,80 21,74 21,65 21,84 21,59 21,83 21,68 21,84 21,63 21,67 21,94 21,64 21,82 21,66 21,73 -21,82 - 21,72 -21,73 - 21,79 - 21,76 Determine : a) el valor más probable, b) el grado de tolerancia que admiten , c) la aproximación de los resultados en determinaciones futuras, d) trace el histograma correspondiente.

3. En el ejercicio anterior, ¿dentro de que l´ımites hay una probabilidad del 68% de que est´e incluida una medida particular?

4. ¿Qu´e l´ımites dan una probabilidad del 95% ?

5. En una serie de 1500 medidas el promedio fue 637 Unid. y el error fue S = 11. ¿Cu´antas medidas dan un resultado mayor de 659 Unid?

(45)

Cap´ıtulo 4

Evaluaci´

on de Experimentos

4.1 An´

alisis de gr´

aficas

Esta sección tiene como objetivo, dar a conocer el procedimiento de análisis de datos experimentales mediante las gráficas en un plano cartesiano. Normalmente se desea analizar un sistema observando el comportamiento de alguna de sus propiedades mientras se modifica otra propiedad asignándole variaciones iguales a voluntad; por ejemplo, al comprimir el aire mientras se infla la rueda de una bicicleta, se aumenta la presión y como consecuencia de esto, disminuye el volumen. Si se logran medir la presión y el volumen y se recolectan los datos en una tabla, se tendr´ıa una buena in-formación. Pero una tabla de datos no es suficiente para entender el comportamiento del sistema. Se requiere llevarlos a un plano cartesiano xy, en donde x corresponde a la variable independiente que es la que se modifica a voluntad (abscisa) y y será la variable dependiente (ordenada), que es la que vamos a analizar respecto a la otra. Esto sugiere que debe haber una relación funcional entre las variables. Lo que importa de aqu´ı en adelante es encontrar una ecuación matemática que se ajuste a la forma de la curva trazada por los puntos en el papel milimetrado.

¿C´omo realizar un buen gr´afico?

Al realizar un experimento y obtener una tabla de datos, siga los siguientes pasos para obtener un buen gr´afico un papel milimetrado:

1. Observe el rango de sus datos en cada columna de la tabla.

2. Trace un plano cartesiano en papel milimetrado y escoja una escala para cada uno de ellos de acuerdo al rango de los datos en su tabla. Los ejes no deben ser

(46)

36 Cap´ıtulo 4. Evaluaci´on de Experimentos

ni demasiado grandes ni demasiado peque˜nos. Las escalas no necesariamente comienzan en cero. El primer valor en un eje puede estar cerca al valor m´as bajo de cada columna. Las escalas no siempre son iguales.

3. Elegir el eje horizontal para la variable independiente y el vertical para la variable dependiente.

4. Escoja escalas de fácil lectura, por ejemplo de 2 en 2, de 5 en 5, de 10 en 10 y escriba en el eje solamente los números más representativos de la escala. Nunca coloque los datos de la tabla.

5. Al final de los ejes deben escribirse los nombres de las variables (ya sea con su nombre completo o con su representaci´on simb´olica), con sus respectivas unidades, por ejemplo t(s) y x(m).

6. Comience a ubicar la pareja de coordenadas (x, y) en el gráfico, dibujando un punto pequeño sobre el papel, sólo la huella de la punta del lápiz. Para resaltarlo se encierra en un c´ırculo o un cuadradito, etc. No trace l´ıneas gu´ıas para ubicar los puntos, las l´ıneas del papel milimetrado lo guiarán.

7. Normalmente no se unen los puntos, pero si lo desean, puede trazar suavemente la forma de la curva.

(47)

4.2 Linealizaci´on de gr´aficos 37

4.2 Linealizaci´

on de gr´

aficos

El objetivo de realizar gráficas de dos variables experimentales es conocer la relación matemática que existe entre ellas dos. Las formas de las curvas que se perciben en la gráfica, pueden estar asociadas con alguna de las siguientes ecuaciones que normalmente son las más comunes en este nivel.

y = Ax + B (4.1) y = Ax2+ Bx + C (4.2) y = Ax3+ Bx2+ Cx + D (4.3) y = Axn, n < 0 ´o n > 0 (4.4) y = Ax−1 (4.5) y = Aekx (4.6)

Si ustedes dibujan previamente las formas de las curvas que representan estas ecuaciones les ser´a f´acil asociar las curvas experimentales con alguna de estas ecua-ciones.

Ejercicio. Usen papel milimetrado para dibujar las curvas correspondientes a las ecuaciones anteriores, asign´andole valores arbitrarios a la variable x.

4.2.1 Ecuaci´

on lineal y m´ınimos cuadrados

Si al dibujar en un plano cartesiano una serie de datos experimentales (parejas xy) y los puntos obtenidos se pueden hacer corresponder con una linea recta, entonces la ecuación matemática asociada es la lineal, ecuación 4.1. Escribamos ahora esta ecuación en en la forma habitual y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta que se obtiene gráficamente tomando dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) que se encuentren

en la mejor l´ınea que une todos los puntos (interpolar)

m = y2− y1 x2− x1

(4.7)

b es el punto de intersección o intercepto de la recta con el eje y y se obtiene directamente del gráfico. Use este método cuando quiera hacer cálculos rápidos y aproximados o cuando no disponga de otra herramienta.

Existe un método estad´ıstico para encontrar la relación lineal de una serie de mediciones, conocido como m´ınimos cuadrados. Se puede aplicar este método para encontrar m y b siempre y cuando se aprecie que los puntos del gráfico tienen esta tendencia. Las calculadoras Cassio traen incluido el modo LR (regresión lineal ) para

(48)

calcular estos parámetros. Existen programas de computador para análisis de datos experimentales como Excel y Origin que además de graficar, ofrecen la posibilidad de encontrar la ecuación que más se ajuste a los datos.

Cuando no se tiene una calculadora o un computador disponibles, es fácil hallar la ecuación de la l´ınea recta aplicando las siguientes ecuaciones que se obtienen por m´ınimos cuadrados (Ver ref.[1] cap. 6 pag. 128, y Apéndice 2 pag. 172 ):

Para obtener la pendiente,

m = n Pn i(xiyi) − Pni xiPni yi nPn i x2i − Pn i xi 2 (4.8)

y para obtener el intersecto,

b = Pn i x2i Pn i yi − Pni xiPni(xiyi) nPn i x2i − Pn i xi 2 (4.9)

Tambi´en es posible obtener las incertidumbres en m y b con las ecuaciones: Incertidumbre en m ∆m = σ √ n s nPn i x2i − Pn i xi 2 (4.10) Incertidumbre en b ∆b = ∆m s Pn i x2i n (4.11)

En donde σ es la desviación estándar obtenida con el análisis por m´ınimos cuadra-dos, dada por

σ =

s Pn

i(yi− mxi− b)2

n − 2 (4.12)

Si ustedes saben usar un lenguaje de programaci´on como Qbasic, T urboP ascal, C++_{, se puede realizar un programa usando ecuaciones 4.8 a 4.12 para calcular estos}

(49)

4.2 Linealizaci´on de gr´aficos 39

4.2.2 Ejemplo

Como ejemplo, vamos a ilustrar el m´etodo analizando los siguientes datos que se suponen tienen un comportamiento lineal.

Tabla 4.1: Datos para an´alisis de un comportamiento lineal

n x y x2 _xy _{(y − mx − b)}2 1 2 4.5 4 9 0.09 2 3 5.0 9 15 0.36 3 4 7.5 16 30 0.25 4 5 8.0 25 40 0.16 5 6 10.0 36 60 0.04 Pn i = 20 35 90 154 0.90 Para m tenemos m = 5 × 154 − 20 × 35 5 × 90 − 202 = 70 50 = 1, 4 y para b b = 90 × 35 − 20 × 154 5 × 90 − 202 = 70 50 = 1, 4 La ecuaci´on de la l´ınea recta que se ajusta a estos datos es

y = 1.40 + 1.40x ; 2 ≤ x ≤ 6 Los errores respectivos para A y B con σ = 0.55 son:

∆m = 0.17 ≈ 0.2

∆b = 0.35 ≈ 0.4 Por tanto

m = 1.4 ± 0.2 b = 1.4 ± 0.4

(50)

4.3 Gr´

aficos no lineales

Cuando obtengan un gráfico que no presenta forma lineal (el resto de las ecuaciones citadas arriba), el método que se sigue es el de linealización, que consiste en trans-formar de alguna manera la supuesta ecuación que ajusta a sus datos hasta obtener una forma lineal y as´ı, aplicarle el método de m´ınimos cuadrados. Por ejemplo, para la ecuación cuadrática 4.2 y = Ax2+ Bx + C la forma lineal es

y − C

x = Ax + B (4.13)

Si al t´ermino de la derecha le llamamos z, la ecuaci´on toma la forma

z = Ax + B (4.14)

Al realizar un gráfico de z en función de x, dándole valores arbitrarios a x, debemos obtener la l´ınea recta que se ajusta a los datos experimentales. El valor del coeficiente B es la intersección de la recta en el gráfico de z vs. x y el coeficiente A es la pendiente. C es el valor inicial de y en x = 0.

4.3.1 Funci´

on Potencial

En muchos casos el gráfico de una serie de datos x, y no se ajustan con una forma lineal, ni a una función cuadrática, entonces, probando con la función y = Axn _en

la siguiente forma lineal

Para linealizar la funci´on, aplicamos el logaritmo decimal en la siguiente forma:

y = Axn =⇒ log y = log(Axn) log y = logA + log xn

log y = logA + n log x (4.15)

Si hacemos Y = log y , X = log x, b = log A y m = n la ecuaci´on 4.15 toma la forma lineal:

Y = mX + b (4.16)

Para observar la linealidad en forma logar´ıtmica, se hace el gr´afico log y vs. log x o los datos de las variables se llevan directamente a un papel logar´ıtmico

(51)

4.3 Gr´aficos no lineales 41

( papel log-log) como se muestra en la figura 4.3. Los valores de m y b se obtienen por el m´etodo de m´ınimos cuadrados. Cuando se ha dibujado el gr´afico en papel log-log, recuerde que al calcular la pendiente, los valores usados deben ser los logaritmos de los datos.

Figura 4.2: Grafica de la funci´on y = kxn en papel logar´ıtmico

4.3.2 Funci´

on exponencial

Si la funci´on es de forma exponencial de base e, se linealiza aplicando el logaritmo natural o neperiano (ln) a ambos lados de la ecuaci´on:

y = Aekx =⇒ ln y = ln(Aekx) ln y = lnA + ln ekx ln y = lnA + k ln ex

ln y = lnA + kx (4.17)

la ecuación resultante es de forma lineal, en donde ahora: Y = ln y, X = x, m = k y b = lnA. Al realizar la gráfica de lny vs. x obtenemos una l´ınea recta, siempre y cuando esa sea la curva que se ajuste a los datos experimentales. En caso contrario, se deja a un lado y se prueba con otra ecuación. Un ejemplo de este tipo de linealización se muestra en la figura 4.4 en donde se ha usado papel semilogar´ıtmico (semi-log) para observar el comportamiento lineal .

(52)

Figura 4.3: Gr´afica de la funci´on y = Aekx en papel semilogar´ıtmico

4.3.3 Ejemplo

Los siguientes datos muestran el resultado de la medición de la descarga en función del tiempo de un elemento electrónico llamado condensador o capacitor. Los datos se obtuvieron midiendo el voltaje cada 2 segundos.

Tabla 4.2: Datos para la descarga de un condensador

Voltaje(V ) Tiempo(s) 50,0 0,00 33,5 2,00 22,5 4,00 15,1 6,00 10,1 8,00 6,8 10,00 4,5 12,00 3,0 14,00 2,0 16,00 1,4 18,00

Al realizar la gráfica del voltaje contra el tiempo, (ver figura 4.4), se observa una curva decreciente. Asumimos hipotéticamente que la ecuación es de la forma y = Aekx. Para confirmar esto, realizamos un gráfico de ln x contra t,(figura 4.5).

(53)

4.3 Gr´aficos no lineales 43

Figura 4.4: Decrecimiento exponencial del Voltaje de un condensador