Homogenización de observaciones

H. Henneberg realizó un estudio de los conceptos de homogenización, homologación y ponderación en las relaciones de observación, cuando estas son de igual o distinta naturaleza. En dicho estudio planteaba conceptos muy interesantes; entre otros, “redundancia de la red y por incógnita”, “homogenización y homologación de relaciones de observación”. (Henneberg, 1986).

Como ya es sabido, la redundancia38 _{de un sistema de relaciones de o4.2.3.5bservación}

representa los grados de libertad del mismo; ahora bien, este indicador no es demasiado definitorio estadísticamente, puesto que no es lo mismo poseer la misma redundancia con tres parámetros que con nueve.

Figura 65: Ecuaciones de observación en una poligonal

Al realizar un ajuste planimétrico de una poligonal de cuatro ejes, el número de ecuaciones de observación de dirección, sin tener en cuenta las observaciones iniciales y finales para la

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Expresión que regula los grados de libertad del sistema de ecuaciones lineales. r = n-m, donde n es el número de ecuaciones de observación y m, el número de parámetros del ajuste.

obtención de las desorientaciones39_{, será de ocho; el de observaciones de distancia será de}

ocho. El número de parámetros será de nueve (tres por cada número de puntos desconocidos); por lo tanto la redundancia total del sistema será de: r =16-9=7.

Si, ahora, se supone una intersección inversa realizada a cinco vértices del marco de referencia, donde se han observado direcciones y distancias, el número de ecuaciones de observación (cinco) y de distancia (cinco) será de diez, mientras que el número de parámetros será de tres, obteniéndose una redundancia, igual a la del caso anterior, siete. Es evidente que la desviación típica a posteriori en cada caso no será la misma y las incertidumbres de los parámetros, tampoco. A partir de esta indefinción de los grados de libertad del sistema respecto a la redundancia de cada vértice, H. Henneberg plantea el

concepto de redundancia por incógnita y la define como i

n m r

m



 , valor este, con mayor significado en cuanto a redundancia media por vértice desconocido de la red.

Otra de las aportaciones de Henneberg en el mismo documento fue el concepto de homogenización de las relaciones de observación; en él, tomando como peso de referencia la incertidumbre en la medida de dirección, se establece la proporcionalidad entre la desviación típica en la medida de distancia y la primera. Tal y como expresa el profesor Henneberg en dicho documento:

“Suponiendo que en una distancia D se tiene un error mD que se corresponde una incertidumbre en unidades angulares mαD, la expresión para unificar pesos mα y mD es la siguiente:” 2 '' 0 D αD D 2 αD m m m ρ y P D m   [107] Siendo 2 0 α 2 α m P 1 m

  , lo que implica que la desviación típica de referencia es la misma que la

de dirección (Henneberg, 1986).

Este planteamiento posibilita la utilización de relaciones de observación de dirección y distancia homogeneizadas y ponderadas, pero no contempla la posibilidad de que las observaciones, tanto de dirección como de distancia, tienen incertidumbres propias para cada

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Antes de realizar el planteamiento del sistema de ecuaciones de observaciones de dirección y distancia, se puede realizar el estudio de los valores más probables de las desorientaciones en los puntos, inicial y final, para así, no introducir en el ajuste dichas variables como incógnitas.

Figura 66: Ecuaciones de observación en una intersección inversa

una de ellas. Esto es, todas las observaciones de dirección no tienen la misma desviación típica a priori, ni tampoco las de distancia. Como se verá en el apartado 4.2.3.7.2, esto genera una ponderación inadecuada en ciertas observaciones y, por lo tanto resultados sesgados respecto a las observaciones que intervienen en el ajuste con más presencia en el ajuste que la que realmente tienen.

En el mencionado artículo continuaba con el concepto de homologación de ecuaciones:

“En épocas anteriores no solía efectuarse la homologación de las ecuaciones de observación. Veamos cuál es el efecto de esta consideración con el siguiente ejemplo:

D = 1.000 m

Δ = 500 m.

Se calculan los coeficientes de las relaciones de observación:

De dirección a 500 206.265₂ 100 1000    De distancia a 500 0,5 1.000  

Se ve claramente que no puede completarse así ya que, en este caso, dada la insignificancia del coeficiente a, el peso de la ecuación de observación en distancia es prácticamente nulo dentro del tratamiento global de las ecuaciones de error. Por este motivo, se introduce la “homologación” de las ecuaciones. El modelo que expongo consiste en transformar las ecuaciones de distancia en ecuaciones angulares. Para ello se multiplica la ecuación de observación de distancia por (ρ/D) (Henneberg, 1986):

 _  _{ }  _{  }                   D i i D ρ ρ ρ ρ ν a x b y ... l D D D D [108]

Se comprueba que la homologación realizada por Henneberg consiste en presentar las ecuaciones de distancia como si fueran angulares, lo cual representa una estabilidad en el peso de los coeficientes, pero gran incertidumbre a la hora de interpretar los residuos de las ecuaciones de distancia que vendrán expresados en segundos.

A continuación plantea, la homogenización de las relaciones de observación:

“En este punto veremos que no es suficiente con la homologación de las ecuaciones de observación; es necesario hacer, además, una homogeneización numérica de dichas ecuaciones ya que en caso contrario resultan, en la computación, errores de redondeo que

influyen en los resultados. Calculamos de nuevo el ejemplo del apartado anterior pero tomando como unidades segundos de arco y metros. Tenemos entonces un sistema de ecuaciones de error de la forma:

'' '' '' α 2 500 200.000 ν 1 x ... 1 100 x ... 1 1.000           [109] '' '' '' '' D ρ ν 0,001 0 ,2 100 x ... 0 ,2 1.000       [110]

Que es característica de las observaciones de alta precisión.

Para mejor clarificar las razones de la homogeneización escribimos los dos resultados obtenidos:

Si tomamos como unidades milímetros y segundos tenemos el sistema:

 ''     '' α ν 1 0,1 x ... 1 [111]      '' '' '' D ν 0 ,2 0,1 x ... 0 ,2 [112]

Si tomamos metros y segundos , resulta:

 ''     '' α ν 1 100 x ... 1 [113]      '' '' '' D ν 0 ,2 100 x ... 0 ,2 [114]

Donde vemos que el coeficiente direccional ha cambiado en su expresión absoluta. Esto es, precisamente, lo que debemos evitar, ya que 0,1 conjuga mejor con el valor de 1" por el orden y la significancia de los redondeos. Lo hacemos, simplemente, vigilando las unidades que entran en la computación; por ejemplo, en el rango de los kilómetros entraremos en milímetros, en el de los 10 km en centímetros, en el de los 50 km en metros, etc.

Esto es lo que se denomina homogeneizaci6n de las ecuaciones de observación: los “νi“, “li“, “ai“ y “dxi” están en el mismo orden numérico” (Henneberg, 1986).

De la primera parte de este artículo cabe destacar como conclusiones más relevantes:

Se constata que el indicador de redundancia, “redundancia de la red (RR)” no es un indicador definitorio a la hora de mostrar la sobreabundancia de resultados en un ajuste. Por el contrario, el concepto de “redundancia por incógnita (ri)” si adquiere mayor significación

para determinar el número de observaciones redundantes para la determinación de los parámetros de un ajuste.

En aquellas redes, topográficas o geodésicas, donde intervengan observaciones de dirección y distancia, no se deben plantear, directamente, tal y como resultan de su expresión lineal (“linealización”).

Las relaciones de observación se pueden ponderar dividiéndolas por la desviación típica de la medida, evitando así la formulación de la matriz de ponderación, siempre y cuando las observaciones sean “incorreladas”. En topografía, las observaciones u observables serán independientes y, por lo tanto, no tendrán correlación entre ellas.

La primera de ellas, se verá la importancia que guarda en el diseño y optimización de redes, si no este concepto, exactamente, sí otro muy semejante que son los números de redundancia.

El desarrollo de las dos últimas conclusiones se amplían y completan en el apartado 4.2.3.7 de la presente tesis, donde se aprecia que los procesos definidos por el profesor Henneberg, se pueden agrupar en uno solo, obteniendo el sistema de ecuaciones, con relaciones de observaciones, homogéneas y ponderadas.