IC para una media poblacional

La deducci´on de un intervalo de confianza para la media poblacional depende de varios aspectos que combinados de cierta manera conforman una situaci´on particular que determina la forma del intervalo. Los aspectos a considerar en la construcci´on de un intervalo de confianza son:

el tipo de distribuci´on de la variable estudiada, el conocimiento de la varianza poblacional, y el tama˜no de la muestra.

A continuaci´on estudiaremos las distintas situaciones o casos que se pueden presentar en el desarrollo de un intervalo de confianza.

5.2.1.1. Caso 1: Muestreo en una poblaci´on distribuida normalmente y con varianza conocida .

Sup´ongase que se desea estimar el valor de la media poblacional de una variable que se distribuye normalmente con varianza conocida (σ_x2), para lo cual se extrae una muestra de tama˜nony se calcula la media de la muestra (x). El valor dexes uno del total que con- forman la poblaci´on de valores de la variable aleatoriaX que como se sabe se distribuye normalmente alrededor de una mediaµxcon varianzaσx2/n. En esta poblaci´on se pueden encontrar dos valores x1 y x2 separados

sim´etricamente de µx que definen un inter- valo dentro del cual queda incluida una pro- porci´on (1−α) del total de valores deX. Los valoresx1 yx2se encuentran transformando la variable X en la variableZ, es decir

−z1 =−z(1−α/2) = x1−µx σx/ √ n +z2 = +z(1−α/2) = x2−µx σx/ √ n

donde, por ejemplo, +z₍₁−α/2) es el valor de

Z a la izquierda del cual se encuentra una fracci´on del ´area igual a 1−α/2. Estos va- lores de Z se encuentran en la tabla de la distribuci´on acumulada deZ, por lo que des- pejando, los valores que necesitamos son

x1=µx−z(1−α/2)σx/ √

n y x2=µx+z(1−α/2)σx/ √

n

Los valoresx1 yx2 representan el l´ımite inferior y superior del intervalo que contiene el (1−α)100 % de los valores deX.

La proporci´on de medias muestrales que se espera que- den dentro del intervalo depende del valor de z(1−α/2). As´ı, se espera que para los valores 1.65, 1.96 y 2.58 est´en contenidos el 90 %, 95 % y 99 % de los valores deX, res- pectivamente. La construcci´on de un intervalo como los anteriores no resuelve el problema de estimar µx, por- que precisamente desconocemos su valor y no hay for- ma de encontrar los l´ımites que definan un intervalo. Pero sup´ongase que se construye a partir de una me- dia muestral cualquiera, un intervalo similar al siguien- te: [x±z(1−α/2)σx/

√

n] . Este intervalo contendr´a a µx siempre y cuando el valor de la x se encuentre entre los l´ımites del intervalo [µx±z(1−α/2)σx/

√

n] (ver figura de la izquierda). Solamente aquellos intervalos generados a partir de aquellas pocas medias muestrales que se encuentran muy alejados de la media poblacional no incluyen a esta ´ultima.

De modo que un intervalo de la forma [x±z₍₁−α/2)σx/ √

n] recibe el nombre de in- tervalo de confianza del (1−α)100 %. Los valores extremos se denominan l´ımites de confianza, existiendo un l´ımite superior (LS=x+z(1−α/2)σx/

√

n) y un l´ımite inferior (LI=x−z₍₁−α/2)σx/

√

n). El t´erminoz₍₁−α/2) recibe el nombre de coeficiente de confia- bilidad. La fracci´on 1−α se denomina nivel de confianza y representa la probabilidad de que el intervalo contenga el par´ametro poblacional. Consecuentemente, α representa la probabilidad de que el intervalo no contenga el par´ametro poblacional.

Observar que, a mayor amplitud del intervalo, aumenta la probabilidad de que el par´ame- tro est´e incluido dentro del intervalo dado, pero tambi´en es mayor la incertidumbre so- bre el valor del par´ametro. Lo ideal ser´ıa construir intervalos estrechos con un alto nivel de confianza. Cuando en una situaci´on real se construye un intervalo de confianza, la media poblacional puede o no estar incluida dentro del intervalo. Sin embargo existe una probabilidad igual a 1−α de que el par´ametro quede incluido. Otra forma de decirlo, si se construyen infinidad de intervalos similares, el (1−α)100 % de los mismos contendr´an a la media poblacional. Es importante advertir que es un error generali- zado el se˜nalar que la media poblacional se encuentra entre los valores de los l´ımites del IC, porque la media poblacional como cualquier otro par´ametro es un valor fijo, y la afirmaci´on anterior sugiere que el par´ametro puede asumir cualquier valor entre los dos l´ımites con cierta probabilidad. Si se analiza con un poco m´as de detalle la relaci´on entre los intervalos construidos a partir de las medias muestrales y la media poblacional, se observa que ambas cantidades se encuentran alejadas cierta distancia . La distanciase denomina error de estima-

ci´on. Para que un intervalo contenga a la me- dia poblacional con una probabilidad igual a 1−α, ese error debe ser menor a la distan- ciaz₍₁−α/2)σx/

√

n, con lo cual el m´odulo de dicha distancia queda definido como el error m´aximo (m). Una consecuencia directa de conocer m es que permite determinar cu´al

debe ser el tama˜no muestral adecuado para cometer ese error m´aximo un (1−α)100 % de las veces, es decir

n= _z

(1−α/2)σx

m 2

Ejemplo: Al examinar 9 porciones de agua se encontr´o una concentraci´on promedio de i´on nitrato igual a 0,5 µg/ml. Se desea estimar mediante un intervalo de confianza del 95 % la concentraci´on promedio del nitrato en el agua, si se sabe que la desviaci´on del m´etodo para ´este an´alisis es de 0,15µg/ml.

El intervalo que se quiere es de la forma [x±z(1−α/2)σx/ √

n] teniendo como l´ımites los valores siguientes: LI =x−z(0,975)σx/ √ n= 0,5−1,96(0,15/√9) = 0,4020 µg/ml LS =x+z(0,975)σx/ √ n= 0,5 + 1,96(0,15/√9) = 0,5980µg/ml

Entonces el intervalo buscado es [0,4020; 0,5980]. Se concluye que se tiene un 95 % de confianza de que la concentraci´on promedio del i´on nitrato en el agua se encuentre incluida dentro de este intervalo.

Tambi´en se puede decir que el error m´aximo de estimaci´on con un 95 % de confianza es:

m= z(1−α/2)σx/ √ n = 1,96(0,15/ √ 9) = 0,098µg/ml

Ahora bien, si se desea aumentar el nivel de confianza, por ejemplo a un 99 %, sin aumentar el error de estimaci´on, el tama˜no de la muestra debe ser igual a:

n= _z (0,995)σx m 2 = 2,58(0,15) 0,098 2 = 16

Por otra parte, si se quiere reducir el error de estimaci´on a unos 0,05µg/ml, manteniendo el nivel de confianza del 95 %, entonces el tama˜no muestral debe ser

n= _z (0,975)σx m 2 = 1,96(0,15) 0,05 2 = 35

5.2.1.2. Caso 2: Muestreo a partir de una poblaci´on distribuida normalmente, con varianza desconocida y tama˜no de muestra grande (n≥30) .

La situaci´on m´as com´un cuando se trata de estimar el valor de una media poblacional mediante un intervalo de confianza es que no slo se desconoce el valor deµsino tambi´en el de la varianza poblacional σ_x2. Cuando se presenta una situaci´on como la descripta, se puede utilizar la varianza de la muestra (S_x2) como una estimaci´on puntual de la varianza poblacional (σ2

x). Si el tama˜no de la muestra es grande (n≥30), el estad´ıstico (x−µx)/(Sx/

√

n) se distribuye normalmente, quedando el intervalo de confianza de la forma [x±z(1−α/2)Sx/

√

n].

5.2.1.3. Caso 3: Muestreo a partir de una poblaci´on distribuida normalmente, con varianza desconocida y tama˜no de muestra peque˜no (n <30) .

Una nueva situaci´on se presenta si de una poblaci´on que se distribuye normalmente con varianza desconocida se toma una muestra peque˜na (n <30). En ´este caso,Sxya no es un buen estimador de σx y el estad´ıstico (x−µx)/(Sx/

√

n) no se distribuye normalmente. Afortunadamente, existe otro modelo que describe su distribuci´on de probabilidades, conocido como distribuci´on de T o de Student. En este caso, se dice que la variable (x−µx)/(Sx/

√

n) se distribuye como T con n−1 grados de libertad. El intervalo de confianza vendr´a dado por la expresi´on

[x±t(1−α/2;n−1)Sx/ √

n]

dondet₍₁−α/2;n−1) es el valor deT a la izquierda del cual se encuentra el (1−α/2)100 % de los valores deT.

5.2.1.4. Distribuci´on de T .

La distribuci´on de Student fue descripta en 1908 por William Sealy Gosset. Recordemos que si tenemosX1, ..., Xn variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con mediaµy varianzaσ2, entonces la distribuci´on de las medias muestrales tambi´en se distribuye normalmente con mediaµ y varianzaσ2/n. Entonces

Z = X−µ

σ/√n

sigue una distribuci´on normal de media 0 y varianza 1. Sin embargo, dado que la des- viaci´on est´andar no siempre es conocida de antemano, Gosset estudi´o un cociente rela- cionado, T = X−µ Sx/ √ n donde S 2 x= 1 n−1 n X i=1 (xi−x)2 es la varianza muestral, y demostr´o que la funci´on distribuci´on deT es

f(t) = Γ((√ ν+ 1)/2)

νπ Γ(ν/2)(1 +t

2_/ν)−(ν+1)/2

dondeνes igual an−1. La distribuci´on deT se llama ahora la distribuci´on-t de Student. Gosset trabajaba en una f´abrica de cerveza Guinness que prohib´ıa a sus empleados la pu- blicaci´on de art´ıculos cient´ıficos debido a una difusi´on previa de secretos industriales. De ah´ı que Gosset publicase sus resultados bajo el seud´onimo de Student. El par´ametroνre- presenta el n´umero de grados de libertad. La distribuci´on depende deν, pero no deµoσ,

lo cual es muy importante en la pr´actica.

En la figura de la derecha pueden verse va- rias distribucionesT con distintos grados de libertad (k en el caso de la figura). La dis- tribuci´onT se caracteriza por: tomar valores entre (−∞,+∞); los valores deT se distri- buyen sim´etricamente alrededor de la media

µ = 0; y su forma es parecida a la distri- buci´on normal pero m´as prominente y con colas m´as elevadas. Es importante tener en mente que cuando el n´umero de grados de libertad es grande, la distribuci´on T tien- de a una distribuci´on normal (como era de esperarse). Para cada valor de ν existe una

distribuci´on T. Las tablas de la distribuci´on acumulativa de T tienen como entradas los grados de libertad y la probabilidad de tener un valor menor at. Cualquier valor detse identifica de la siguiente manera:t₍₁−α;n−1). Por ejemplot(0,975;6)= 2,447 (ver tabla) es el valor de t a la izquierda del cual se encuentra una proporci´on del ´area igual a 0.975 con 6 grados de libertad, o dicho de otra manera: existe una probabilidad igual a 0.975 de encontrar un valor igual o menor a t=2.447 para 6 grados de libertad.

5.2.1.5. Caso 4: Muestreo a partir de una poblaci´on con distribuci´on desconocida, con varianza conocida y tama˜no de muestra grande (n≥30) .

Cuando se desconoce la forma de la distribuci´on de valores de una variable no se puede predecir como ser´a la distribuci´on de la media muestral, a menos que el tama˜no de la muestra sea grande. Si este es el caso, es decir, n ≥ 30, entonces es aplicable el Teorema del L´ımite Central y la variable X tender´a a distribuirse normalmente con mediaµx =µx y varianzaσ2x =σx2/n, de modo que el intervalo de confianza ser´a de la forma [x±z₍₁−α/2)σx/

√

n].

5.2.1.6. Caso 5: Muestreo a partir de una poblaci´on con distribuci´on y varianza desconocida y tama˜no de muestra grande (n≥30) .

Como en el caso anterior al sern≥30, es aplicable el Teorema del L´ımite Central por lo que la media muestral se distribuye normalmente. La varianza de la muestra S_x2 se usa como estimador deσ_x2 y el intervalo de confianza ser´a de la forma [x±z(1−α/2)Sx/

√

n].

5.2.1.7. Caso 6: Muestreo a partir de una poblaci´on con distribuci´on desconocida y tama˜no de muestra peque˜no (n <30) .

Cuando no se conoce la distribuci´on de la variable y el tama˜no de la muestra es peque˜no (n < 30), no es posible predecir la distribuci´on que asume la media muestral. Por lo tanto, no se puede construir un intervalo de confianza, a menos que los datos sean trans- formados y se logren aproximar a una distribuci´on normal.

A continuaci´on se presenta un esquema con la combinaci´on de los diferentes aspectos que determinan la construcci´on de un IC.