7. Inf Est.: Prueba de Hip´ otesis (I)
7.3. PH para una media poblacional
7.3.1. PH para una media pobl. cuando la muestra proviene de una poblaci´on distribuida normalmente y con varianza conocida
Ejemplo: Un m´edico traumat´ologo afirma que el contenido de calcio en los huesos de mujeres que padecen osteoporosis despu´es de aplic´arsele cierto tratamiento es mayor al valor promedio observado para la poblaci´on femenina que padece esta enfermedad, el cual se sabe es igual a 270 mg/g con una desviaci´on de 120 mg/g. Para probar su pre- misa el investigador determin´o el contenido de calcio en los huesos de 36 individuos que fueron sometidos al tratamiento y pudo determinar que dicha muestra arroja un valor promedio de calcio igual a 310 mg/g. La concentraci´on de calcio es una variable que se distribuye normalmente.
Las hip´otesis de investigaci´on son las siguientes:
H0: el tratamiento para la osteoporosis no tiene ning´un efecto.
H1: el tratamiento para la osteoporosis aumenta los niveles de calcio en los huesos. Ahora describamos el proceso de PH:
1. Formulaci´on de la hip´otesis:H0 : µ= 270 y H1 : µ >270. 2. Especificaci´on del valor cr´ıtico o nivel de significaci´on:α= 0,05.
3. Elecci´on de un estad´ıstico de la muestra y de su distribuci´on para someter a prueba la hip´otesis: ya que la variable se distribuye normalmente con varianza conocida lo m´as conveniente es usar Z= (x−µ)/(σ/√n).
4. Establecer una zona de aceptaci´on para H0: Como H1 : µ > µ0, se trata de una prueba de una cola hacia la derecha, siendo la zona de aceptaci´on ZA={Z/Z ≤
z1−α}.
5. C´omputos necesarios:
Z = (x−µ)/(σ/√n) = (310−270)/(120/√36) = 40/20 = 2
ZA={Z/Z ≤z0,95}={Z/Z ≤1,65}
6. Decisi´on: ComoZ = 2> z0,95= 1,65 el valor del estad´ıstico de prueba se encuentra dentro de la zona de rechazo. Por lo tanto se concluye que los datos proporcionan suficiente evidencia para rechazarH0.
7. Conclusi´on: Podemos afirmar que se tiene un 95 % de confianza que el tratamiento aplicado a los pacientes enfermos de osteoporosis aumenta el nivel de calcio en los tej´ıdos ´oseos.
7.3.2. PH para una media pobl. cuando la muestra proviene de una poblaci´on distribuida normalmente con varianza desconocida y tama˜no de muestra grande (n≥30)
Ejemplo: Un entom´ologo sospecha que en cierta zona end´emica para el dengue el valor de la tasa neta reproductiva (R0) de una poblaci´on del mosquito Aedes aegypti vector de dicha enfermedad, ha cambiado en relaci´on con el valor determinado hace 5 a˜nos el cual era igual a 205 individuos. Con tal prop´osito determin´o el valor deR0a 40 hembras criadas en el laboratorio y pertenecien-
tes a una cepa desarrollada a partir de mosquitos capturados en la zona estudia- da. Los resultados pueden verse en la ta- bla. El investigador sabe que la varia- ble se distribuye normalmente y quiere so- meter a prueba su hip´otesis no querien- do equivocarse en m´as del 5 % de las ve- ces.
Las hip´otesis de investigaci´on son las siguientes:
H0: la tasa neta de reproducci´on no ha cambiado.
H1: la tasa neta de reproducci´on se modific´o despu´es de 5 a˜nos. Ahora describamos el proceso de PH:
1. Formulaci´on de la hip´otesis:H0 : µ= 205 y H1 : µ6= 205.
2. Especificaci´on del valor cr´ıtico o nivel de significaci´on: 1−α= 0,95.
3. Elecci´on de un estad´ıstico de la muestra y de su distribuci´on para someter a prueba la hip´otesis: ya que la variable se distribuye normalmente con varianza desconocida y tama˜no grande, lo m´as conveniente es usarZ = (x−µ)/(s/√n).
4. Establecer una zona de aceptaci´on para H0: Como H1 : µ 6=µ0, se trata de una prueba de dos colas, siendo la zona de aceptaci´on ZA = {Z/−z1−α/2 < Z < +z1−α/2}. 5. C´omputos necesarios:x= 202,9,s= 36,17, Z = (x−µ)/(s/√n) = (202,9−205)/(36,17/ √ 40) =−2,1/5,719 =−0,37 ZA={Z/−z(0,975) < Z <+z(0,975)}={Z/−1,96< Z <+1,96}
6. Decisi´on: Como Z = −0,37, el valor del es- tad´ıstico de prueba se encuentra dentro de la zona de aceptaci´on deH0. Por lo tanto se con- cluye que los datos no proporcionan suficiente evidencia para rechazar H0 (ver figura). 7. Conclusi´on: La sospecha del investigador que
la tasa de reproducci´on de la poblaci´on de mosquitos se hab´ıa modificado fue rechazada con un 95 % de confianza a la luz de la infor- maci´on proporcionada por la muestra.
7.3.3. PH para una media pobl. cuando la muestra proviene de una poblaci´on distribuida normalmente con varianza desconocida y tama˜no de muestra peque˜no (n <30)
Ejemplo: Un fisi´ologo vegetal desea verificar si el contenido de nitr´ogeno en las hojas j´ovenes de la especie Rhizophora mangle, es menor en las plantas que viven en una zo- na ambientalmente protegida con relaci´on a las que viven en una zona que est´a siendo afectada por la contaminaci´on con fertilizantes y cuyo valor promedio se cuantific´o en 14,6 mg/g de nitr´ogeno. El an´alisis de 25 hojas j´ovenes provenientes de la zona protegida produjo una media muestral de 10.48 con una desviaci´on est´andar de 2.41. Si la concen- traci´on de nitr´ogeno se distribuye normalmente, apoya la evidencia proporcionada por la muestra la presunci´on que las plantas de la zona protegida contienen menos nitr´ogeno?. El error tipo I no debe ser mayor al 1 %.
Las hip´otesis de investigaci´on son las siguientes:
H0: la concentraci´on de N2 en las hojas j´ovenes de R. mangle en ambas regiones es la misma.
H1: la concentraci´on de N2 en las hojas j´ovenes de R. mangle es menor en la regi´on protegida.
Ahora describamos el proceso de PH:
1. Formulaci´on de la hip´otesis:H0 : µ= 14,6 yH1 : µ <14,6.
2. Especificaci´on del valor cr´ıtico o nivel de significaci´on: 1−α= 0,99.
3. Elecci´on de un estad´ıstico de la muestra y de su distribuci´on para someter a prueba la hip´otesis: ya que la variable se distribuye normalmente con varianza desconocida y tama˜no peque˜no, lo m´as conveniente es usarT = (x−µ)/(s/√n).
4. Establecer una zona de aceptaci´on para H0: Como H1 : µ < µ0, se trata de una prueba de una cola hacia la izquierda, siendo la zona de aceptaci´on ZA = {T /−t(1−α;n−1) ≤T}.
5. C´omputos necesarios:
T = (x−µ)/(s/√n) = (10,48−14,6)/(2,41/√25) =−4,12/0,482 =−8,55
6. Decisi´on: Como t = −8,55 << −t(0,99;24) = −2,492, el valor del estad´ıstico de prueba se encuentra dentro de la zona de rechazo deH0. Por lo tanto se concluye que los datos propor- cionan suficiente evidencia para rechazar H0 (ver figura).
7. Conclusi´on: Se puede afirmar con un 99 % de confianza que la concentraci´on de nitr´ogeno en las hojas de Rhizophora mangle en ambas regiones es diferente.
7.3.4. PH para una media pobl. cuando la muestra proviene de una poblaci´on con distribuci´on no normal y tama˜no de muestra grande (n≥30)
Ejemplo: En cierto nervio del cuerpo humano, los impulsos el´ectricos viajan a una velocidad promedio de 4,3 m/seg con una desviaci´on igual a 1,2 m/seg. Un fisi´ologo observ´o que la velocidad promedio de conducci´on del impulso el´ectrico en 45 individuos con una distrofia fue de 3,7 m/seg. Basado en estos resultados el investigador presume que con relaci´on a los individuos sanos en los individuos con distrofia el impulso el´ectrico viaja a menor velocidad en el nervio estudiado. Soportan ´esta hip´otesis los resultados obtenidos?.
Las hip´otesis de investigaci´on son las siguientes:
H0: la velocidad del impulso nervioso es igual en los individuos con distrofia y en los individuos normales.
H1: la velocidad del impulso nervioso es menor en los individuos con distrofia que en los individuos normales..
Ahora describamos el proceso de PH:
1. Formulaci´on de la hip´otesis:H0 : µ= 4,3 y H1: µ <4,3.
2. Especificaci´on del valor cr´ıtico o nivel de significaci´on: 1−α= 0,95.
3. Elecci´on de un estad´ıstico de la muestra y de su distribuci´on para someter a prueba la hip´otesis: aunque no se conoce la distribuci´on de la variable, como el tama˜no de la muestra es grande se aplica el Teorema del L´ımite Central y por lo tanto la media muestral se distribuye normalmente, por lo que lo m´as conveniente es usar
Z = (x−µ)/(σ/√n).
4. Establecer una zona de aceptaci´on para H0: Como H1 : µ < µ0, se trata de una prueba de una cola hacia la izquierda, siendo la zona de aceptaci´on ZA = {Z/−z(1−α)≤Z}.
5. C´omputos necesarios:
Z = (x−µ)/(σ/√n) = (3,7−4,3)/(1,2/√45) =−0,6/0,18 =−3,354
6. Decisi´on: Como z = −3,354 < −z(0,95) = −1,65, el valor del estad´ıstico de prueba se encuentra dentro de la zona de rechazo deH0. Por lo tanto se concluye que los datos propor- cionan suficiente evidencia para rechazar H0 (ver figura).
7. Conclusi´on: Los datos soportan la suposici´on del investigador que en los individuos con dis- trofia la velocidad de transmisi´on del impulso nervioso es menor a la observada en individuos normales.