Capítulo II. Marco teórico
2.1 Antecedentes del estudio
2.2.5 Inecuaciones lineales
Relación de orden: conjuntos ordenados.
Definición. Una relación binaria R definida en un conjunto E es una relación de orden si es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
En lugar de R(x , y), se denotará una relación de orden por un signo específico x y, que se anuncia indistintamente como:
− “ x es inferior a y”, o “ y es superior a x”.
− “x es anterior a y”, o “y es posterior a x”.
La relación y x (entre x e y) se llama relación de orden opuesto a x y . Para toda relación de orden tenemos, pues:
(
x E)
x x(
x y, E)
(
x y y e x)
=x y(
x y z, , E)
(
x y y e z)
x zUn conjunto provisto de una relación de orden se llama conjunto ordenado, por esta relación de orden, se dice también que posee una estructura de orden.
Sea A una parte de un conjunto E ordenado por la relación x y, para los elementos de A esta relación define una relación de orden sobre A, se dice que esta relación sobre A es
inducida por la relación x y sobre E.
Representaremos una relación de orden sobre E y las relaciones de orden inducidas sobre las partes de E por el mismo símbolo; una relación de orden definido sobre E es una
prolongación de la relación de orden definido sobre A.
La relación (x y y xy) no es una relación de orden, porque no es reflexiva ni antisimétrica, solo es transitiva. Por ello, se enuncia:
“x es estrictamente inferior a y” o “x es estrictamente anterior a y”. Observación
Algunos autores llaman a esta relación “x y y xy” relación de orden estricto, esta expresión no es aconsejable, pues esta relación de orden estricto debería ser un caso particular de relación de orden; sin embargo, no es así, como acabamos de ver.
En R se escribe x < y (x estrictamente inferior a y) por x y y x y. Se verá que nos alejamos del lenguaje al cual, quizás, el lector está acostumbrado al enunciado
“ x es inferior a y” para “x ≤ y”
“x estrictamente inferior a y” para “x < y”
Para evitar esta posible ambigüedad, se puede también decir “x inferior a y en sentido amplio” para “x ≤ y”, (pero esto recarga el lenguaje).
Orden total, orden parcial. Conjunto totalmente ordenado.
Definición: se dice que una relación de orden R define sobre E un orden total si, cualesquiera que sean a y b, se verifica a b o b a.
Se dice también que dos elementos cualesquiera son compatibles en el orden definido por R. Se dice igualmente que E está totalmente ordenado por R o que E posee una estructura de orden parcial.
Cuando existe al menos un par (x , y) de elementos de E no comprables en el orden definido por R, se dice que R define un orden parcial o que E está parcialmente ordenado por R.
En un conjunto totalmente ordenado se llamará segmento o intervalo cerrado [a ; b] e intervalo abierto ]a ; b[ las dos partes de E definidas, respectivamente por
a b, =
x a/ x b
a b, =
x a/ x b y xa y xb
Igualmente adaptaremos las notaciones siguientes
(1)
a b, =
x a/ x b y xb
(2)
a b, =
x a/ x b y xa
(3)
a,→ =
x a/ b
(4)
a,→ =
x a/ x y xa
(5)
,a
=
x x/ a
(6)
,a
x x/ a y xa
(1) (resp. (2)) se llama intervalo semicerrado a la izquierda (resp. a la derecha), semiabierto a la derecha (resp. a la izquierda).
(3) (resp. (4)) se llama sección terminante cerrada (resp. abierta). (5) (resp. (6)) se llama sección principiante cerrada (resp. Abierta).
Toda estas nociones se utilizarán principalmente en R, así como en Q, Z, N totalmente ordenados por x ≤ y.
Desigualdades.
Se dice que una cantidad “a” es mayor que otra cantidad “b” si y solo si la diferencia (a – b) es positiva.
Se dice que una cantidad “a” es menor que otra cantidad “b” si y solo si la diferencia (a – b) es negativa.
De acuerdo a lo anterior, el cero es mayor que cualquier número negativo. Definición: una desigualdad es una expresión que indica que una cantidad a es diferente otra cantidad b. Es decir, una esmayor o menor que otra.
Los signos desigualdades son:
>, se lee mayor que. Así 5 > 3, 5 es mayor que 3. <, se lee menor que. Así 3 < 5, 3 es menor que 5.
Miembros: se llama primer miembro de una desigualdad a la expresión que está a la izquierda y segundo miembro a la que está a la derecha del signo de la desigualad.
, – , – . Así en a + b c d el primer miembro es a + b y el segundo miembro es c d Términos: son las expresiones que están separadas unas de otras por el signo (+) o (–) o la cantidad que está sola en un miembro. En la desigualdad anterior los términos son a, b, c y –d.
− Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o se resta un mismo número, el signo de la desigualad no varía: 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 𝑦 𝑎 − 𝑐 > 𝑏 − 𝑐
− Si a los miembros de una desigualdad se multiplica o se divide por un mismo número positivo, la desigualdad no cambia: 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 𝑦 𝑎
𝑏 > 𝑐 𝑏
− Si a los miembros de una desigualdad se multiplica o divide por un mismo número negativo, la desigualdad varía.
− Si se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de sentido. Siendo 𝑎 > 𝑏 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 1
𝑎< 1 𝑏
Inecuaciones.
Definición. Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (variables), desigualdad que se verifica para determinados valores de las variables.
Ejemplo:
2𝑥 + 1 > 𝑥 + 5 es una inecuación porque tiene una incógnita “x” que se verifica para valores mayores que 4.
Elementos de una inecuación. Sea la siguiente inecuación: 2x + 1 > x + 5 donde
(2x + 1) se llama primer término (x + 5) se llama segundo miembro y > es el signo de la desigualdad.
Resolver una inecuación es hallar los valores de las variables que satisfacen la inecuación.
Ejemplo: 2x + 1 > x + 5
2x – x + 1 > 5 se traspasa la incógnita al primer miembro.
2x – x > 5 – 1 se traspasa el término independiente al segundo miembro. x > 4 operamos los términos.
Donde 4 es el límite inferior del intervalo (4; ) que es el conjunto solución de la inecuación dada. Es decir, que la inecuación dada se verifica para los valores de x mayores que 4.
Propiedades:
Para resolver una inecuación, hay que ir transformándolas en expresiones más sencillas. Para ello, hay que tener en cuenta las siguientes propiedades.
, y 0 , 0 . . , 0 . . Si A B C A C B C Si A B y C A C B C Si A B y C A C B C → + + → →→
Inecuaciones de primer grado con una incógnita
Una inecuación lineal (primer grado) con una incógnita es una desigualdad algebraica que se puede reducir a una de estas formas:
0, 0, 0 0, 0. ax + b ax + b ax + b o ax + b donde a Ejemplo: la desigualdad 2x – 6 < 5x es una inecuación de primer grado con una incógnita porque el mayor exponente de la variable x es 1.
Resolver una inecuación de primer grado es hallar los valores de la variable, tales que satisfacen la inecuación dada. Para ello, se aplican las propiedades de las desigualdades.
Algunas veces podemos escribir una desigualdad compuesta que utiliza la palabra “y” () en forma más corta. Por ejemplo, se puede escribir x < 5 x > 3 como 3 < x < 5.
El conectivo lógico “y” no aparece cuando está escrita de esta forma, se entiende de manera implícita.
Ejemplo: resuelve -1 < x + 3 ≤ 5 Solución:
Identificamos ambas desigualdades: -1 < x + 3 x + 3 ≤ 5 Resolvemos cada una por separado: -1 < x + 3 x + 3 ≤ 5
-1 – 3 < x x ≤ 5 – 3
-4 < x x ≤ 2 C. S = ] -4 ; 2]