3 Modelo de Preisach
3.2 Interpretación geométrica
3.2.1 Plano de Preisach
Por cada pareja de campos de conmutación (α,β) existe un operador de histéresis γαβH(t) y
este es único. En consecuencia el conjunto de todos los operadores forma un plano α-β, a cada punto (α,β) de dicho plano le corresponde un operador γαβH(t). Al plano α-β, en la
literatura especializada, se le suele referir como plano de Preisach.
El plano de Preisach tiene la extensión del semiplano definido por α≥β, pero en un problema real esta situación no es deseable y el plano de Preisach debe acotarse. Veamos como realizamos dicha acotación.
Para nuestras aplic aciones asumiremos que el semiplano α<β tiene µ(α,β)=0, lo contrario no tendría sentido. Con esto ya tenemos la primera acotación del plano de Preisach.
Si denominamos ciclo límite a aquel que contiene a todos los ciclos de histéresis que puede producirse, en él se produce la máxima intensidad de campo posible, esto es, el rango de intensidades de campo abarcado por el ciclo límite contiene todas las intensidades de campo que se pueden dar en nuestro problema. Para un buen funcionamiento del modelo de Preisach se elige un ciclo límite tal que alcance la saturación técnica Hs. En consecuencia, no es
necesario considerar los operadores cuyos campos de conmutación sean mayores que la intensidad de saturación, para estos operadores también se considerará que µ(α,β)=0. Con estás consideraciones, el plano de Preisach queda delimitado por las líneas α=β, α=Hs y
queda acotado a un triángulo definido por el vértice (α,β)=(Hs,-Hs), al cual denominamos
triángulo límite T(α0,β0).
Figura 3-2. Plano de Preisach restringido al triángulo límite
Para comprender mejor el funcionamiento del modelo de Preisach, a continuación vamos a analizar la evolución de los operadores ante un historial de campo arbitrario con la ayuda del plano de Preisach.
Supongamos que el material magnético que se desea caracterizar es llevado a su saturación negativa –Hs. En esta situación inicial todos los operadores del triángulo se hallan en su
estado -1, tal situación se muestra en la figura 3-3a. Seguidamente el campo aumenta de forma continua hasta un valor H1, ante esta variación de la excitación los operadores con
α=H1 conmutan del estado -1 al estado +1 mientras que el resto continúa en el estado -1, de
forma que el triángulo nos queda dividido en dos zonas. Una zona, S+(t), con operadores en
estado +1; y la otra zona, S-(t), con operadores en estado -1. Ambas zonas se hallan divididas por una línea L(t) que en este caso coincide con la recta horizontal α=H1. A la línea de
división L(t) la denominaremos línea de estado. En la figura 3.3b se muestra el plano de Preisach después de este cambio de la excitación.
Supóngase a continuación que el campo decrece de forma continua de un valor inicial H1 a un
segundo valor H2. Los operadores que antes estaban en el estado -1 seguirán estándolo, pero
de aquellos que en el anterior cambio pasaron de -1 a +1 los que tengan su campo de conmutación β≥H2 volverán al estado -1. El plano de Preisach sigue estando limitado por dos
zonas, pero ahora la línea de división L(t) está formada por las rectas horizontal α=H1 y la
3c. En el resto de la figura 3-3 se aprecia la evolución de los operadores de histéresis en el plano de Preisach ante nuevas variaciones arbitrarias de la excitación.
Figura 3-3. Evolución de los operadores en el plano de Preisach ante una excitación arbitraria
Este análisis se puede generalizar con la siguie nte conclusión. En un instante de tiempo determinado el triángulo está dividido en dos zonas: S+(t) formada por operadores en el
estado +1 y S-(t) formada por operadores en el estado -1. La frontera entre ambas zonas es
una línea L(t) formada por tramos rectos horizontales y tramos rectos verticales alternados, cuyos vértices coinciden con los máximos y mínimos locales del historial de campo. De tal forma que se puede concluir que el modelo de Preisach caracteriza a la inducción B(t) –o la magnetización M(t)- mediante:
a. La línea de estado L(t) que viene definida por el historial de la excitación y marca el estado del sistema con histéresis.
b. La función densidad µ(α,β) que depende de la microestructura y las características magnéticas que afectan al proceso de magnetización
En este análisis también se debe prestar atención a un hecho que, como posteriormente se comentará, va a delimitar el ámbito de aplicación del modelo de Preisach. Obsérvese que la estructura del plano de Preisach depende del estado de la línea frontera L(t). El estado de esta línea L(t) depende únicamente de los máximos y mínimos locales del historial de campo, no de los valores intermedios, ni tampoco de la rapidez con que se suceden dichos extremos locales. Esto es, la determinación de la variable de salida, la inducción B(t), es independiente de la frecuencia y de la forma de onda del campo H(t).
3.2.2 Interpretación geométrica
La generalización del análisis del plano de Preisach permite comprobar que la integral doble de (3.1) se puede descomponer en dos integrales dobles, una para cada zona.
( )
(
)
( )
( ) ( )(
)
( )
s s S t S t B t B µ α β γ, αβH t d dα β B µ α β γ, αβH t d dα β + − =∫∫
+∫∫
(3.2)El operador de histéresis puede hallarse en el estado “+1” o en el estado “-1”:
( )
1((
))
( )( )
1 ; , S t H t ; , S t αβ α β γ α β + − + ∀ ∈ = − ∀ ∈ (3.3)Sustituyendo el operador de histéresis por su valor correspondiente para cada zona, la ecuación (3.2) se puede expresar finalmente como:
( )
(
)
(
)
( ) ( ) s S t S t B t B µ α β α β, d d µ α β α β, d d + − = − ∫∫
∫∫
(3.4)Esta expresión nos permite formular el modelo de Preisach en función de la evolución del plano y la línea de estado L(t).
Figura 3.4. Operador de histéresis y plano de Preisach con la formulación hc-hi
3.2.3 Formulación alternativa del modelo de Preisach
Los operadores de histéresis también pueden expresarse en función de dos parámetros denominados campo de interacción hi y campo crítico o campo coercitivo hc. En tal caso el
plano de Preisach sería el plano (hc-hi) mostrado en la figura 3-4. La formulación del modelo
de Preisach con los campos de conmutación y con los campos de interacción y coercitivo es totalmente equivalente. De la figura 3-4 se deduce que la relación entre ambos parámetros es:
i c i c h h h h α β = + = − (3.5)