Problema 11
Sea un sistema físico microscópico, que evolucio na según las leyes de la Mecánica Cuántica. Se su pone que el espacio de sus estados tiene dimensión 3, y que los kets |1>, \2), |3> constituyen una base ortonormal en dicho espacio. Por hipótesis, con res pecto a dicha base, los operadores correspondien tes al hamiltoniano H y a dos variables dinámicas A
y B se representan por las siguientes matrices:
H = *“ 12 12 •22 O o \ o o £33' A = (¡i, O O 8 = 0 O \ 0 o Ii,
Las cantidades E^^ E^^, E33, lU y IÍ3 son reales. Se
e s d iferen te d e cero. El sím bolo * ‘^ ® í ) ° ' F o S f n s e í a r c o ^ q u e h a n de veri-
' ' H A v B s e a n o p e r a d o r e s autoad-
ficarse ^ a u to v a lo r e s y los autoestados í T AnaUcese q u é o c u r re si las d o s condiciones
de H. A nalícese s im u ltá n e a m e n te . 3) En in n u e sique, s e s u p o n d r á q u e A y B so n ope-
“ d o r e s a u t o a S u n t o s : h á lle n s e s u s a u to v a lo re s y es-
tú d ie s e si c o n m u ta n con H y e n tre si.
Solución
1) H está representado por una matriz autoadjunta, así que es, en general, un operador autoadjunto. A es autoadjunto si y sólo si 0C2 = oc*. B es autoadjunto si y
sólo si P2 es real. En todo lo que sigue, se supondrá que
estas dos condiciones se verifican, y, por tanto, que am bos A y B son autoadjuntos.
2) Los autoestados del hamiltoniano son:
0n> = L I
s = 1
con autovalores E„ para la energía, rz = 1, 2, 3. Nótese que, por estar los kets \n} y 0„> ortonormalizados, se tiene:
Se tiene:
<« I s> = <</>„ I 4>s> = K
ÍH - £„] I 0„> = 0.
La condición de compatibilidad del sistema lineal om géneo para cada E„ es la anulación del correspon len determinante (det):
det [H - E„/3] = O,
34
donde I j denota la matriz unidad 3 x 3. Al resolver esta última ecuación, se obtiene fácilmente:
1
^ 2 “ 2 ^ C^ll ^22 “ [(£·!! ~ -£22)^ +
Supongamos que ( E n - E ^ ^ f + ^\ Ei2 Í^ > 0. En tal ca
so, se tiene £ j ¥= E2, y: 4>ú = ^11 1> + £1 - -Eli £12
2
> 11 </>2> = -^22 2> + 22 EÌ: 1> 1 ■22 [1 + (£2 - ^ 22)V |£i2 2-11/2 0 3 > = | 3 > .Nótese que los kets 1 así obtenidos están ya ortonor
malizados y que las fases de y ^22 ^^n arbitrarias. Cuando ni £1 ni £2 coinciden con £3, entonces no hay
degeneración. Si Ej o £2 (solamente uno de ellos) coin
cide con £3, entonces hay una doble degeneración, pero las ecuaciones anteriores continúan proporcionan o os kets |0„> correspondientes.
Supongamos ahora que £11 = £22 y» simul^t^eamen e, que £12 = 0. En tal caso, se tiene E, = Ej = E n - ^ 2 2-
En tal caso, estos autovalores están degenera os en r sí, y la degeneración es, al menos, doble. Por otra par te, £ 3 puede ser diferente o igual a ellos: en este ult - m o caso, la degeneración sería triple. Nótese que, cu
35
do £ i , = £22 y £12 = 0, las soluciones dadas arriba pa
ra los kets y I<A2> pasan a quedar indeterminadas.
Esto indica que hay, en principio, un núm ero infinito de posibles parejas de kets l<^i> y I0 2)> a no ser que se
introduzcan nuevas condiciones que determinen una
única pareja.
3) Los autovalores a„ del operador autoadjunto A (con «2 = a*) son: a^ = \a^' «2 =~ ~
^ - ^ ,, . . . . ^ 3 ~ “3· Los
autovalores b„ del operador autoadjunto B (con real) son: b„ = P „ ,n= 1, 2, 3.
Los resultados que, a continuación, se exponen acerca de las condiciones en las que H, A y B conmutan, se obtienen fácilmente sin más que evaluar [.4, K =
= A H - HA, [B, H] = B H - H B y lA , B] = /IB - BA. A su vez, estas evaluaciones se reducen a multiplicar y restar las matrices correspondientes.
El operador autoadjunto A conm uta con H si y sólo si se verifican simultáneamente las dos condiciones si guientes: E ji = £22 y E 1 2OÍ* = E*2<^í-
Cuando £ j2 # O, el operador autoadjunto B conmuta
con H si y sólo si se satisface la condición: /jj = P2· Si £12 = O, B y H conmutan siempre entre sí.
Los operadores autoadjuntos .4 y B conmutan entre sí si y sólo si = P2·
En consecuencia, los tres operadores autoadjuntos H, A y B conmutan entre sí dos a dos si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes: £ u = £ 22* Pi ~
£ i2(3tf = £ Í2ai· En particular, la última condición se ve
rifica si £12 = 0.
Probtema 12
Este Problema es continuación del anterior. En to do lo que sigue, se su p o n d rá q u e A y B son oper^' dores autoadjuntos y que # E33, E,j = 0. En tal caso, apliqúese la información previam ente ob-
t e n i d a sobre A y B a\ estu d io d e los a u t o e s t a d o s d e H.
36
1) En el instante í = O, el sistema se encuentra por hipótesis, en el estado |1> - |2> + |3>. Estúdiese si está normalizado este ket, y, en caso negativo, construyase, a partir de él, otro que sí lo esté. Hallar, en f = O, el valor esperado de W y su incertidumbre! 2) Hállese el ket normalizado Ií¿í(í)|>, que representa en el instante í > 0 el estado del sistema, cuando éste evoluciona desde í = O sin haber sido sometido a ninguna perturbación o medida. Hállense el valor medio y la incertidumbre para H en í > 0. 3) Hallar, en el instante t, el valor medio del observable repre sentado, respecto a la base de los kets |n>, por la matriz:
C =
(O O O'
siendo c real.
Supongamos que = £22 ^ ^3J V ^12 ~ 0. En tal
caso se tienen las dos posibilidades siguientes, i) El ope rador autoadjunto A siempre rompe la degeneración en tre los autovalores £1 y £ , de H (pues a, ^ 0). La base
(única) ortonormal de estados, que son, simultánea mente, autoestados de ambos H y A. con los autovalores obtenidos anteriormente, es la siguiente:
Solución 1 ^ 1) ' ) I / 2 1> + a; a, !2> 1 = I3>. 1> - a a, 2>
En esta base, A se representa por una matriz diagonal, pero B no, ii) El operador autoadjunto B rompe la de-
37 Interpretación probabilistica y formalismo cuántico
generación entre los autovalores y E2 de H cuando
# P2 · En este caso, la base ortonorm al de autoestados
comunes & H y B, que es también única, es ya la formada por |n>, n = 1, 2, 3 (aunque, ahora, ^ y B no conmutan entre sí). Si jSj = P2 1 ^ rom pe la degeneración de H,
y ambos operadores tienen infinitas bases ortonormales comunes, además de la constituida por \n}.
1) El estado inicial que se da no está normalizado, pues su producto escalar por sí mismo es igual a 3. Es
inmediato construir, a partir de él, el siguiente ket ya normalizado, que, igualmente, representa el estado ini cial del sistema:
38
• A ( 0 ) > = ^ [ | 1 > - |2> + |3>],
El valor medio o esperado de H en t = O es:
2 £ j + £ 3
U n cálculo similar muestra que:
2E\ + E \
P or tanto, la incertidumbre de H en el instante t — O es: A H = [<i/r(0)|H^|<A(0)> - [<iA(0)|H|iA(0)>]"]
2^'^|£i - £;
-12-11/2 _
2) EÍ estado li^t)) evoluciona en el tiempo de acuer do con la ecuación de Schrödinger:
d \ m > H i m y = ifì
Es fácil resolver esta ecuación, con la condición inicial
dada por |i/'(0)>. El resultado es:
iA(í)> = ^ - i í E [ 1 1 > - 12>] + exp( - líEj//!) 3>],
A partir de esta expresión, es fácil obtener que los valo res medios de H y en el instante t son iguales, res pectivamente, a los ya calculados en í = 0. En conse cuencia, las incertidumbres de / / en í y í = O son también iguales entre sí.
3) Nótese que C no conmuta con H. Se obtiene con facilidad:
2c t(E. ~ £ 3) m ) \ c \ m > = - J OOS —
que sí evoluciona con el tiempo.
Este Problem a es continuación de los dos anterio res. En éste, se s u p o n d rá que = E^^ 7^ E3 3 , E^^ = O, (X, ^ O y jSi # En ios tres primeros apartados de este Problema, el sistem a está, por hipótesis, en el m ism o e s ta d o inicial (en t = 0) que en el Problema anterior. 1 ) Si, en f = 0 , se midiese la energía del sistema, e stú d ie n se qué valores posibles se obten drían y con qué probabilidades. Si, también en di cho instante, se midiesen A ó B, caracterícense qué
resultados se obtendrían y con qué probabilida des. Estúdiense cuántos y cuáles observables entre
H, A y B sería posible medir simultáneamente en f = 0. 2) S u p ó n g a se que en f > O se midiesen H o ó B. O b té n g an se las probabilidades de los resu a d o s de l a s m e d i d a s para e l l o s . 3) S u p ó n g a s e que, efectivamente, se mide la energía en f = O y que se obtiene el valor £3 . Obténgase el estado en el que se encontrará el sistema inmediatamente despues la medición. Respóndase a la misma cuestión e
Próbtemá 13
caso en el q u e el r e s u lta d o d e la m e d id a e s 4) hipótesis, en í = O el s i s t e m a e s tá r e p r e s e n ta d o por la matriz d e n s id a d
p = Ail1><1| + A2I2 X 21 + AjISXS
A2 y A3 s o n n ú m e r o s re a le s e s tric ta m e n te posj-
ivos, ta les que: / , + A2 + A3 = 1. S u p ó n g a s e que en
1
.tivos, ta les que: -1- /I2 -1- /t3 = 1. s u p ó n g a s e que, en dicho instante, s e m id e la e n e r g ía del sistem a. Res p ó n d a s e a las m i s m a s c u e s t i o n e s q u e en el aparta do 3).
Solución
1) Al medir H solamente, los resultados posibles son:
£1 = £2 (pues se trata de un auto valor degenerado, aso
ciado a | l ) y a | 2) y a sus combinaciones lineales) y £3
(correspondiente a |3 » . El auto valor Ej aparecería con probabilidad (3“ ^^^)^ + ( - 3 “ ^^^)^ = 2/3, en tanto que
£3 se obtendría con probabilidad (3“ ^^^)^ = 1/3. Si se
midiese B únicamente, los resultados serían sus autova lores p„. Si éstos son todos diferentes entre sí, cada uno aparecería con probabilidad (3” ^^")^ = 1/3, y si hubiera degeneraciones (dobles, a lo sumo) entre ellos, las pro babilidades serían análogas a las correspondientes a las de las medidas de H. A fin de tratar el caso en que se mide únicamente A, es útil expresar ¡•/'(O)) respecto a la base de los autoestados comunes a dicho observable
y a H
m y
1
31/2 21/2 1 -
+ 1 + + l3>
En consecuencia, si se midiese solamente A, los resulw
dos serían sus autovalores a^, «2 y ^'3’ proba '
lidades 3“ '[1 - (R ea,)/|a,|], 3 " ' [ 1 + (ReaiV ^
3- ‘, respectivamente (el símbolo Re indica parte real)
Puesto que ßi ßi, A y B no conmutan entre sí y a lo sumo, es posible medir simultáneamente en t = O dos observables: o bien la pareja {A, H), o bien la pareia (B, H).
2) El estado |iA(í)>, que evoluciona en el tiempo de acuerdo con la ecuación de Schrödinger, ya ha sido ob tenido en el Problema anterior con la condición inicial dada por |(¿'(0)>. Ahora será útil expresar li//(t)) respecto a la base de los autoestados comunes a A y a H. El resultado es: m > = ,1 / 2 2¡/2 1 - _ \ + 1 + e \ p ( - i t E J h ) + + 3 1 / 2
A partir de esta expresión, es fácil deducir que si en el instante t se midiese H se obtendrían los mismos valores, con las mismas probabilidades, respectivamente, que en í = 0. La misma conclusión es válida para A y B.
3) Los principios de la Mecánica Cuántica referentes a procesos de medición proporcionan directamente las respuestas. Si el resultado de la medida es E3, que es un autovalor no degenerado, el sistema queda representado por |3>, o, si se utiliza preferentemente un ket nor malizado, por |3). Si la medición da como resultado Ei, que es un autovalor degenerado, el estado que represen ta al sistema justamente tras la medición es.
1 [ |1> - |2>], el cual, tras normalizar, pasa a ser: [IO - |2>].
4) Nótese que el sistema no está en un estado puro sino en uno que es una mezcla estadística y que la traza
de su matriz densidad asociada (p) es igual a la unidad
Si el resultado de la medida es £3 , el sistema estará re presentado, tras la medición, por AjISXSl, que es la ma triz densidad del estado puro |3>: en definitiva, el sistema salta al estado puro |3>. P o r el contrario, si el resultado
de la medición es E^, tras ella el sistema estará represen
tado por la m atriz densidad:
P i - + >Í.2|2><2
que es también un estado mezcla. En este caso, otra ma triz densidad que representa tam bién el estado del siste ma tras la medida (y es, por tanto, equivalente a p ,) y
tiene traza igual a la unidad es: p2 = Pi / Ui + À2)·
F r á lite n ia 1 4
Una partícula m icroscópica de m a s a m, que evo luciona librem ente, e s tá r e p r e s e n ta d a en el instante í = O por la función de o n d a ( x = (x, y, z)):
\l/(0) = \¡/{x, 0) = N exp ~ olJ,x - Xq)^) exp
yV - «kI K ~ Voll ex p [ / \ / “
d o n d e x> K K z c o n s ta n te s reales, N es un n ú m e ro co m p lejo y a.y y so n c o n stan tes
y e stric ta m e n te positivas. Hallar: 1) la c o n s ta n te N,
de fo rm a q u e ^ { 0 ) e s té norm alizada, lo cual se su
po n d rá en to d o s ios a p a r ta d o s q u e siguen; 2) la fun ción de o n d a en í = O en el esp a c io de m o m e n to s ,
0), con p = ( P x , P y , p , ) ; 3) la p r o b a b i l i d a d de que,
en í = O, la partícula e s té e n tre y e y + d y (con va res cu alesq u iera para x y z); 4) la p r o b a b i l i d a
que, en f = O, la c o m p o n e n te y del m o m e n to e ^ partícula esté en el intervalo (Py, P y +
lores cualesquiera para p ^ y p^); 5) la p r o b a b i l i d a
42
que, al m edir en f = O simultáneamente z y p para la partícula, los resultados estén en los intervalos [z, z + dz) y iPx, p* + d p j , respectivamente, 6) <x>, ( y \
en f = 0.
En este Problema se utilizarán las integrales gaussia- nas dadas en el Apéndice «Algunas fórmulas mate máticas de utilidad».
1) Al normalizar [¡/(O) (utilizando para las coordena das X y z dichas integrales gaussianas), es inmediato ob tener: dx + 00 — 00 dy - 00 dz \ij/{x, 0)1^ = \N n 2{acy^^b
de donde resulta \N\ = [2(acy^^b/ny^^. La fase de N está indeterminada.
2) La función de onda, en f = O, en el espacio de momentos es: (A(p, 0) = 1
J
r + oü ^+00 dx dy J —00 ·. — 00 ·/ + oc dzil/{x, 0) exp - X ipx T N + [fco., - Py/f>y exp [/xo(/co,, - p jñ ) - ( k o . ^ x p Vyoiko. y - P y W Í e x p [ ' Z o ( ^ o . z ~ " “ ( ^ 0 . z “ P z / ^ * ) 7 4 a . . ] .Es fácil comprobar que
+ 00 - QC' — a- dPy - JC Solución
43
3) La probabilidad es: dy ‘ + CXD ^ + 00 dx — 00 J — 00 dz \\¡/{x, 0)1^ = b e \ p { - 2 b \ y - y ^ q d y
44
Al integrar en - o o < y < + co, se com prueba que esta distribución de probabilidad está normalizada.
4) La probabilidad pedida en el espacio de momen tos es: - 00 dp, + 00 — 00 dp^\i¡/{p, 0) 2 _ dp, 2a: nñ + (kg ^ - p ^ / ñ f
De nuevo, al integrar en - oo < < + oo, se comprue ba que esta distribución de probabilidad está normali zada.
5) Nótese que, en í = O, por conm utar y y z entre sí, es natural introducir la nueva función de onda (de pendiente de variables posición y momento):
1
[Inh)1/2 - OC) dx i//(x, 0) exp fl
N
(2aji)1/2
- a,(z - Zo)^] exp [iXo(fco, ^ - p j h ) - (/cq,^. ~
En términos de esta última, la probabilidad pedida es.
dp,^ dz
í ' + oo
- c e
<iy l'AíPx, y, 2, 0)1^ = dp,^dz exp
nuevo, al efectuar una integración doble en _ 00 < z < y - 00 < P;c < + X, se comprueba que esta distribución de probabilidad está normalizada.
6) Se tiene, utilizando que (x - XqM Íx, 0)!^ es una función impar bajo el cambio de x - x« en - ( x - x«), y que la función de onda está normalizada:
' + 0 0 OC
<x> = dx dy dz[(x - Xo) +
% - 0 0 ·. — OC ·. - OC
+ Xq] 0) = Xq.
Mediante un argumento similar, se obtiene:
<y} = yo·
Este Problem a es continuación del anterior, así que se utilizarán los m ism os datos que en aquél. 1 ) Hallar, en el instante f > O, la función de onda en el espacio de m o m e n to s, t). 2) Hallar la probabili dad de que, en el instante f > O, la partícula tenga su
primera co o rd e n a d a en el intervalo (x, x + dx), y, a la vez, la tercera en (z, z -i- dz).
En este Problema se utilizarán las integra es gau ñas, la transformación de Fourier y la
la ó de Dirac dadas en el Apéndice «Algunas matemáticas de utilidad».
1) Lo más simple es estudiar la
dinger de la partícula libre en el espacio £j, la cual permite describir explícitamente
efecto, la solución de dicha ecuación se o i
Pw áteftiíK ií
Solución
45
lamente y proporciona la función de onda pedida en t > 0 { ^ = p l + p l + p¡):
\¡/(p, t) = \¡/{p, 0) exp i t p 2mñ
\¡/(p, 0) ha sido dada en el apartado 2) del Problema anterior.
2) La función de onda en t > O en el espacio de po siciones se obtiene a partir de \¡/(p, t) hallando la trans formada de Fourier inversa:
t) = 1 + 00 — co dp, + 00 - 00 dp, + 00 - 00 dp^\j/(p, í)exp ipx ~ñ
A su vez, la probabilidad pedida es, en términos de {¡/{x, t):
+ 00
dy\[¡/{x, t)\^. dx dz
— 00
Aunque la integración sobre y para obtener i¡/{x, t) no es sencilla, la probabilidad pedida, que involucra una inte gración en - 00 < y < + 00, puede ser evaluada sin di
ficultad. Con ese fin, expresamos t) en función de í¡/{p, t) (mediante la transformada de Fourier), integra mos sobre y (lo cual genera una delta de Dirac en mo mentos), e integramos luego sobre todas las componen tes del momento, mediante la siguiente integral de Gauss: G(/co, a, í, x) = + 00 —00 ipx dp exp —— exp n (/cq - p I K ) · 4a exp itp^ ■ n 1/2
r
k^~] (x/ñ + /cq/2/o/7)^2mñ _u_ exp 4a_ exp
4u
J
1 it
u = +
4(xñ^ 2mñ
46
Así, se obtiene la siguiente fórmula explícita para dicha probabilidad:
N'·
' G (fc o , ^ ^ + ^ o )G (/C o . «z. t, 2 - Zo) ·
G{ko^ z’ z “f· Zq).
Sea una partícula libre de m asa m que se encuen tra ¡nicialmente localizada en el punto (por sim plicidad, el p ro b le m a se plantea en una dimensión). Se trata de calcular la densidad de probabilidad de que la partícula se encuentre en el punto x en un instante posterior f > 0. Discútase el resultado obte nido d e s d e un punto de vista físico. Calcúlese asi mism o la co rre sp o n d ie n te densidad de probabilidad en el caso en q u e inicialmente la partícula no estu viera e x a c ta m e n te localizada en el punto Xq, sino
que viniera descrita por un paquete de ondas míni mo centrado (por simplicidad) en el origen y con velocidad m edia Vq.
Problema 16
La amplitud de probabilidad pedida viene dada por
K ( x , t; Xo, 0) = (xlC/(r, 0);xo>.
donde U(t^ 0) = Q \ p ( ~ iHt/h) es el operador de evoiu- n temporal. La cantidad K se conoce con el nombre e pi opcigador (en este caso, de la partícula libre). En la expresión anterior, / / = p-/(2m) es el hamiltoniano de la partícula libre.
f*ara calcular el propagador, introduciremos en la ex presión de más arriba un conjunto completo ¡p) de
Solución
47
autoestados de H q y usaremos la relación de ortonorma· lidad de éstos <p' | p> = ¿(p - p'), obteniendo así
K(x, t; Xq, 0) =
'oc
dp <x I p> exp [ - iph/(2m hy](p \ x^)
Ahora bien, se sabe que
<x I p> = (^Inhy exp (ipxlh). Por lo tanto, tendremos
K(x, t; Xq, 0) = = (2nh) -1 '00 — 00 dpexp<¡- 2m + p(x - Xo)
Utilizando las fórmulas de integración gaussiana (véase Apéndice. Algunas fórmulas matemáticas de utilidad), llegamos sin dificultad a
/ m
K(x, í; X q , 0 ) = 1 I exp
imjx - Xo)- 2ht
que es la expresión explícita para el propagador de la partícula libre. (Evidentemente, si el tiempo inicial no es cero sino íq hay que poner t - íq en lugar de t en la expresión anterior.)
Si interpretamos K como amplitud de probabilidad, la correspondiente densidad de probabilidad será
p(x, t) = \K{x, í; Xo, 0) 2 _ m 2nht
que no depende del punto x; es decir, que la partícula tendría la misma probabilidad de estar, en el instante f, en cualquier punto del espacio, lo que es absurdo.
En realidad, lo que ocurre es que K no puede inter pretarse como densidad de probabilidad, puesto que no puede normalizarse. La razón por la que el valor de la «seudodensidad de probabilidad» p es independiente de
la posición X es el hecho de que al estar infmitamen,. localizada la partícula inicialmente, en ese mom t «posee» todos los valores posibles de la veioHHa^^” igual probabilidad (recuérdese que se trata de una te o S no relativista) y p o r lo tanto, en un instante posterior podría, con igual probabilidad, estar en cualquier punto’ del espacio. Ciertamente, esta situación no tiene sentido físico, ya que para localizar una partícula con infinita precisión se requiere una cantidad infinita de energía Vamos, pues, a estudiar el caso más realista del naauete de ondas mínimo.
Como se sabe, el paquete de ondas mínimo es aquel en que la relación de incertidumbre se satisface como
Igualdad, es decir, Ax · Ap = hf!. Su forma es gaussiana, y en el caso que nos ocupa será
<x' I i/í> = 0) = ((T V '7T )'''^ exp
2(j
donde /cq = t n v j h y cr es la dispersión en la posición (recuérdese que, por simplicidad, se ha tomado el valor medio de la posición igual a cero).
En este caso, la amplitud de probabilidad pedida es por tanto
A{x, í) = i/^(x, r) = < x : Q x p ( - i H t / h ) i ipiO)} =
dx' K{x. í; x', 0)i¡/{x\ 0).
Sustituyendo las expresiones de K y ^ dadas me s arn y llevando a cabo la correspondiente integraci n gaus siana, se llega sin dificultad a
z(x. t) 2(y-n J donde ht 1 -f í — , 2(x, r) = x^ + /í!!L k y - - 2a -k ,x ma' \ 2m 49
A partir de la expresión de A, se obtiene la correspon diente densidad de probabilidad
p(x, t) = \A{x, t)\^ = ^ exp ] - 12 donde 1 -H fit ma' fiko , \ l { t ) = ---- t = VqL m P ro ìil^ n ià 17
Vemos que ahora la densidad de probabilidad está normalizada (su integral extendida a toda la recta real es la unidad) y, por tanto, tiene sentido físico. Asimismo, vemos que el máximo de dicha densidad se obtiene para el valor de x(f) correspondiente a la trayectoria clásica, con una dispersión que aumenta con el tiempo, aspec to éste (ensanchamiento del paquete de ondas) carac terístico de la mecánica cuántica.
Se considera un oscilador arm ónico cuántico uni dimensional, cuyo ham iltoniano es:
H = — + ---x".
2 m 2
tivameme,^ en x y en
p.
respec-\j/
= /' . cierto estado normalizadoincertidumbre
m ! n i^ a 7 ~ T
tales que en pIIoc i ~ definición,
dumbres tor^. f P'^oducto de dichas incerti-
Principio de incertlH? con el
diense, en general ®· Construyanse y estú-
general, los estados 2
)
Con-50
sidérese un cierto e s ta d o normalizado cuvas in certidum bres verifican:
{Ax)^rri(o^
(Ap)^ hcot]2s
donde r] y s son n ú m e ro s reales (sin dimensio nes). Estúdiense las propiedades de i¡/q. Para dicho estado, c o n sid é re n se los cocientes = A x/(x) y
Cp = Ap/<p>. Estúdiese el comportamiento de di chos cocientes en el límite clásico, siendo sfijo, en los casos siguientes: i) tj no depende de //, ii) rj = /// <x><p> (m an ten ié n d o se am b o s <x>, <p> finitos y no nulos en dicho límite). 3) Respóndanse a todas las cuestiones del ap artad o 2) en el caso particular en que rj =
Sugerencias:
En el apartado 1), utilícese, como punto de parti da, la siguiente función (en la cual se basa la de mostración formal habitual de las relaciones de in certidumbre): fU ) = - OC' d x \ { x + ¡Áp)tl/{x)\^ = / M p ) ^ - fl'· + (Ax)' X = X - <x> p = p - i p ) (Ax)' = <(x - <x»'> (Ap)' = <(p - <p»^>, siendo /. un parámetro, (x, p] = x p - p x = V
do evaluados todos los valores esperados en el es tado ip =
En el apartado 3), a fin de caracterizar los corres pondientes estados i/'q, introdúzcanse los operado-
res de creación y de destrucción a, en general mediante;