PROBLEMAS
DE F Í S I C A C U Á N T I C A
R o n > ó n F « m ó n < t « z A h r o x e z - E s t n x l o
J o s é L u i s S d n c r t o z 6 4 m « z
Ramón Fernández Álvarez-Estrada y José Luis Sánchez Gómez
100 problemas
de Física Cuántica
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© Ramón Fernández Álvarez-Estrada y José Luis Sánchez Gómez © Alianza Editorial, S. A., Madrid, 1996
Juan Ignacio Luca de Tena, 15; teléf. 393 88 88; 28027 Madrid ISBN: 84-206-8633-6
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28850 Torrejón de Ardoz (Madrid) Printed in Spain
Indice
Problemas Páginas I n t r o d u c c i ó n ... IX 1. A l g u n o s f e n ó m e n o s b á s i c o s y f í s i c a p r e c u á n t i c a 1-ÍO 1 2. In t e r p r e t a c i ó n p r o b a b i l ì s t i c a y f o r m a l i s m o c u á n t i c o. . 11-18 33 3. P r o b l e m a s e n u n a d i m e n s i ó n ... 19-27 59 4. M o m e n t o a n g u l a r, e s p í n y á t o m o d e h i d r ó g e n o... 2 8-35 85 5. O t r o s p r o b l e m a s e n t r e s d i m e n s i o n e s... 36-44 113 6. P a r t í c u l a s i d é n t i c a s y e s t a d í s t i c a s c u á n t i c a s... 4 5 -5 0 155 7. P e r t u r b a c i o n e s e s t a c i o n a r i a s y m é t o d o v a r i a c i o n a l . . 51-68 179 8. P e r t u r b a c i o n e s d e p e n d i e n t e s d e l t i e m p o, t r a n s i c i o n e s. 6 9 - 7 6 219 9. T e o r í a d e l a d i s p e r s i ó n... 77-89 239 10. M i s c e l á n e a: m a t r i z d e n s i d a d, d i s p e r s i ó n b i d i m e n s i o n a l. 9 0 -1 0 0 269 A p é n d i c e: a l g u n a s f ó r m u l a s m a t e m á t i c a s d e u t i l i d a d... 299 T a b l a d e c o n s t a n t e s f í s i c a s u t i l i z a d a s e n e l t e x t o 301VII
Introducción
En este libro se presenta un conjunto de cien problemas resueltos de física cuántica que pretendemos cubran los aspectos fundamentales de esta disciplina.
Aunque el libro está dirigido principalmente a estudiantes del primer ciclo de la licenciatura de ciencias físicas, y, en consecuencia el nivel de dificultad de la mayoría de los problemas es el correspondiente a dicho primer ciclo, hay algunos problemas, o partes de algún problema, algo más difíciles que vienen señalados con un asterisco.
Se ha supuesto que el lector (y el estudiante de física cuántica en particular) ha utilizado ya alguno de los diversos textos'de Física Cuántica y Mecánica Cuántica existentes, en los que ha podido ver los ejemplos y problemas más habituales (pozo y barrera infinitos, oscilador armónico, etc.). Por ello, y para evitar duplicaciones innecesarias, tales ejemplos no serán reproducidos aquí de manera directa como problemas. No obstante, en ciertas ocasiones, se proponen problemas que son una combinación simple de algunos de esos ejemplos senci llos de los textos, lo que, dicho sea de paso, hace que ciertos enunciados resulten algo extensos.
Además de los problemas resueltos, hemos incluido, como apéndice, una breve selección de fórmulas matemáticas de utilidad y una tabla de constantes físicas que aparecen a lo largo de la obra. Los libros útiles para la resolución de determinados problemas se citan en el problema correspondiente. De todos modos, damos a continuación las referencias de libros básicos de Física Cuán tica y Mecánica Cuántica escritos en castellano:
A. Galindo, P. Pascual, Mecánica Cuántica, Eudema (1989).
J. Sánchez Guillén, M. A. Braun, Física Cuántica, Alianza Editorial (1993). C. Sánchez del Río (coordinador). Física Cuántica, Eudema (1991).
F. J. Ynduráin, Mecánica Cuántica, A lianza E d ito ria l (1988).
Ramón F. Álvarez-Estrada agradece a Ángel G ó m ez N ico la sus co n..; en el tratam iento informático del texto.
Algunos fenómenos básicos
y física precuántica
1
La superficie del Sol p u e d e asimilarse a un cuerpo negro radiante a t e m p e ra tu ra Ts, y el Sol a una e s fera de radio En un lugar de la superficie de la Tierra, cuya vertical form a un ángulo 6 con la direc ción en la q u e se ve el Sol, se considera una pequeña área d. Sea d la distancia Tierra-Sol. Véase la Figura. O b té n g a n s e e x p re sio n e s ap ro x im ad as para: a) las can tid ad e s de energía en la radiación solar dE y E
q u e llegan, por unidad de tiempo, a a en un pe q u e ño intervalo de frecuencia dv en torno a v y con cual quier frecuencia, respectivam ente; b) los núm eros de fotones, N y d N que, procedentes del Sol, llegan a (7 por unidad de tiem po con cualquier frecuencia y
en un p e q u e ñ o intervalo de longitudes de onda dA
Sol d Tierra
Solución
e n t o r n o a X, r e s p e c t i v a m e n t e ; c) e s t u d í e s e si d/V/dl t i e n e a l g ú n m á x in n o al v a r i a r la lo n g itu d de onda
a) L a cantidad de energía em itida por la superficie del Sol p o r unid ad de tiem po, superficie y unidad de intervalo de frecuencia (conocida com o la radiancia es pectral) está d a d a p o r la fórm ula de Planck:
1
4 ^ x p { h v / k j , ) ~ 1
donde c h y kg representan, respectivamente, la veloci dad de la luz en vacío, la constante de Planck y la de
Boltzm ann (dadas en la T ab la de Constantes). Es claro que a cantidad de energía que llega a cr ha de incluir el actor de reducción l/(4nd^). D ado que d es mucho m ayor que (y, p o r tanto, que el radio de la Tierra), os rayos solares que llegan a a pueden considerarse como aproxim adam ente paralelos. También es natural que la cantidad de energía que llega a a dependa de la proyección de la superficie S del Sol cuya radiación pue- a llegar a cr, sobre ésta. Es decir, dicha cantidad de energía será proporcional a eos 6. Así pues:
dE = SR^{T^)dv eos O o And'
visible desde a en · superficie solar es — i4 n R ^ )n T Prirnera aproximación, se tiene: S ^
tiempo es ^ ^ donde E = R(Ts)S eos O o And^ ^{Ts) = ' 00 O dv R^{T^) — (TsB^s
es la radiancia total, y siendo la constante de Stefan- Boltzmann. b) Se tiene, análogamente: N = f*oo O j ^v(^s)\„ O’ dv —^— IS cos 9 hv 4nd^
siendo R^{Ts), de nuevo, la radiancia espectral, así como:
dN - / W - Stt dÁ S eos O----
-4 4nd
donde hemos introducido, por conveniencia posterior:
f U ) =
1 1
exp {hc/kJs^) - 1
c) Claramente, dN/dX tiene un máximo sí f(k) lo tie ne. Imponiendo df{X)/dX = O, se obtiene inmediatamente la ecuación (x = hclik^T^X)):
X = 4 - 4 exp ( - .x).
Resolviendo numéricamente esta ecuación, se obtiene: X ^ 3,92. Es fácil comprobar que f(X)\ i) se anula en ios extremos >1 = O y >3. = oo de su intervalo de defmición; ii) es positiva y finita para todo L Así pues, la solución ~ hc/(3,92kg) (análoga, pero no idéntica, a la ley del desplazamiento de Wien) corresponde al único máximo de /(;.).
Un pequeño satélite artificial esférico, de radio r,
describe una órbita circular alrededor de la Tierra.
La distancia del satélite a la superficie terrestre es mucho más pequeña que el radio de la Tierra. Véase
la Figura. O b t é n g a s e u n a f ò r m u l a a p r o x im a d a para la e n e r g ia to ta l, q u e el s a té lite recib e del Sol por u n id a d d e t i e m p o ( d e s p r e c ia n d o la c a n tid a d de e n e r g ía q u e el s a té lite d e ja ría d e recibir si la Tierra s e in te r p u s ie r a e n t r e él y el Sol). El satélite, cuya t e m p e r a t u r a a b s o l u t a T va a u m e n t a n d o a m edida q u e recib e e n e r g ía del Sol, s e c o n v ie rte , a su vez, en e m is o r d e rad ia ció n al e s p a c io . A sim ílese el satélite a un c u e r p o n e g r o a t e m p e r a t u r a 7. S u p o n ie n d o que s e alcanza un r é g im e n d e equilibrio en el q u e toda la radiación recibida p o r el satélite e s reem itida por él a tr a v é s d e su superficie, h állese su te m p e ra tu ra .
U tilícense r e s u lta d o s del P ro b le m a anterior.
Satélite
\
' ' \ \ Tierra Sol SoluciónLa distancia del satélite al Sol puede aproximarse por la distancia d entre este último y la Tierra. Utilizando los resultados del apartado a) del Problema 1, la energía total en la radiación que el satélite recibe del Sol por
unidad de tiempo es, aproximadamente;
ree And‘
Nótese que, en primera aproximación: i) solamente la mitad de la superficie del satélite recibe radiación solar; ii) hemos sustituido eos 6 (siendo 6 el ángulo que forma una perpendicular genérica a la superficie del satélite que recibe la luz solar con la recta que va de éste al Sol) por la unidad. Análogamente, la energía total radiada por el
satélite por unidad de tiempo a través de su superficie cuando éste se trata como un cuerpo negro a temoera’
tura T, es; ^
E . = Anr^a.^T^.
En la situación de equilibrio radiactivo, se tiene; £ ~ ^rad> donde resulta la temperatura de equilibrio
r = T, ■^s
2d
i 12
Un haz de radiación electromagnética de intensi dad / = 3 X 10"^ vatio/m^ y longitud de onda incide sobre una placa de cesio cuya superficie es S = 1 cm ^ pro duciéndose un efecto fotoeléctrico (véase la Figura). Para / = 4.560 Á ( = Á,) y 3.560 Á ( = Á^l el potencial de frenado es Vq = 0,78 voltios y 1,54 vol
tios, respectivamente. Determínense: a) la constante de Planck h; b) la función de trabajo Wq del cesio; c)
la longitud de onda, correspondiente a la fre cuencia umbral d) el número de fotones con lon gitud de onda que llegan a la placa de cesio por seg u n d o (s). S u p ó n g a se que para / = (con un po tencial inferior al de frenado correspondiente), la co rriente de electrones producida es / = 0 ,2 x 1 0 ® amperios. Hallar el número de electrones liberados por la placa de cesio en un segundo, así como el rendimiento o eficiencia del efecto fotoeléctrico en este caso. Trátese la placa de cesio como un detec tor de fotones y supóngase que, en la absorción de cada fotón con energía E = hc/A, hay una impreci sión Erj, siendo O < r] < ^ . Hallar una expresión para el máximo número de fotones que la placa puede distinguir por segundo. Si dicho número fuese del
orden del número de fotones que llegan a ella por segundo, estímese cuál es el valor de fj.
F otón
O-·
- ► Electrón
Solución
Placa de cesio
Con un flujo constante de radiación electromagnética (con A fija) incidiendo sobre la placa, se produce el efecto fotoeléctrico, cuando el potencial de retardo es pequeño.
u ^ n g a s e que este último aumenta hasta coincidir con el de frenado correspondiente a A, con lo cual se interrumpe la corriente de electrones. Entonces, se tiene;
ch
J = Wo + eV^o’
íirülír·^ el valor absoluto de la carga del electrón. Par- c o r r ^ ^ H e'^uación para A = A, y A = con ios lineal h valores de Vq, se obtiene un sistema
cógnitas h ’v ' w * ecuaciones para las dos in-h = ¡ l x m - ^ í · c = 3 X 10‘o cm/s, se tiene;
Vq cumple h v La frecuencia umbral
o Oí y la longitud de onda asociada es ch
= 6.420 À. o
n =
/iv, 6,6 X 10‘^s-».
EI número de electrones liberados por la placa en un segundo es (tomando el valor de e dado en la Tabla de Constantes):
« = - = 1,2 X lO '^ s-'.
El rendimiento del efecto fotoeléctrico es:
r = - - 0,02 = 2 %. n
Según la relación de incertidumbre energía-tiempo, si en cada efecto fotoeléctrico hay una imprecisión Erj en la energía del fotón, entonces el tiempo que «dura» la de tección del fotón (por causa de dicho efecto) es, aproxi madamente:
h Erj
Así pues, en un segundo el número máximo de fotones que se pueden detectar es, aproximadamente.
N -I
1 Icrjn Á = (
4,1 X 10^^seg
S\ N y n son aproximadamente iguales,
- 1,6 X 1 0 - = Sí „ > C < lo). * fotones en el haz de radiación electromagnética
te que llegan a toda la superficie de la P (mayor) que el número máximo de fotones q u funcionando como detector, puede distinguí gundo.
P f o b t e i i i i 4
Se aceleran e le c tro n e s , e m itid o s p o r un c á to d o ca liente, por m e d io d e u n a d iferen cia d e potencial en tre aquél y un a superficie a n ò d ic a plana. Al llegar
aquéllos a las p ro x im id a d e s d e e s ta últim a (perpen dicularm ente a su superficie), llevan u n a energía ci nética Tq = 400eV. Al c h o c a r los e le c tro n e s con el
ánodo, s e em ite radiación e le c tro m a g n é tic a de rayos X. V éase la Figura 1. (Una d is c u s ió n elemental de dicha radiación p u e d e v e rs e , p o r ejem plo, en el libro Física Cuántica, v o lu m e n I, sec c ió n 2.3, coordi nador C. S án ch ez del Río, E u d e m a , M adrid, 1991.) 1) Hállense su longitud de o n d a m ín im a, y la co
rresp o n d ien te frecuencia, Si dicha radiación de rayos X, con incidiese s o b r e una placa de sodio, e s tú d ie s e la posibilidad de producir un efecto foto
eléctrico. Dato: La función de tra b a jo del sodio es Wq = 1,82eV. 2) S u p ó n g a s e q u e un electrón emitido por el cátodo, ju s ta m e n te al llegar a las proximida des del á n o d o (p e rp e n d ic u la rm e n te a su superficie), sufre una colisión to ta lm e n te elástica con un fotón
de la radiación de rayos X. El fotón tien e A „ V
Cátodo Electrón O---Fotón Á n od o F i g u r a 1 8
m ueve perpendicularmente a la superficie anòdica en dirección al catodo (esta dirección se tomará co’ m o eje x positivo). Hállese la longitud de onda de la radiación electromagnética reemitida, tras la coli sión, en una dirección que forma un ángulo 6 con el eje X. Véase la Figura 2.
Cátodo >► M---- o V Ánodo / o Vo-: Fotón - ► : Electrón
)
Figura 2 Solución1) La diferencia de potencial, V, entre eJ cátodo y el ánodo capaz de producir una energía cinética (no-rela tivista) Tq = 400 eV a un electrón verifica: Ve = Tq, sien do e el valor absoluto de la carga del electrón. Por otra parte, la mínima longitud de onda en la radia ción de rayos X aparece cuando, a nivel de cada proceso elemental, toda la energía cinética del electrón se con vierte en energía de un fotón. Así pues, esta última sa tisface hclX^^,^=Ve. Tomando c ^ 3 x 10^°^ c m -s"\ /i ^ 4,1 X 10'^^ eV-s, se obtiene ~ 30,7 Á. La
V —,
cuencia de un fotón con es — ~ 9,7 X 10‘* s “ '. La energia de un fotón con dicha frecuencia es E = 400 eV, que es m ayor que la fun ción trabajo del sodio, Wq. En consecuencia, se puede
producir el efecto fotoeléctrico.
2) El proceso considerado es un efecto Com pton, en
el que el electrón del estado inicial se mueve según el eje X negativo con energía cinética no relativista, Tq. Sean Pg, p, los módulos de los m om entos del electrón antes y después de producirse el efecto C om pton, y denotemos por m, su masa en reposo. Sea 0 el ángulo que forma la dirección del electrón saliente con el eje x positivo. El eje V es paralelo a la superficie del ánodo. Se tiene, por conservación de momento (según los ejes x, respecti
vamente) y de energía: heos O Po = — ;— + Pi cos (p ‘min Il sen O O = --- Pi sen (j) he he - + m^,e + Tq = — + min X con 7-0 = p^/2m„ T, = ( m y + Puesto c^ue, a priori, no está garantizado que el electrón saliente
sea no-relativista, hemos utilizado la expresión relativis ta para su energía cinética, en general. Operaremos como en el caso del efecto Compton más simple, corres
pondiente a Pq = 0. Eliminando (f> entre las dos ecuacio nes de conservación de momento, se tiene:
mín
Por oira parle, utilizando la expresión para T, en
d ò n de /),. se tiene: (T, c)^ + 2 m T . v i„
• j 1 / · /■ ' I Pi' y la conserva
ción de la energia implica:
c c iMin
La combinación de las tres últimas relaciones permite eliminar T J c y p], y obtener una ecimción lineal para h/Á. La solución de esta última ecuación, que es lo que se pide, da: B = 2h B A = T J c + m^c + (¡ + {<] - Po) eos ( T J c ) ^ + 2 ( T J c ) q + </' + 2 m , c { T J c + q) - ( q - po)^ q = h/Xmín’
Nótese que esta fórmula para X se reduce a la conocida
fórmula de Compton cuando Tq = 0.
Se considera un condensador formado por dos placas planas y paralelas entre sí, A y B. La placa es el plano (x, y), con z = 0. La placa B esta en e plano z = d. Entre a m b a s placas hay un campo eléc trico constante, f., perpendicular a ellas. ® ^
placa A, sale emitido un electrón con velocidad des preciable, el cual, bajo el efecto del campo e ec ri , llega a la placa B, dentro de una
cuya área es AS. Estímese el orden de
AS. ii) S u p ó n g a se que el electrón sale e ^
locidad Inicial ^ » 1 0 , 0 , v , J . Estímese el <¡« la región AS en que dicho electrón pue e
placa B. Véase la Figura.
Solución
i) En este caso, siempre puede suponerse que el elec trón es emitido desde el punto x = y = z = O en A en el instante í = 0. Al cabo de un tiempo z llega a la placa
B, a un punto de coordenadas x = Xq, y ^ yo^ ^ ^ tiene:
ax d = — ’
donde
a = (
1
)siendo y e la m asa y el valor absoluto „te, a electrón. Asimismo: Xo = y yo ~ V - las es la aceleración según la dirección z, y fy
velocidades (constantes) en las direcciones x, y- mentó del electrón según el eje x es:
m.Xo Px =
esperar q u e n w ·
icos, sean peaueñnc t? debidos a efectos
cuán-^rnbres y á x d ^ ^ ^ tu r a l aceptar que las incertl·
magnílud que lo» valores absolutos de t e correspo,,. I dientes variables, es dear, Áp, ~ |pj, ~ |x.i Así pues, la relación de incertidumbre posición-momento A x q X A p ^ ~ ti (siendo h = h /ln la constante de Planck reducida) puede sustituirse por:
h.
Las ecuaciones anteriores implican:
o
flT
Un análisis similar puede aplicarse a la deteraiinación de >»0, con un resultado análogo al hallado para Xq. El área buscada es A5 ~ Xq}^o· Combinando esta estima ción con las halladas para Xq, j/q Y con las ecuaciones que proporcionan d, a, se obtiene:
AS 2dm^ es 1/2 Nótese que h ~ 1/2 ee 1/4 m^_ - _dm^_
ii) La posibilidad de que el electrón tenga una velo cidad en A podría ser debida, por ejemplo, a que aquél haya sido acelerado previamente, y esté pasando a través de un pequeño orificio justamente en A. Ahora puede suponerse también que el electrón es emitido desde el punto X = y = z = O (que tomaremos como coordena das de A) en el instante í = 0. Al cabo de un tiempo r llega a la placa B, a un punto de coordenadas:
>'0 =
13
El análisis de este caso es similar al del caso i). La única diferencia es que el valor de t es distinto. Este último v el resultado final p ara AS son:
2d
T =
AS ñx
La aceleración a está dada en la ecuación (1).
Un haz d e radiación e le c tro m a g n é tic a , con longi tu d e s d e o n d a c o m p r e n d i d a s e n un e s tre c h o inter valo en t o m o a Ao = 972,6 Á, incide s o b r e un átom o d e h id ro g e n o e n su e s t a d o f u n d a m e n ta l, a) M uéstre s e q u e la radiación p u e d e s e r a b s o r b id a por el áto mo. E stím e se el efecto del r e tro c e s o del á to m o en dicha a b s o rc ió n , b) S u p ó n g a s e q u e el á to m o perm a nece ex citad o un t i e m p o S t ^ 1 0'^ s, tras el cual vuelve a su e s t a d o fu n d a m e n ta l. E stú d ien se en qué fo rm a s podría, e n principio, e fe c tu a rs e e se retorno. E valúense las lo n g itu d e s d e o n d a d e los correspon d ie n te s f o to n e s e m itid o s . E s tím e s e la incertidumbre en la e n e rg ía del e s t a d o a tó m ic o excitado que se form ó, c) S u p ó n g a s e q u e u n o cu alq u iera de los fo t o n e s e m itid o s en la d e s e x c ita c ió n del á to m o sufre
un efecto C o m p to n c o n un electró n libre (alejado de
dicho á to m o ), y q u e e s tá p rá c tic a m e n te en reposo. V éase la Figura. E s tú d ie s e la p érd id a de energía (en ta n to p o r ciento) d e la radiación electrom agnética en dicho efecto C o m p to n , y carac teríc ese el caso en
q u e es m á x im a .
Solución
a) Sea 13,6 cV)/n^ la energía del estado ^í-ésimo del átomo de hidrógeno (según la Teoría de
Bohil-- o .Electrón
O
Protón Fotón
Átom o de hidrógeno
El estado fundamental corresponde a « = n. = 1. Al ab
sorber un fotón de la radiación incidente, el átomo pasa del estado fundamental a un cierto estado n-ésimo que hemos de determinar. Para una primera estimación, su pondremos que el átomo es muy masivo, y que su centro de masas permanece fijo en la absorción. Así, en este proceso, puede omitirse la conservación del momento, y solamente hay que considerar la de la energía. Esta úl tima implica (Hc/Áq) A su vez, esta ecuación puede reescribirse de la siguiente forma:
= R AO
9.117.600 m ^ la constante de Rydberg pa- Hidrogeno, y habiendo sustituido 1 por (para aplí- ^ones posteriores). Al sustituir Áq por su valor y hacer
cín 1 ®^tíene n = 4, que es el número cuántico prín-, estado excitado al que «salta» el átomo tras sor er el fotón. A continuación, estimaremos la in- encia del retroceso del átomo (cuya masa se denotará ah^ ^ supone que éste está en reposo antes de la y tras ella, adquiere un momento cuyo u o denotaremos por p. Ahora hay que imponer no
o ámente la conservación de la energía (incluyendo Ja enei^ía cinética asociada al movimiento del cen-pO de masas del átomo), sino también Ja deJ momento,
stas Jeyes de conservación son, respectivamente: (hc¡
o) + ~ E^-\- p~l2m„ y (/j/Íq) = P· Aproximando por la masa del protón, la ecuación de conservación del í^omento permite estimar {p^llm^)l{hclAQ) ~ 10~^. Así
núes la influencia del retroceso del átom o es desprecia ble Por hipótesis, la anchura del intervalo de longitudes de onda en la radiación incidente es: i) suficientemente pequeña, como para que sólo sea posible excitar el nivel „ = 4; ii) de un orden tal que, al incluir el retroceso del átomo, las anteriores ecuaciones de conservación de energía y momento admiten n = 4 como única solución.
b) Las transiciones mediante las cuales el átom o ex citado puede volver, en principio, al estado fundamental son las siguientes: 1) de n = 4 a Wy. = 1, con emisión de
un fotón de longitud de onda X = Xq = (1 6 /1 5 )R ~ \ 2) de n = 4 a Hy = 2, seguida de otra de = 2 a = 1, emi
tiéndose sucesivamente dos fotones con longitudes de onda X = (16/3)^;' y >l = ( 4 / 3 ) R - \ 3) de w = 4 a = 3, seguida de otras dos, d e n y = 3 a n y = 2 y d e n y = 2 a
rij = 1, con emisiones sucesivas de tres fotones con /1 = (144/7)R;S ( 3 6 I 5 ) R - \ W 3 )R ~ K La incertidumbre óE en la energía del estado atómico excitado con n = 4 es, de acuerdo con la relación de incertidumbre energía- tiempo: ÓE ^ (h/St) 6,6 X 1 0 - eV.
c) Consideremos uno cualquiera de los fotones emi tidos en la desexcitación, con longitud de onda genérica
A y momento q, y estudiemos su efecto Compton sobre un electrón externo al átomo y en reposo. Tras el efec to Compton, el fotón del estado final tiene longitud de onda y su momento forma un ángulo O con q. De acuerdo con la teoría del efecto Compton, se tiene:
~ ^ = 2X^(stn6l2)^, siendo ^ h/(m^c) = 0,024 Á la longitud de onda de Compton del electrón (cuya masa es mj. La energía perdida por el fotón, en tanto por ciento, es:
hc/X - hc/X, 2Ac(sen 0 / 2 f hcjX X -l· 2Ac(sen 0/2)^
a cual, para X dada, es máxima para 6 = Tr/2, y su valor es Xc/(X + 2/^); a su vez, esta última cantidad es máxi
ma cuando / corresponde a la longitud de onda más corta que se emite en la desexcitación del átomo: esto ocurre para X = ( \ 6 / \ 5 ) R - \
Se c o n s id e ra una partícula microscopica, de m asa m, so m etid a a los potenciales unidimensiona les V(x) q u e se indican a continuación (véanse las Figuras 1, 2 y 3). 1) 2) 3) V{x) = O, y,O' 2' r+00, O, O' V( x) = < o, GC, - áx, 2 ^3/ x < O a > x > O b > x > a x > b x < O O < x < a a < x < b b < x < c x > c x < - p - P < x < 0 O < x < a a < X V(x) x = 0 X = a Figuro 1 17
. . / \ / \ / a 0 , A y co c o s ta n t e s positivas, con
siendo '^0. 2- . ^ ' ^ g g , 3 S d e cuantificación
d r B o h ís o m m e r f e ld - W n s o n , o b t é n g a n s e las ener- gias E de los esta d o s ligados.
jc = 0 = a x - b x = c
Figura 2
V{x)
F i g u r a 3
Diversas presentaciones de dichas reglas de c u a n tificación pueden verse, por ejennplo, en los libros
Mecánica Cuántica, volunten II, capítulo 9 , de A. Ga lindo Y P. Pascual, Eudenna, Madrid, 1989, Y
cánica Cuántica, capítulo 8, de F. J. Ynduráin, Alian za Editorial, Madrid, 1988.
Solución
En los estados ligados, los valores permitidos de E están comprendidos entre el mínimo valor de V(x) y el valor de éste que corresponde a movimientos limitados (yendo la partícula al infinito). Más aún, en la Teoría Cuántica, no todo el conjunto continuo de valores de E que verifican la condición anterior son posibles, sino so lamente una serie discreta de ellos que caracterizaremos a continuación. Sea p = p{x) = [2m{E - V(x)] el momen to de la partícula, y sean x^, x^, ... {x^ < X i< ·.) posi ciones tales que, en ellas, p = O (puntos de retroceso). Según las reglas de cuantificación de Bohr-Sommerfeld- Wilson, los valores fí^sicamente permitidos para E vienen dados implícitamente por:
p{x)dx = nlnh.
siendo n un número entero no negativo. La integraci n se efectúa en toda la región entre los puntos de retroceso en que p(x) es real, y de forma tal que correspon eria a integrar en dicha región desde el punto de retroceso si tuado más a la izquierda (xj) hasta el último a a erec (x^, digamos) y, a continuación, desde este ú timo aci la izquierda, hasta llegar a x^. En los casos que ^^rem en este Problema, esta prescripción será
integrar desde Xi hasta y multiplicar por
interesante se verá en el Problema siguiente. s mos que, en general, esta regla de cuanti
sultados tanto más precisos para E (en cuán-los valores exactos), cuanto mayor sea e
tico n. De ordinario, debe esperarse que ^ _ q dicha regla empeore al disminuir ti, y, asi, e
suele excluirse. Con el propósito de - se sus-lidad y la precisión de la regla de mediante tituye . por n + 1/2, según puede justificarse med
análisis avanzados. Dicha sustitución no se efectuará en los Problemas que tratarem os. 1) Sea O < £ < En tal caso, los puntos de retroceso son. Xj O y X2 ~ íi, y se
tiene:
'fl O
p(x)dx = 2 (2m£)^^^ d x = nlnfi.
Así pues, los niveles discretizados de energía están dados por:
2 a {2 m E Y '^ = n 2nh
con n = 1, 2, ..., tal que {nntiy·llma^ < Vg- A continua ción, sea Vq < E < siendo los puntos de retroceso
Xi = X y X2 = fc (x = a ya no lo es). Ahora se tiene:
(2mEyi^ dx + 2 o
[2m(£ - V o ) y ^ d x = «,27tií.
es decir:
2a{2mEyi^ -l· 2(b - a)[2m(£ - = rii2nh,
siendo nj otro entero tal que los correspondientes valo res de E no coincidan ni con Vq ni con V,. Claramente, ya no podemos aplicar la regla de cuantificación para valores mayores de E, pues entraríamos en la región de movimientos ilimitados, en la que ya no hay estados hgados.
2) Si O < £ < Vq, hay cuatro puntos de retroceso, y
los niveles están dados por;
2 a(2 m £ ) i /2 -t- 2(c - b)[2 m E Y ' ^ = n i 2 nh. Si Vq < E, hay dos puntos de retroceso, y se tiene:
2a(2m£)‘/2 + 2(b - a)[2m(E - + + 2(c - b){2mEY>^ = n,2nh.
En ambos casos n, (>0) y n, (>,0) son números cuán ticos, tales que E no coincida con V,,. Nótese que n, está limitado supenormente por la condición anterior en tanto que puede ser tan grande como se quiera. ’
3) En lo que sigue, supondremos siempre que O < £ < Vq. Los dos puntos de retroceso -X i(<0) y X2( > 0) satisfacen:
Áx^ = E
mco^xl
= E.
Nótese que O < Xj < a y O < X2 < i^· La regla de cuan
tificación da:
- X I
'X2
p(x) dx = nlnñ. o
Sendas integraciones elementales implican:
‘O p(x) dx = -3/ '*^■2 jiE p(x) dx = O 2cü
Por tanto, las energías E del conjunto discreto de esta dos ligados permitidos vienen dadas por:
TíE 3I
= nlnñ
con « — 1, 2, con tal que la energía resultante verifique
O < £ < Vq.
Problema 8
Una molécula diatóm ica s e r e p r e s e n ta , de forma idealizada, por d o s m a s a s m„, m^, con c a rg a s eléc tricas q, - q , s e p a r a d a s e n tre sí u n a distancia fija, d
(es decir, es c o m o un sólido rígido). S u p ó n g a s e que la molécula está en un c a m p o eléctrico constante y hom ogéneo seg ú n el eje z (O, O, e) y q u e su centro de m asas está quieto en el o rig en , O. Hallar el ha- miltoniano clásico q u e d e s c rib e los cam b io s de orientación de la m olécula en el c a m p o eléctrico. Utilizando las reglas de cuantificación de Bohr-Som- merfeld-Wilson, o b té n g a s e una fó rm u la implícita para los niveles de energ ía de la m olécula en el cam po eléctrico, en general.
Solución
Sean x, y, z los ejes ortogonales del sistema de refe rencia inercial y con origen O, respecto al cual la mo lécula se mueve: el campo eléctrico es constante según el eje z. Sean X , Y, Z otros tres ejes ortogonales entre sí y con origen O, rígidamente unidos a la molécula y de modo que ambas masas están en el eje Z (véase la
Figura).
Dado que O es el centro de masas, las coordenadas de ambas masas son, respectivamente: X = y = q M = m, + la masa total. Sean ly, los momentos de inercia de la molécula respecto a los ejes A", y, Z. Se tiene:
/ v = / v =
Iz 0
.
I =
M
Sometida al campo eléctrico, la molécula eléctricamente neutra se orienta en el espacio, manteniendo en reposo en O su centro de masas. Claramente, los ejes X, Y, Z pegados a la molécula constituyen un sistema de referen cia no inercial. Sean 9, 0 ángulos (de Euler) que definen la orientación de la molécula respecto a los ejes (inercia- les) X, y, z. La energía cinética de la molécula, tratada como un sólido rígido (trompo simétrico) en Mecánica Clásica es:
7 = - ((sen 0)^0^ + 9^).
Nótese que O :^0 ^ 27r, y O ^ 0 ^ 7r y q u e (p = clcp/dt, Ó = d9/dt. La molécula puede ser considerada como un dipolo eléctrico. Así pues, su energía potencial en el cam po eléctrico es:
V = eD eos 9,
donde D = qd es el momento dipolar de la molécula. El lagrangiano de la molécula es: L = T - V. Pasemos a la descripción hamiltoniana. Los monientos canónicamente conjugados de 9, (f) son: Po = dLdÓ, p^ = dic(j), respec tivamente. El hamiltoniano, que es H = 9po + ^P<p se reescribe así:
H =
21 sen^9
+ V.
C laram ente, p ^ y H son constantes de movimiento, y las correspondientes ecuaciones de H am ilton (o de Lagran
ge) son integrables. P a ra valores dados de y H, se tiene;
Pe = (E - V)2J sen·
1/2
(
1
)Pasemos al estudio cuántico, m ediante las reglas de cua- tificación de Bohr-Sommerfeld-W ilson. Según ellas, y H están cuantificados, y sus posibles valores vienen da
dos implícitamente por :
r2n p^d4> = n ^ ln h O Froblema 9 «/ a. PgdO = ngluñ.
donde y rig son núm eros enteros no negativos, de e tratarse com o una constante y pg debe sustituirse por e
lado derecho de \a ecuación (1). Claramente, p^ " ■ Los ángulos 0 = a y O = j3(>a) son las soluciones de la
ecuación pg = 0: nótese que am bos a y P dependen de E. La integral sobre O es igual a un múltiplo entero de 2Tin
solamente para un conjunto discreto de valores de E. éstos son los posibles niveles cuantificados de la energía.
1) Dos electrones relativistas se a p r o x im a n e ntre sí, con v e lo cidades conocidas e ig u ales en m a g n itu d y dirección, pero de sentido contrario , en ausencia de c a m p o s o agentes exteriores. D esp u és de la interacción, el estado final está constituido, por hipótesis, por los dos electrones y un fo tón a d ic io
nal, de m o d o que: i) los tres se alejan entre sí m
viéndose s ie m p re en el mismo piano- ii) lao ^ £, V f , d e a m b o s electrones soS i g i t e s
su p o n e q u e el m o m e n to del fotón del estaHn f- . es conocido en m ódulo, dirección y sentido Hállen se los m o m e n to s de los dos electrones en el es Inñ
final. Véase la Figura 1. ^
Pi P i 01
Electrón h
Electrón Electrón Electrón P7 Estado inicial EjeZ 02 * N Fotón Estado final Figura 1
2) El positrón e s una partícula con igual masa que y carga eléctrica o puesta a la del electrón. Un electrón y un positrón relativistas se aproximan en tre sí, en ausen cia de agentes exteriores, con velo cidades conocidas iguales en magnitud y ireccion, pero de sentido contrario. Tras u n p r o c e s o e ani
quilación entre a m b o s, por hipótesis el esta o ina está constituido por tres fotones, que se alejan en re sí y de la región de aniquilación. Supóngase que se miden las en erg ías y Ej de dos fotones, asi como los ángulos 0^ y O2 q u e su s mom entos forman co
el del electrón incidente. Estúdiese si quedan e er minados c o m p letam en te los momentos (en mo u lo, dirección y sentido) de los tres fotones de es a final. Véase la Figura 2.
E j e Z
Positrón Eje Z
Estado inicial
Figura 2
Solución
n Elegiremos el eje z según la dirección de los elec
trones del estado inicial. Así pues, sus tnm om entos son:
J " ÍO O Po) y h = (0. o, - Po) y energías son = ( m ^ c * + c ^ p I Y ' ^ (siendo Po la magnitud, co
n o c i d a de lo/trimomentos). Los de los electrones en el
estado’ final son: =
P, = (psen0„ O, PCOS0,) y E , = E , = (m e + c p )>/^ Como es ya habitual, c y m, son la velocidad de la luz y la masa en reposo del electrón. El trimomento del fotón en el estado final es: íT = (fc„ O, k,) (donde k , y k, son también conocidos), y su energía es c\k\. Como todas las partículas del estado final están en un mismo plano, se ha supuesto que éste es el (x, z). Las leyes generales de conservación de la energía y del trimomento totales im- plican:
2£ i = 2{mlc^ + + c\¡<\
O = psenfl^ + p sen 02 "*■ O = p eos 01 + p eos 02 ■*"
Por tanto, se han obtenido tres ecuaciones para deter minar las tres incógnitas p, 0^ y 02· Tras un sencillo
cálculo, se obtiene: P = ( E , ~ -1/ 2 eos (01 - 0 2 ) = ^ tan G, + 0. l P‘ 'X -
2
partículas en estad^^l^^j^^^^^^ trimomentos de las
Como en el
dirección del e l e c t r r t ! f ! f el eje 2 según la
tri-momentos del electrón y del positrón son: p = m n y = (O, O, - p ) y sus energías son £_ = ¿ ’ =
= ( m y + (siendo p la magnitud, conocida de los tnmomentos). Los trimomentos de los fotones en el estado^ final siempre pueden ejegirse en la forma: ki — |í^il (sen0j. O, cos^,), kj = \kj\ (senOj eos<pj, sen 6- sen (pj, cosOj), j = 2, 3. Sus energías son: E, = c\IíJ, s = 1, 2, 3; al imponer las leyes generales de conservé ción de la energía y del trimomento totales, se tiene:
2E_ = X cifc:
s = 1
0 = 1^11861101+ ^ \ÍCj\ sen 9j eos (pj
j=2
O = ^ ¡icjl sen 0^sen cpj
j=2
s = 1
Puesto que, por hipótesis, se conocen p, Ej, 9^ y 02^
las cuatro ecuaciones anteriores son necesarias y sufi cientes para determinar £3, 9^, q> 2 y (py Por tanto, los
datos que se han supuesto proporcionan una especifica ción, en principio, completa de los tres fotones del estado final.
1) Se considera un tipo especial de desinte gración ß para neutrones (n) libres (es decir, no contenidos en núcleos atómicos) muy lentos.
p + 6ß-l· Vg. Por hipótesis, en dichas desintegra ciones los electrones (e¡j) y los a nti neutri nos electró nicos { v j llevan prácticamente toda la energía is- ponible, en tanto que los protones (p) no llevan casi
Problema 10
ninguna. D espréciese la m a s a del v^. E valúense las energías y las v elo cid ad es de los e le c tro n e s y de los antineutrinos. (Una discusión e le m e n ta l de la desin tegración p y del n eutrón p u e d e v erse, por ejemplo,
en el libro Física Cuántica, v o lu m e n II, sección 40.4, coordinador C. S ánchez del Río, E u d em a, Madrid, 1991, y en Partículas Elementales, de R. F. Álvarez- Estrada y M. Ram ón M edrano, E udem a, Madrid,
1988.)
2) S u p ó n g a s e que los electro n es ejj procedentes de ese tipo de d e sin teg racio n e s atraviesan, poste riormente, un conjunto de á to m o s p e sa d o s, con nú mero atómico Z = 80, tras lo cual se detecta radia ción electrom agnética p ro ced en te de esto s últimos, correspondiente a una energía de 0,065 MeV por fo tón (véase la Figura). P ro p ó n g ase una interpretación
razonable.
Solución
1) Los trimomentos del n, p, ej¡, y son = O, Pp = O, y py. Sus energías son
Ee = y respectivamente, donde c
es la velocidad de la luz, y etc., denotan las corres pondientes masas en reposo. Las leyes generales de con
servación de energía y momento totales implican:
in„c^ = oipC·- + £,, + O = P.. + P v Se obtiene fácilmente: <? = IPel = IP 2c[c-(m„ - m„)]
28
Neutrón O I) Antes de Ja desintegración p. Antineutrino ^ ---O Protón
O O---Elecü-ón (es) 2) Después de la desintegración p. ■*0 Electrón 2 O-Electrón (ep) / / Núcleo \ \ ¡ í t I N \\ ^ \ s - jO' Atomo pesado / / 'Electrón 1
3) El electrón procedente de la desintegración p, incide sobre un átomo pesado.
*
Atomo pesado / / Núcleo \
Electrón 2 Electrón 1 \ s \ \ \ \ \ s Electrón (ep)
4) El electrón 1, muy próximo al núcleo del átomo pesado, es arrancado por el electrón e^, y deja un nivel desocupado.
/ __ N / ^ ^ \ / y N V V \\ N \ s I I I I I I ! / / // / Fotón
5) El electrón 2 efectúa un salto cuántico al nivel que dejó desocupad electrón 1, y se emite un fotón.
29
Puesto que [c^(m„ - frip)] = 1,29 MeV, resulta:
q 0,54 MeV
c
E, - 0,75 MeV E^, - 0,54 MeV.
La velocidad del antineutrino es igual a c, trivialmente. La velocidad del electrón verifica:
Pe =
nieVe
de donde líTj ^ 0,7c. Claramente, el electrón es práctica mente relativista.
2) La energía de los fotones en la radiación electro magnética detectada parece más bien pequeña para que aquéllos pudieran proceder de los núcleos atómicos pe sados y, a la vez, demasiado grande para que pudieran haber sido generados por transiciones de los electrones más externos a los correspondientes átomos. Queda, pues, por explorar la posibilidad de saltos cuánticos de elec trones individuales ligados muy próximos a los núcleos a micos. Los estados de dichos electrones son de tipo
1 rogenoide, y, así, una fórmula aproximada para sus ni-
veles de energía es E„ ^ -(13,6 eV)/„^ donde n = 1, ^ cuántico principal correspondiente a En tal (ricamente, n debe ser un entero pequeño), eia de ^ servación importante es que la
diferen-droeenoiH?^^ primeros niveles de tipo
hi-P o C t e r r ó L í r ** ^ ».««5
iriagnética dptí- ^ ^ iriterpretar la radiación electro-e¡í, procedente de u n íd ^ siguiente. Un electrón ioniza un átomo ^^^'ntegración fi de un neutrón, electrón íelecir<Sr. i°’ ^•^‘^^•’cándole totalmente un ™'co, de un nivel ^ próximos al núcleo
ató-" = 1· Cabe hidrogenoide con
•magmar que no solamente el electrón 1
arrancado, sino también el inicial «j,
dc».ntegraci<Sn f t se alejan del átonío pesado Ionizado (pues tiene aun mucha energía: 0,75 M e V - 0 0 6 s
MeV = 0,686 MeV). En todo caso, otro electrón ( í c trón 2) ligado también en dicho átomo, en otro nivel hidrogenoide con n = 2 efectúa un salto cuántico al nivel
con n = 1, que había quedado desocupado, emitiendo
un fotón. Este fotón lleva precisamente la energía
^ 2 ~ E¡ = 0,065 MeV, la cual coincide, por tanto, con
la de los fotones en la radiación detectada.
Interpretación probabilistica
y formalismo cuántico
Problema 11
Sea un sistema físico microscópico, que evolucio na según las leyes de la Mecánica Cuántica. Se su pone que el espacio de sus estados tiene dimensión 3, y que los kets |1>, \2), |3> constituyen una base ortonormal en dicho espacio. Por hipótesis, con res pecto a dicha base, los operadores correspondien tes al hamiltoniano H y a dos variables dinámicas A
y B se representan por las siguientes matrices:
H = *“ 12 12 •22 O o \ o o £33' A = (¡i, O O 8 = 0 O \ 0 o Ii,
Las cantidades E^^ E^^, E33, lU y IÍ3 son reales. Se
e s d iferen te d e cero. El sím bolo * ‘^ ® í ) ° ' F o S f n s e í a r c o ^ q u e h a n de
veri-' veri-' H A v B s e a n o p e r a d o r e s
autoad-ficarse ^ a u to v a lo r e s y los autoestados í T AnaUcese q u é o c u r re si las d o s condiciones
de H. A nalícese s im u ltá n e a m e n te . 3) En in n u e sique, s e s u p o n d r á q u e A y B so n ope-
“ d o r e s a u t o a S u n t o s : h á lle n s e s u s a u to v a lo re s y es-
tú d ie s e si c o n m u ta n con H y e n tre si.
Solución
1) H está representado por una matriz autoadjunta, así que es, en general, un operador autoadjunto. A es autoadjunto si y sólo si 0C2 = oc*. B es autoadjunto si y
sólo si P2 es real. En todo lo que sigue, se supondrá que
estas dos condiciones se verifican, y, por tanto, que am bos A y B son autoadjuntos.
2) Los autoestados del hamiltoniano son:
0n> = L I
s = 1
con autovalores E„ para la energía, rz = 1, 2, 3. Nótese que, por estar los kets \n} y 0„> ortonormalizados, se tiene:
Se tiene:
<« I s> = <</>„ I 4>s> = K
ÍH - £„] I 0„> = 0.
La condición de compatibilidad del sistema lineal om géneo para cada E„ es la anulación del correspon len determinante (det):
det [H - E„/3] = O,
34
donde I j denota la matriz unidad 3 x 3. Al resolver esta última ecuación, se obtiene fácilmente:
1
^ 2 “ 2 ^ C^ll ^22 “ [(£·!! ~ -£22)^ +
Supongamos que ( E n - E ^ ^ f + ^\ Ei2 Í^ > 0. En tal ca
so, se tiene £ j ¥= E2, y: 4>ú = ^11 1> + £1 - -Eli £12
2
> 11 </>2> = -^22 2> + 22 EÌ: 1> 1 ■22 [1 + (£2 - ^ 22)V |£i2 2-11/2 0 3 > = | 3 > .Nótese que los kets 1 así obtenidos están ya ortonor
malizados y que las fases de y ^22 ^^n arbitrarias. Cuando ni £1 ni £2 coinciden con £3, entonces no hay
degeneración. Si Ej o £2 (solamente uno de ellos) coin
cide con £3, entonces hay una doble degeneración, pero las ecuaciones anteriores continúan proporcionan o os kets |0„> correspondientes.
Supongamos ahora que £11 = £22 y» simul^t^eamen e, que £12 = 0. En tal caso, se tiene E, = Ej = E n - ^ 2 2-
En tal caso, estos autovalores están degenera os en r sí, y la degeneración es, al menos, doble. Por otra par te, £ 3 puede ser diferente o igual a ellos: en este ult - m o caso, la degeneración sería triple. Nótese que, cu
35
do £ i , = £22 y £12 = 0, las soluciones dadas arriba pa
ra los kets y I<A2> pasan a quedar indeterminadas.
Esto indica que hay, en principio, un núm ero infinito de posibles parejas de kets l<^i> y I0 2)> a no ser que se
introduzcan nuevas condiciones que determinen una
única pareja.
3) Los autovalores a„ del operador autoadjunto A (con «2 = a*) son: a^ = \a^' «2 =~ ~
^ - ^ ,, . . . . ^ 3 ~ “3· Los
autovalores b„ del operador autoadjunto B (con real) son: b„ = P „ ,n= 1, 2, 3.
Los resultados que, a continuación, se exponen acerca de las condiciones en las que H, A y B conmutan, se obtienen fácilmente sin más que evaluar [.4, K =
= A H - HA, [B, H] = B H - H B y lA , B] = /IB - BA. A su vez, estas evaluaciones se reducen a multiplicar y restar las matrices correspondientes.
El operador autoadjunto A conm uta con H si y sólo si se verifican simultáneamente las dos condiciones si guientes: E ji = £22 y E 1 2OÍ* = E*2<^í-
Cuando £ j2 # O, el operador autoadjunto B conmuta
con H si y sólo si se satisface la condición: /jj = P2· Si £12 = O, B y H conmutan siempre entre sí.
Los operadores autoadjuntos .4 y B conmutan entre sí si y sólo si = P2·
En consecuencia, los tres operadores autoadjuntos H, A y B conmutan entre sí dos a dos si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes: £ u = £ 22* Pi ~
£ i2(3tf = £ Í2ai· En particular, la última condición se ve
rifica si £12 = 0.
Probtema 12
Este Problema es continuación del anterior. En to do lo que sigue, se su p o n d rá q u e A y B son oper^' dores autoadjuntos y que # E33, E,j = 0. En tal caso, apliqúese la información previam ente
ob-t e n i d a sobre A y B a\ estu d io d e los a u t o e s t a d o s d e H.
36
1) En el instante í = O, el sistema se encuentra por hipótesis, en el estado |1> - |2> + |3>. Estúdiese si está normalizado este ket, y, en caso negativo, construyase, a partir de él, otro que sí lo esté. Hallar, en f = O, el valor esperado de W y su incertidumbre! 2) Hállese el ket normalizado Ií¿í(í)|>, que representa en el instante í > 0 el estado del sistema, cuando éste evoluciona desde í = O sin haber sido sometido a ninguna perturbación o medida. Hállense el valor medio y la incertidumbre para H en í > 0. 3) Hallar, en el instante t, el valor medio del observable repre sentado, respecto a la base de los kets |n>, por la matriz:
C =
(O O O'
siendo c real.
Supongamos que = £22 ^ ^3J V ^12 ~ 0. En tal
caso se tienen las dos posibilidades siguientes, i) El ope rador autoadjunto A siempre rompe la degeneración en tre los autovalores £1 y £ , de H (pues a, ^ 0). La base
(única) ortonormal de estados, que son, simultánea mente, autoestados de ambos H y A. con los autovalores obtenidos anteriormente, es la siguiente:
Solución 1 ^ 1) ' ) I / 2 1> + a; a, !2> 1 = I3>. 1> -a a, 2>
En esta base, A se representa por una matriz diagonal, pero B no, ii) El operador autoadjunto B rompe la
de-37 Interpretación probabilistica y formalismo cuántico
generación entre los autovalores y E2 de H cuando
# P2 · En este caso, la base ortonorm al de autoestados
comunes & H y B, que es también única, es ya la formada por |n>, n = 1, 2, 3 (aunque, ahora, ^ y B no conmutan entre sí). Si jSj = P2 1 ^ rom pe la degeneración de H,
y ambos operadores tienen infinitas bases ortonormales comunes, además de la constituida por \n}.
1) El estado inicial que se da no está normalizado, pues su producto escalar por sí mismo es igual a 3. Es
inmediato construir, a partir de él, el siguiente ket ya normalizado, que, igualmente, representa el estado ini cial del sistema:
38
• A ( 0 ) > = ^ [ | 1 > - |2> + |3>],
El valor medio o esperado de H en t = O es:
2 £ j + £ 3
U n cálculo similar muestra que:
2E\ + E \
P or tanto, la incertidumbre de H en el instante t — O es: A H = [<i/r(0)|H^|<A(0)> - [<iA(0)|H|iA(0)>]"]
2^'^|£i - £;
-12-11/2 _
2) EÍ estado li^t)) evoluciona en el tiempo de acuer do con la ecuación de Schrödinger:
d \ m > H i m y = ifì
Es fácil resolver esta ecuación, con la condición inicial
dada por |i/'(0)>. El resultado es:
iA(í)> = ^ - i í E [ 1 1 > - 12>] + exp( - líEj//!) 3>],
A partir de esta expresión, es fácil obtener que los valo res medios de H y en el instante t son iguales, res pectivamente, a los ya calculados en í = 0. En conse cuencia, las incertidumbres de / / en í y í = O son también iguales entre sí.
3) Nótese que C no conmuta con H. Se obtiene con facilidad:
2c t(E. ~ £ 3) m ) \ c \ m > = - J OOS —
que sí evoluciona con el tiempo.
Este Problem a es continuación de los dos anterio res. En éste, se s u p o n d rá que = E^^ 7^ E3 3 , E^^ = O, (X, ^ O y jSi # En ios tres primeros apartados de este Problema, el sistem a está, por hipótesis, en el m ism o e s ta d o inicial (en t = 0) que en el Problema anterior. 1 ) Si, en f = 0 , se midiese la energía del sistema, e stú d ie n se qué valores posibles se obten drían y con qué probabilidades. Si, también en di cho instante, se midiesen A ó B, caracterícense qué
resultados se obtendrían y con qué probabilida des. Estúdiense cuántos y cuáles observables entre
H, A y B sería posible medir simultáneamente en f = 0. 2) S u p ó n g a se que en f > O se midiesen H o ó B. O b té n g an se las probabilidades de los resu a d o s de l a s m e d i d a s para e l l o s . 3) S u p ó n g a s e que, efectivamente, se mide la energía en f = O y que se obtiene el valor £3 . Obténgase el estado en el que se encontrará el sistema inmediatamente despues la medición. Respóndase a la misma cuestión e
Próbtemá 13
caso en el q u e el r e s u lta d o d e la m e d id a e s 4) hipótesis, en í = O el s i s t e m a e s tá r e p r e s e n ta d o por la matriz d e n s id a d
p = Ail1><1| + A2I2 X 21 + AjISXS
A2 y A3 s o n n ú m e r o s re a le s e s tric ta m e n te posj-
ivos, ta les que: / , + A2 + A3 = 1. S u p ó n g a s e que en
1
.tivos, ta les que: -1- /I2 -1- /t3 = 1. s u p ó n g a s e que, en dicho instante, s e m id e la e n e r g ía del sistem a. Res p ó n d a s e a las m i s m a s c u e s t i o n e s q u e en el aparta do 3).
Solución
1) Al medir H solamente, los resultados posibles son:
£1 = £2 (pues se trata de un auto valor degenerado, aso
ciado a | l ) y a | 2) y a sus combinaciones lineales) y £3
(correspondiente a |3 » . El auto valor Ej aparecería con probabilidad (3“ ^^^)^ + ( - 3 “ ^^^)^ = 2/3, en tanto que
£3 se obtendría con probabilidad (3“ ^^^)^ = 1/3. Si se
midiese B únicamente, los resultados serían sus autova lores p„. Si éstos son todos diferentes entre sí, cada uno aparecería con probabilidad (3” ^^")^ = 1/3, y si hubiera degeneraciones (dobles, a lo sumo) entre ellos, las pro babilidades serían análogas a las correspondientes a las de las medidas de H. A fin de tratar el caso en que se mide únicamente A, es útil expresar ¡•/'(O)) respecto a la base de los autoestados comunes a dicho observable
y a H
m y
1
31/2 21/2 1
-+ 1 + + l3>
En consecuencia, si se midiese solamente A, los resulw
dos serían sus autovalores a^, «2 y ^'3’ proba '
lidades 3“ '[1 - (R ea,)/|a,|], 3 " ' [ 1 + (ReaiV ^
3- ‘, respectivamente (el símbolo Re indica parte real)
Puesto que ßi ßi, A y B no conmutan entre sí y a lo sumo, es posible medir simultáneamente en t = O dos observables: o bien la pareja {A, H), o bien la pareia (B, H).
2) El estado |iA(í)>, que evoluciona en el tiempo de acuerdo con la ecuación de Schrödinger, ya ha sido ob tenido en el Problema anterior con la condición inicial dada por |(¿'(0)>. Ahora será útil expresar li//(t)) respecto a la base de los autoestados comunes a A y a H. El resultado es: m > = ,1 / 2 2¡/2 1 -_ \ + 1 + e \ p ( - i t E J h ) + + 3 1 / 2
A partir de esta expresión, es fácil deducir que si en el instante t se midiese H se obtendrían los mismos valores, con las mismas probabilidades, respectivamente, que en í = 0. La misma conclusión es válida para A y B.
3) Los principios de la Mecánica Cuántica referentes a procesos de medición proporcionan directamente las respuestas. Si el resultado de la medida es E3, que es un autovalor no degenerado, el sistema queda representado por |3>, o, si se utiliza preferentemente un ket nor malizado, por |3). Si la medición da como resultado Ei, que es un autovalor degenerado, el estado que represen ta al sistema justamente tras la medición es.
1 [ |1> - |2>], el cual, tras normalizar, pasa a ser: [IO - |2>].
4) Nótese que el sistema no está en un estado puro sino en uno que es una mezcla estadística y que la traza
de su matriz densidad asociada (p) es igual a la unidad
Si el resultado de la medida es £3 , el sistema estará re presentado, tras la medición, por AjISXSl, que es la ma triz densidad del estado puro |3>: en definitiva, el sistema salta al estado puro |3>. P o r el contrario, si el resultado
de la medición es E^, tras ella el sistema estará represen
tado por la m atriz densidad:
P i - + >Í.2|2><2
que es también un estado mezcla. En este caso, otra ma triz densidad que representa tam bién el estado del siste ma tras la medida (y es, por tanto, equivalente a p ,) y
tiene traza igual a la unidad es: p2 = Pi / Ui + À2)·
F r á lite n ia 1 4
Una partícula m icroscópica de m a s a m, que evo luciona librem ente, e s tá r e p r e s e n ta d a en el instante í = O por la función de o n d a ( x = (x, y, z)):
\l/(0) = \¡/{x, 0) = N exp ~ olJ,x - Xq)^) exp
yV - «kI K ~ Voll ex p [ / \ / “
d o n d e x> K K z c o n s ta n te s reales, N es un n ú m e ro co m p lejo y a.y y so n c o n stan tes
y e stric ta m e n te positivas. Hallar: 1) la c o n s ta n te N,
de fo rm a q u e ^ { 0 ) e s té norm alizada, lo cual se su
po n d rá en to d o s ios a p a r ta d o s q u e siguen; 2) la fun ción de o n d a en í = O en el esp a c io de m o m e n to s ,
0), con p = ( P x , P y , p , ) ; 3) la p r o b a b i l i d a d de que,
en í = O, la partícula e s té e n tre y e y + d y (con va res cu alesq u iera para x y z); 4) la p r o b a b i l i d a
que, en f = O, la c o m p o n e n te y del m o m e n to e ^ partícula esté en el intervalo (Py, P y +
lores cualesquiera para p ^ y p^); 5) la p r o b a b i l i d a
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que, al m edir en f = O simultáneamente z y p para la partícula, los resultados estén en los intervalos [z, z + dz) y iPx, p* + d p j , respectivamente, 6) <x>, ( y \
en f = 0.
En este Problema se utilizarán las integrales gaussia- nas dadas en el Apéndice «Algunas fórmulas mate máticas de utilidad».
1) Al normalizar [¡/(O) (utilizando para las coordena das X y z dichas integrales gaussianas), es inmediato ob tener: dx + 00 — 00 dy - 00 dz \ij/{x, 0)1^ = \N n 2{acy^^b
de donde resulta \N\ = [2(acy^^b/ny^^. La fase de N está indeterminada.
2) La función de onda, en f = O, en el espacio de momentos es: (A(p, 0) = 1
J
r + oü ^+00 dx dy J —00 ·. — 00 ·/ + oc dzil/{x, 0) exp - X ipx T N + [fco., - Py/f>y exp [/xo(/co,, - p jñ ) - ( k o . ^ x p Vyoiko. y - P y W Í e x p [ ' Z o ( ^ o . z ~ " “ ( ^ 0 . z “ P z / ^ * ) 7 4 a . . ] .Es fácil comprobar que
+ 00 - QC' — a-dPy - JC Solución
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3) La probabilidad es: dy ‘ + CXD ^ + 00 dx — 00 J — 00 dz \\¡/{x, 0)1^ = b e \ p { - 2 b \ y - y ^ q d y
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Al integrar en - o o < y < + co, se com prueba que esta distribución de probabilidad está normalizada.
4) La probabilidad pedida en el espacio de momen tos es: - 00 dp, + 00 — 00 dp^\i¡/{p, 0) 2 _ dp, 2a: nñ + (kg ^ - p ^ / ñ f
De nuevo, al integrar en - oo < < + oo, se comprue ba que esta distribución de probabilidad está normali zada.
5) Nótese que, en í = O, por conm utar y y z entre sí, es natural introducir la nueva función de onda (de pendiente de variables posición y momento):
1
[Inh)1/2 - OC) dx i//(x, 0) exp fl
N
(2aji)1/2
- a,(z - Zo)^] exp [iXo(fco, ^ - p j h ) - (/cq,^. ~
En términos de esta última, la probabilidad pedida es.
dp,^ dz
í ' + oo
- c e
<iy l'AíPx, y, 2, 0)1^ = dp,^dz exp
