El método de los elementos finitos consiste en su formulación física en la división del dominio espacial, ya sea bi o tridimensional en una serie de subdominios de geometría simple, a los cuales se les denomina elementos. Estos elementos se encuentran formados por una serie de puntos que definen su geometría y se denominan nodos. En el interior del elemento se interpola una función de desplazamientos que se formula en función de los valores de los desplazamientos en los nodos. (Miravete 1993)
La forma de trabajo de estos elementos consiste en aplicar ecuaciones de compatibilidad y comportamiento para obtener una relación entre la fuerza aplicada sobre el elemento y los desplazamientos de los nodos. Esta relación se expresa mediante lo que se denomina
matriz elemental y que dependen del número de nodos, la situación de estos, el material constituyente, la geometría del elemento y el tipo de problema. (Miravete 1993).
Otros autores han planteado que el avance de la velocidad de cálculo de los ordenadores digitales ha permitido plantearse la posibilidad de afrontar el problema del diseño de un material compuesto mediante técnicas numéricas. El comportamiento de una celda unitaria en la mayor parte de los casos se puede obtener utilizando técnicas numéricas. Entre las más conocidas se destacan el método de elementos de contorno, el método de diferencias finitas y el método de elementos finitos. Este último es el más utilizado en la actualidad debido fundamentalmente al amplio rango de modelos que caracterizan el comportamiento de los materiales. (Maca 2008)
El método de elementos finitos es método muy general para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales, ya que las incógnitas del problema dejan de ser funciones matemáticas y pasan a ser el valor aproximado de estas funciones de nodos, y el comportamiento en el interior de cada elemento queda definido a partir del comportamiento de los nodos mediante las funciones de forma. (Maca 2008)
1.7.1 Análisis de los materiales compuestos por el método de los elementos finitos (MEF).
En la actualidad, el análisis de estructuras realizadas con materiales compuestos se realiza utilizando técnicas numéricas y fundamentalmente el método de los elementos finitos(Car 2000). Existen intentos de simular el comportamiento de estos materiales a través de métodos que proporcionan la solución analítica exacta de las ecuaciones de la mecánica de sólidos tridimensionales. Dentro de las teorías mas utilizadas en el contexto del MEF se pueden mencionar las siguientes:
1. Teorías de capa única equivalente.
2. Teorías de elementos de sólido bi y tridimensional. 3. Teoría de aproximación bidimensional por capas.
De las teorías expuestas anteriormente se realiza un análisis más profundo en este trabajo de las teorías de capa única equivalente y elementos sólidos bi y tridimensional, puesto que el software que se utiliza para el análisis y diseño es el ABAQUS, en el cual los elementos sólidos se utilizan en códigos de elementos finitos.
1.7.1.1Teorías de capa única equivalente.
En esta teoría un laminado se representa por una capa única equivalente con las propiedades anisótropas del material. Esta teoría es la más sencilla y económica de todas las teorías de laminados desde el punto de vista computacional.
En esta teoría los desplazamientos se obtienen como una combinación lineal de la coordenada del espesor y funciones de posición sobre la superficie de referencia, esto es:
(
)
∑
= = Mi j j j i i x y z u z u 0 ,, , donde M es el numero de términos del desarrollo (usualmente i
M1=M2) de i-ésimo componente del vector de desplazamiento. En todas las teorías de
capa única los desplazamientos y sus derivadas son continuos a través del espesor del laminado. El campo de tensiones resulta discontinuo en las superficies de contacto entre capas debido a las diferentes propiedades mecánicas de cada capa. En función de los valores de M se pueden desarrollar diferentes teorías, las cuales se pueden ver en el i
trabajo “Modelo constitutivo continuo para el estudio del comportamiento mecánico de los materiales compuestos” (Car 2000).
1.7.1.2Teorías de elementos de sólido bi y tridimensional.
En estas teorías, un laminado se modela como un elemento continúo bi o tridimensional, donde el análisis elástico tridimensional requiere idealmente al menos un elemento a través del espesor de cada capa (Reddy 1984). Los materiales compuestos actuales presentan un elevado número de capas y un espesor reducido , lo cual conduce a un gran número de elementos tridimensionales debido a que es necesario mantener ciertas relaciones en las dimensiones de los elementos para evitar problemas numéricos de bloqueo en la solución. Esto conduce a elevados costos computacionales lo cual hace inviable este tipo de análisis para estructuras de grandes dimensiones.
Con el objetivo de reducir el costo computacional que involucran los elementos tridimensionales es posible utilizar el concepto de sublaminado, en el cual varias capas se modelan utilizando un único elemento finito a través del espesor. Las propiedades del material del sublaminado se obtienen por integración de las propiedades de la lámina a través del espesor del sublaminado.
Las teorías de elemento sólido de capa única bidimensional se derivan por degeneración de la teoría del elemento solido tridimensional aplicando el mismo tipo de hipótesis que en las teorías de capa única o en las de aproximación bidimensional por capas. Los elementos de lámina degenerados de elementos sólidos se obtienen a partir de elementos tridimensionales isoperimétricos imponiendo ciertas restricciones en la cinemática (Car 2000).
Las teorías de elementos de lámina degenerados de sólidos tridimensionales y el de aproximación bidimensional por capas permiten representar el campo de tensiones interlaminares de un laminado compuesto. La utilización de elementos finitos que se
basan en esta teoría en zonas locales donde se producen elevados gradientes en el campo tensional y otras teorías menos refinadas en zonas menos problemáticas resulta eficiente en problemas prácticos (Chow 1996).
1.7.1.3Teoría de aproximación bidimensional por capas.
Las teorías de capa única equivalente están basadas en campos de desplazamientos continuos a través del espesor del laminado. Para el caso de materiales compuestos con capas de materiales diferentes esto conduce a campos de tensiones tangenciales discontinuos. Teniendo en cuenta las limitaciones de la teoría de capa única (Reddy 1984) propuso una teoría alternativa basada en una aproximación bidimensional por capas que elimina el problema de campos tensiónales tangenciales discontinuos. Esta teoría se basa en un campo de desplazamientos que resulta la combinación lineal de la coordenada sobre el espesor y funciones independientes de la posición dentro de cada capa, o sea:
(
)
( )
∑
( ) ( )
= Φ + = Ni j j j i i i x y z u x y u x y z u 0 0 , , , , i=1,2,3Donde N es el número de subdivisiones a través del espesor del laminado y i Φjson
funciones de la coordenada sobre el espesor z. Las funciones Φj son continuas por
intervalos, definidas solo en dos capas adyacentes y pueden interpretarse como funciones de interpolación de Lagrange locales asociadas con la superficie común de las capas, a través del espesor del laminado. Debido a la naturaleza local de la función Φj, los desplazamientos resultan continuos en el espesor de la capa. Esto también implica que el campo de deformaciones transversales es discontinuo en la superficie de contacto entre capas y por tanto existe la posibilidad de que las tensiones transversales interlaminares
pueden ser continuas. Las deformaciones en el plano serán continuas pero las tensiones en el plano serán discontinuas debido al diferente comportamiento mecánico de las distintas fases del material compuesto (Car 2000)
1.8 Análisis de software existentes en el ámbito de los materiales