JOH AN N BERNOULL

Johann Bernoulli (1667-1748), décimo hijo de la familia de N iko­ laus, nació en Basilea cuando su herm ano Jakob cum plía trece años. Nikolaus había intentado vanam ente que Jakob se hiciera teólogo, y tam bién estaba determ inado a que Johann se hiciera com erciante para secundarle en sus negocios. Pero Johann, siguiendo los pasos de su herm ano m ayor, o p ta por la m edicina y las hum anidades. D espués de haber term in ad o sus estudios literarios, se traslada a N euchâtel para estudiar allí com ercio y aprender francés durante un año. D espués vuelve a Basilea y obtiene sucesivam ente un diploma de prim er y segundo ciclo, este último a los dieciocho años. E n 1690 publica una tesis de doctorado sobre la efervescencia y la ferm enta­ ción. El mismo año, se encuentra en G inebra dando clases sobre ecuaciones diferenciales; después viaja a París y conoce a científicos significados com o M alebranche, Cassini, La H ire, V arignon. En 1691, conoce allí a L ’H ospital, que le invita a su castillo de O uques para que le inicie en los m isterios de la nueva doctrina de las diferencias de Leibniz. L ’Hospital le pagó ciertos em olum entos por sus servicios profesionales.

D espués, Johann B ernoulli vuelve a su ciudad natal para estu­ diar allí medicina y en 1694 recibe el título de doctor en medicina. Pero Johann no se siente muy atraído por la medicina y, estim ulado e instruido al parecer por su herm ano Jakob, decide dedicarse a las ciencias, y en particular a la física, la astronom ía y las m atem áticas. En 1695 acepta un puesto de profesor de m atem áticas y física en la universidad de G roninga y, m ientras tanto, m antiene una corres­ pondencia regular con L ’Hospital. Fue profesor en esta universidad durante diez años y, a la m uerte de Jakob, acaecida en 1705, le sucedió en Basilea hasta su m uerte. El entusiasm o m anifestado en

SU enseñanza atraerá a un alum no poco corriente en la persona de Euler.

A unque Jakob poseía un sentido crítico más desarrollado que Johann, este último m anifestó una m ayor originalidad e imagina­ ción; fue incluso más prolifico que su herm ano m ayor en m atem áti­ cas. Profesor altam ente reconocido a pesar de su carácter celoso y desabrido, estaba anim ado de un celo por las matemáticas tan vivo como su em peño en iniciar y m antener controversias. Johann reco­ noció siempre a Leibniz como su m aestro y fiel amigo, y m anifestó con respecto a Newton una antipatía incondicional, denigrándole de una m anera im perdonable, sobre todo a raíz de la célebre controversia entre Newton y Leibniz. Los dos herm anos se distan­ ciaron con motivo de la solución del problem a de los isoperím etros y, en los debates que siguieron, Johann manifestó una áspera anim osidad. De su espíritu celoso no se salvó ni su propio hijo, D aniel, a quien reprochó su falta de respeto por haber ganado un prem io de la A cadem ia de Ciencias que él mismo ansiaba. Su renom bre se basa sobre todo en sus contribuciones en el campo de las matemáticas.

D urante el período 1691-1692, Johann Bernoulli escribió varios manuscritos sobre el cálculo diferencial e integral, pero su publica­ ción no tuvo lugar hasta 1922. Sin em bargo, el prim er tratado sobre el cálculo diferencial e integral fue publicado en 1696 en París por L ’H ospital, que escribió en la introducción: «Por lo dem ás, reconoz­ co deber mucho a las luces de los señores Bernoulli, y sobre todo a las del joven, en la actualidad profesor en Groninga», lo que confirma que fue influenciado por Johann Bernoulli. Por otra parte, en una carta fechada en 1695, L’Hospital señala a Bernoulli que está a punto de publicar un trabajo sobre las cónicas y que se propone añadirle un pequeño tratado sobre el cálculo diferencial. Además, subraya su intención de hacer justicia a Johann, su m aestro, en el libro que proyecta publicar.

DE L’HOSPITAL

Guillaume François de L ’Hospital (1661-1704), m arqués de Saint- Mesme, conde de A utrem ont, señor de O uques, nació en Paris en 1661. Desde muy pronto se interesó por la geom etría y, a los quince

años resolvió, según se dice, problem as difíciles propuestos por Pascal sobre la ruleta. Com o todo personaje señalado de la época, con títulos de nobleza por añadidura, era obligado que hiciera una carrera militar. Fue, pues, capitán de caballería durante algunos años, pero debió reintegrarse a la vida civil a causa, según parece, de una m iopía muy m anifiesta. Así, se vio llevado a poner sus miras en las m atem áticas, de las que se hizo un ferviente aficionado, muy respetable.

Análisis de los infinitam ente pequeños de L ’H ospital

En la introducción del Análisis de los infinitamente pequeños, el m arqués de L ’H ospital, al tiem po que reconoce deber mucho a los B ernoulli, subraya haberse «servido librem ente de sus descubri­ mientos y de los del señor Leibniz» y acepta que «reivindiquen todo lo que quieran», contentándose con lo que quieran dejarle. Después de haber recibido un ejem plar del Análisis enviado por su autor, Johann Bernoulli le da las gracias por haberle m encionado en la obra y prom ete devolverle el eum plido en su próxim a publicación. Bernoulli subraya tam bién en su carta que el tratado está adm irable­ m ente bien hecho, y alaba la disposición de las proposiciones así como la presentación inteligible del conjunto.

El prefacio del Análisis contiene un breve resum en histórico del cálculo, en el cual el autor reconoce que Newton está en posesión de un cáleulo sem ejante al de Leibniz; prefiere, sin em bargo, hacer hincapié en el cálculo de Leibniz, que es más fácil y más expeditivo. La obra está dividida en diez secciones.

En la prim era sección, el autor presenta las definiciones funda­ m entales, las hipótesis y las reglas de procedim iento. P or ejem plo, define una «diferencia» como «la porción infinitam ente pequeña en que una cantidad variable aum enta o disminuye continuam ente». Propone, a continuación, dos postulados: «se requiere que se pueda tom ar indiferentem ente una u otra de dos cantidades que no difie­ ren entre sí más que en una cantidad infinitam ente pequeña», es el prim ero, m ientras que la segunda hipótesis o requisito consiste en aceptar que «una línea curva pueda ser eonsiderada como la reunión de una infinidad de líneas rectas, cada una de ellas infinitam ente pequeña». Es de señalar la desenvoltura con que se exponen los

«requisitos», pero para Leibniz estam os en presencia de hechos lo suficientem ente conocidos com o para tom arlos com o puntos de partida, sin preocuparse dem asiado por su justificación. Sin em bar­ go, L ’Hospital subraya que habría sido capaz de dem ostrarlos como en la antigüedad si hubiera tenido espacio suficiente.

L ’Hospital presenta tam bién en esta prim era sección las reglas de diferenciación para funciones algebraicas — sum a, producto, cociente, potencia y raíz— a la m anera de Leibniz, y «d» se utiliza únicam ente para m arcar la «diferencia» de una cantidad variable.

En la sección ll, se sirve del cálculo de diferencias para encontrar las tangentes a todo tipo de líneas curvas: parábola, hipérbola, espiral, cuadratriz, conchoide, cisoide, cicloide, curva logarítmica, etc.

La sección iii se refiere al estudio de los máximos y mínimos, y la determ inación de estos extrem os se hace igualando a cero la diferen­ cial del num erador y del denom inador, descartando los resultados que conducen a una contradicción. Los puntos de inflexión y de retroceso constituyen el objeto de la sección IV. A pesar de una definición incom pleta de la diferencial de orden superior, «la por­ ción infinitam ente pequeña en que la diferencia de una cantidad variable aum enta o disminuye continuam ente se llama diferencia de la diferencia de esa cantidad, o bien su diferencia segunda... denota­ da ddx, la diferencia tercera dddx o d^x, etc...» , los resultados obtenidos son exactos porque L ’Hospital utiliza una regla pragm áti­ ca que se enuncia como sigue: se considera constante una diferencia (diferencial) elegida y se tratan las otras como cantidades variables. Por ejem plo, la diferencial de la función x y es

d(xy) = xd y + ydx

la diferencial segunda será

dd(xy) = xddy + Id x d y

dd(xy) = yd d x -f- Id x d y

Se presentan los dos casos porque no se distingue suficientem en­ te entre variable dependiente >y variable independiente. Los puntos de inflexión y de retroceso son determ inados por L ’H ospital hacien­ do cero o infinitam ente grande la diferencial segunda.

El m arqués estudia en la sección V las evolutas y envolventes, así como el radio de curvatura de ciertas curvas en un contexto que recuerda el desarrollo histórico de estos conceptos. Las dos seccio­ nes siguientes se refieren a un tem a popular en la época: las cáusticas por reflexión y p o r refracción, m ientras que las envolven­ tes de familias de rectas constituyen el objeto de la sección Vlll. Las dos últimas secciones tratan de la resolución de problem as que precisan de los m étodos utilizados en las secciones precedentes, pero una regla de diferenciación para las formas indeterm inadas que se encuentra en la sección IX dio origen a una cuestión de prioridad. E sta regla se formula así: para encontrar el valor de una expresión racional en x que para un valor de abscisa dado (jc) tom a la form a

0/0, se determ ina el cociente de las diferencias del num erador y del denom inador para este valor de abscisa. E n la actualidad se enuncia de la m anera siguiente:

S i f y g son funciones diferenciables e n x = a tales q u e /(a ) = 0 y

g(a) = 0 y tales que existe el

entonces lim x^a l i s i g’(*) I = Ijjvj -C ííl i™ g(AT) g\x)

E n su carta de agradecim iento a L ’H ospital por el ejem plar del

Análisis, Johann Bernoulli no formula ninguna reclamación al m ar­

qués. Pero en 1698, en una carta dirigida a Leibniz, se lam enta am argam ente de que el m arqués haya plagiado de m anera descara­ da sus notas manuscritas. H ará lo mismo en otra carta, esta vez dirigida a B rook Taylor, algún tiem po después de la m uerte de L’Hospital. ¿Tiene m otivos para quejarse B ernoulli? ¿E n qué m edi­ da puede reprochar al m arqués haber publicado esta regla por su cuenta? Se entabló la controversia, y los contem poráneos se inclina­ ron a tom ar partido por el m arqués. Sin em bargo, la publicación del tratado de Bernoulli sobre el cálculo diferencial en 1922, así como la publicación de la correspondencia de Johann B ernoulli en 1955, vienen a aclarar el problem a de la paternidad de la regla.

La com paración de los dos textos revela una im bricación consi­ derable, lo que parece indicar que se debe atribuir a Johann Bernoulli una parte im portante del contenido m atem ático del Análi-

sis. A dem ás, en la correspondencia de B ernoulli se m enciona que

un acuerdo establecido entre las dos partes, en 1694, le obligaba a transm itir a L ’H ospital todos sus descubrim ientos y a abstenerse de enseñar o com unicar a los demás una copia de las notas transm itidas a este últim o, m ediante una asignación anual de 300 libras. Por esta razón, Bernoulli podía, a lo sum o, expresar su am argura en privado, pero después de la m uerte de L ’H ospital no dudó en reclam ar justicia públicam ente.

El Análisis de L ’Hospital tuvo un gran éxito y aparecieron varias ediciones durante el siglo x v ili, aunque en el período 1697-1704 fuera objeto de un ataque que se inscribe en el m ovimiento de oposición al nuevo análisis. No pudo asistir al triunfo del infinita­ m ente pequeño, que sobrevino algún tiem po después de su m uerte en 1704. E n 1707, se publicó su Tratado analítico de las secciones

cónicas, que desem peñó un papel tan útil para la geom etría analítica

como el Análisis para el cálculo. E n sum a, estos dos tratados se convirtieron en obras clásicas en el siglo X V III.

Contribuciones matemáticas de Johann Bernoulli

D urante el período en que Johann Bernoulli debió guardar silencio sobre sus descubrim ientos, hizo num erosos estudios sobre la línea isócrona, los sólidos de m enor resistencia, las curvas cáusticas, las trayectorias ortogonales, las geodésicas, la braquistócrona, el pro­ blem a de los isoperím etros, etc. E n el estudio de las ecuaciones diferenciales de la form a M dx — N dy = 0, donde M y N son funciones de x e y, Johann B ernoulli encontró soluciones para los casos específicos en que las ecuaciones eran exactas, u hom ogéneas, o lineales de prim er orden, o en que las ecuaciones podían resolver­ se por separación de variables. E n 1702, descubrió la relación entre la función arcotangente y el logaritm o de un núm ero imaginario.

Se atribuye a m enudo a Johann Bernoulli la invención del cálculo exponencial, porque ya en 1694, en una carta dirigida a Leibniz, habla de la construcción de las curvas exponenciales = y

m ediante la curva logarítm ica simple que representa, según él, una curva del mismo tipo que tiene como ecuación a* = y. Su procedi- m ieñto de construcción equivale a pasar de x* = y a x log jc = log y, au nque no escribe esta últim a ecuación. Leibniz responde a Bernou-

Ili algún tiem po después, y form ula en su carta las relaciones = y

y Xlog X = log y. Ya en esta época, B ernoulli y Leibniz tienen una

idea bastante com pleta de la función exponencial. P ara el área bajo la curva y = x*, de jc = 0 a x = 1, B ernoulli encontró una represen­ tación en serie de la forma

resultado que se obtiene escribiendo en prim er lugar x* = ^ desarrollando en serie exponencial e integrando a continuación térm ino a térm ino, m ediante el procedim iento de integración por partes.

El 16 de marzo de 1712, Leibniz m enciona en una carta a Bernoulli la posible existencia de los logaritm os de núm eros negati­ vos e imaginarios. Los dos amigos entablan una controversia am isto­ sa sobre este tem a durante dieciséis meses, y parece que son los únicos en esta época en interesarse por este tem a. Después de la m uerte de Leibniz, Johann B ernoulli y su alum no E uler m antendrán una correspondencia sobre el mismo tem a a partir de 1727, pero E uler será el verdadero iniciador de la teoría de los logaritmos de núm eos negativos e im aginarios. E n 1734, Johann Bernoulli com ­ partió con su hijo Daniel un prem io de la A cadem ia de Ciencias por un ensayo sobre las probabilidades ligadas a las inclinaciones de los planos orbitales de los planetas.

O tros dos m iembros de la familia B ernoulli se distinguieron igualm ente por sus contribuciones en m atem áticas: Nikolaus y, sobre todo, D aniel, hijo de Johann.

NIKOLAUS III

Nikolaus Bernoulli (1695-1726) nació en G roninga en 1695. E ra el hijo m ayor de Johann, nieto de Nikolaus y prim o de Nikolaus II. A los ocho años hablaba correctam ente alem án, holandés, latín y francés. A los dieciséis años, obtuvo un doctorado en filosofía y cuatro años más tarde se le otorgó la más alta distinción académica en jurisprudencia. No descuidó por ello sus estudios de m atem áti­ cas, como atestiguan sus trabajos sobre el cálculo diferencial e integral y sobre el cálculo exponencial. Nikolaus III viajó mucho

por E uropa y principalm ente por Francia, donde se hizo amigo de V arignon, y de Riccati en Italia. Perm aneció dos años en Italia, y después volvió a Basilea para intentar obtener la cátedra de juris­ prudencia. Sin em bargo, habiendo fracasado en su tentativa, aceptó la de la U niversidad de Berlín. E n 1725, su herm ano Daniel y él fueron nom brados sim ultáneam ente profesores de m atem áticas en la A cadem ia de San Petersburgo. M urió ocho meses más tarde, a los treinta y dos años, de una fiebre persistente. Los trabajos m atem áti­ cos de Nikolaus se encuentran principalm ente en las m em orias de su padre; los dem ás fueron publicados en las Acta Eruditorum y los

Commentarii de la A cadem ia de San Petersburgo. D urante su

estancia en la A cadem ia, presentó un estudio sobre la geom etría de curvas, y propuso el célebre problem a conocido con el nom bre de «paradoja de San Petersburgo».

D A N IE L BERNOULLI

Daniel Bernoulli (1700-1782), segundo hijo de Johann, nació en G roninga en 1700. Johann intentó obligar a D aniel a seguir la carrera de com ercio, pero este últim o se negó igual que su padre lo había hecho anteriorm ente. A los once años, su herm ano N iko­ laus III se convirtió en su profesor y más tarde, en Italia, estudió con M ichelo y M orgagni. D octor en m edicina, rechazó en 1724 la presidencia de una nueva academ ia que estaba a punto de fundarse en G énova y aceptó en cambio ir a trab ajar en 1725 a la Academ ia de San Petersburgo en com pañía de su herm ano Nikolaus III. En 1733, la m uerte prem atura de su herm ano y una salud vacilante le em pujaron a volver a afincarse en com pañía de su herm ano m enor Johann II en Basilea, donde enseñó anatom ía, física, botánica y filosofía. E n 1738, publicó su principal tratado, titulado Hidrodiná­

mica, como resultado de sus trabajos sobre el flujo del agua en las

cañerías, canales o ríos. De 1741 a 1751, Daniel em prendió con éxito estudios sobre la elasticidad sirviéndose de ecuaciones diferen­ ciales y de ecuaciones en derivadas parciales. E n relación con el estudio de la caída de los cuerpos, propuso la notación de la «energía cinética y potencial», lo que dio lugar al principio de conservación de la energía. D urante sus últimos años, Daniel orien­ tó sus trabajos hacia las probabilidades aplicadas a sectores prácti-

eos, como la econom ía. A bandonó su puesto de profesor en 1777 y m urió en 1782 después de h aber sido uno de los grandes filósofos naturales y un gran m atem ático.

El conjunto de sus trabajos se refiere sobre todo a la física, pero hace tam bién una contribución a las m atem áticas, principalm ente en el cálculo de las funciones trigonom étricas, las fracciones continuas, las ecuaciones diferenciales, y, en particular, el problem a de Riccati. E n tre sus resultados en m atem áticas, m encionem os las soluciones de la ecuación diferencial de Riccati por separación de variables, una fórm ula aproxim ada de las funciones de Bessel, la formulación del problem a de la cuerda vibrante en térm inos de una ecuación diferencial en derivadas parciales, una notación eficaz para repre­ sentar las funciones trigonom étricas inversas, una de las prim eras utilizaciones de las series de F ourier y una teoría de la esperanza moral.

La paradoja de San P etersburgo es un problem a tjue apareció en los Commentarii de la A cadem ia, cuya similitud con c ^s problem as propuestos por N ikolaus en M ontm ort es notable. P uede form ularse así: supongam os que A y B deciden jugar una partida de cara o cruz. Si se obtiene cara en la prim era tirada, B deberá dar una m oneda a A ; si, por el contrario, se obtiene cruz en la prim era tirada, seguida de cara en la segunda, B deberá d ar dos m onedas a A ; si aparece cara sólo en la tercera tirada, B deberá d ar a A cuatro m onedas, y así sucesivam ente, si la cara aparece en la tirada n-ésim a, B deberá dar 2"“ * m onedas a A . Se pide calcular la esperanza m atem ática de B.

E sta esperanza de B viene dada por

2 -r 22 T 23 T 24 -t- ...

que es lo mismo que

Así, la esperanza m atem áticas de B es infinita, y deberá d ar una suma infinita a A para persuadirle de jugar con él la partida propuesta. P or tan to , el problem a se convierte en una paradoja, porque la suma infinita que B deberá pagar está en contradicción