Jean-Paul Collette
Historia de
las matemáticas
II
4a. edición siglo veintiuno editoresHISTORIA
DE LAS MATEMATICAS. II
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Jean-Paul Collette
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siglo veintiuno editores, sa de cv
CERRO DEL AGUA 248, DELEGACIÓN COYOACÁN, 04310 MÉXICO, D.F.
primera edición en español, 1985 cuarta edición en español, 2000 © siglo xxi editores, s.a. de c,v. en coedición con
© siglo xxi de españa editores, s.a. isbn 968-23-1361-9 (obra completa) isbn 968-23-1363-5 (tomo2) primera edición en francés, 1979
© éditions du renouveau pédagogique, montréal título original: histoire des mathématiques
derechos reservados conform e a la ley
Prefacio xi PRIMERA PARTE: EL SIGLO XVII
LAS MATEMÁTICAS EN EL SIGLO XVII 3
1. LAS MATEMÁTICAS EN LA ÉPOCA DE DESCARTES Y DE FERMAT 7 Introducción, 7.—Descartes, 8.—Los primeros trabajos científi
cos de Descartes, 9.—La geometría de Descartes, 10.—Sistema de coordenadas, 17.—Método de las tangentes, 18.—Descartes y el análisis, 20.—Fermat, 21.—El Isagoge de Fermat, 22.—Paralelismo entre las geometrías de Descartes y Fermat, 26.—El método de máximos y mínimos de Fermat, 27.—Fermat y el método de las tangentes, 29.—La integración ^ Fermat, 32.—Fermat y la teoría de números,. 32.—Fermat y la" teoría de probabilidades, 35.—Roberval, 36.—Su geometría de los indivisi bles, 38.—Roberval y la cicloide,39.—El método de las tangentes de Roberval, 40.—La geometría analítica de Roberval, 42.—^Torricelli, 42.—^Torricelli y el análisis, 43.—Sus trabajos sobre la tangente, 45.—Pascal, 50.—El Ensayo sobre las cónicas, 52.—La máquina aritmética de Pascal, 53.—Pascal y las probabili dades, 54.—Pascal y el análisis infinitesimal, 56.—Désargues, 58.—El Borrador, 60.—Bibliografía, 63.—Ejercicios, 6 6.
2. PERIODO DE TRANSICIÓN. 67
Introducción, 67.—Lenta asimilación de la geometría analítica,
6 8.—Van Schooten, 69.—Bartholin, 69.—Hudde, 70.—De Witt, 71.—De Sluse, 74.—La Hire, 75.—Mohr, 77.—Saint-Vincent, 79.—Mengoli, 80.—Huygens, 81.—Wallis. 83.—Rectificación de curvas, 87.—Gregory, 8 8.—Mercator, 91.—Barrow, 92.—Bi
3. NEWTON y LEIBNIZ... 100 Introducción, 100.—Newton, 101.—E1 teorema del binomio, 104.—E1 De analysi, 107.—E! método de las fluxiones, 108.—El
De quadratura curvarum, 112.—Los Principia, 114.—Leibniz,
117.—Las notas manuscritas sobre el cálculo, 121.—La Nova
methodus pro maximis et minimis, 127.—Otros trabajos de Leib
niz, 128.—La célebre controversia entre Newton y Leibniz, 132.—Bibliografía, 133.—Ejercicios, 135.
SEGUNDA PARTE: EL SIGLO XVIII
LAS MATEMÁTICAS EN EL SIGLO XVIII... ... 139
4. LOS DISCIPULOS DE LEIBNIZ Y NEWTON Y LAS PRIMERAS DIFICULTA DES DEL ANÁLISIS... 143
Introducción, 143.—La familia Bernoulli, 144.—^Jakob Bernoulli, 144.—Sobre las series infinitas, 145.—Sobre problemas popula res, 146.—El Ars conjectandi, 148.—Johann Bernoulli, 150.—De L’Hospital, 151.—Análisis de los infinitamente pequeños de L’Hospital, 152.—Contribuciones matemáticas de Johann Ber noulli, 155.—Nikolaus III, 156.—Daniel Bernoulli, 157.—Los otros Bernoulli, 159.—De Moivre, 160.—De Moivre y las pro babilidades, 162.—De Moivre y la trigonometría, 163.—Co tes, 164.—Stirling, 165.—Maclaurin, 166.—Maclaurin y la geo metría, 168.—Maclaurin y el análisis, 169.—Maclaurin y el álge bra, 170.—Cramer, 171.—^Taylor, 171.—Algunos matemáti cos italianos, 174.—Primeras dificultades del nuevo análisis, 179.—Bibliografía, 182.—Ejercicios, 184.
5. LA ÉPOCA DE E U LER... 186 Introducción, 186.—Euler, 187.—La noción de función en Euler, I9 l.—^Las notaciones de Euler, 193.—Las ideas de Euler sobre los fundamentos del cálculo, 195.—El logaritmo y el número com plejo en E.uler, 197.—Euler y las series infinitas, 200.—Los trabajos de Euler en teoría de números, 203.—Otras contribucio nes matemáticas de Euler, 206.—D’Alembert, 212.—Clairaut, 216.—Goldbach, 220.—Waring, 220.—Lambert, 221.—^Buffon, 222.—Bibliografía, 224.—Ejercicios, 226.
Introducción, 228.—Lagrange, 229.—Los trabajos matemáticos de Lagrange en Turin, 233.—La actividad matemática de Lagran ge en Berlín, 235.—Las contribuciones matemáticas de Lagrange durante la Revolución, 238.—Condorcet, 240.—Monge, 242.—La geometría descriptiva de Monge, 246.—Los trabajos de Monge en geometría analítica, 248.—Algunos otros trabajos matemáticos de Monge, 250.—Laplace, 251.—La teoría de las probabilidades de Laplace, 253.—Legendre, 257.—La geometría y el postulado de las paralelas, 258.—Teoría de números de Legendre, 259.—Otras contribuciones de Legendre, 260.—Carnot, 261.—Los trabajos matemáticos de Carnot, 263.—Wessel, 266.—Dudas sobre el futuro de las matemáticas a fines del siglo xviii, 268.—Bibliografía, 269.—Ejercicios, 271.
TERCERA PARTE: LOS SIGLOS XIX Y XX
LAS MATEMÁTICAS EN EL SIGLO X IX... 275 Idea somera de las contribuciones matemáticas, 275.—Con diciones nuevas del progreso, 279.—Principales centros de actividad matemática, 280.—Las revistas y sociedades matemá ticas, 282.
7. LA ÉPOCA DE GAUSS Y CA U C H Y... 285
Introducción, 285.—Gauss, 286.—Gauss, el hombre de ciencia, 292.—El teorema fundamental del álgebra, 293.—Disquisitiones
arithmeticce, 294.—Otros resultados de Gauss en teoría de núme
ros, 301.—Los trabajos geométricos de Gauss, 302.—Algunos otros trabajos matemáticos de Gauss, 305.—Cauchy, 308.—Cauchy y el rigor en el análisis, 311.—Cauchy y las series infinitas, 316.—Las funciones de variable compleja en Cauchy, 317.—Otras contribuciones matemáticas de Cauchy, 320.—Dirichlet, 322.—^Abel, 324.—^Jacobi, 327.—Bolzano, 330.—Poisson, 334.—Green, 336.—Ostrogradsky, 331 .— Biblio
grafía, 338.—Ejercicios, 340.
8. LA ARITMETIZACIÓN DEL ANÁLISIS... 342
Introducción, 342.—Liberación del concepto de función, 343.—Fourier, 344.—Riemann, 349.—Weierstrass, 354.^Crea- ción de los números reales, 357.—Números algebraicos y trascen dentes, 358.—Liouville, 358.—Trascendencia de e y Jt,
360. —Teoría de los números irracionales, 361.^Hamilton, 361. —Trabajos de Hamilton sobre los números irracionales, 362. —Méray, 364.—Weierstrass y su teoría de los números irracionales, 365.—Cantor, 367.—^Teoría de los números irracio nales de Cantor-Heine, 369.—Dedekind, 371.—^Teoría de los números irracionales de Dedekind, 372.—^Teoría de conjuntos, 376.—La teoría de conjuntos de Cantor, 378.—Bibliografía, 382.—Ejercicios, 384.
9. EL NACIMIENTO DEL ÁLGEBRA MODERNA 386
Introducción, 386.—^Teoría de la resolubilidad de las ecuaciones, 387.—Galois, 388.^—^Teoría de la resolubilidad de Galois, 391.—El álgebra y la Analytical Society de Cambridge, 394.—Woodhouse, 395.—Peacock, 396.—Las concepciones alge braicas de De Morgan, 400.—El álgebra de las parejas de Hamilton, 401.—Los cuaterniones de Hamilton, 403.—Grassman, 407.—Maxwell, 413.—El análisis vectorial, 415.—La teoría de determinantes, 417.—Sylvester, 417.—Otras contribuciones a la teoría de determinantes, 419.—La teoría de matrices, 420.—Cayley, 421.—La teoría de matrices de Cayley, 422.—Las álgebras de dimensión finita, 426.—Los primeros trabajos de lógica matemática, 428.—Los trabajos en lógica de De Morgan, 428.—Boole, 431.—Los trabajos de lógica después de Boole, 434.—Bibliografía, 437.—Ejercicios, 439.
10. LA RENOVACIÓN DE LA GEOMETRÍA EN EL SIGLO XIX 441
Introducción, 441.—Renovación de la geometría sintética, 444.—Brianchon y Dupin, 444.—Poncelet, 445.—Chasles, 451.—Gergonne, 454.—Steiner, 455.—Von Staudt, 457.—La renovación de la geometría analítica, 460.—Los predecesores de Plücker, 460.—-Lamé y Bobillier, 460.—Möbius, 463.—Plücker, 465.—Los sucesores inmediatos de Plücker, 471.—Las geome trías no euclídeas, 472.—Los coinventores de las geometrías no euclídeas, 473.—Progresos posteriores de las geometrías no euclí deas, 479.—Bibliografía, 480.— Ejercicios, 482.
11. LOS ALBORES DE LAS MATEMÁTICAS DEL SIGLO XX 483
Introducción, 483.—Klein, 484.—^La génesis del programa de Erlangen, 486.—El contenido del programa de Erlangen, 491.—Klein y la topología, 495.—Peano, 497.—Los trabajos de análisis de Peano, 497.—Los fundamentos de las matemáticas en
Peano, 502.—La lógica matemática de Peano, 503.—Frege, 507.—Su Begriffsschrift, 508.—Los Grundgesetze der Arithmetik, 514.—Los fundamentos de la aritmética de Frege, 518.—Poincaré, 524.—Poincaré, científico universal, 525.—^Teoría de las funciones fuchsianas, 526.—El método del barrido, 529.—Teoría de los problemas de contorno, 531.—La teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales, 531.—Teoría de las series asintóticas, 534.—La topología combinatoria, 537.—Otras contribuciones de Poincaré, 539.—La obra filosófica de Poincaré, 540.—La creación matemática, 544.—Los funda mentos de las matemáticas, 550.^—Las paradojas de la teoría de conjuntos, 552.—La axiomatización de la teoría de conjuntos, 557.—Las escuelas de pensamiento en matemáticas, 561.—La escuela logística, 562.—Russell y Whitehead, 563.—Los Principia
mathematica, 564.—La escuela intuicionista, 570.—La escuela
formalista, 577.—Hilbert, 577.—El formalismo de Hilbert, 580.—Bibliografía, 586.—Ejercicios, 590.
Indice de autores Indice temático
593 603
Esta obra es el com plem ento natural de nuestro tom o l, porque cubre todo el período que se extiende desde el com ienzo del siglo X V il hasta las grandes escuelas del pensam iento del siglo XX.
Se trata de iniciar al lector en la historia de tas m atem áticas y, para ello, hemos creído conveniente, una vez más, presentar un manual de historia de las m atem áticas más que un tratado, con el fin de exponer, sobre todo, la vida de los matemáticos y las nociones históricas com únm ente aceptadas por los historiadores, con el fin manifiesto de facilitar la com prensión de su contenido.
Está dividida en once capítulos repartidos en tres grandes perío dos: el siglo X V II, el siglo x v iii, y el XIX y comienzos del X X . Se encontrará en la introducción a cada período un estado de la evolución de las m atem áticas en la época correspondiente, así como un balance sum ario de las realizaciones principales. Los once capítu los presentan el contenido en orden cronológico y cada capítulo com prende una introducción que pone de manifiesto los puntos im portantes y las principales ideas que se tratan en él; el desarrollo que sigue se presenta bajo la forma de parágrafos señalados con un título, nom bre propio o tem a particular, y el capítulo se term ina con una bibliografía abundante y ejercicios de recapitulación.
Se encontrará tam bién al final de la obra un índice de los principales nom bres de autores, y un índice de los temas tratados.
Si recurrir a la historia es adquirir perspectivas nuevas y atrayen tes, adecuadas para iluminarnos sobre la naturaleza enorm em ente abstracta de las m atem áticas, esperam os entonces que el contenido de esta obra será una fuente de motivación para el estudiante, el profesor y el lector, en donde podrán beber a voluntad para explotar sus riquezas y sus caminos prom etedores.
Tras haber tomado contacto con la ciencia antigua a mediados del siglo X V , los matemáticos europeos manifestaron durante cerca de dos siglos una innegable voluntad de creación en ramas tales como la teoría de ecuaciones, la trigonometría y el álgebra simbólica. Durante este período, produjeron más de lo que los griegos habían realizado durante cerca de diez siglos, porque la educación europea se extendió lo suficiente como para promover el desarrollo de matemáticos, principalmente en Francia, en Inglaterra, Alemania, Holanda e Italia. Pero en el siglo xvii asistimos a una eclosión de una ciencia nueva, llamada a desarrollos considerables en el curso de los siglos siguientes y que está en el origen de la ciencia «moderna».
Aunque todavía percibían mal numerosos hechos científicos fundamentales, los pioneros de esta nueva ciencia tenían que encon trar sus fundamentos, y lo consiguieron. A pesar de su carácter evidente de complejidad, el porqué histórico que está en el origen de esta revolución puede ser asociado al «milagro griego». En efecto, los pensadores de la Grecia antigua habían rechazado, contrariamente a sus predecesores, el aspecto empírico del conoci miento para elaborar teorías matemáticas con un rigor poco repro chable. Si algunos vieron en esta aproximación antigua una especie de milagro, no podemos dejar de comprobar que tal aproximación está en el origen de la nueva ciencia «moderna». Del mismo modo que los griegos, los sabios del siglo x v ii, al innovar en sus procedi mientos, supieron mirar el mundo con ojos nuevos e inventar principios que permanecerían eficaces y útiles en lo sucesivo.
El genio del siglo xvii se revela no sólo en la expansión conside rable de las actividades científicas, sino también en el enriqueci miento aportado a los temas clásicos y en la creación impresionante de nuevas ramas de las matemáticas. Fermat, por ejemplo, con su estudio sobre Diofanto, aporta resultados originales y revela
aspee-tos nuevos de un cam po bien establecido. Por otra p arte, la interpre tación original de la geom etría por D ésargues ilustra bien el naci m iento de una nueva ram a de las m atem áticas; la fusión del álgebra y la geom etría (geom etría analítica), los comienzos de la geom etría proyectiva, el desarrollo fulgurante del cálculo diferencial e integral, son otros tantos ejem plos para ilustrar las contribuciones fundam en tales de este siglo.
La ciencia nueva, com o se recuerda, fue creada en prim er lugar en las obras de científicos aislados, y se desarrolló muy frecuente m ente al m argen de la ciencia oficial detentada por las universida des, cuyo conservadurism o y dogm atism o, controlados por la reli gión oficial, contribuyeron en gran m edida a frenar la creación y la difusión del conocim iento.
A ntes de 1550, el desarrollo de las m atem áticas reposaba esen cialm ente en el trab ajo individual de aficionados. Los resultados, com unicados oralm ente en general, no eran conocidos más que en círculos muy restringidos, y los raros textos m anuscritos circulaban penosam ente de una persona a otra. A pesar del futuro prom etedor que presentaba la invención de la im pjenta en el siglo x v , la difusión de los conocim ientos m atem áticos estaba frenada por diver sos problem as ligados a la débil dem anda de textos científicos, la escasez de buenos im presores, la comercialización, evidentem ente basada en la rentabilidad de las operaciones, etc. No es extraño, pues, que el científico se encerrara en un secreto prudente, que trab ajara aislado del resto del m undo y que com unicara, en la m edida de lo posible, sus resultados a sus amigos utilizando el anagram a para ocultarse de las m iradas indiscretas o de las filtracio nes desafortunadas.
A fortunadam ente, a comienzos del siglo x v ii, un núm ero cada vez m ayor de científicos participaron en el desarrollo de las m atem á ticas e intentaron com unicarse con los dem ás, con el fin legítimo de intercam biar, confrontar ideas y, de rebote, estim ular su propia motivación para hacer avanzar esta ciencia. A dem ás, esta actividad casi secreta y reservada condujo, en ausencia de revistas científicas, a la edificación de encrucijadas de correspondencia y a la fundación de sociedades científicas. El P. M arin M ersenne, por su parte, se distinguió facilitando el intercam bio de correspondencia entre va rios m atem áticos conocidos, como F erm at, D escartes, D ésargues, Pascal, Torricelli, etc. Las sociedades científicas se constituyen a
partir de reuniones de científicos y, desde 1603 en Italia, se asiste al nacimiento de la Academia dei Lincei, de la que Galileo form ará parte en 1611. Después surgen otras academias a partir de agrupa ciones naturales constituidas en Inglaterra, Francia, A lem ania y Rusia. La A cadem ia de M ersenne, y después la de Le Pailleur, quien le sucedió, son buenos ejem plos de ello. Sociedades tales como la Académ ie Royale des Sciences (carta de 1666), la Royal
Society o f L o ndon (carta de 1662), la Academia de Ciencias de Berlín (carta de 1700), no sólo favorecieron los contactos entre los
científicos y los intercam bios de ideas, sino que contribuyeron tam bién directam ente a la edición de revistas científicas. E n 1665, el
Journal des Savants se publica por prim era vez, y esta fecha m arca el
comienzo de la aparición de revistas científicas, que no han dejado de crecer desde entonces en núm ero y en calidad.
Y D E F E R M A T
INTRODUCCIÓN
En el capítulo 2 del tom o l, tratam os de las contribuciones im por tantes de los principales m atem áticos de principios del siglo x v il. Se trataba, en efecto, de poner de relieve los rasgos dom inantes de los trabajos originales de una época de transición que nos ha legado
1) U n álgebra literal heredada de los trabajos de la escuela italiana y de V ieta, y una notación algebraica fijada;
2) Tablas de funciones trigonom étricas cada vez más precisas y aportes nuevos a la trigonom etría plana y esférica;
3) Los elem entos fundam entales que perm itieron, en el siglo X- VII, la eclosión de una teoría de las ecuaciones algebraicas;
4) Un cálculo logarítmico capaz de decuplicar los m étodos de cálculo de los astrónom os;
5) El m étodo de los indivisibles de Cavalieri y una técnica análoga de K epler que marcan un nuevo enfoque del cálculo integral.
La m uerte prem atura de Torricelli impidió probablem ente a Italia continuar ocupando el prim er puesto en el desarrollo de nuevas ramas de las matem áticas. Fue así como, durante el segundo tercio del siglo XVII, los D escartes, F erm at, D ésargues, Roberval y Pascal perm itieron a Francia convertirse en el centro indiscutible de las actividades m atemáticas.
E sta época está m arcada principalm ente por el desarrollo de la geom etría analítica, el nacim iento del cálculo de probabilidades y de la geom etría proyectiva, una contribución algebraica im portante a las bases del cálculo diferencial e integral, la aparición de métodos eficaces de integración y de diferenciación, aportes nuevos y origi nales en el cam po de la teoría de núm eros y sobre temas específicos.
tales como la inducción matemática, las combinaciones, la rectifica ción y representación gráfica de curvas particulares, la mecanización del cálculo aritmético, etc.
El período que nos interesa aquí es también fértil en controver sias que enfrentan a tos matemáticos en polémicas a veces vivas y personales. Estas nacen, en general, de ataques que aspiran a poner en duda bien la veracidad de los resultados obtenidos, bien la paternidad de la invención o incluso el valor objetivo de los métodos utilizados.
DESCARTES
René Descartes (1596-1650), uno de los fundadores de la biología, físico de talento, matemático por accidente, fue uno de los primeros grandes filósofos modernos. Nacido el 31 de marzo de 1596 en el pueblo de La Haye, en Turena, pertenecía a una familia de la pequeña nobleza, originaria de la región de Poitou. Desde 1606 hasta 1614, fue alumno de los jesuítas en el colegio de la Flèche, donde imperaban los manuales de Clavio; a continuación estudió derecho y medicina en la universidad de Poitiers. Después de haber recibido sus títulos de bachiller y licenciado en derecho en 1616, Descartes empipó «el resto de su juventud en viajar, ver cortes y ejércitos». Así, en 1617, se enrola como voluntario en el ejército de Mauricio de Nassau y durante nueve años alterna el servicio en algún ejército como simple soldado con viajes y tiempos de estudio.
El 10 de noviembre de 1619 es una fecha memorable en la vida de Descartes porque, habiéndose retirado a Alemania para pasar allí el invierno, descubrió ese día los fundamentos de una «ciencia admirable». Descartes no dice cuál es esa ciencia, pero se puede suponer razonablemente que descubrió, en primer lugar, un método para resolver todos los problemas de geometría, método que, por generalización, podía aplicarse a todas las cosas susceptibles de ser reconocidas. En el curso de este período de viajes, conoció a varios científicos eminentes en diferentes partes de Europa y se jnteresó de cerca por las matemáticas, así como por la teoría y la construcción de instrumentos de óptica.
En el otoño de 1628, se sintió por fin maduro para realizar su propósito; se instaló en Holanda para poder trabajar en paz, al
abrigo de cualquier m olestia. Vivió allí durante cerca de veinte años redactando sus célebres obras y m anteniendo a la vez una corres pondencia im portante con científicos del resto de E uropa. En 1649, la reina Cristina de Suecia invita a D escartes a su C orte. Tentado por los honores duda, pero acaba por aceptar. Cae enferm o poco después de su llegada a Suecia y m uerte de una neum onía en Estocolm o, el 18 de febrero de 1650.
L os primeros trabajos científicos de Descartes
La prim era contribución m atem ática de D escartes se rem onta al comienzo de su período de viajes y se refiere al descubrim iento de la fórm ula, atribuida generalm ente a E uler,
s + f - a + 2
donde s, f y a representan, respectivam ente, el núm ero de vértices, de caras y de aristas en un poliedro simple.
En 1628 escribe su prim er tratado, Regulae ad directionem
ingenii; a continuación una obra de cosmología titulada El m undo o Tratado de la luz, que estaba ya en manos del im presor cuando
sobrevino la condena de Galileo., Se abstuvo, pues, de publicar su física, con el fin de no exponerse a polémicas y quizá, incluso, a persecuciones. Sin em bargo, se vio obligado, para com pletar su obra científica, a recurrir a los poderes públicos para o btener del Estado créditos suficientes. Es tam bién el fin que persigue publican do, en 1637, su célebre Discurso del método y algunos de sus descubrim ientos científicos.
Publicado sin el nom bre del autor en Leiden en 1637, el Discurso servía como prefacio a tres tratados científicos, Geometría, Dióptri-
ca y Meteoros. La Geometría, que fue la única obra de Descartes
sobre m atem áticas, contiene sus ideas sobre la geom etría de coorde nadas y el álgebra. Pueden encontrarse sus restantes contribuciones m atem áticas en diversas cartas dirigidas a sus correspondientes.
El contenido del Discurso es descrito por Descartes en estos términos:
Si este discurso parece demasiado largo para ser leído todo de una vez, se podrá dividir en seis partes. E n la primera se encontrarán diversas
conside-raciones que se refieren a las ciencias. En la segunda, las principales reglas del método que el autor ha buscado. En la tercera, algunas de las reglas de la moral que ha extraído de este método. En la cuarta, las razones mediante las que demuestra la existencia de Dios y del alma humana, que son los fundamentos de su metafísica. En la quinta, el orden de las cuestiones de física que ha investigado y, en particular, la explicación del movimiento del corazón y de algunas otras dificultades pertenecientes a la medicina, y también la diferencia que existe entre nuestra alma y la de los animales. En la última, qué cosas cree que se requieren para ir más allá en la investiga ción de la naturaleza de lo que ha ido, y qué razones le han hecho escribir. E n resum en, el Discurso del método contiene las soluciones aporta das por D escartes a los principales problem as de la filosofía, y su valor biográfico es tal que nos revela la evolución de su m ente y m enciona acontecim ientos de su vida en la m edida en que explican la formación de su pensam iento. En una palabra. D escartes se revela en él por entero, y podem os ver, cómo se form a y desarrolla una vocación filosófica.
Para D escartes, el conocimiento m atem ático es el m odelo de todo conocimiento verdadero y, si se deben estudiar las m atem áti cas, es para acostum brar al espíritu a «alim entarse de verdades» y a «no contentarse en absoluto con razones falsas». Por otra parte, al ser concebida la verdad sobre el m odelo m atem ático, lo probable queda excluido de la ciencia. E n sus Reglas para la dirección de la
mente, D escartes deduce de su m étodo m atem ático los principios
que aseguran el conocimiento exacto de toda actividad científica. Así, cualquiera que sea el cam po de investigación, el científico no debe ocuparse de ningún objeto del que no pueda tener una certeza igual a la de las dem ostraciones de la geom etría, y no debe tener en cuenta más que conocimientos tan ciertos y evidentes como los de los geómetras.
La geometría de Descartes
En una carta escrita a Isaac B eeckm ann en 1628 encontram os el origen de la geom etría analítica de D escartes. Subrayaba en esta carta que los progresos realizados en aritm ética y en geom etría en los últimos nueve años eran tales que ya no estaba interesado en
proseguir estudios en esos campos. Y justificaba esta afirmación dando ia regla para construir todas las cúbica^ y las cuárticas por medio de una parábola. M ediante este enfoque geom étrico, se situaba en la prolongación directa de los trabajos de V ieta, ya que la construcción de las raíces de las ecuaciones algebraicas determ ina das había sido uno de los principales tem as de estudio de éste último. Así, este esfuerzo por utilizar la geom etría para resolver ecuaciones algebraicas ilustraba bien el enfoque fundam ental que desarrollaría en su Geometría. Había descubierto, según parece, que las interrelaciones entre el álgebra y la geom etría resultaban más inteligibles m ediante el uso de coordenadas en el estudio de las ecuaciones con dos incógnitas, y su m étodo, esencialm ente nuevo, consistía en utilizar la representación gráfica de las ecuaciones indeterm inadas.
D escartes com probó el valor de su m étodo cuando resolvió en poco tiem po el problem a de lugar de Pappus con tres y cuatro rectas, propuesto por Golius. A unque tenía la impresión de que los antiguos no habían podido resolver este problem a, se dio cuenta de las posibilidades que ofrecía su enfoque y, consecuentem ente, dio a conocer la geom etría analítica a sus contem poráneos con su célebre tratado.
La Geometría de D escartes está dividida en tres libros; el prim e ro trata de los problem as que se pueden construir em pleando sólo circunferencias y rectas. El segundo se refiere a la naturaleza de las curvas, m ientras que el tercero abarca la construcción de «proble mas sólidos o más que sólidos».
La geom etría cartesiana, en el sentido de D escartes, perseguía un fin muy diferente de nuestra geom etría analítica m oderna. En efecto, en el prim er párrafo de la Geometría, puede leerse:
Todos los problemas de geometría pueden reducirse fácilmente a términos tales que no hace falta más que conocer la longitud de algunos segmentos rectos para construirlos.
No se trata, pues, de reducir necesariam ente la geom etría al álge bra, sino más bien de realizar una construcción geom étrica. Así, desde las prim eras páginas del libro l. D escartes proporciona una base geom étrica al álgebra m ostrando que las cinco operaciones aritm éticas corresponden a construcciones sencillas con la regla y el
compás. Por ejem plo, la raíz cuadrada, que es la quinta operación aritm ética, se ilustra como sigue:
FIGURA 1.1
«Si hace falta extraer la raíz cuadrada de GH, le añado en línea recta FG, que es la unidad; entonces, dividiendo FH en dos partes iguales en el punto K, desde el centro K trazo el círculo FIFI; después, trazando desde el punto G una línea recta hasta /, con ángulos rectos con respecto a FH, G I es la raíz buscada.»
D espués, D escartes introduce su notación algebraica, y en parti cular su notación exponencial para las potencias. R esalta a conti nuación el hecho de que las potencias tales como a^, b^, b^, a^b, e tc ., se interpretan geom étricam ente como segm entos simples y no, según los griegos, como cuadrados o cubos; en esto rom pe con la tradición griega. Para la resolución de un problem a en geom etría. D escartes indica cómo se debe proceder:
Se debe, en primer lugar, considerarlo como ya hecho, y dar nombres a todas las líneas que aparecen necesarias para construirlo, tanto las que son desconocidas como las otras. Después, sin considerar ninguna diferencia entre las líneas conocidas y desconocidas, se debe recorrer la dificultad, según el orden que muestre más naturalmente en qué medida dependen mutuamente unas de otras, hasta que se haya encontrado el medio de expresar una misma cantidad de dos maneras: lo que se llama una ecuación. Como dice tan acertadam ente Boyer, este pasaje caracteriza un enfoque analítico de la geom etría, pero no representa la geom etría de coordenadas en su uso habitual. D escartes afirma a continuación que, si un problem a puede ser resuelto m ediante la «geom etría de
líneas rectas y circulares trazadas sobre una superficie plana» — geo m etría de la regla y el compás— , la ecuación final contendrá «un cuadrado desconocido» y este segm ento se encuentra fácilmente. Porque, prosigue, si tengo por ejem plo = az + bb
construyo un triángulo rectángulo N L M con el lado L M igual a b, la raíz cuadrada de la cantidad conocida b", y el otro lado, L N igual a i la mitad de la otra cantidad conocida que está multiplicada por z, la cual es el segm ento desconocido por hipótesis. Prolongando MÍV, la hipotenusa de este triángulo, hasta O, de m anera que N O sea igual a
N L , el segm ento O M es la línea z buscada. Esto se expresa de esta
form a';
L h M
FIG U R A 1.2
* Descartes escribió esta expresión así: z X f -h
D escartes aplica su m étodo a otras ecuaciones de segundo grado y subraya a continuación que las raíces obtenidas en estos ejem plos podían encontrarse por otros m étodos, y que los m atem á ticos antiguos no parecían haber descubierto un m étodo tan eficaz para el mismo género de problem as. Lo enlaza a continuación con el célebre problem a de lugar de Pappus y, después de una larga exposición sobre el tem a, intenta dem ostrar que su m étodo le perm ite resolver el problem a, incluso si el núm ero de rectas es m ayor de seis u ocho.
El libro 11 es el que se acerca más a nuestra concepción m oderna
de la geom etría analítica. D espués de una exposición crítica sobre las distinciones aportadas por los griegos en el tem a de la clasifica ción de las curvas —curvas planas, sólidas y lineales— propone una nueva clasificación que reposa esencialm ente sobre «la exactitud del razonam iento». Las curvas geom étricas com o la recta, la circunfe rencia y las cónicas, son curvas algebraicas descritas exactam ente, por oposición a las curvas mecánicas com o la cuadratriz y la espiral logarítm ica, que son más bien curvas trascendentes descritas inexac tam ente. La clasificación de D escartes perm itió abrir el cam po de las curvas admisibles, que era muy restringido entre los griegos, y preparar el camino de una clasificación de las curvas basada en parte en la existencia de ecuaciones algebraicas.
D espués de haber obtenido una clasificación general de las curvas. D escartes em prende la dem ostración de la solución del problem a de Pappus para el caso de cuatro rectas. Propone los datos del problem a com o sigue:
Tomemos los cuatro segmentos AB, AD, EF y GH dados más arriba y tratemos de encontrar otro segmento en el cual se encuentren una infinidad de puntos como C, desde el que, habiendo trazado los cuatro segmentos
CB, CD, CFy CH, con ángulos dados respecto de los segmentos dados, CB
multiplicado por CF produzca un resultado igual a CD multiplicado por
CH.
D escartes denota A B m ediante x y B C m ediante y. Expresa las distancias CD, CF y C H como expresiones lineales en x y en y, con coeficientes determ inados p o r las distancias fijas y por los ángulos determ inados entre los segm entos. M ediante consideraciones
geo-métricas y el uso de abreviaturas apropiadas, llega a una ecuación de la forma
= ay — bxy + ex — dx^.
Esta ecuación general representa una cónica que pasa por el origen de coordenadas pero, para D escartes, los coeficientes litera les deben ser considerados como positivos. Indica a continuación las condiciones que hace falta im poner a los coeficientes para que la cónica se convierta en una recta, una parábola, una elipse o una hipérbola.
A propósito del problem a de Pappus, subrayamos este caso particular: cuando las cuatro rectas son paralelas y están a igual distancia a, y la quinta es perpendicular a las otras, el lugar correspondiente es una cúbica que Newton llamó «parábola carte siana» o tridente
x^ - 2ax^ - á^x -1- 2a^ = axy
El trazado de esta curva, aunque aparece frecuentem ente en su
Geometría, es esbozado solam ente por D escartes, porque su interés
por esta curva estaba m otivado sobre todo por el propósito de 1) obtener su ecuación como un lugar de Pappus;
2) m ostrar su generación m ediante el m ovim iento de curvas de
grado inferior;
3) utilizarla a su vez para construir raíces de ecuaciones de grado superior.
Se encuentran tam bién en el libro H lugares llam ados «óvalos de D escartes», que son muy útiles en óptica. En efecto, sirven para generar la superficie que separa dos m edios tales que los rayos luminosos que salen de un punto del prim er m edio encuentran la superficie, y que después de su refracción en el m edio converjan en un punto. La definición m oderna de esta curva es el lugar de puntos M que satisfacen la condición FM + k F 'M = 2a donde F y F' son dos puntos fijos, 2a es cualquier núm ero real m ayor que FF' y k es un núm ero real cualquiera. Por ejem plo, si A: = 1, la curva es una elipse.
El libro III de la Geometría vuelve al tem a desarrollado en el libro I, es decir, la solución de problem as de construcciones geom é tricas y, en particular, la construcción de raíces de ecuaciones determinadas.. D escartes resuelve así problem as de construcciones geom étricas en los que las longitudes desconocidas (raíces) satisfa cen ecuaciones de tercer grado y grado superior. Nos dice que «para la construcción de cada problem a hace falta tener cuidado de escoger siem pre la más sencilla de aquellas m ediante las que es posible resolverlo»; se debe, pues, conocer bien la naturaleza de las raíces de las ecuaciones a estudiar y saber, en particular, cuándo una ecuación es reductible.
Este últim o libro constituye una exposición elem ental de la teoría de ecuaciones, escrita en un lenguaje y con una notación que se parecen mucho a los de nuestros libros m odernos. Se encuentran en él reglas para com binar, factorizar, transform ar y resolver ecua ciones. Tam bién se m uestra cómo descubrir las raíces racionales cuando existen, dism inuir el grado de una ecuación cuando se conoce una raíz, aum entar y dism inuir las raíces, cam biar su signo, determ inar el núm ero posible de raíces positivas y negativas —ver daderas y falsas en el lenguaje de D escartes— m ediante la célebre «regla de los signos», etc.
E n la búsqueda de la solución de problem as de construcciones geom étricas. D escartes no recurre al m étodo gráfico apropiado a un sistem a de coordenadas. U tiliza esencialm ente la construcción
geo-m étrica, el conocigeo-m iento de una longitud desconocida que satisface una ecuación y las propiedades geom étricas de las cónicas. Su solución ofrece un aspecto puram ente algebraico, y se sirve de las ecuaciones de las cónicas para deducir hechos referentes a las curvas y a su construcción geom étrica. Su clasificación de los problem as reposa sobre el grado de las ecuaciones algebraicas obtenidas a partir de la form ulación algebraica de los problem as de construc ción. Es así com o una construcción realizada por m edio de rectas y circunferencias se form ula en térm inos de una ecuación de prim ero o de segundo grado. Los grados tres y cuatro de una ecuación implican la utilización de las secciones cónicas. E n particular, D es cartes afirm a, de m anera incidental, que la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo son de grado tres, porque las rectas y las circunferencias no bastan para su construcción. Si el grado de una ecuación es superior a cuatro, se pueden necesitar curvas más complicadas que las secciones cónicas para asegurar su construcción geom étrica.
El grado de la ecuación de una curva resulta ser, en D escartes, una especie de m edida de su simplicidad. Nos recuerda, por otra parte, al final de su libro, que ha presentádo las construcciones más sencillas posibles para problem as de diferentes clases, lo que signifi ca que ha utilizado el grado m enor posible para resolver un proble ma de construcción.
Sistema de coordenadas
En lo que se refiere a las expresiones «sistema de coordenadas cartesianas» y «producto cartesiano», podem os decir que son ana cronismos. E n efecto. D escartes no elaboró un sistema de coordena das que le habría perm itido localizar puntos como pudiera hacerlo un geógrafo, de la misma m anera que sus coordenadas no son consideradas como parejas de núm eros. Lo que D escartes hizo, fue utilizar una recta {A G en la figura 1.3) com o una línea de base con un origen en el punto A . Los valores de x son entonces longitudes medidas sobre esta recta, m ientras que los valores de y son longitu des m edidas desde la recta ^4G y que form an un cierto ángulo constante con esta últim a. E sto era, de hecho, recurrir a coordena das oblicuas para situar puntos en el plano, pero D escartes prefirió
insistir en la idea misma de coordenadas en lugar de servirse de ellas para trazar las curvas. Oresme representaba una ley trazando el gráfico de la función correspondiente, y la curva obtenida ilustraba geométricamente esta relación de dependencia entre dos variables. A Descartes no le interesaban los lugares de puntos que satisfacen una ecuación dada, sino la posibilidad de construir estos puntos. Por otra parte, en la
Geometría
no se encuentra ninguna curva trazada directamente a partir de su ecuación. En lo que se refiere a la utilización de cantidades negativas, aunque sabía que los segmentos negativos están dirigidos en el sentido opuesto a los segmentos positivos, no se preocupó de establecer un principio general aplica ble en un sistema de coordenadas.Método de las tangentes
Descartes abordó el problema de las tangentes en 1637 intentando determinar la «normal» a la curva de un punto
M
dado:Si
N
es el punto donde la normal (perpendicular) corta al eje de las X, la circunferencia descrita con este punto como centro, con radioNM,
será tangente en M a la curva. Pei^ siN
no coincide exactamente con el pie de la normal, el radio
NM
cortará a la curva en unse aproxime indefinidamente al punto que coincide con el pie de la normal. Este método está fundado en el principio siguiente: una línea cualquiera variable que corta a una curva dada en un punto fijo
M
dado y en un segundo puntoP
variable que se aproxima indefinidamente a
M,
llega a ser tangente a esta curva cuando los dos puntos de intersección coinciden.Consideremos el ejemplo de la parábola
= 2mx;
la normal A M , de coordenadas {x, y ), pasa por el centro de la circunferencia, de abscisa
Xi,
cuya ecuación es(x - x i f + y^ - = 0
La intersección de la curva con la circunferencia proporciona (x -
Xi)^
-I- 2m x - = 0y, desarrollando
x^ — 2(xi — m )x + x \ — = 0
Si se quiere que los puntos
M y P
coincidan, hace falta que el discriminante de esta última ecuación se anule, de donde la raíz doble seráX = Xi — m
Conociendo la abscisa
x
del punto de tangencia y el valorm
de la parábola dada, se encuentraXi,
y conociendo el centro de la circunferencia se conocerán la normal y la tangente.Este primer método de las tangentes apareció en el libro II de la
Geometría,
y fue seguido de otros dos métodos propuestos por Descartes para apoyar su argumentación en la polémica que le enfrentó a Fermat. El segundo método consistía en «determinar la tangente a una curva considerándola como la posición particular de una secante que gira en torno al pie de la tangente, hasta que dos de sus puntos de intersección con la curva llegan a coincidir». Fue propuesto como respuesta a las modificaciones y correcciones he chas por Descartes a la regla de los máximos de Fermat. El último método de Descartes, que dio a conocer algunos días después del segundo, expresa el punto de vista generalmente adoptado ahora: la tangente está determinada por una recta que gira alrededor delpunto de contacto dado, hasta que el otro punto en el que aquélla corte a la curva venga a coincidir con el prim ero. V olverem os sobre esta polém ica de las tangentes con ocasión de la presentación de los trabajos de F erm at sobre esta cuestión.
Descartes y el análisis
A unque D escartes m anifestara antes de 1637 un cierto interés por los m étodos infinitesimales, no participó en su desarrollo porque sus trabajos m atem áticos, hay que recordarlo, no representan más que un episodio en el desarrollo de su filosofía. Sin em bargo, con motivo de la polém ica con F erm at, puso de manifiesto su interés m atem áti co en el problem a de las tangentes. D escartes se dio cuenta plena m ente de la im portancia de este problem a en los siguientes térm i nos;
Por esto creeré haber puesto aquí todo lo que se requiere para los elementos de las líneas curvas, cuando haya ofrecido, en general, la manera de trazar líneas rectas que formen ángulos rectos en aquellos de sus puntos que se quiera escoger. Y me atrevo a decir que éste es el problema más útil y más general, no sólo que yo sepa, sino incluso que yo haya deseado jamás conocer en geometría.
H ay que señalar que el m étodo de D escartes es puram ente algebrai co y no recurre a conceptos de límite o de infinitésimo. Sin em bargo, queriendo corregir la regla de los máximos y mínimos de Ferm at, utiliza un procedim iento que es prácticam ente equivalente a definir la tangente como límite de la secante. D escartes evitó el uso de m étodos infinitesimales a causa de los riesgos que presentaban y debido a la ausencia de bases teóricas para el razonam iento infinite simal. Se oponía así a un movimiento im portante de su época.
Aplicó el m étodo de las tangentes a problem as difíciles y, en particular, a una curva cúbica llam ada «folio de D escartes» (óvalo), que tiene por ecuación
_
2,axyP ropuesta desde 1638 por D escartes, esta curva fue representada en un principio por una hoja situada en el prim er cuadrante.
Descartes se sirvió de ella no para ilustrar su propia geom etría, sino más bien como un desafío al m étodo de los máximos y mínimos de Ferm at.
FIGURA 1.5
En resum en, el área de la hoja v a le ^ f - , lo que es igual tam bién al área com prendida entre la curva y la asíntota, cuya ecuación es
X + y + a = 0.
FERMAT
Fierre Ferm at (1601-1665) nació en 1601 en Beaum ont-de- Lom agne, cerca de M ontauban. Su padre, com erciante de cueros, después de haberle dado una instrucción sólida en su familia, le envió a estudiar D erecho a Toulouse. Allí pasó toda su vida, ejerciendo D erecho; después, a partir de 1631, fue consejero en el
P arlam ento, y m urió en C astres en 1665. F erm at tuvo una carrera apacible, caracterizada por un cuidado ejem plar de hacer bien su tarea y, en sus m om entos de ocio, supo crearse ocupaciones litera rias y apasionarse por las m atem áticas.
F erm at publicó rara vez sus descubrim ientos; apenas algunas notas como apéndices a tratados escritos por otros. C om o trabajaba para entretenerse, sus resultados más bellos aparecen en los m árge nes de estos tratados, y un gran núm ero de sus trabajos se han perdido. M antuvo correspondencia con todos los científicos de su época; su reputación de m atem ático com petente fue inm ensa, y la estim a en la que se le tuvo fue general. Pascal confesó que era «aquel a quien tengo por el gran geóm etra de toda E uropa», y este personaje tan atrayente, de un carácter constante, afable, poco susceptible, sin orgullo, contribuyó am pliam ente a la evolución de las m atem áticas en campos tan variadas como la geom etría analíti ca, el cálculo diferencial e integral, la teoría de núm eros,y la teoría de probabilidades. Los principales escritos de F erm at fueron f>ubli- cados, después de su m uerte, por su'h ijo S am uel,én 1679, bajo el título de Varia opera mathematica. A unque esta publicación no encierra más que una p arte de su producción,, bastá por sí sola para clasificar al célebre habitante de Toulouse cómo el m ás im portante m atem ático francés del siglo x v ii.
El Isagoge de Fermat
El trabajo de restauración de los grandes clásicos de A lejandría em prendido por sus predecesores interesó a F erm at después de 1621 hasta tal punto que se propuso reconstruir los dos libros de Apolo- nio sobre los Lugares planos a p artir de inform aciones contenidas en la Colección matemática de Pappus. Este trabajo le condujo al problem a de las circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas de A polonio, que generalizó en térm inos de esferas tangentes a cuatro esferas dadas. E sta prim era actividad m atem ática de Fer m at le llevó en 1629, a la edad de 28 años, a un estudio analítico de los máximos y los mínimos. Luego, algún tiem po después, aplicó el análisis de V ieta a los problem as de lugares geom étricos y, en un corto ensayo titulado A d locos planos et solidos isagoge, que data como mucho de 1636, presentó en un estilo m oderno, con las
notaciones de V ieta, los principios fundam entales de la geom etría analítica.
Esta obra, muy corta, como todos sus ensayos, comienza con una alusión al hecho de que los estudios sobre lugares geométricos han podido hacer que en ciertos casos los antiguos parezcan difíciles a causa de su incapacidad de enunciar el problem a en una forma general. Es así como se propone som eter la teoría de los lugares geométricos a un análisis que indique el camino hacia un estudio general de los problem as de lugares.
Prosigue, a continuación, enunciando el principio fundamental de la geom etría analítica:
Cuando una ecuación contiene dos cantidades desconocidas, hay un lugar correspondiente, y el punto extremo de una de estas cantidades describe una línea recta o una línea curva.
Según Boyer, esta proposición constituye uno de los enunciados más significativos de la historia de las matemáticas. En efecto, introduce no sólo la geom etría analítica, sino también la muy útil idea de variable algebraica. En la term inología de Vieta la cantidad desco nocida representaba una magnitud determ inada, m ientras que en Ferm at el extrem o de una de las variables puede ocupar diversas posiciones consecutivas, de m anera que represente una línea.
F IG U R A 1.6
El extrem o de E (nuestra y) es fijo (B) cuando la longitud de A (nuestra x ) está determ inada a partir de un punto O, que se toma como origen, y hasta el punto C. Así, Ferm at utiliza coordenadas
oblicuas, aunque el eje de las y no exista explícitam ente y aunque no em plee coordenadas negativas. Estas cantidades desconocidas A y E son verdaderas variables que utiliza en ecuaciones algebraicas que representan lugares. Subrayem os que ni D escartes ni F erm at utiliza ron el térm ino «sistema de coordenadas» o la idea de dos ejes, y que F erm at se limitó a hacer representaciones geom étricas en el prim er cuadrante solam ente.
En su presentación, introduce la división clásica de los lugares en tres tipos — plano, sólido y lineal— de la m anera siguiente: si el extrem o de E describe una línea recta o una circunferencia, tenem os un lugar plano; si describe una parábola, una hipérbola o una elipse, es un lugar sólido; para todas las dem ás curvas, el lugar correspon diente es un lugar lineal (locus linearis). Según F erm at, las ecuacio nes pueden visualizarse fácilm ente cuando las dos cantidades desco nocidas son tales que form an un ángulo dado, que ordinariam ente es recto.
F erm at introduce el estudio de la ecuación lineal utilizando las vocales (A y E) para representar, com o lo había hecho V ieta, las cantidades desconocidas. Partiendo de una recta N Z M donde N es fijo, tom a N Z com o la cantidad desconocida A y e\ segm ento Z I,
aplicado sobre la recta con un ángulo N Z I, como igual a la otra cantidad desconocida E. C uando
«D in A aequatur B in £»
es decir, D A = B E donde D y B son constantes, el punto I describirá un lugar geom étrico representado por la sem irrecta NI.
La ecuación lineal más general de la forma
D x + By = c^, donde x = A e y = E
corresponde a la recta M I con M Z — c^lD — A . Ferm at enuncia que todas las ecuaciones de prim er grado representan líneas rectas. Subrayemos que los coeficientes literales, así como las coordenadas, son positivos, tendencia que persistirá a lo largo de todo el siglo. Afirma que todos los problem as de lugares que incluyen una recta pueden ser descritos por esta ecuación lineal, en particular la séptima proposición del libro 1 de A polonio sobre los Lugares
planos y una «proposición muy bella» que él, Ferm at, ha descubier
to gracias a su m étodo.
El segundo tipo de ecuación que presenta Ferm at corresponde a la forma
«A in E aequatur Z pl»
y es la ecuación de la hipérbola xy = k^. Después vienen las ecuaciones que com prenden los cuadrados de las incógnitas, com en zando por = y^. E sta ecuación y todas las que son hom ogéneas en X y en y representan una línea recta. Ferm at dem uestra tam bién que x^ = By, y^ = D x y ± x^ = By son parábolas. D espués de
haber dem ostrado que
x'^ + y'^ + 2D x + 2By =
es una circunferencia, Ferm at pretende haber llegado a reconstruir todas las proposiciones del libro ll de A polonio. Finalm ente, ha biendo dem ostrado que b^ — x^ = ky^ es una elipse y que
b^ + x^ = ky^ es una hipérbola, F erm at se ve inducido a estudiar la
ecuación más difícil de todas, la que contiene no sólo x e y, sino tam bién xy. A naliza el caso
que, como dem uestra, representa una elipse. El tratado se term ina con la proposición siguiente:
«Dados dos puntos N y M, encontrar el lugar de puntos tal que la suma de cuadrados de IN , IM esté en una razón dada con el triángulo IN M » (véase la figura 1.7).
V
En el apéndice del Isagoge, se encuentra «La solución de proble mas sólidos m ediante lugares», texto en el que Ferm at hace patente su m étodo para dem ostrar que todos los problem as de ecuaciones cúbicas y cuárticas pueden construirse m ediante una parábola y una circunferencia. Por ejem plo, la ecuación jr'* - z^x -t- = 0 se re suelve m ediante la intersección de la parábola \ /2by = y áe la circunferencia 2b^x^ -f 2b^y^ = z^x + b'* -P d'*.
Paralelismo entre las geometrías de Descartes y Fermat
M uchos autores se han ocupado de los trabajos de D escartes y Ferm at, y sus apreciaciones parecen diferir en varios puntos. Por eso nos contentarem os con poner en claro brevem ente algunos
hechos y ciertas características que se deducen de sus geom etrías, dejando a los especialistas la tarea de proseguir la discusión.
Ni D escartes ni Ferm at inventaron el uso de las coordenadas o de m étodos analíticos, y ni uno ni otro fueron los prim eros en aplicar el álgebra de la geom etría o en representar gráficam ente las variables. La contribución independiente de cada uno reposa esen cialm ente en el_ reconocim iento de que una ecuación dada con dos incógnitas puede considerarse com o la determ inación de una curva plana, con respecto a un sistema de coordenadas. A dem ás, si se añaden a esto los m étodos algorítmicos desarrollados por cada uno para unir estrecham ente la ecuación y la curva correspondiente, todo ello bastará para atribuirles el m érito de ser los fundadores de la geom etría analítica.
Los dos autores continuaron los trabajos de V ieta en direcciones algo diferentes. D escartes adopta el objetivo de Vieta, la construc ción geom étrica de las raíces de ecuaciones algebraicas, pero conti nuándolo en conjunción con un simbolismo algebraico mucho más apropiado. Ferm at conserva la notación de Vieta, pero la aplica a un cam po nuevo, el estudio de los lugares geométricos.
Ferm at pone de relieve la idea fundam ental de la ecuación de una curva de una m anera más esclarecedora que D escartes. Por otra parte, D escartes cubre un campo más amplio y general que el de las ecuaciones de prim ero y segundo grado de Ferm at. Este último ofrece una exposición sistem ática más accesible que la de D esearles, cuyas proposiciones da la im presión de que ha evitado clarificar. Se percibe m ejor en Ferm at que la ecuación con dos incógnitas es una expresión algebraica de las propiedades de la curva. M ientras que D escartes sugiere clases de curvas generadas por movimientos sim ples, F erm at introduce grupos de curvas dadas por ecuaciones algebraicas.
En general, se puede decir que D escartes com ienza con un problem a de lugar geom étrico a partir del cual obtiene una ecuación del lugar, m ientras que F erm at se preocupa más de partir de una ecuación y de deducir las propiedades de su curva.
E l métjydo de m áxim os y m ínim os de Fermat
En 1629, F erm at había desarrollado su geom etría analítica y, poco tiem po después, hizo dos descubrim ientos im portantes
estrecha-m ente ligados a sus trabajos sobre los lugares. El estrecha-más iestrecha-m portante es, sin duda, una regla para la determ inación de los extrem os de las funciones algebraicas que sería descrita, sin dem ostración, en un pequeño tratado titulado M ethodus ad disquirendam m axim am et
minimam, escrito en 1637.
Se puede enunciar su m étodo de la m anera siguiente: se trata de buscar el máximo o el mínimo de la función / cuya variable es A ; reem placem os A por A + E (donde E desem peña el papel de nuestro x habitual) en /, y hagam os f{A + £ ) = f{ A ), dividamos cada térm ino por E y, finalm ente, eliminemos todos los térm inos que contengan E. La ecuación resultante se anula para uno o varios valores de la variable A , y estos valores corresponden a máximos o mínimos.
A pliquem os su m étodo al problem a de dividir un núm ero en dos partes de form a que el producto sea máximo. Sea N el núm ero conocido y A la cantidad desconocida. Tendrem os
f{ A ) = A { N - A ) = A N - A^.
H ace falta hacer /m á x im o , por consiguiente
f( A + E) = (A + E )N - (A + E f = = A N + E N A ^ 2 A E -y como f{ A ) = A { N - A ) se tiene A N - A ^ = A N - A ^ A E N - 2 A E - E^
de donde, dividiendo por E y después de simplificar, obtenem os 2A - N - E = 0.
Finalm ente, haciendo E = 0 en la últim a igualdad, tendrem os
2A = N.
Es im portante señalar que este m étodo algorítmico es equivalen te a calcular
l i m / í ^ ^ ^ ) - / W
£^0 ^
aunque Ferm at no poseía el concepto de límite. Sin em bargo, el cambio de variable de a -I- £ y los valores próximos utilizados por Ferm at constituyen la esencia del análisis infinitesimal. Subraye mos adem ás que el m étodo de Ferm at no perm ite distinguir entre un máximo y un mínimo.
Fermat y el m étodo de las tangentes
Hacia 1632, Ferm at aplica su m étodo de los extrem os a la determ i nación de las norm ales y tangentes o, más precisam ente, de las subtangentes a una curva. Utiliza la parábola para ilustrar su m étodo:
Sea D el vértice de la parábola, B el punto tangente a la curva parabólica, C el pie de la ordenada de B, E el punto donde la tangente corta al eje. Hagam os CD = b, C E = s, C I = e, y eleve mos una ordenada en el punto / que corte la parábola en y la tangente en O.
Para todos los puntos de la parábola, cuya ecuación es = p x, la razón del cuadrado de la ordenada a la abscisa es constante; se tiene, pues, como afirm a F erm at
flgZ _
DC d7
y, en consecuencia,
o'fl ^
TO DC
Si el punto O se desplaza sobre la tangente, la razón será m ínim a cuando este punto esté en B. A hora bien, según el m étodo
b
CP-de los extrem os, Ferm at CP-debe igualar _ a _ ^ y a continuación, reem plazando los cuadrados de O I y de B C por cantidades propor cionales, dependientes solam ente de los segm entos situados sobre el eje, obtiene Efi ^ TO 2>C O (s — e)^ _ d ~ e d
y, elim inando denom inadores, encuentra por reducción que
j = 2 d .
En este caso, la incógnita C E es el doble de la abscisa del punto de contacto. Ferm at añade que su m étodo es general. U na vez más, el m étodo de las tangentes de F erm at se reduce a m ostrar que el valor del
E^O ^
es la pendiente de la curva en el punto de abscisa x = A . D esgracia dam ente, las explicaciones dadas por F erm at no eran suficientes y D escartes consideró que la distancia del pie E de la tangente a los diferentes puntos de la parte convexa de la parábola debía ser máxima. A hora bien, aplicando la regla de F erm at a este pretendido máximo. D escartes llegó a un resultado absurdo. Sacó, pues, la
conclusión de que había un defecto en esta regla, y propuso modifi caciones. La discusión había com enzado, y uno y otro intentaron justificar su m étodo, adoptando cada uno un punto de vista diferen te: Descartes consideraba que líneas rectas o curvas que tienen dos puntos comunes y que se aproximan indefinidam ente se convierten en tangentes cuando estos dos puntos coinciden, m ientras que Ferm at llevaba la cuestión de la tangente a su m étodo de máximos y mínimos. En particular. D escartes desafió a Ferm at para que aplica ra su m étodo a la curva que lleva su nom bre
-f = cxy donde y es una función implícita de x.
Sustituyamos x por la variable x + E e. y por y (l + -f-) (obteni da m ediante triángulos sem ejantes, es decir, f ■ Se tiene
(x + E)^ + y \ l + -f-)^ - cy(x + £)(1 + - f ) = 0
y
E{3x^ + ^ - cy) + E \ 3 x + ^ ~ + E{1 + -^ ) = Q
Dividiendo por E, se tiene
3x^ + cy + E(3x + - ~ ^ ) + £^(1 -I- -^ ) = 0
Basta ahora elim inar E y aislar a
3 x ^ + ^ - ^ - c y = 0
y se obtieneConscientes uno y otro de que sus m étodos no podían aplicarse así más que a las curvas «geométricas». D escartes y F erm at intenta ron poner rem edio a esta situación cada uno a su m anera. Descartes lo intentó una sola vez con éxito al trata r de obtener las tangentes a la cicloide. Asimism o, Ferm at estableció el principio de que es posible sustituir las ordenadas de las curvas por las de las tangentes y los arcos de curvas por las porciones de tangente que tengan la misma proyección sobre el eje, aplicando su m étodo a la ruleta. Llegó así a determ inar las tangentes de varias curvas trascendentes.
La integración en Fermai
El m étodo de integración llam ado de los indivisibles de Cavalieri (véase el tom o I, p. 314) m uestra principalm ente que
para todas las potencias enteras positivas. Sin em bargo, después de la publicación de este resultado en 1635, no proporcionó ninguna dem ostración com pleta más que para « = 4.
En 1635, Ferm at dem ostró rigurosam ente este resultado general y, en la misma época, consiguió extenderlo a las potencias fracciona rias positivas por m edio de parábolas generales de la forma
y"'a" = b'^x". A dem ás, encontró las cuadraturas y los centros de
gravedad de estas parábolas. Se interesó por la cruadratura de la hipérbola fraccionaria aplicando una técnica equivalente a la que se utiliza para el cálculo de la integral definida: división del área bajo la curva en pequeños elem entos, estimación de la sum a de los elem en tos del área m ediante rectángulos y de la ecuación analítica de la curva, procedim iento utilizado por Ferm at para expresar el equiva lente de lo que se obtiene sirviéndose del límite de la suma. Según B oyer, Ferm at llegó a reconocer todos los aspectos de la integral salvo el de la integral misma. El procedim iento utilizado por F er m at, prosigue B oyer, consiste en encontrar una cuadratura, es decir, en resolver un problem a geom étrico específico. Subrayem os, final m ente, que la rectificación de curvas atrajo la atención de Ferm at, que efectuó la de la parábola semicùbica.
Fermat y la teoría de números
Fue sobre todo en la teoría de núm eros, inaugurada por D iofanto en la A ntigüedad, donde F erm at se reveló sin rival, como Pascal atestigua en una carta:
x" dx =
Buscad en otra parte quien os siga en vuestras invenciones numéricas; os confieso que me superan con mucho; no soy capaz más que de admirarlas.
Los trabajos de Ferm at en teoría de núm eros están contenidos en sus «observaciones», escritas en los m árgenes de su ejem plar del D iofanto de Bachet^ y en su «correspondencia». Para hacerse una idea más exacta de las contribuciones de Ferm at a la reina de las ciencias m atem áticas, según Gauss, hay que tener en cuenta sus dos fuentes: la correspondencia aporta un com plem ento precioso a sus observaciones.
Los prim eros estudios de Ferm at en teoría de núm eros se rem ontan a 1636, año en el que consigue dilucidar el problem a siguiente:
«Sea + 2{a + b)x = + b^, donde a y b son racionales. D em ostrar que si x es raíz, entonces es una diferencia de dos núm eros inconm ensurables.»
D espués, viene el período más fecundo, que se extiende desde 1638 hasta 1644, en el que Ferm at dem uestra su verdadero talento. En efecto, da a conocer las proposiciones siguientes:
1) Ningún triángulo rectángulo tiene por área un cuadrado. 2) Las ecuaciones jc"* + y'* = z"* y son irresolubles
en térm inos de núm eros racionales, así como = z^. 3) Ningún núm ero de la forma 8/c — 1 es cuadrado o sum a de
dos o tres cuadrados.
4) Todo núm ero es la suma de tres núm eros triangulares o más, de cuatro núm eros cuadrados, de cinco núm eros pentágonos, etc.
Las proposiciones 1, 2 y 4 fueron dem ostradas, según parece, por su m étodo de «descenso infinito», que está fundado en una especie de inducción inversa. En efecto, si se supone que un núm ero goza de una propiedad específica, y se puede probar que un núm ero inferior goza tam bién de esta propiedad, por iteración se llega a la conclusión del absurdo de la suposición, porque los núm eros no pueden decrecer indefinidam ente.
Ilustrem os este m étodo aplicándolo a la dem ostración de que ^/3 no es racional:
