3.4. Normalizaci´on Esf´erica
3.4.1. Justificaci´on de la Normalizaci´on Esf´erica
Como hemos visto a lo largo de ´este trabajo, las M´aquinas de Vectores de Soporte (SVM) representan una importante herramienta en procesos de clasificaci´on debido a su buen desempe˜no y sus fundamentos te´oricos solidos. El uso de SVM en problemas reales en ocasiones implica una etapa de un preprocesamiento. Estudios previos [29] han demostrado que la normalizaci´on es un tipo de preprocesamiento que juega un papel importante en el proceso de clasificaci´on con SVM.
Obviamente existe una gran variedad de m´etodos que permiten normalizar vectores, sin embargo en nuestro caso, el objetivo principal es el mapeo de los vectores que representan los datos de entrada a una hiperesfera unitaria con la finalidad de normalizar y sobre todo, esparcir los datos sobre la superficie de dicha hiperesfera de tal modo que SVM pueda trazar f´acilmente los hiperplanos de separaci´on utilizando funciones kernel polinomiales. Lo anterior est´a sustentado en la manera similar de operar del kernel RBF, el cual es interpretado como un kernel exponencial normalizado [30].
Se sabe que en el caso de los kernels de producto punto exponencial se obtiene el kernel RBF como la normalizaci´on de dichos kernels [30], es decir:
exp(h~x, ~yi)
q
exp(h~x, ~xi)exp(h~y, ~yi) =exp
µ − 1 2σk~x−~yk 2 ¶ .
En nuestro caso, sabemos que el producto punto de dos vectores unitarios es el coseno del ´angulo que forman entre ellos, ´esto restringe el producto punto al rango −1≤xˆ·yˆ≤1. Por tanto un kernel polinomial con normalizaci´on esf´erica puede ser escrito de la siguiente forma: K(x, y) = à cosθxy+ 1 2 !n
Por otro lado, sabemos que el kernel RBF es denotado por: K(x, y) = exp à −kx−yk 2σ !2
A manera de comparaci´on tenemos que el ´angulo cosθxy entre los dos vectores en el
espacio de entrada que son mapeados en la superficie de la hiperesfera unitaria es igual a la longitud del arco entre los dos puntos que se encuentran en la superficie de la hiperesfera. La distancia medida entre estos dos puntos es an´aloga al t´ermino kx−yk en el kernel RBF. Adem´as, el coseno transformado es una funci´on unimodal dondencontrola su anchura. Esto es similar a la Gaussiana donde σ controla tambi´en la anchura del kernel RBF. En el kernel RBF, valores peque˜nos paraσ produce RBF’s estrechos y por lo tanto una alta resoluci´on de clasificaci´on en el espacio de entrada. En el kernel normalizado esf´ericamente valores grandes para n reducir´a la anchura de la funci´on coseno y esto da mejor resoluci´on al clasificar los vectores que se encuentran en el espacio de entrada.
De acuerdo a lo anterior, podr´ıa concluirse que un kernel polinomial con normaliza- ci´on esf´erica tiene comportamiento similar al kernel RBF. Es por eso que una normalizaci´on esf´erica nos permite usar kernels polinomiales de grado alto y es posible alcanzar excelentes resultados de precisi´on que incluso podr´ıan rebasar los obtenidos con un kernel RBF.
Para lograr una mayor comprensi´on de la potencialidad que posee la Normalizaci´on Esf´erica de un Kernel Polinomial, veamos un ejemplo muy sencillo y gr´afico a continuaci´on. Supongamos un conjunto de datos de entrada en 2D y un kernel polinomial sencillo de la forma:
K(x, y) = (ˆx·yˆ)n
en donde n = 1 y ˆx denota el vector de entrada x normalizado esf´ericamente, es decir, se encuentra mapeado sobre la superficie de una esfera unitaria en 3D como la que muestra la Figura 3.12.
Los tipos de frontera de decisi´on posibles son generados de la siguiente manera: imagine la intersecci´on de un plano con la esfera en 3D de la manera como se muestra en la Figura 3.12. Como se puede observar en la figura, ´este tipo de intersecci´on induce una peque˜na frontera de decisi´on circular en el espacio de entrada. Por lo tanto, si el plano que parte a la esfera en 3D lo movemos m´as hacia el centro, obtendremos una frontera de decisi´on circular en el espacio de entrada un poco m´as grande a la anterior. De igual manera, si cambiamos
de orientaci´on el plano para cortar la esfera de manera diferente obtendremos muchas otras opciones de fronteras de decisi´on inducidas en el espacio de entrada.
En cuanto al efecto que provoca la dimensi´on n del kernel polinomial en una norma- lizaci´on esf´erica, podemos decir que la dimensi´on permite inducir fronteras de decisi´on que poseen la forma funcional de un polinomial. La frontera de decisi´on inducida en el espacio original de entrada es obtenida a partir de la intersecci´on del hiperplano polinomial con la hiperesfera unitaria.
Figura 3.12: Inducci´on de la frontera de decisi´on
El siguiente cap´ıtulo presenta una serie de experimentos y resultados interesantes que permiten observar la efectividad de la implementaci´on de ´esta t´ecnica para mejorar la pre- cisi´on de SVM en el proceso de clasificaci´on y por consiguiente mejorar el desempe˜no del sistema generador de claves criptogr´aficas.
Cap´ıtulo 4
Herramientas para la Simulaci´on, Experimentos y
Resultados Num´ericos
En el presente cap´ıtulo se exponen los experimentos realizados para analizar y optimizar la precisi´on del sistema generador de claves criptogr´aficas propuesto. Primeramente se pre- sentan las caracter´ısticas de cada una de las herramientas empleadas para llevar a cabo las simulaciones. Por ´ultimo se muestra la metodolog´ıa seguida para efectuar los experimentos y los resultados correspondientes.