Las matemáticas como producto cultural e histórico

En nuestro estudio asumimos la visión ‘falibilista’ de las matemáticas de Lakatos (1978) y su revisión por Ernest (1998), según la cual las matemáticas son falibles, están sujetas a crítica racional y a posibles correcciones. Esta visión rechaza la idea de que las matemáticas son un conocimiento a priori, es decir, fundado en una serie de nociones básicas auto-evidentes y desarrollado de manera formal según una serie de reglas de inferencia previamente aceptadas. Según la visión apriorística, las matemáticas son un conocimiento indudable, incorregible e infalible; posición que Ernest denomina absolutismo.

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La tesis falibilista no pretende, simplemente, dar cabida al error humano en relación con lo que se cree, dejando inalterado el estatus epistémico de las posibles creencias implicadas, considerándolo inherente a éstas. Por el contrario, implica que el conocimiento matemático puede perder su estatus epistémico (necesario, posible, etc.) por acción de su revisión crítica. La justificación de tal conocimiento puede ser rechazada y éste considerado injustificado o incluso falso.

Aunque la crítica de Lakatos y Ernest a los proyectos fundacionalistas, como los de Hilbert y Russell y Whitehead, parece minar inexorablemente la fiabilidad (en términos apriorísticos) del conocimiento matemático, la suya no es una crítica escéptica o destructiva; es un llamado de atención acerca de la necesidad de reivindicar el valor y la importancia del conocimiento matemático falible para acomodarlo de manera más lúcida en el proyecto científico moderno. Lakatos se pregunta:

¿Por qué empeñarse en pruebas “últimas” y autoridades “decisivas”? ¿Por qué buscar fundamentos, si se acepta que son subjetivos? ¿Por qué no admitir honestamente la falibilidad matemática, e intentar defender la dignidad del conocimiento falible contra el escepticismo cínico, en lugar de hacernos la ilusión de que podemos reparar, hasta que no se note, el último rasgón del tejido de nuestras intuiciones “últimas”? (op. cit., p. 41, cursivas y comillas en el original)

Para Hersh, este posicionamiento da lugar a una tarea fundamental para la filosofía de las matemáticas, “no la búsqueda de la verdad indudable sino dar cuenta del conocimiento matemático como realmente es: falible, corregible, tentativo y en evolución, como lo es cualquier otro tipo de conocimiento humano” (1979, p. 43). Un ejemplo clásico del valor de la revisión crítica del conocimiento matemático y de sus fundamentos es el desarrollo de las geometrías no euclidianas a partir de la sustitución del quinto postulado de Euclides. Sus consecuencias y su valor, tanto para el desarrollo de las matemáticas como para la física moderna, son enormes. Según Kirtcher (1984), y así lo asumimos en nuestro estudio, una piedra angular de la tesis falibilista es el hecho de que la justificación del conocimiento matemático implica la acción humana y por lo tanto no puede ser reducido a condiciones objetivas inherentes al conocimiento mismo. Los estándares de validación del conocimientos están, también ellos, sujetos a crítica y modificación;

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son aceptados en un momento histórico determinado porque son considerados adecuados por grupos de individuos (e.g., la comunidad matemática). De este modo, tanto el conocimiento matemático como los estándares de evaluación con que es validado dependen de su aceptación social como tales. Una consecuencia inmediata de aceptar la historicidad del conocimiento y del meta-conocimiento matemáticos es que la vigencia de la validez de su configuración presente, a pesar del consenso que pueda generar, está sujeta a los resultados de la actualidad de su revisión crítica. Esto no quiere decir, por supuesto, que el conocimiento matemático de la comunidad matemática o sus estándares de evaluación sean arbitrarios o que no progresen con el tiempo. Por el contrario, éstos son el producto más actual del trabajo profesional de los matemáticos, basado en el debate y escrutinio públicos. Los conceptos matemáticos, las definiciones, los teoremas y las demostraciones evolucionan, cambian e incluso son abandonados con el paso del tiempo, al igual que los estándares de evaluación y de rigor. El conocimiento matemático es entonces intersubjetivo e históricamente determinado, enraíza en la tradición y en la continuidad histórica (Ernest, op. cit.). Las matemáticas, como cualquier otro conocimiento teórico, necesitan contextos específicos en los que desarrollarse, organizarse, sistematizarse y conectarse con significados.

A pesar de que la visión falibilista del conocimiento matemático ha ganado terreno en las últimas décadas en el campo de la filosofía de las matemáticas y de la investigación en educación matemática (Sierpinska y Lerman, 1996), la presentación de la materia en las aulas sigue teniendo tintes absolutistas. Si se considera que la actividad que desarrollan los matemáticos debe informar de manera fundamental a la educación matemática, este hecho tiene consecuencias. Las posiciones absolutistas, como el formalismo, el logicismo o el intuicionismo, dan cuenta del conocimiento de manera prescriptiva; es decir, constituyen en sí mismas un programa acerca de cómo se deben entender y desarrollar las matemáticas, en lugar de dar cuenta de cómo lo hacen, en realidad, en la praxis de los matemáticos. “Confundir descripción y programa -confundir ‘es’ con ‘debe ser’- es tan dañino en la filosofía de las matemáticas como en cualquier otra” (Köner, 1960, p. 12; en Ernest, op. cit., p. 51). Si esperamos que la praxis de los matemáticos informe a la didáctica de las matemáticas, resulta necesaria una filosofía de las matemáticas que sea capaz de explicar, al menos, qué es el conocimiento matemático, cuál es su carácter y su ontología y, a la vez, cómo es que surge como resultado de la actividad que realmente llevan a cabo los

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matemáticos, cómo es que queda justificado dentro de la comunidad matemática, cómo se relaciona con otros conocimientos humanos y cómo es que los humanos aprenden a hacer matemáticas. Las respuestas a estas preguntas son de gran relevancia para la enseñanza de las matemáticas y para la reflexión acerca de ésta. Lakatos (1976), por ejemplo, se aproxima a algunas de estas preguntas mediante el análisis de discusiones matemáticas ficticias inspiradas en datos históricos. El autor propone una visión de las matemáticas que se distancia definitivamente de posiciones absolutistas, describiéndolas como un producto falible y perfectible del trabajo intelectual humano.

Desde la perspectiva que asumimos, la dimensión social del conocimiento matemático no se puede entender como una mera contingencia. Considerando las matemáticas como un producto cultural históricamente determinado, la dimensión social está inextricablemente ligada a cualquier epistemología que pretenda dar cuenta del conocimiento matemático como fruto de la acción humana. Nos sumamos así al interés creciente, en el ámbito de la investigación en didáctica de las matemáticas, por el desarrollo de teorías que incluyan la dimensión socio- cultural, explícita o implícitamente, como un elemento fundamental para entender los procesos asociados con la producción de conocimientos matemáticos (Sfard, 2008; Sierpinska y Lerman, op. cit.). Este interés refleja el alejamiento, en este ámbito, de la perspectiva absolutista del conocimiento matemático, así como el rechazo de la asociación de su construcción con el solo individuo, en favor de visiones que entienden el conocimiento matemático y su justificación como una construcción colectiva inscrita en un contexto particular.

Para introducir la dimensión social en la discusión acerca del conocimiento matemático, tanto Sfard (2008) como Ernest (op. cit.) recurren a propuestas y nociones de Wittgenstein (1953/2001). Las epistemologías basadas en las ideas de Wittgenstein adscriben la producción del conocimiento a la esfera de la acción de los agentes humanos y las comunidades culturales que estos conforman (sus ‘formas de vida’), otorgando un papel preponderante al uso del lenguaje (sus ‘juegos del lenguaje’). Para Wittgenstein, el significado de un término o de una proposición es su uso en el lenguaje. De este modo, el conocimiento matemático de la comunidad matemática es el producto de la actividad de los matemáticos implicándose en los distintos juegos del lenguaje que conforman y caracterizan determinadas formas de vida en este grupo. Este posicionamiento rechaza, por un lado, tanto el apriorismo del conocimiento matemático como su infalibilidad

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(Ernest, op. cit.) y, por otro, ubicando el significado en la actividad discursiva humana y no en las mentes individuales o en relaciones entre objetos y palabras, lo convierte en una cuestión pública e investigable (Sfard, op. cit.). La primera cuestión abre la puerta a una visión naturalista y anti-prescriptiva del conocimiento matemático (en el sentido de Kirtcher, op. cit.) y la segunda cuestión abre la puerta a los métodos de la pragmática para el estudio del conocimiento matemático y su producción. Los posicionamientos epistemológicos que las ideas de Wittgenstein posibilitan, son capaces de acomodar visiones socio-culturales de la producción y justificación del conocimiento matemático y proveer de fundamentos a su desarrollo.

Es esta visión histórica y socialmente fundada de la epistemología, y en particular de la epistemología de las matemáticas, la que adoptamos en nuestro estudio. Aunque son variadas las visiones acerca de la epistemología de las matemáticas que enraízan en la dimensión social y que han sido consideradas en el ámbito de la educación matemática, no pretendemos hacer una revisión exhaustiva. Algunas ideas al respecto serán desarrolladas más adelante para acotar y explicar en detalle nuestro punto de vista.

A continuación describimos elementos básicos relativos a la praxis matemática y cómo éstos se articulan, a la luz de las ideas propuestas, para explicar la producción y validación de conocimientos matemáticos al interior de la comunidad matemática. Elucidar estas cuestiones permitirá, más adelante, exponer nuestras ideas acerca de los procesos de producción y validación de conocimientos matemáticos en el contexto del aula de matemáticas y establecer similitudes y diferencias relevantes que permitan describir especificidades del contexto del aula.