Objetivos de investigación y planteamiento metodológico general

Como mencionamos en el Capítulo 1, la cuestión de investigación a la que este trabajo de tesis doctoral pretende contribuir es:

¿Cómo se construye la validez de la producción matemática cuando se resuelven problemas en aulas de matemáticas?

Para lo cual nos planteamos los siguientes objetivos de investigación:

Primer objetivo:

Caracterizar procesos de construcción de la validez de la producción matemática en el trabajo en grupo de alumnos.

Segundo objetivo:

Caracterizar procesos de construcción de la validez de la producción matemática en la interacción de grupos de alumnos con el profesor del aula.

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Caracterizar la gestión de procesos de construcción de la validez de la producción matemática a cargo de dos profesores en el aula de matemáticas. A partir de la revisión de la literatura (Capítulo 2) constatamos que en la comunidad de investigadores en educación matemática hay un interés creciente en relación con la argumentación, entendiéndola como una práctica relevante en el aula para la producción y validación de conocimientos matemáticos. De ahí que la cuestión de investigación que nos hemos planteado resulte relevante en el ámbito de la educación matemática.

Hemos mostrado que muchas investigaciones relativas a la argumentación en el aula de matemáticas se centran en el estudio de los argumentos que los alumnos producen y presentan como justificación de su producción matemática. Son menos las investigaciones que pretenden estudiar los procesos mediante los cuales estos argumentos son producidos y, en particular, las condiciones epistémicas de su emergencia. La caracterización de procesos de construcción de la validez en situaciones de resolución de problemas es un objetivo relevante en este sentido, pues permite dar cuenta de la producción argumentativa de los alumnos en relación con la epistemología de las matemáticas del aula.

Hemos mostrado que algunos investigadores enfatizan aspectos cognitivos de la argumentación y que otros la consideran en el contexto social del aula, como parte de procesos de interacción entre los participantes. Estas perspectivas son complementarias e investigaciones que intenten abordar la problemática de la argumentación en el aula de matemáticas considerando ambas cuestiones son valiosas. En este sentido, los tres objetivos de nuestro estudio son complementarios, pues la construcción de la validez de la producción matemática es considerada en situaciones de interacción habituales en el aula: el trabajo en grupo y la interacción con el profesor. Nuestros objetivos son complementarios también en otro sentido: los dos primeros ponen el foco en los conocimientos de los participantes (alumnos y profesor), quienes se implican interactivamente en el trabajo matemático; el tercero, en cambio, pone el foco en las acciones que el profesor realiza para concretar el proceso de enseñanza aprendizaje y en sus especificidades.

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Para la consecución de los objetivos se resolvió llevar a cabo un estudio cualitativo, basado en datos de aula a partir de un contexto de resolución de problemas que incentive entre los alumnos la necesidad de argumentar para validar su producción matemática. Caracterizamos el estudio como comparativo (en el sentido de Glaser y Strauss, 1965) dado que el análisis de datos se estructura alrededor del ‘método de comparación constante’, según lo proponen Glaser y Strauss (op. cit.) y las posteriores elaboraciones de Bernard y Ryan (2010), Boeije (2002), Charmaz (2006), Strauss y Corbin (1998) y Tilbury y Walford (1996). La comparación constante de situaciones similares está en la base del análisis interpretativo-inductivo mediante el cual se generan categorías descriptivas y explicativas que dan cuenta de los datos analizados y, mediante un proceso de síntesis, de los objetivos de la investigación. Nuestro estudio está enmarcado dentro del paradigma investigativo de la Teoría Fundamentada (Glaser y Strauss, op. cit.; Strauss y Corbin, op. cit.).

Nuestra investigación no comenzó con una serie de supuestos a priori en relación con las cuestiones a observar, ni era nuestra intención verificar hipótesis planteadas de antemano. Pretendíamos indagar las acciones de alumnos y profesor, dentro de una situación de interés, para identificar y caracterizar inductivamente cuestiones epistemológicamente relevantes de las prácticas argumentativas de los participantes en el marco del trabajo matemático del aula. A partir de estas caracterizaciones, pretendíamos arrojar luz acerca de cómo éstas cuestiones contribuyen a conformar procesos de validación de la producción matemática. Por lo tanto, el análisis de los datos no se inició a partir de un modelo de análisis cerrado, previamente estructurado. Con base en el marco teórico se generaron líneas generales de interpretación que reflejan nuestro posicionamiento teórico en relación con la argumentación y la validación en el aula. Estas líneas generales, que orientan la interpretación y codificación de los datos, constituyen un primer nivel de análisis pero deben entenderse como la base sobre la cual se procede inductivamente para derivar, mediante comparación constante de situaciones similares, cuestiones cuya relevancia se funda en los datos mismos. Es decir, no se intenta “encajar” los datos dentro de categorías teóricas establecidas, sino utilizar nociones que conforman el marco teórico para fundar la interpretación y la emergencia inductiva de cuestiones que son interpretadas como relevantes desde el punto de vista teórico asumido. Estas cuestiones son aprehendidas en términos de conceptos y categorías que se incorporan a un proceso cíclico e iterativo de análisis comparativo, en el que los datos son revisados a la luz de estas nuevas

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interpretaciones con el fin de revisar los conceptos y categorías conformados e inducir nuevos, a partir de los cuales el ciclo se repite hasta el punto de saturación teórica (Glaser y Strauss, op. cit.).

Se decidió plantear un estudio en dos fases: la primera basada en la implementación de tres problemas matemáticos a trabajar dentro de un aula de secundaria y la segunda en la implementación de uno de estos problemas, seleccionado a partir de criterios emergentes del análisis preliminar de los datos obtenidos en la primera fase, en una segunda aula de secundaria. En la segunda fase, se llevarían a cabo entrevistas con alumnos. En esta segunda experiencia, que cubre la función de muestreo teórico (Glaser y Strauss, op. cit.), se intentaría refinar la primera con la intención de corroborar cuestiones observadas en la primer aula y generar nuevas situaciones, con base en consideraciones derivadas del análisis de la fase inicial, a partir de las que enriquecer el proceso de análisis y generación de conceptos y categorías explicativas. Las entrevistas con los alumnos permitirían explorar en profundidad cuestiones observadas en el aula, verificar o refutar interpretaciones acerca de las acciones de los participantes y consolidar los conceptos y categorías conformados en el análisis de las situaciones de aula. La concreción de los objetivos se consigue a partir de la tematización de los productos del análisis llevado a cabo. Utilizamos el modelo de Van Manen (1990) para elaborar temas que dan cuenta de manera articulada de los aspectos más relevantes aparecidos en el análisis de los datos. Planas, Font y Edo (2009) describen los temas como configuraciones narrativas y sintéticas derivadas de la interpretación repetida y triangulada de un conjunto de datos cualitativos. El proceso consiste en abstraer elementos esenciales mediante la búsqueda de consenso entre más de un investigador familiarizado con los datos y un marco teórico de referencia común. De modo que el procedimiento mediante el cual se construyen los temas no es mecánico y está influenciado por quienes articulan narrativamente estos temas. En este sentido, la sensibilidad del investigador para relacionar los datos con la perspectiva teórica asumida y la transparencia de las interpretaciones realizadas en ese marco resultan fundamentales.

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4.2.  Selección,  análisis  y  caracterización  del  problema  matemático