Lugar de las raíces del sistema

Con la ayuda del software MATLAB se puede hallar rápidamente el lugar de las raíces de nuestro sistema en lazo cerrado, conociendo el modelo matemático del proceso, para m=.12 y V=5, con las siguientes instrucciones:

num = [m/V]; den = [1 0]; rlocus (num,den) grid

Instituto Politécnico Nacional Página 44 La figura 3.6 muestra el lugar de las raíces, donde se puede apreciar que el polo del sistema en lazo cerrado se traslada desde el origen hasta - ∞, sobre el eje real

negativo, a medida que se aumenta la ganancia del sistema. Esto quiere decir que el sistema responde más rápido a ganancias altas.

Un controlador PID dispone de un componente proporcional (Kp), un componente integrativo (Ti) y un componente derivativo (Td), de tal manera que produce una señal de control igual a:

(3.17)

Donde la acción integrativa del controlador tiene su mayor efecto sobre la respuesta estacionaria del sistema (tratando de minimizar el valor de ess) y la acción derivativa tiene su mayor efecto sobre la parte transitoria de la respuesta. De la información obtenida de la ubicación de los polos y ceros del sistema y del lugar de las raíces del mismo se puede concluir:

Por ser un sistema tipo 1, que equivale a decir que el modelo matemático del sistema incluye un integrador, el error en estado estacionario ante una señal escalón será nulo por lo que no necesitará la parte integrativa del controlador. Esta conclusión se tomará como un punto de partida en el diseño del controlador ya que se mencionó que en la práctica este error no será completamente nulo.

El lugar de las raíces nos muestra que con solo un controlador proporcional nosotros podemos variar la rapidez de la respuesta del sistema, por lo cual la parte derivativa tampoco será indispensable.

Podemos entonces decir que con un controlador proporcional será suficiente para obtener la respuesta deseada en el sistema controlado, por lo que procederemos inicialmente a la implementación del mismo.

3.7 Motor de AC

A continuación implementaremos el mismo procedimiento para diseñar el control del motor de AC

3.7.1 Análisis de los elementos

Se requiere diseñar y construir un controlador P para regular la posición (en x) de un motor de AC de una maquina fotorepetidora. La figura 3.7 muestra el diagrama de bloques del sistema controlado:

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Figura 3.7 Diagrama de bloques del sistema controlado.

La señal de salida, y, corresponde a la salida del terminal del sensor. El sensor de luz genera un pulso que va al microcontrolador el cual cada vez que cambia de un estado (blanco o negro según avance el motor) aumenta una cuenta, la cual indica cuanto ha avanzado el motor y en qué posición en el plano x se encuentra.

La señal de referencia, r, corresponde a la posición deseada. Es decir, si queremos que el motor alcance la posición de 5mm en el plano x debemos alimentarlo hasta que el sensor cuente las líneas necesaria para llegar a los 5mm. La señal de error, e, corresponde a la diferencia entre la señal de referencia y la señal de salida. Por ejemplo, si queremos que el motor alcance la posición de 10mm alimentamos el motor hasta que la cuenta del microcontrolador llegue a 10 y esperamos a ver dónde se ubica exactamente. Si se posiciona en 6mm el contador entregará una señal de salida de 6 ya que la referencia es de 1:1 y la señal de error, e, será de 4mm.

La señal de control, u, corresponde a la alimentación y el sentido producido por el controlador para disminuir o anular el error al mover el motor hasta la posición deseada. Si la señal de error es positiva indica que la referencia es menor que la salida real, entonces el controlador alimenta en sentido contrario al motor para que continúe girando hasta minimizar o anular el error. Si por el contrario la señal de error resulta negativa indica que la salida es menor a la referencia entonces el controlador debe poner en marcha el motor nuevamente para que el motor gire hasta minimizar o anular el error.

3.7.2 Construcción del prototipo

La figura 3.8 muestra el sistema de posición al cual se le implementará el controlador y consta, básicamente, de un motor de corriente alterna, un sensor óptico cuya salida irá a nuestro microcontrolador. El sensor generará un estado alto cada vez que pase una línea negra y un estado bajo cada vez que pase una línea blanca, lo cual el microcontrolador podrá ir contando para establecer la posición en la que se encuentra.

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Figura. 3.8 Diagrama de prototipo.

Elementos

 Un motor de AC de 120 volts

 Sensor óptico

 PIC18f4550

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3.7.3 Modelo matemático

Para empezar a obtener el modelo matemático se debe aplicar un voltaje de AC (señal Senoidal) al motor, medir el tiempo y el número de pulsos final del sensor, así:

 En este caso para el modelado matemático podemos considerar el comportamiento del sistema como si entrara una señal escalón de DC en vez de la señal sinodal que nos entrega la corriente alterna, ya que el motor se comporta de la misma manera y para propósitos de nuestro sistema general funciona de igual forma.

Con la información obtenida se hace una gráfica (recta) del número de pulsos medido contra el tiempo de duración de la prueba, tomando como punto de partida el origen.

Figura 3.10 Gráfica de salida del sistema.

Los cálculos realizados para el motor a pasos son los mismos que para este sistema y también el cálculo del error = 0 ya que la entrada es la misma y la respuesta dada por el sensor y el tiempo también genera una salida “rampa” por lo que solamente cambia la pendiente ya que el avance es más rápido en el caso del motor de AC. Por lo que se omitirá poner de nuevo los cálculos y se observará solamente el comportamiento de las raíces del sistema para determinar el tipo de control necesario.

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3.7.4 Lugar de las raíces del sistema

Con la ayuda del software MATLAB se puede hallar rápidamente el lugar de las raíces de nuestro sistema en lazo cerrado, conociendo el modelo matemático del proceso, para m=.72 y V=120, con las siguientes instrucciones:

num = [m/V]; den = [1 0]; rlocus (num,den) grid

Figura 3.11 Lugar de las raíces del sistema en lazo cerrado.

La figura 3.11 muestra el lugar de las raíces, donde se puede apreciar que el polo del sistema en lazo cerrado se traslada desde el origen hasta - ∞, sobre el eje real

negativo, a medida que se aumenta la ganancia del sistema. Esto quiere decir que el sistema responde más rápido a ganancias altas.

De la información obtenida de la ubicación de los polos y ceros del sistema y del lugar de las raíces del mismo podemos concluir:

Por ser un sistema tipo 1, que equivale a decir que el modelo matemático del sistema incluye un integrador, el error en estado estacionario ante una señal escalón será nulo por lo que no necesitará la parte integrativa del controlador. Esta conclusión se tomará como un punto de partida en el diseño del controlador ya que se mencionó que en la práctica este error no será completamente nulo.

Instituto Politécnico Nacional Página 49 El lugar de las raíces muestra que con solo un controlador proporcional nosotros podemos variar la rapidez de la respuesta del sistema, por lo cual la parte derivativa tampoco será indispensable.

Se puede entonces decir que con un controlador proporcional será suficiente para obtener la respuesta deseada en el sistema controlado, por lo que procederemos inicialmente a la implementación del mismo.