2.5. LA MODELIZACIÓN DE LOS FLUJOS DE DERRUBIOS
2.5.2. Métodos analíticos
Los métodos analíticos buscan m odelizar el movimiento de un desl izamiento usando reglas físicas de la dinámica de los sólidos y de los fluidos. La m ayoría se resuelven numéricamente, mediante diferencias finitas, elementos finitos o los más recientes métodos sin malla.
Los métodos analíticos pueden se pararse en dos grandes grupos: el de modelos que usan la analogía del bloque deslizante y el de los modelos basados en la teoría del continuo.
bien en l a v ertical o e n l a d irección nor mal, para obt ener una forma de l as ecuaciones de St. Venant.
Modelo basados en la analogía del bloque deslizante
Muller-Bernet y Albert Heim (1932), fueron los primeros en usar la analogía de un bloque que desliza por una superficie curva ofreciendo una resistencia f riccional constante. Se trata de un modelo analítico muy simple basado en el teorema trabajo-energía. Las deformaciones internas y la energía de disipación asociada a ellas no son tomadas en cuenta y el deslizamiento es tratado como una sola masa. La Figura 2.17 muestra un esquema de la idealización: la trayectoria de pendiente variable tiene un áng ulo de i nclinación local β , so bre l a su perficie desl iza un bloque, de masa M, con ángulo de rozamiento φ.
Figura 2.17. Esquematización de la analogía del bloque deslizante
Las ecuaciones básicas son muy simples y se derivan a continuación:
En primer lugar, la variación de la energía cinética del bloque es igual al trabajo de la fuerza neta actuante:
β β φ β β φ = = − = − 2 2 2 ( cos tan ) ( cos tan ) 2 Mv d FdL F Mg sen Mv d Mg sen dL Ec. (2.36.) Donde: v, es la velocidad. F, la fuerza neta calculada como la diferencia entre la fuerza gravitacional,S, y la resistencia friccional, T . L, es la distancia curvilínea a lo largo de la trayectoria.
En l a Figura 2. 17(a), s e ha r epresentado l a v ariación de la ener gía ci nética del bloque en un punto determinado como una altura por encima del centro de gravedad. El lugar geométrico de todos los puntos resultantes es la “línea de energía” (llamada así por Muller-Bernet).
El gradiente de energía es:
φ = − = − 2 ( tan ) 2 v dE dz dx g Ec. (2.37.) Es decir, la pérdida de energía durante el movimiento se debe únicamente al rozamiento, que es la base teórica del método fahrböschung de Heim (1932). De m odo que a pa rtir de l a Ec. ( 2.36.) y de l a Ec. (2.37.) se puede calcular l a velocidad de un deslizamiento friccional. Es evidente, que se t rata de una estimación gruesa, ya que representar la masa de un deslizamiento en movimiento mediante un bloque adimensional es la mayor de las simplificaciones.
Körner ( 1976) not ó que l as velocidades calculadas mediante l a Ec. (2.37.) en avalanchas de r oca y de ni eve, frecuentemente daban v alores poco r ealistas. Entonces, basándose en el mismo esquema del bloque, pero empleando el modelo propuesto por Voellmy (1955) para av alanchas de nieve, que considera un coeficiente de fricción y ot ro de t urbulencia8
8
8 El m odelo r eológico de V oellmy f ue ex puesto e n la sección de r eología de l os f lujos de 8, d emostró que l a l ínea d e ener gía
resultante es curva y cóncava. D e aq uí, q ue par a un desp lazamiento t otal del bloque so bre el per fil de l a t rayectoria, el m odelo f riccional co n el parámetro
adicional de turbulencia prediga velocidades máximas más ajustadas al fenómeno real.
(Hutchinson 1986 ) usó el co ntexto del m odelo del bl oque pa ra des arrollar s u modelo de co nsolidación-deslizante, q ue desc ribe la f luidización en materiales sueltos, si n co hesión, para derrubios que se p ropagan en una l ámina uniforme y que puede ser aplicado en flujos de materiales secos, sa turados o parcialmente saturados.
La hipótesis principal es que durante el fallo se generan altas presiones de poros en la zona de i niciación, luego mientras se produce el desplazamiento de la masa, el exceso de presiones de poros sobre la superficie de rotura se disipa a través de la consolidación. Finalmente, las tensiones efectivas en la superficie de deslizamiento se restablecen y el deslizamiento se detiene.
Este modelo tiende a sobreestimar las velocidades del movimiento. Hungr y Evans (2004) han alegado que no es tá claro que pueda existir consolidación libre en un a mezcla de g ranos y f luidos sometida a co rte r ápido, y si est o es así, si el co rto intervalo de tiempo que duran estos tipos de flujos es suficiente para que se produzca una consolidación importante.
Sassa (1988) basándose en la cinemática del bloque deslizante y la continuidad del material dur ante el desp lazamiento, desa rrolló un m odelo par a la pr opagación de deslizamientos, con dos ecuaciones de movimiento y una de continuidad. Previamente, e ste m ismo autor ( Sassa 1985) habí a p lanteado l a ne cesidad de emplear el co ncepto del áng ulo de r ozamiento aparente par a tomar en cu enta el efecto de las presiones intersticiales:
( - )
tanφ
a=r
utan φ
my r
u=
σ
u
σ
Ec. (2.38.) Donde,
φ
a, es el ángulo d e r ozamiento apa rente,φ
m, e s el ángulo de r ozamiento interno de la masa,r
u, es el coeficiente de reducción por presiones intersticiales,σ
, es la tensión normal y u, es la presión intersticial.Wang y S assa (2002) introdujeron l as siguientes modificaciones en e l m odelo original: (i) un co eficiente de fricción aparente que varía durante el movimiento; (ii) consideran al deslizamiento como una estructura de dos capas: la de derrubios y la
que desliza. Durante el deslizamiento, se producen cambios de espesor en la capa de derrubios y de resistencia cortante en la capa que desliza.
Este m odelo reproduce adecu adamente las velocidades, si empre y cu ando se seleccione una adecuada secuencia de ru.
Kobayashi y K agawa ( 1987) desa rrollaron un modelo m ulti-bloque par a t omar en cuenta la deformación durante el movimiento. Cundall y Strack (1979) usaron una técnica si milar a l a ant erior, co n el ementos discontinuos que i nteractúan par a simular grandes deformaciones. Los elementos pueden ser de diferentes formas y tamaños, y es posi ble i mplementar v arias relaciones para el contacto partícula- partícula y par tícula-fondo, aun que par a el lo s e r equiere l a ent rada de ci ertos parámetros que no t ienen una base física só lida. Campbell y Brennen (1985) simularon el m ovimiento de flujos g ranulares secos mediante un m odelo de partículas discretas. Will y Konietzky (1998) emplearon el código comercial Particle Flow C ode ( PCF), de sarrollado por Itasca (1999), pa ra anal izar pr oblemas de caídas de bl oques de r oca y a valanchas de r oca. Cleary y P rakash ( 2004) demostraron el po tencial de est e m étodo en l a m odelización de desl izamientos. Calvetti et al. (2000); González et al. (2003); Pirulli et al. (2003); Poissel et al. (2008) han usa do P CF para simular av alanchas de r oca con buenos r esultados. En la actualidad se realizan intentos por expandir su aplicación al análisis de los fluidos, no obst ante, su gran d esventaja es el coste c omputacional, t anto en tiempo d e cálculo como en capacidad de procesamiento y almacenamiento.
Modelos basados en la dinámica del continuo
Los modelos basados en la dinámica de los medios continuos se han convertido en poderosas herramientas par a el análisis de la pr opagación de desl izamientos. En los últimos 30 años se han co mbinado dos circunstancias que han favorecido el desarrollo de una buena ca ntidad de m odelos de este tipo. Por un lado, el interés de l os investigadores en m ejorar el co nocimiento de los flujos de d errubios y avalanchas; y por el otro el vertiginoso avance en la ciencia de la computación. En est a pa rte del ca pítulo se ha hech o una revisión de l os principales m odelos basados en l a di námica de l os medios continuos para el anál isis de l os deslizamientos rápidos en forma de flujo, tratando de resaltar la importancia de las innovaciones incorporadas a l o l argo de l t iempo par a aumentar la ca lidad de l a
reproducción de l os fenómenos reales, y para implementarlos como métodos de predicción.
Se han ordenado en base a dos criterios, aplicados simultáneamente, por una parte la cronología, y por otra la conexión entre ellos. Muchos modelos están vinculados porque t ienen una b ase t eórica en co mún, por que han su rgido co mo actualizaciones o e xtensiones de otros, o porque los han usado para mejorar el desempeño de uno nuevo.
Los primeros modelos para simular el movimiento de deslizamientos y avalanchas de nieve surgen a partir de la modificación de modelos hidrodinámicos Eulerianos en dos dimensiones. Lang et al . (1979) desarrollaron de esa manera, AVALNCH, donde, además de l a vi scosidad di námica fue co nsiderado un t érmino de resistencia friccional que era incrementado lentamente para simular la detención súbita q ue habí a si do observada en l as avalanchas de ni eve. Lang y Martinelli (1979) emplearon la técnica del back-analysis en eventos reales, para investigar los valores de los parámetros de resistencia.
Dent y Lang (1980) analizaron una serie de e xperimentos a gran escala mediante
back-analysis, ut ilizando ot ro modelo hi drodinámico E uleriano en 2D ( basado l a metodología numérica Simplified Maker-and Cell), que modificaron incorporándole varias combinaciones de r esistencia friccional, v iscosa y t urbulenta. Dent y Lang (1983) i ncluyeron en e se m ismo modelo el c álculo de l a r esistencia co n dos viscosidades.
Trunk e t a l. (1986) desarrollaron BVSMAC, a par tir de un m odelo num érico existente de di ferencias finitas para flujo l aminar en dos di mensiones. Para aproximar la reología de B ingham, introdujeron el cálculo de l a resistencia con dos viscosidades, una apl icada hast a el ni vel de l a t ensión de fluencia, y ot ra m ás pequeña en la parte inferior. Este código, fue utilizado por Sousa y Voight (1991) y Voight y Sousa (1994) par a modelizar av alanchas de r ocas y av alanchas de derrubios.
Muchos otros autores han implementado la reología de Bingham en sus modelos. Jeyapalan (1981) y Jeyapalan et al . ( 1983a) elaboraron TFLOW, u n m odelo Euleriano q ue apl icaron en el back-analysis de flujos desl izantes de dese chos mineros (Jeyapalan ,1981; Jeyapalan et al. (1983 b). Shamber y MacArthur (1985) y MacArthur y Shamber (1986) realizaron un modelo Euleriano para flujos de lodo,
basado en la reología de Bingham, para el Centro de Ingeniería Hidrológica del Cuerpo de I ngenieros de l a A rmada de Los Estados Unidos. Li u y Mei ( 1989) usaron un modelo Euleriano par a dem ostrar la amplitud de l a pr opagación de un fluido de Bingham sobre un plano inclinado.
Una ley reológica tipo Bingham, es capaz de reproducir la distribución vertical de velocidad y la estratigrafía de los depósitos, lo cual es una ventaja. Sin embargo, no hay una justificación clara de que el modelo de Bingham deba ser usado con otros materiales que no sean derrubios arcillosos (Jonhson 1970). Voight y Sousa (1994), así co mo t ambién Hungr y Evans (1996) co ncluyeron q ue el m odelo de Bingham usado en av alanchas tiende a so breestimar las velocidades y a predecir un valor excesivo para la extensión lateral de los depósitos. No obstante, Geertsema et al. (2006) han enco ntrado q ue pe queñas avalanchas de r ocas que m ovilizan y arrastran importantes cantidades de coluvios arcillosos plásticos, só lo pueden ser modelizadas adecuadamente mediante el modelo de B ingham, pues este permite obtener depósitos delgados y extendidos.
O´Brien et al. (1993) y FLO-2D Software Inc. (2006) desarrollaron y comercializaron
FLO-2D, un modelo para analizar flujos hiperconcentrados, flujos de lodo y flujos de derrubios (no es aplicable a av alanchas de der rubios o r ocas, n i a f lujos deslizantes). Se trata de una formulación Euleriana integrada en profundidad, con un esq uema numérico de diferencias finitas, que r equiere la esp ecificación de un hidrograma de entrada como una co ndición de frontera en la pa rte m ás alta del canal por donde discurre el flujo de derrubios. Emplea una ley reológica cuadrática, en la que se pueden combinar resistencias al flujo plásticas/friccionales, viscosas y turbulentas/dispersivas. Las tensiones internas son i sotrópicas. H a sido apl icado con éx ito en l a si mulación de muchos casos reales (Hübl y Steinwendtner 2001 ; O´Brien 2003; García et al. 2003; Cepeda 2008).
Savage y Hutter (1989) presentaron un modelo Lagrangiano integrado en profundidad para l a si mulación de f lujos granulares, donde incorporan tensiones tangenciales internas no hi drostáticas basándose en el su puesto de que l a m asa que fluye es friccional, controlada por el ángulo de rozamiento interno y que se deforma plásticamente según l a t eoría de R ankine. P osteriormente, Savage y Hutter (1991) realizan algunas modificaciones para tener en cu enta la pendiente y curvatura del lecho. Greve et al. (1994) y Koch et al. (1994) extienden el modelo a
finitas. G ray et al . (1999) i mplementaron m ejoras para si mular el m ovimiento a través de t errenos irregulares tridimensionales. Gray et al . (2003), Wang et al . (2004) y C hiou et al. (2005) han trabajado para solucionar ci ertos problemas de estabilidad numérica que se presentan en algunos casos.
La habi lidad par a m odelizar t ensiones internas no hi drostáticas, puede se r importante en av alanchas de r oca y flujos granulares secos, nat urales o d e laboratorio, que pr esenten r ozamiento i nterno. P or o tra pa rte, dej a de se r significativa en materiales saturados tales como corrientes o flujos de derrubios, o totalmente fluidizados como los flujos deslizantes.
Hungr ( 1995) desarrolló DAN, una so lución numérica Lagrangiana unidimensional de las ecuaciones de movimiento integradas en profundidad, en la que consideró un kernel reológico abierto para poder seleccionar la ley reológica (friccional, Voellmy, Bingham y otras) que rige el cálculo de l a tensión tangencial en el fondo. Además, permite definir diferentes reologías a lo largo de l a trayectoria. Basado en la teoría de Savage Hutter, asume que el comportamiento de la masa es friccional y que se deforma pl ásticamente se gún l a t eoría de R ankine, pe ro teniendo en cu enta l a compatibilidad entre las tensiones internas y las tensiones en el fondo. El modelo calcula la erosión y arrastre de material durante el flujo, para lo cual el usuario prescribe la profundidad y la velocidad de erosión. El usuario también puede definir una función para la variación del ancho a lo largo de la trayectoria.
El m odelo fue validado con experimentos de laboratorio para reologías friccional pura, f riccional co n pr esión i ntersticial ( Voellmy) y viscosa, fue co ntrastado co n
BVSMAC y TFLOW , y ha sido empleado en el backanalysis de eventos reales de de desl izamientos rápidos en forma de flujo: flujos deslizantes de dese chos mineros, avalanchas de r ocas y derrubios, y flujos de derrubios (Hungr y Evans 1996; Hungr et al. 1998; Ayotte y Hungr 2000; Jakob et al. 2000; Evans et al. 2001; Pirulli et al. 2003; Hurlimman et al. 2003; Hungr et al. 2002; Revellino et al. 2004; Strouth et al. 2006; Geertsema et al. 2006)
Años más tarde, McDougall y H ungr ( 2004) y M cDougall ( 2006), am pliaron el modelo original y presentaron DAN3D, una formulación Lagrangiana bidimensional de l as ecuaciones de bal ance i ntegradas e n pr ofundidad, que son r esueltas mediante el método numérico Smooth Particle Hydrodynamics (SPH). Como en el modelo original, las tensiones internas son funciones de la deformaciones internas
(limitadas entre el estado pasivo y el estado activo), se tiene en cuenta la erosión y arrastre de material del fondo y también se permite elegir el modelo reológico, pero sólo entre friccional y Voellmy. Ha sido validado con el problema de r otura de una presa y con pruebas de laboratorio (avalanchas de material seco en un canal inclinado de pequeñas dimensiones). Se ha aplicado en el backanalysis de flujos de derrubios y avalanchas de roca.
Iverson (1997a) cuestionó fuertemente el uso de relaciones reológicas en el análisis dinámico de l os flujos de der rubios, ar gumentando q ue su co mportamiento est á determinado, en g ran parte, por l a i nteracción ent re los diferentes materiales (sólidos y f luidos). Propuso una g eneralización d e la t eoría de Savage-Hutter, mediante una f ormulación Lagrangiana, q ue parte de l a t eoría de m ezclas y q ue tiene en cuenta de manera explícita el efecto de las presiones intersticiales. Mantiene la hi pótesis del m odelo or iginal en r elación al aco plamiento ent re l as tensiones internas y las del fondo, y de tensiones como respuesta instantánea a las deformaciones.
Iverson (1997b) trató de simular el comportamiento de l as oleadas de los flujos de derrubios cuyo frente está constituido por una acumulación de fragmentos gruesos. Consideró est e frente como una m asa friccional de un v olumen d eterminado, e impuso una distribución l ongitudinal de presión i ntersticial q ue se incrementa linealmente del bor de p rincipal haci a at rás. E l frente estaba seguido d e un fluido inviscido. Los parámetros friccionales de en trada fueron de terminados a par tir d e ensayos estáticos practicados al material sólido. La comparación de l os resultados del m odelo con los obtenidos en l a ex perimentación de flujos de der rubios, generados en un canal i nclinado de g randes dimensiones, mostró importantes diferencias en la distancia de recorrido y en el tiempo de dur ación del movimiento. El autor las atribuyó a l as múltiples oleadas que fueron observadas en el experimento y que no fueron modelizadas.
Iverson y Denlinger (2001) y Denlinger e Iverson (2001) propusieron una extensión del pl anteamiento de I verson (1997b), q ue implementaron en una f ormulación Euleriana de volúmenes f initos. S e t rata de un m odelo i ntegrado en pr ofundidad, para pr edecir el m ovimiento de una m asa de s ólidos y fluidos desde la iniciación hasta el depósi to, tomando en cu enta l as fuerzas e i nteracción ent re l as fases. Utilizaron un criterio cinemático para identificar las zonas de mayor resistencia en
espacial de l as presiones de por os que se g eneran automáticamente en l a simulación. La distribución de las tensiones internas calculadas en el m odelo depende de la orientación del sistema de referencia.
Denlinger e Iverson (2004) realizaron una modificación al modelo anterior aplicable a flujos secos, mediante un método numérico mixto, Euleriano-Lagrangiano. Las ecuaciones del m odelo m atemático son l as mismas, es decir E ulerianas, pero emplearon una técnica Lagrangiana de elementos finitos para seguir el curso de las deformaciones y redistribuir las tensiones internas. La metodología fue demostrada mediante experimentos hipotéticos y probada con el problema de l a rotura de una presa, que tiene solución analítica exacta. Iverson et al. (2004) compararon el modelo con ensayos de laboratorio realizados sobre un canal de superficie irregular para semejar el terreno natural, los resultados que obtuvieron fueron satisfactorios, pero hasta ahora no ha sido aplicado a casos reales.
Chen y Lee (2000), desarrollaron MADFLOW, mediante la di scretización de ecuaciones integradas en profundidad con elementos finitos en forma Lagrangiana, en un sistema coordenado cartesiano. Asumen que la curvatura del terreno no es significativa y realizan la integración en profundidad a lo largo del eje vertical Z. No consideraron la rigidez interna de la masa, ni la compatibilidad de sus tensiones. En lugar de eso, implementaron una respuesta instantánea de tensiones ortogonales, es decir, en l a di rección hor izontal. Admite la variación de las propiedades reológicas del flujo a lo largo de la trayectoria. Se puede seleccionar entre tres tipos de reologías: friccional, Voellmy y Bingham. El modelo fue probado con ensayos de laboratorio en un ca nal i nclinado y co n el backanalysis de dos ca sos reales introduciendo r eología f riccional, Chen y Lee ( 2002, 2003) y C rosta et al. (2004) realizaron otros análisis con reologías de Bingham y de Voellmy.
Chen et al. (2006) incorporaron el efecto de erosión en el fondo, que no había sido tenido en cuenta en i nicialmente. Crosta et al. (2005, 2006) analizaron con esta nueva versión varios casos históricos.
TOCHNOG es un modelo que implementa un código de elementos finitos bajo un esquema mixto Euleriano-Lagrangiano en dos dimensiones, para simular g randes desplazamientos del material sin distorsiones significativas de la malla y por ende de los resultados. Fue desarrollado por Roddeman (2002) y posteriormente extendido a t res dimensiones para co nsiderar l a i nfluencia de l a co mponente
vertical en el comportamiento del flujo. Toma en cuenta la erosión y arrastre como una función de las características propias material (no parámetros empíricos), y el efecto de l as diferentes propiedades y co ndiciones de l os materiales en s u comportamiento. El modelo en 3D t iene un g ran potencial en el anál isis de la