1.10 La agregaci´ on
1.10.1 M´ etodos de agregaci´ on completa
Estos m´etodos se caracterizan por agregar los diferentes puntos de vista o criterios (eventuales pesos les pueden ser atribuidos) en una ´unica funci´on la cual debe ser posteriormente maximizada o minimizada. Roy [163] y Maystre [131] los denominan enfoque del criterio ´unico de s´ıntesis eliminando toda incomparabilidad.
Con esta t´ecnica de agregaci´on, todas las soluciones son comparables (no se admite la incomparabilidad), consigui´endose una ordenaci´on completa para cualquier par de alternativas a y b, es decir, aPb, bPa o aIb; ello permite tratar f´acilmente tanto las problem´aticas de selecci´on Pα como las problem´aticas de ordenaci´on Pγ. La
indiferencia I y la preferencia P son transitivas, y el sistema relacional de preferencias es un preorden completo que toma la forma (I,P).
En el dominio de la agregaci´on completa, existen un gran n´umero de m´etodos. Se destacan entre otros, la suma ponderada [9][153][197], TOPSIS4 [101], MAUT5
[62][110], UTA6 [106], SMART7 [45] y AHP8 [169][170]. Seguidamente se presentan en detalle los m´etodos de la suma ponderada y el m´etodo TOPSIS.
Suma ponderada
El m´etodo de la suma ponderada es uno de los procedimientos de agregaci´on completa m´as conocido y utilizado en AMD. El mecanismo de funcionamiento es el siguiente:
1. Se elabora la matriz de decisi´on (tabla 1.2) del problema, de forma que un conjunto n de acciones o alternativas A=(aj, j=1,2,...,n) es comparado con
respecto a un conjunto k de criterios G=(gi, i=1,2,...,k). La utilidad gi(aj),
que para un decisor tiene la alternativa j, respecto al criterio i, se recoge en la evaluaci´on xji= gi(aj). Cada valor xji procede de la construcci´on de una
verdadera funci´on de utilidad o bien de una evaluaci´on natural como por ejemplo el precio.
2. Para un decisor, no todos los criterios tienen porqu´e tener la misma importancia. Mediante pesos (o ponderaciones) wi, (ver tabla 1.2) el decisor, acorde a sus
4Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution 5Multi-Attribute Utility Theory
6Utilit´es Additives
7Similarity Measured Anchored Ranking Technique 8Analytic Hierarchy Process
Tabla 1.2: Matriz de decisi´on para un conjunto A de acciones y un conjunto G de criterios. g1 g2 . . gi . . gk a1 x11 x12 . . x1i . . x1k R(a1) a2 x21 x22 . . x2i . . x2k R(a2) . . . . . . . . aj xj1 xj2 . . xji . . xjk R(aj) . . . . . . . . an xn1 xn2 . . xni . . xnk R(an) Pesos w1 w2 . . . wk
preferencias cuantifica los criterios de manera que
k
X
i=1
wi = 1 con wi ≥ 0 para
todo i. Un peso de valor cero en alg´un criterio, permite la eliminaci´on de dicho criterio.
3. Si las escalas de los criterios son diferentes, se normalizan (ver [9][153]) las evaluaciones xji de la matriz de decisi´on y se obtienen los valores vji.
4. Para cada acci´on aj se determina su evaluaci´on global (ver tabla 1.2) de forma:
R(aj) = k
X
i=1
wivji
5. El m´etodo concluye que la acci´on a1 es preferida a la acci´on a2 si:
R(a1) > R(a2)
en caso de empate entre varias acciones, se prefiere cualquiera de ellas. Ejemplo
Como ejemplo se ha utilizado el problema de Vallin y Vanderpooten [197]. Las utilidades de las acciones del problema con respecto a los criterios g1 y g2, se muestran
en la matriz de decisi´on dada por la tabla 1.3, y donde las escalas que se manejan son iguales para ambos criterios. La representaci´on de las acciones en el espacio de los
Tabla 1.3: Matriz de decisi´on del problema de Vallin y Vanderpooten. Acci´on max. g1 max. g2
a 18 4
b 10 10
c 5 18
d 9 7
Pesos 0.5 0.5
Figura 1.8: Representaci´on de las acciones del problema de Vallin y Vanderpooten (izquierda) y test de dominancia (derecha).
criterios, se muestra en la figura 1.8 izquierda. El resultado del test de dominancia se ilustra en la figura 1.8 derecha. El m´etodo de la suma ponderada determina para cada acci´on la siguiente evaluaci´on global:
la mejor evaluaci´on resulta para la acci´on c, la cual es elegida por el centro decisor. R(a) = 0.5 ∗ 18 + 0.5 ∗ 4 = 11
R(b) = 0.5 ∗ 10 + 0.5 ∗ 10 = 10 R(c) = 0.5 ∗ 5 + 0.5 ∗ 18 = 11.5 R(d) = 0.5 ∗ 9 + 0.5 ∗ 7 = 8
Discusi´on
El m´etodo de la suma ponderada, es utilizado abundantemente en diversos contex- tos pues es muy intuitivo y sencillo de utilizar, aunque presenta ciertas limitaciones que se analizan a continuaci´on:
1. No hay una correspondencia intuitiva entre valores de los pesos y la acci´on ´
Figura 1.9: Evoluci´on de la suma ponderada en funci´on del valor w1, para las cuatro
acciones del problema de Vallin y Vanderpooten.
cada criterio w1 = w2 = 0.5, esto podr´ıa hacer pensar al decisor, que se va a dar
preferencia a una acci´on bien equilibrada en ambos criterios, y esto no ocurre precisamente aqu´ı, pues se privilegia una acci´on muy desequilibrada como es la c, (b es la ´unica acci´on equilibrada en el ejemplo).
2. Existe una extrema sensibilidad del resultado a variaciones ´ınfimas de los valores de los pesos [197]. Si en el ejemplo, expresamos para cada acci´on, el valor de la suma ponderada en funci´on del peso w1 tenemos:
R(a) = 18w1+ 4w2 = 14w1+ 4
R(b) = 10w1+ 10w2 = 10
R(c) = 5w1+ 18w2 = −13w1+ 18
R(d) = 9w1+ 7w2 = 2w1+ 7
La representaci´on gr´afica, de la evoluci´on del valor R seg´un el valor de w1, para
cada una de las cuatro acciones, se muestra en la figura 1.9. Se visualiza, que en un peque˜no intervalo [0.45,0.55], a y c son acciones ´optimas. En concreto la acci´on c es ´optima en el intervalo w1[0.45, 0.518], mientras que la acci´on a es
´
optima en w1[0.518, 0.55].
Figura 1.10: Acci´on b fuera de la combinaci´on convexa a-c en el problema de Vallin y Vanderpooten.
ser obtenidas como soluciones ´optimas [197]. Supongase en el ejemplo, que se quiere encontrar un juego de pesos tal que haga aparecer la acci´on b como ´
optima. Vemos en la figura 1.9 que esto no es posible, pues para w1[0.00, 0.518]
la acci´on c es la ´optima, sin embargo para w1[0.518, 1] es la acci´on a la ´optima.
Otro punto de vista de ver esta situaci´on, es a trav´es de la convexidad. En efecto, b es una acci´on no dominada, pero est´a situada debajo de la combinaci´on convexa de los modelos a y c (ver la figura 1.10).
4. El m´etodo de la suma ponderada supone la existencia de una funci´on de utilidad cardinal aditiva para los criterios, lo que a su vez presupone independencia entre los criterios, y comparabilidad entre los criterios de los valores de las acciones [9][153].
M´etodo TOPSIS
El m´etodo TOPSIS, fue propuesto por Hwang y Yoon [101] para la resoluci´on de problemas de ayuda multicriterio a la decisi´on (problemas con un n´umero finito de soluciones), y est´a fundado en el axioma de Zeleny [218]: es racional elegir una acci´on lo m´as pr´oxima a la ideal o lo m´as alejada de la anti-ideal. En la situaci´on m´as general (figura 1.11 izquierda), TOPSIS establece que se debe elegir aquella acci´on (aj) con
menor distancia a la acci´on ideal (I+) y mayor distancia a la acci´on anti-ideal (I−). Sin embargo la figura 1.11 (derecha), muestra que la acci´on az es la m´as cercana a
la acci´on ideal, mientras que la acci´on aj es la m´as alejada de la acci´on anti-ideal, aqu´ı,
TOPSIS afronta el dilema de trabajar con la acci´on ideal o la anti-ideal. TOPSIS resuelve el dilema, utilizando el concepto de similaridad al ideal [45].
Figura 1.11: Situaci´on general en el m´etodo TOPSIS, con aj como mejor acci´on
(izquierda) y dilema de trabajar con la soluci´on aj o az (derecha).
p (con: 1≤ p ≤ ∞) en la ecuaci´on de la funci´on distancia:
Lp = " k X i=1 wip vji− I+ p #1p (1.10.1)
donde vji es el valor normalizado de la acci´on aj implementada para el criterio gi, I+
es el vector cuyas coordenadas corresponde al punto de referencia (con TOPSIS este punto corresponde a la acci´on ideal o la anti-ideal) y wi es el vector de pesos acorde
a las preferencias del decisor con
k
X
i=1
wi = 1 y wi ≥ 0 para todo i.
El m´etodo se compone de un procedimiento de 6 etapas:
1. Se construye la matriz de decisi´on (tabla 1.2) del problema. Las evaluaciones xji= gi(aj), como en el m´etodo de las ponderaciones, corresponde a la utilidad
gi(aj), que para el decisor tiene la alternativa j, respecto al criterio i.
2. El decisor asigna a los criterios un peso wi ≥ 0 seg´un sus preferencias.
3. Se normalizan las evaluaciones xji y se obtienen los valores vji.
4. Se determina la acci´on ideal I+ = (v+ 1, v
+ 2 , ..., v
+
k), construida con las mejores
acciones de cada criterio y la acci´on anti-ideal I− = (v1−, v−2, ..., vk−) constituida por las peores acciones de cada criterio (figura 1.12).
Figura 1.12: Acciones ideal (I+) y anti-ideal (I−).
5. Se calculan los valores de las distancias Eucl´ıdeas de cada acci´on respecto la acci´on ideal seg´un:
d+j = v u u t k X i=1 wi(vji− I+)2 j = 1, 2, ..., n (1.10.2)
De forma similar se obtienen los valores de las distancias Eucl´ıdeas de cada acci´on respecto la acci´on anti-ideal:
d−j = v u u t k X i=1 wi(vji− I−)2 j = 1, 2, ..., n (1.10.3)
6. Se determina el ratio de similaridad D+j o cercan´ıa relativa a la acci´on ideal a partir de la ecuaci´on:
D+j = d − j d+j + d−j con D + j = [0, 1] (1.10.4)
7. Se clasifican las acciones seg´un el orden de preferencia: de mayor a menor similaridad D+j .
Tabla 1.4: Datos normalizados, acciones ideal y anti-ideal en el problema de Vallin y Vanderpooten.
Acci´on max. g1 max. g2
a 0.4286 0.1026 b 0.2381 0.2564 c 0.1190 0.4615 d 0.2143 0.1795 Pesos 0.5 0.5 ideal 0.4286 0.4615 anti-ideal 0.1190 0.1026 Ejemplo
Aplicando el m´etodo TOPSIS al problema de Vallin y Vanderpooten [197] presen- tado en la secci´on 1.10.1 (ahora se ha considerado que las escalas para ambos criterios no son las mismas), y siguiendo las etapas antes expuestas, se obtiene:
1. Se construye la matriz de decisi´on (tabla 1.3). 2. Se asignan pesos a los criterios (ver tabla 1.3). 3. La normalizaci´on vji =
xji
max xji de los datos de partida, conduce a los resultados
de la tabla 1.4.
4. Se determinan las acciones ideales y anti-ideales para cada criterio, y se obtienen los valores dados en la tabla 1.4.
5. El resultado del c´alculo de las medidas de distancias Eucl´ıdeas d+j y d−j , para cada acci´on respecto a las acciones ideal y anti-ideal, se ilustran en la tabla 1.5. 6. Los ratios de similaridad D+j obtenidos, se muestran en la tabla 1.5.
7. Por ´ultimo, se ordenan las acciones en t´erminos de la simaliridad D+j. La or- denaci´on O-TOPSIS obtenida se muestra en la tabla 1.5, y se compara con la ordenaci´on O-Pesos, que se obtuvo con el mismo ejemplo aplicando el m´etodo de la suma ponderada.
Discusi´on
Si se utilizan valores diferentes de la m´etrica p, en el c´alculo de las distancias Lp, los
resultados (ordenaciones) finales pueden ser distintos. Yoon [213], mide la credibilidad de la funci´on de distancias Lp, y concluye que la funci´on distancias es menos cre´ıble
Tabla 1.5: Distancias Eucl´ıdeas, similaridad y ordenaciones seg´un TOPSIS y suma ponderada.
Acci´on d+j d−j D+j O-TOPSIS O-Pesos
a 0.4286 0.1026 0.4631 2 2
b 0.2381 0.2564 0.4083 3 3
c 0.1190 0.4615 0.5369 1 1
d 0.2143 0.1795 0.2576 4 4
cuando el valor p aumenta, recomendando utilizar la m´etrica p=1 para obtener, desde un punto de vista matem´atico, la m´as cre´ıble acci´on compromiso. De otra parte, Yoon apunta que cuando se normalizan las acciones, el valor de la m´etrica p afecta al grado de mutua interdependencia entre las acciones de los diferentes criterios, de manera que cuando p decrece, la interdependencia mutua entre las acciones se incrementa.