10Para m´as informaci´on el lector puede consultar el trabajo debido a D. A. Holmes, “Exact theory of retardation
La comprensi´on cabal de la interacci´on de la radiaci´on con los medios conductores tiene que efectuarse empleando la teor´ıa cu´antica aplicada a la materia (teor´ıa semicl´asica). No obstante, el modelo electr´onico de Lorentz-Drude da una visi´on razonablemente aproximada de algunos fen´omenos. En este modelo se considera que en el conductor hay una colecci´on de electrones que se denominan “libres”, en el sentido de que tienen cierta libertad de circular por el material [ esto equivale a hacer ω0 = 0 en la ecuaci´on (III-1) ]; en otras palabras: no hay fuerzas restauradoras,
pero en cambio a la fuerza de rozamiento debida a las p´erdidas por radiaci´on hay que a˜nadir el efecto de las colisiones. Estas colisiones tienen lugar entre los electrones y las vibraciones de la red cristalina. De esta manera la ecuaci´on (III-1) puede escribirse como
d2~r d t2 + γc d~r dt = q me ~ E. (III-23)
Si el campo externo es nulo, los electrones se mueven al azar, sin embargo al aplicar el campo, a este movimiento azaroso se le superpone un movimiento de deriva originado por el campo excitador: esta deriva es responsable de la conductividad. Si adem´as de los electrones libres, el metal tiene electrones internos ligados, la contribuci´on total al ´ındice de refracci´on puede ponerse en la forma
n2(ω) = 1 + N q 2 mǫ0c2 X j 1 ω0j2 − ω2+ iγ jω − N q2 mǫ0c2 1 ω2+ iγ cω . (III-24)
Si despreciamos la contribuci´on de los electrones ligados, entonces (III-24) se reduce a
n2(ω) = 1 − ω 2 p ω2+ iγ cω , (III-25)
donde si adem´as consideramos que el amortiguamiento es despreciable tendremos que n2(ω) ≈ 1 −ω
2 p
ω2. (III-26)
En particular si ω < ωp, entonces resulta que el ´ındice de refracci´on es imaginario puro, esto es, las
PROBLEMAS RESUELTOS
Teor´ıa cl´asica de la radiaci´on
3.1 En la interacci´on de una onda electromagn´etica con la materia se suele despreciar la fuerza ejercida por el campo magn´etico. Razonar los motivos por los que esta aproximaci´on puede ser adecuada. Considere un ´atomo en el que el momento dipolar es p = 10−30 C/m, sobre el que incide una onda plana
de frecuencia ν = 3 × 1014 Hz.
El campo electromagn´etico asociado a un haz de luz interacciona con los electrones a trav´es de la fuerza de Lorentz
~
F = −e ~E − e~vp× ~B. (3.1)
Pero la amplitud de la inducci´on magn´etica es, en m´odulo, c veces m´as peque˜na que la amplitud del campo el´ectrico
| ~B| = | ~E|c . (3.2)
Por ello, para velocidades del electr´on tales que |~vp| << c, el segundo t´ermino de la fuerza de
Lorentz es despreciable.
En el caso del ´atomo considerado se tiene que al incidir la onda sobre ´el inducir´a oscilaciones del electr´on en la direcci´on del campo el´ectrico. Estas oscilaciones ser´an arm´onicas y de la misma frecuencia que el campo incidente, de manera que la posici´on de la part´ıcula, ~rp,
cambiar´a con el tiempo de la forma
~rp = r0cos(2πνt)ˆu, (3.3)
donde ˆu es un vector unitario en la direcci´on de vibraci´on del campo externo. Por lo tanto la velociad de la part´ıcula vendr´a dada por
~vp = −2πνr0sin(2πνt)ˆu. (3.4)
Teniendo en cuenta el valor del momento dipolar del ´atomo suministrado, podemos estimar el valor de r0 que aparece en (3.4) y finalmente el valor m´aximo de la velocidad de la part´ıcula
que es del orden de
|~vpmax| = 2πν
p
e = 1.6 × 10
4m/s, (3.5)
que es una velocidad muy inferior a la de la luz en el vac´ıo.
3.2 Calcular el campo radiado a grandes distancias por un electr´on que oscila con una frecuencia ω0= 4 × 1014rad/s de acuerdo a la ecuaci´on
z(t) = 5 × 10−11cos(ω0t). (3.6)
Calcular asimismo el vector de Poynting y demostrar que la potencia radiada viene dada por
P = 2 3 e2 4πǫ0c3 d v d t 2 . (3.7)
Estamos interesados en calcular los campos en una regi´on muy lejana del sistema de cargas de tal manera que λ << R,
~ E( ~R, t) ≈ 1 4πǫ0 ˆ s × [ˆs × ~p′′(t′)] c2R , (3.8) ~ B(R, t) ≈ 4πµ0 ~p′′(tcR′) × ˆs , (3.9)
donde t′ = t−R/c, es el instante retardado. Obs´ervese que en esta regi´on los campos satisfacen que
~
E = c ~B × ˆs, (3.10)
es decir cumplen la relaci´on de transversalidad de las ondas planas. Aunque son ondas esf´ericas, su radio es muy grande y localmente se pueden asemejar a ondas planas (ver problema 5 del Tema 1).
Deberemos calcular ~p′′(t′) para el caso del movimiento arm´onico que se pide. El m´odulo de
la aceleraci´on del momento dipolar vale:
p′′(t′) = −p0ω20cos(ω0t) , (3.11)
donde p0 = −ez0 = −1.6 × 10−19× 5 × 10−11= −8 × 10−30(C.m).
El campo radiado por el dipolo vale ~ E(R, t) = p0ω 2 0sin(θ) 4πǫ0c2R cos (ω0t − kR) ˆuθ, (3.12)
donde ~uθ es un vector unitario en la direcci´on azimutal. Obs´ervese que se obtiene una onda
esf´erica que oscila a la frecuencia del dipolo y que se propaga a la velocidad c. Sustituyendo los valores de las constantes se obtiene
~
E(R, t) = 1.28 × 10−7sin(θ)R cos 4 × 1014t − 1.3 × 106Ruˆθ. (3.13)
El vector de Poynting se obtiene inmediatamente: ~
P = cǫ0E · ~~ E ˆuk, (3.14)
donde ˆuk es un vector unitario en la direcci´on del vector de propagaci´on de la onda. Sustitu-
yendo el valor del campo calculado m´as arriba se llega a ~ P = 4.34 × 10−17sin 2(θ) R2 cos 2 4 × 1014t − 1.3 × 106Ruˆk. (3.15)
Teniendo en cuenta que el promedio temporal de la funci´on cos2es 1/2, el promedio temporal
del vector de Poynting resulta ~
P = 2.17 × 10−17sin
2(θ)
R2 uˆk. (3.16)
Para calcular la potencia total radiada al exterior por el dipolo deberemos calcular el flujo del vector de Poynting a trav´es de una esfera con centro el dipolo y de radio R, esto es,
P = ZZ A ~ P · d~S = Z 2π 0 dϕ Z π 0 e2sin2(θ) dvdt2 16π2ǫ 0c3R2 R2sin(θ)dθ , (3.17)
X Y p .. Z j q B E x B s E
Figura 3.1: Esquema para el c´alculo del flujo del vector de Poynting ~P a trav´es de una superficie esf´erica.
donde el elemento de ´area se ha puesto en coordenadas polares y se ha usado el hecho de que ~
P y d~S son paralelos. En la Figura 3.1 se muestra la geometr´ıa del problema. La integral es casi inmediata y el resultado final es
P = e 2 6πǫ0c3 dv dt 2 . (3.18)
Si se sustituyen los valores de las constantes y se realiza el promedio temporal, la potencia promedio radiada al exterior es
hP i = 1.8 × 10−11(W). (3.19)
3.3 Sobre el dipolo anterior act´ua una onda electromagn´etica polarizada de
frecuencia ω y una amplitud E0 = 40 V/m. Por el problema anterior
sabemos que un dipolo acelelerado emite energ´ıa, por lo que su movimiento es amortiguado. Sup´ongase que tal amortiguamiento se puede modelar introduciendo una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad (Fr =
γdz/dt), donde γ = 108s−1.
• Formular la ecuaci´on de movimiento del electr´on bajo la acci´on del campo externo alternante, y obtener la soluci´on estacionaria del movimiento del electr´on.
El dipolo est´a sometido a tres fuerzas: la fuerza recuperadora, la fuerza de rozamiento y la fuerza del campo externo. La aceleraci´on se podr´a escribir como
d2z dt2 = −γ dz dt − ω 2 0z − eE0 me eiωt, (3.20)
La soluci´on particular estacionaria de esta ecuaci´on la podemos postular de la forma
z(t) = Aeiωt. (3.21)
Sustituyendo esta expresi´on en la ecuaci´on de movimiento se llega sin dificultad a que z(t) = −eEm0ω2 1
0− ω2+ iγω
eiωt. (3.22)
• Calcular el campo radiado en la zona de ondas as´ı como el vector de Poynting.
A partir de la expresi´on (3.22) podemos calcular la aceleraci´on del dipolo y obtener el campo radiado. En efecto, ´este viene dado por
~ E( ~R0, t) ≈ 1 4πǫ0 ˆ s × [ˆs × ~p′′(t′)] c2R 0 . (3.23) (3.24) En nuestro caso, despu´es de derivar dos veces la expresi´on de z(t) se llega a
w0 w (rad s)
-1 0
p
a p/2
Figura 3.2: Desfase α del movimiento del dipolo respecto al campo incidente en funci´on de la frecuencia ω del campo excitador.
~
E(R, t) = −eEm0 ω
2sin(θ)
4πǫ0c2R ω20− ω2+ iγω
e(iωt−kR)uˆθ. (3.25)
Si el n´umero complejo del denominador lo reescribimos en forma m´odulo-argumental, se llega a ~ E(R, t) = −eE0 m ω2sin(θ) 4πǫ0c2R e(iωt−kR−α) q ω2 0− ω2 2 + γ2ω2 ˆ uθ, (3.26)
donde α = arctan γω ω2 0− ω2 . (3.27)
Como puede verse, el campo radiado por el dipolo oscila a la misma frecuencia del campo externo que incide sobre ´el pero defasado una cantidad dada por α que depende, como se puede ver en (3.26) y en (3.27), del valor del coeficiente de amortiguamiento y de la relaci´on entre la frecuencia natural del dipolo y la frecuencia del campo incidente. En la Figura 3.2 se muestra c´omo cambia el desfase α con relaci´on a la frecuencia del campo incidente: n´otese que cuando ω = ω0 el desfase es π/2. Por otra parte, la amplitud del
campo radiado presenta la forma de un t´ıpica curva de resonancia, esto es, la amplitud se hace m´axima en un entorno de frecuencias pr´oximas a ω0. Esto quiere decir, que
si la frecuencia del campo incidente coincide con la frecuencia natural del oscilador, la amplitud del campo radiado se hace m´axima.
En la Figura 3.3 se ha representado el valor del m´odulo de la amplitud de la oscilaci´on, |A|, en funci´on de la frecuencia de excitaci´on del campo externo, ~Ef. N´otese que el
valor m´aximo de la amplitud se obtiene en una frecuencia ωmax=
p
ω20− γ2, y que est´a
ligeramente desplazada respecto a ω0.
0.0 w0 A (u.a) w (rad s )-1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Figura 3.3: M´odulo normalizado de la amplitud del movimiento efectuado por el dipolo en funci´on de la frecuencia ω del campo excitador.
Una vez conocida la expresi´on del campo el´ectrico, el vector de Poynting se puede evaluar de la misma manera que en el problema anterior.
Obs´ervese ahora c´omo la irradiancia del dipolo depende de una forma algo m´as complica- da respecto de la expresi´on obtenida en el problema anterior: depende de la relaci´on entre la frecuencia del campo externo y la frecuencia natural del dipolo. Aquella frecuencias cercanas a la frecuencia de resonancia ser´an fuertemente esparcidas (esparcimiento re- sonante).
3.4 Desde el plano que contiene el punto O emergen ondas planas de frecuencia ωb = 3.17 × 1015rad s−1 que se propagan a lo largo del eje X y vibran a lo largo
del eje Z.
• Escribir la expresi´on del campo el´ectrico en el punto Q situado a 15 m del punto O (ver Figura 3.4a) en ausencia de l´amina L.
Consideremos que la fase inicial del campo en O es nula, de esta manera si llamamos E0
a la amplitud del campo el´ectrico, la expresi´on del campo el´ectrico en Q est´a dada por la expresi´on Esl(x = xq, t) = E0ei(ωbt−k0xq), (3.28) donde k0 = ωcb = 1.0567 × 107m−1 y xq = 15 m. Z O L (a) Q X (b) dl n=1 n>1
Figura 3.4: (a) Radiaci´on incidente, l´amina (L) y punto de observaci´on (Q). (b) Ondas que llegan al punto Q en presencia y en ausencia de l´amina.
• Se interpone una l´amina is´otropa de espesor 15 nm e ´ındice n(ωb) = 1.37.
Escribir la expresi´on del campo el´ectrico en el punto Q para el mismo instante de tiempo que en el caso anterior en el que no hab´ıa l´amina (ignorar los efectos de las reflexiones m´ultiples).
Al interponer la l´amina el campo el´ectrico se ver´a alterado: la radiaci´on incidente sobre la l´amina producir´a una onda reflejada y una transmitida. Estamos interesados en estimar la onda transmitida y hemos de tener en cuenta el hecho de que la onda dentro de la l´amina viaja a una velocidad inferior a la de la luz en el vac´ıo, esto es, llegar´a retrasada respecto a la onda dada por (3.28) en una cantidad
∆t = dl(n − 1)
c , (3.29)
manera el campo el´ectrico en Q en presencia de la l´amina est´a dado por Ecl(x = xq, t) = t1t2E0ei(ωb(t−∆t)−k0xq)
= 0.9756E0ei(ωbt−k0xq−0.0586), (3.30)
donde t1 y t2 son los coeficientes de transmitancia en amplitud en condiciones de
incidencia normal.
• A la vista de los resultados del apartado anterior indicar cu´al es el efecto de la l´amina sobre la onda.
A la vista de la expresi´on (3.30) vemos que el efecto de la l´amina es el de atenuar la amplitud de la onda en el punto Q y adem´as introducir un retardo11. Esta situaci´on se
ilustra en la Figura 3.4b.
Procesos de esparcimiento y absorci´on
3.5 Explicar porqu´e el cristalino es transparente a las radiaciones del visible. Se dice que en el proceso incipiente de formaci´on de una catarata se reduce la agudeza visual. Explicar este hecho suponiendo que el tama˜no de las regiones de opacificaci´on as´ı como la distancia entre ellas es mayor que las longitudes de onda del visible (v´ease Figura 3.5).
El cristalino est´a formado por una agregaci´on de sustancias diferentes: agua, proteinas,.. que est´an dispuestas espacialmente de una manera regular. La interacci´on de la radiaci´on visible con el cristalino va a inducir oscilaciones en los electrones de estas part´ıculas. Estas cargas aceleradas radian ondas electromagn´eticas que se esparcen en todas direcciones: debido al empaquetamiento regular de las part´ıculas este proceso de esparcimiento ser´a de car´acter coherente por lo que las ondas radiadas s´olo producen interferencia constructiva en la direcci´on en la que se forma la imagen que predice la ´optica geom´etrica. De esta manera la imagen de un objeto estar´a contrastada, esto es, se apreciar´an n´ıtidamente en la retina los bordes de la imagen del objeto. Naturalmente este proceso de esparcimiento depende de la longitud de onda: es conocido que si la frecuencia de la onda incidente es pr´oxima a las frecuencias de resonancia de un material la onda es absorbida por el medio, as´ı pues diremos que el cristalino es transparente para aquellas radiaciones cuyas frecuencias est´an alejadas de las frecuencias de resonancia de los materiales que lo componen.
En el proceso de formaci´on de una catarata se forman en las capas del cristalino acumulaciones de proteinas en forma de lagos12: estas acumulaciones rompen la estructura regular espacial
original, por lo que estas regiones actuar´an como centros dispersores que radiar´an las ondas en casi todas las direcciones pero en este caso este proceso de esparcimiento por estos centros
11Puede alegarse que al tratarse de una l´amina delgada se pueden producir interferencias m´ultiples. Este efecto
puede ser importante, para lo cual podemos computar el campo el´ectrico teniendo en cuenta que en este caso el campo el´ectrico en Q est´a dado por Ecl(x = x
q, t) = E0 tt ′
1−r2
e−iδe
i(ωbt−k0xq), donde δ = k
02ndl= 0.4343. Tras realizar los
c´omputos indicados en la expresi´on anterior se llega a que Ecl(x = x
q, t) = 0.9976E0ei(ωbt−k0xq−0.0105). Vemos que
este resultado contrasta con el obtenido en (3.30).
12La Figura 3.6 ha sido tomada de D. Miller & G. Benedek, Intraocular light scattering, (Charles C Thomas,
Figura 3.5: En la parte izquierda se muestra una micrograf´ıa electr´onica de un cristalino y en la parte izquierda se muestra una catarata incipiente.
es tal que no se cancelan las ondas en las regiones en las que geom´etricamente no deber´ıa haber luz: esto producir´a una reducci´on del contraste en la imagen, cuyos bordes ser´an menos n´ıtidos y producir´a la consecuente reducci´on de la agudeza visual. Este proceso de esparcimiento es de car´acter incoherente y producir´a, una redistribuci´on espacial de la luz en la retina tal que las longitudes de onda m´as cortas se dispersar´an m´as que las de longitud de onda larga. En la Figura 3.6 se muestra este efecto. Una manera de reducir el impacto de estos lagos es el de anteponer un filtro delante del ojo del observador que elimine las radiaciones azules: en este caso los centros seguir´an dispersando pero la agudeza visual del sujeto mejorar´a notablemente. Recu´erdese en este punto que la potencia esparcida por un dipolo es proporcional a la cuarta potencia de la frecuencia del campo excitador. Naturalmente cuando el n´umero de centros dispersores aumenta, se producir´an m´ultiples procesos de esparcimiento incoherente que reducir´a a´un m´as el contraste, llegando a ser tan reducido su valor que puede decirse que la imagen ´optica ha desaparecido.
En ausencia de centros dispersores el aspecto que mostrar´ıa la imagen mostrada en la Figura 3.6, constar´ıa esencialmente de una regi´on oscurecida, escalada con los aumentos laterales, que corresponde con la regi´on oscura del objeto, y la regi´on iluminada que corresponde a la regi´on transparente del objeto13.
3.6 Se rellena un prisma hueco de ´angulo α = 60o con un l´ıquido transparente. El prisma se ilumina con un haz colimado de luz blanca de manera que la radiaci´on refractada se recoge con una lente y se coloca una pantalla en su plano focal. Se a˜nade un colorante poco a poco al l´ıquido que rellena el prisma. Sabiendo que el colorante tiene una frecuencia de resonancia en λ0 = 530 nm. Indicar
razonadamente qu´e se observar´a en el plano focal de la lente L2 antes de echar
el colorante y despu´es de a˜nadirlo.
objeto
imagen cristalino
centros dispersores
Figura 3.6: Influencia de los centros dispersores localizados en el cristalino en la formaci´on de la imagen.
Que el l´ıquido con el que se rellena el prisma sea transparente para las radiaciones visibles nos indica que no absorber´a apreciablemente en este rango espectral, o de otra manera, su/s frecuencia/s de resonancia est´an alejadas del rango visible. Hemos de recordar que cada onda de una cierta longitud de onda experimentar´a un ´ındice de refracci´on diferente, n(λ), por lo que a la salida del prisma las distintas radiaciones se habr´an refractado de manera diferente. Por lo general en el visible se tiene una regi´on de dispersi´on normal para este l´ıquido por lo que dadas dos radiaciones de longitudes de onda λ1 y λ2 tales que λ1 < λ2
se tendr´a que n(λ1) > n(λ2), de esta manera en el plano focal de la lente se observar´an las
radiaciones dispersadas por el prisma en diferentes posiciones. Supongamos por ejemplo que se ha colocado el prisma de manera que λf = 550 nm llega al foco de la lente L2, en ese caso
las radiaciones cuyas longitudes de onda sean mayores que λf estar´an en la parte superior
del plano focal respecto al eje ´optico y el resto estar´an en la parte inferior del plano focal (v´ease Figura 3.7). Al a˜nadir el colorante cuya resonancia est´a en λ0= 530 nm ocurrir´a que
esta radiaci´on y algunas en un entorno suyo se absorber´an por lo que en el plano focal de L2
se observar´a un espectro similar al anterior pero faltando aquellas radiaciones que han sido absorbidas. La contribuci´on al ´ındice de refracci´on por parte del colorante viene dada por la expresi´on siguiente14 n(ω) = 1 + N q 2 2meǫ0 1 ω02− ω2+ iγω = nr(λ) − ini(λ). (3.31)
Recordemos que la parte imaginaria del ´ındice es la que da cuenta de la absorci´on por el medio material: de esta manera si suponemos que I0(λ) es la intensidad incidente para una
cierta longitud de onda, la intensidad emergente para esa radiaci´on puede expresarse como Isal(λ) ∝ I0(λ)e−
4πni(λ)F
λ , (3.32)
L2
F’
L1
F
S
Figura 3.7: Esquema de la radiaci´on dispersada por el prisma y observada en el plano focal de L2.
siendo F el espesor de la muestra. As´ı aquellas radiaciones pr´oximas a λ0 experimentar´an
una fuerte absorci´on, mientras que aquellas que est´en alejadas de λ0 se refractar´an con una
absorci´on despreciable y ser´an observadas en el plano focal de la lente L2. N´otese de paso
que al aumentar la concentraci´on del colorante, aumentar´a proporcionalmente la densidad de part´ıculas absorbentes y m´as intensa ser´a la absorci´on.
Si se realizase este experimento en un laboratorio, la inspecci´on visual no ser´ıa en principio f´acil de interpretar ya que tras la refracci´on por el prisma, los haces de radiaci´on de diferentes longitudes de onda solapan parcialmente entre s´ı, cosa que no ocurre cuando se emplea un prisma no absortivo en el que las regiones de resonancia est´an alejadas del visible: es bien conocido que en este caso el prisma permite separar espacialmente las diferentes componentes espectrales del haz incidente. En el caso de que queramos visualizar la absorci´on al adicionar