ECUACIONES DE MAXWELL radiación dipolar COLECCION DE DIPOLOS SOMETIDOS A RESTRICCIONES (w0) MEDIO RADIACION RADIACION
Figura III-1: Esquema interpretativo de la electrodin´amica cl´asica.
En los sistemas materiales las distancias entre ´atomos van a depender del estado de agregaci´on: en un s´olido o en un l´ıquido las distancias entre part´ıculas vecinas son relativamente estables en comparaci´on con el caso de un gas, en el que la agitaci´on t´ermica tiende a desordenar a cada instante la configuraci´on. Hemos visto que un ´atomo aislado cuando es excitado por una onda electromagn´etica produce ondas de la misma frecuencia pero ¿qu´e ocurre cuando tenemos una colecci´on de ´atomos suficientemente elevada, digamos 1022 ´atomos/cm3? La respuesta a esta
pregunta va a depender de dos cosas: por un lado de la frecuencia de la onda incidente y, por otro, de la distancia entre ´atomos en comparaci´on con la longitud de onda de la radiaci´on incidente. Si los ´atomos est´an separados una distancia mayor que la longitud de onda, cada uno de ellos se comportar´a como un centro que esparce la radiaci´on de acuerdo con (III-4), de tal manera que en un punto dado de observaci´on las ondas reirradiadas por cada centro se superponen sin correlaci´on de sus fases, por lo que no tiene lugar ning´un fen´omeno “interferencial” que cancele la radiaci´on en alguna direcci´on: de ah´ı el nombre “esparcimiento”. Por otro lado de la ecuaci´on (III-4) se infiere que un ´atomo aislado emite radiaci´on dipolar en todas direcciones excepto en la direcci´on de vibraci´on del campo excitador, supuesto ´este linealmente polarizado.
Tenemos ejemplos cotidianos de este esparcimiento que se pueden observar al contemplar el humo de un cigarrillo lateralmente: en particular si dirigimos la voluta de humo hacia un haz l´aser veremos cu´al es el “camino” del mismo. En los s´olidos que contienen impurezas este efecto del esparcimiento tambi´en puede observarse con facilidad.
Sin embargo el esparcimiento no parece explicar la transparencia de algunos medios materiales: consideremos una experiencia elemental como iluminar con un haz de luz visible de secci´on circular un vidrio de ventana: veremos que s´olo existe luz en la direcci´on del rayo refractado y no en todas direcciones, como parece inducirse de lo visto anteriormente. Esto es as´ı ya que en un s´olido, como el vidrio, la distancia entre ´atomos, que es del orden de unos pocos angstroms, es mucho menor que la longitud de onda. Ciertamente, cada ´atomo del vidrio reemite la radiaci´on de ondas en todas las direcciones y el campo el´ectrico total ser´a la suma coherente de los campos radiados por todos los ´atomos. Aqu´ı radica la diferencia fundamental entre el proceso de esparcimiento incoherente anteriormente mencionado y este otro, en el que las interferencias de las ondas radiadas juega un
l/2
E
átomos
onda incidente
ondas reirradiadas en fase con la onda incidente
ondas reirradiadas en oposición de fase B
k
Figura III-2: Esparcimiento coherente de la radiaci´on por los osciladores at´omicos inducidos por el campo excitador en un elemento de volumen del medio.
papel primordial. En efecto, las fases de las ondas, debido a la cercan´ıa de los emisores at´omicos, mantienen relaciones de fase estables que dan lugar a los fen´omenos de reflexi´on, refracci´on y absorci´on. Para convencerse de ello, consideremos un s´olido o un medio gaseoso subdividido en elementos de volumen en forma de cubos de lado λ/2 como se indica en la Figura III-2: la radiaci´on esparcida por dos ´atomos adyacentes en la direcci´on de propagaci´on de la onda estar´a en fase, sin embargo en la direcci´on perpendicular a la de avance de la onda, las fases de las ondas radiadas por dos ´atomos vecinos est´a en oposici´on de fase. Si los elementos de volumen contienen exactamente el mismo n´umero de ´atomos, la cancelaci´on de la onda ser´a total a 90o. N´otese adicionalmente que adem´as de la proximidad entre los osciladores at´omicos, se necesita una uniformidad en la distribuci´on, as´ı como la ausencia de fluctuaciones para que haya cancelaci´on.
A partir de lo anterior podemos vislumbrar el origen de la onda refractada como resultado de la superposici´on de la onda incidente y las ondas radiadas por todos los osciladores at´omicos. Si tenemos en cuenta c´omo es el campo radiado por un oscilador individual, empleando las ecuaciones (III-4) y (III-7), veremos que la onda radiada tiene la misma frecuencia del campo excitador, se propaga con una velocidad igual a c pero que no est´a en fase con aquel. Al superponer las ondas radiadas por todos los ´atomos, aparece un desfase neto que se aproxima a π/2. De esta manera el campo resultante ser´a la superposici´on del campo incidente y del campo radiado por todos los ´atomos, con lo cual la onda resultante se retrasa una cierta cantidad respecto de la onda incidente y, equivalentemente, la velocidad de la onda resultante es menor que c, a pesar de que las ondas radiadas por cada ´atomo individualmente se propague con velocidad c: este es justamente el origen microsc´opico del ´ındice de refracci´on. Para medios poco densos y siguiendo a Feynman3, podemos obtener una expresi´on para el ´ındice de refracci´on, n(ω), que experimenta una onda de frecuencia
ω dentro de un medio material que viene dado por la expresi´on n(ω) = 1 + ω 2 p 2 1 ω2 0 − ω2+ iγω, ≡ n r(ω) − iκ(ω), (III-9) donde ωp = q N q2
meǫ0c2 es la frecuencia de plasma y N es el n´umero de ´atomos por unidad de volumen.
As´ı pues la onda refractada es el resultado de una superposici´on coherente de m´ultiples ondas que s´olo interfieren constructivamente en una direcci´on, que coincide con las predicciones de la ´optica geom´etrica, a saber, nisin θi = ntsin θt.
An´alogamente al caso de la onda refractada, la onda reflejada se obtendr´a como la superposici´on de las ondas radiadas por los ´atomos del medio material “hacia atr´as”. Un an´alisis similar al que hemos indicado para mostrar el origen de la onda refractada, mostrar´ıa que la onda reflejada es el resultado de una superposici´on coherente de m´ultiples ondas que s´olo interfieren constructivamente en una direcci´on, que coincide con las predicciones de la ´optica geom´etrica, a saber, θi = θr.
El fen´omeno de la absorci´on se produce cuando la onda que incide sobre el medio material tiene una frecuencia que es cercana a la frecuencia natural de los osciladores at´omicos: en este caso se dice que ´estos entran en “resonancia”. Puede demostrarse que en este caso las ondas reirradiadas por todos los ´atomos est´an en oposici´on de fase con la onda incidente, de modo que el campo total dentro del medio se reduce enormemente: la radiaci´on es absorbida y la energ´ıa cedida por el campo se transforma en otras formas de energ´ıa. Este efecto se manifiesta en el hecho de que la parte imaginaria del ´ındice de refracci´on toma valores apreciables para frecuencias en el entorno de ω0; en otros t´erminos, la onda que se establece dentro del medio material, ~Ein, para frecuencias
cercanas a ω0 es una onda que se amortigua exponencialmente
~
Ein ≈ E~0e−k0κ(ω)yei(ωt−k0nr(ω)y). (III-10)
A partir de (III-10) se concluye que la irradiancia en el interior disminuye exponencialmente (ley de Lambert-Beer).
La regi´on de frecuencias en el entorno de ω0 se denomina habitualmente zona de dispersi´on
an´omala, en tanto que a las regiones alejadas de la frecuencia de resonancia se las denomina zonas de dispersi´on normal. En la regi´on de dispersi´on normal se pueden obtener una expresi´on m´as sencilla para la parte real del ´ındice de refracci´on de la forma
nr(λ) ≈ A +
B
λ2, (III-11)
conocida como relaci´on de Cauchy, donde A y B son constantes, o bien relaciones m´as generales que incorporan las longitudes de onda de la resonancia debida a Sellmeier
nr(λ) ≈ A′+
B′
λ2− λ2 0
. (III-12)
Si el material tiene varias frecuencias de resonancia, ω0j, la relaci´on (III-9) incorporar´a nuevos
t´erminos y queda de la forma
n(ω) = 1 +ω 2 p 2 X j 1 ω2 0j− ω2+ iγjω . (III-13)
Es notable que el modelo cl´asico empleado predice con un razonable acuerdo lo que teor´ıas m´as completas como la cu´antica proporcionan en lo que ata˜ne al ´ındice de refracci´on que experimenta una onda.