El modelo DEA y el análisis temporal de la eficiencia (índice de

Una de las extensiones del modelo DEA son los análisis enfocados a estudiar los cambios de eficiencia en el tiempo, y que sólo puede realizarse cuando las observaciones de DMUs están frecuentemente disponibles en múltiples periodos de

tiempo. Entre las extensiones destacan el Windows Analysis y el índice de Malmquist26.

Donde el primero de ellos propuesto por Charnes, Clark, Cooper y Goliany (1985) permite evaluar la eficiencia de las diferentes unidades a lo largo de distintos momentos del tiempo.

En relación al segundo, el índice de productividad de Malmquist fue introducido por Caves, Christensen y Diewert (1982), utilizando sólo funciones distancia output o sólo funciones distancia input. En una orientación output, el índice de productividad se define como la ratio de un par de funciones distancia output, y si la orientación es hacia el input ese índice se define como la ratio de un par de funciones de distancia input27.

Si bien la generalización de este índice no se produce hasta Färe, Grosskopf, Norris y Zhang (1994), quienes ilustran como los componentes de la función distancia pueden ser estimados utilizando la metodología DEA para entonces calcular los índices Malmquist del cambio de la Productividad Total de Factores (en adelante, PTF), y a la vez demuestran como los índices obtenidos pueden ser descompuestos en los

componentes: cambio en eficiencia técnica y cambio técnico28. El índice de Malmquist

permite aproximar los cambios que se producen en la PTF de una determinada unidad productiva entre dos períodos t y t+1, calculando la ratio de las distancias de cada periodo relativo a una tecnología común (Coelli et al. 1998).

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Cabe mencionar que otro método para estimar las funciones distancia y medir el índice de Malmquist es la frontera estocástica. En esta tesis sólo haremos mención al método de programación lineal (DEA) sugerido por Färe et al. (1994).

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Caves et al. (1982) definen su índice sobre una tecnología que permite variar a los rendimientos de escala. Sin embargo, Grifell-Tatjé y Lovell (1995) muestran que este supuesto genera un índice que ignora la contribución de economías de escala al crecimiento de la productividad. Farë y Grosskopf (1996) probaron que si M=N=1, el índice de Caves et al. provee una medida segura del cambio de la productividad çen el sentido de que iguala (yt+1/ yt) / (xt+1/ xt) sí, solo sí, el índice es definido sobre una tecnología que exhiba rendimientos constantes a escala.

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Para mejor detalle del procedimiento para calcular el índice de cambio de productividad de Malmquist puede recurrirse a Fried et al. (1993).

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En la presente investigación contamos con información de datos tipo panel, con lo que hemos planteado el objetivo de realizar un análisis de los cambios de eficiencia técnica a lo largo del tiempo. Y la técnica que se vuelve más adecuada para cumplir con este objetivo es el índice de Malmquist por su riqueza de información que proporciona, además es considerado como uno de los métodos más utilizados para analizar el cambio de la productividad total de factores y sus componentes a lo largo del tiempo. El cálculo del índice permite descomponer la PTF de una unidad productiva en el cambio debido a la mejora de la eficiencia técnica (y ésta a su vez en eficiencia pura y eficiencia de escala) y el debido al cambio técnico o progreso tecnológico. Por su naturaleza, para el uso de esta técnica solamente se requieren datos relativos a cantidades, y no hay necesidad de efectuar supuestos sobre la forma funcional de la función de producción.

La metodología de índices de Malmquist se basa en el cálculo de la distancia que separa a cada DMU de la tecnología de referencia en cada período utilizando para ello la función distancia. Estas funciones distancia permiten describir la tecnología de producción multi-input y multi-output sin la necesidad de especificar un objetivo del comportamiento (tanto como minimización de coste o maximización de beneficios) y que pueden definirse funciones de distancia input y funciones distancia output. Una función distancia input caracteriza la tecnología de producción observando una contracción mínima proporcional del vector de inputs, dado un vector output. Una función distancia output considera una expansión máxima proporcional del vector output, dado un vector input (Coelli et al. 1998).

En la presente investigación se consideran las funciones distancia orientadas al output, orientación que resulta más adecuada, ya que los objetivos de las unidades productivas se traducen en alcanzar los mayores niveles de producto posibles, dada la dotación de recursos existente, y no en lograr un producto determinado con un nivel mínimo de inputs.

Una tecnología de producción, en un período t, puede definirse utilizando el

conjunto de outputs, P t (x), que representa el conjunto de todos los vectores de output y,

que se pueden producir con el vector de inputs x. Es decir,

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Ahora bien, si suponemos que Pt satisface ciertos axiomas

microeconómicamente deseables29, se puede definir la función de distancia del conjunto

de outputs como:

D t (x t, y t ) = min {ø : (y t / ø) Є P t (x) }≤ 1 (2)

Esta función se define como la expansión proporcional máxima del vector de outputs yt, dado un vector de inputs xt. La función distancia, D t (x t, y t ), tomará valores

inferiores que o igual a la unidad, si y sólo si (x t, y t ) Є P t.. Además dicha función tomará el valor unitario, si y sólo si (x t, y t ) está ubicado en la frontera del conjunto de

posibilidades de producción, por tanto la unidad evaluada será técnicamente eficiente, y tomará valores mayores a la unidad si, (x t, y t ) al ubicarse fuera de la frontera de

producción.

Dado que se trata de comparar la evolución de la productividad, el índice de Malmquist requiere funciones de distancia con respecto a distintos períodos de tiempo.

Por lo que, en un período posterior t+1, la función de distancia se define como:

D t (xt+1, y t+1) = min {ø : (y t +1/ ø) Є P t (x) } (3)

Esta función mide el máximo cambio proporcional en los outputs necesario para que (xt+1, y t+1 ) sea factible con la tecnología del periodo t. En este caso, el valor de la

función distancia puede exceder la unidad, debido a que la entidad evaluada no es posible con la tecnología de otro período.

A partir de estas funciones de distancia, el índice de productividad de Malmquist orientado al output y referido a la tecnología del período t queda definido como:

(4)

De manera análoga se define el índice de Malmquist orientado al output y referido a la tecnología del periodo t+1, para lo cual se deben utilizar las correspondientes funciones distancia, de modo que:

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(5)

Ambos índices permiten aproximar el cambio de la PTF entre los dos periodos como se puede observar en el gráfico siguiente (1.7).

Gráfico 1.7. Índice de productividad de Malmquist orientado al output

Fuente: López-Pueyo et al. (2008, p. 411).

Expresando el índice orientado al output y referido a la tecnología de producción

en el período t (St), en términos geométricos se observa que coincide con el cambio del

índice de productividad de Malmquist en términos de distancias verticales sobre la tecnología del período t:

(6)

Y de manera semejante, el índice orientado al output y referido a la tecnología

St+1 se define sobre la base del gráfico 1.7 en términos geométricos quedando como:

(7)

Donde el valor permite aproximar el cambio de la productividad total de factores en el período t+1, medido éste en términos de distancias verticales sobre la tecnología St+1.

La medida que proporcionan ambos índices no tiene por qué coincidir al estar condicionada por la tecnología que se utiliza como referencia. Para solucionar este

Inp ut Output d = yt+1 h = xt+1 b = y*t a = yt g e,c St+1 St f = y *t+1 j = xt

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problema, Färe et al. (1994) proponen aproximar el cambio de la productividad a partir de la media geométrica de ambos índices de Malmquist anteriores. Por lo tanto, el índice se calcula definitivamente como:

(6)

Ésta versión suele ser la más utilizada en los estudios aplicados. Un valor de este índice superior a la unidad es indicativo de crecimiento de la productividad entre los dos periodos (mejoras de la productividad), mientras que si toma valores inferiores a la unidad, implica un descenso de la productividad entre los dos periodos (pérdidas).

Dicho índice puede ser desagregado en dos componentes que aproximan el cambio de eficiencia técnica y el cambio técnico, Färe et al. (1994) demostraron esta descomposición a través de sencillas operaciones matemáticas, permitiendo una forma equivalente de expresar este índice como:

= CET*CT (7)

De la expresión anterior se deduce que el cambio total de la PTF o índice de Malmquist puede descomponerse en dos términos. El primer término (CET) mide el cambio de la eficiencia técnica30 o el efecto (catching up), esto es, el grado de convergencia a la frontera de posibilidades de producción que experimenta la observación analizada en el periodo de estudio. Si el valor de este componente es mayor que uno, la unidad evaluada tiende aproximarse a la frontera de producción. Si es igual a uno, la distancia respecto a la frontera es la misma. Si es menor que uno se corresponde con pérdidas de eficiencia.

El segundo término (CT, la media geométrica de las dos ratios incluidas en los corchetes) aproxima el cambio técnico o el efecto innovación tecnológica concretizado en el desplazamiento de la frontera de producción (shift frontier), dicho cambio cuantifica la distancia media entre las funciones de producción de los dos periodos en

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Färe, Grosskopf y Lovell (1994) propusieron una ampliación de esta aproximación de forma que se puede desagregar el cambio en la eficiencia técnica en dos componentes: cambio en la eficiencia técnica pura y cambio en la eficiencia de escala (bajo el supuesto de rendimientos variables a escala).

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los niveles de utilización de inputs en xt y xt+1. Si han existido mejoras tecnológicas este componente registra valores superiores a la unidad, lo que indica la existencia de progreso técnico.

Además, debe tenerse en cuenta que, aunque el producto del cambio en la eficiencia técnica y el cambio técnico debe ser, por definición, igual al índice de Malmquist, estos dos componentes pueden tener comportamientos en direcciones opuestas.

Para calcular el índice de Malmquist es necesario resolver las funciones

distancias correspondientes mediante la metodología DEA31. El análisis se va orientar a

la maximización del output, esto es, se busca evaluar cual sería el máximo output obtenible por cada unidad productiva dadas las cantidades de inputs disponibles.

Coelli et al. (1998) enfatizan que las propiedades de los rendimientos a escala de la tecnología son muy importantes en la medición de la productividad total de factores (PTF). Grifell-Tatjé y Lovell (1995) utilizan un ejemplo simple con un input y un solo output para ilustrar que, un índice de Malmquist PTF puede no medir correctamente los cambios de la PTF cuando se asumen rendimientos variables a escala (VRS) para la tecnología. Por lo tanto, es importante que los rendimientos constantes a escala (CRS) se impongan a cualquier tecnología que se utiliza para estimar las funciones de distancia para el cálculo de un índice de Malmquist PTF. De lo contrario, las medidas resultantes pueden no reflejar debidamente las ganancias de PTF o pérdidas resultantes de los efectos de escala. Por tanto, en esta investigación se asumen rendimientos constantes a escala para medir el cambio de la productividad total de factores mediante el índice de Malmquist, bajo una orientación output.

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