Modelización del Sistema Dinámico del Tren
2.2. Modelización Matemática de la Dinámica del Tren
2.2.15. Modelo Generalizado de la Dinámica del Movimiento del Tren
En el estudio dinámico del ferrocarril se utilizarán las ecuaciones de Lagrange, para su ilustración se presenta a continuación un modelo de la dinámica de un sistema ferroviario en convoy.
El comportamiento longitudinal de trenes es una función de las entradas de control de tren de la locomotora, las contribuciones del frenado de tren, la topografía de la vía, las curvaturas del trayecto, las características del Bogie y del material rodante de las características de conexión de vagón. El comportamiento dinámico longitudinal de un tren puede ser descrito por un sistema las ecuaciones diferenciales. Para los propósitos de poner las ecuaciones, el modelado, y la simulación, se supone que no hay movimiento lateral o vertical de los vagones. Esta simplificación del sistema está implícita en todos los paquetes de simulación comerciales y específicos ferroviarios, según comenta Garg y Dukkipati. Las ecuaciones diferenciales que gobiernan pueden ser desarrollado considerando un tren de tres masas como se muestra en la ver la Figura 25
Figura 25 Modelo del tren con tres masas Términos que aparecen en el modelo del tren de tres masas;
a aceleración del vehículo, m/s2;
c constante de amortiguamiento, Ns/m;
k constante de rigidez, N/m;
m masa del vehículo, kg
v velocidad del vehículo, m/s
x desplazamiento del vehículo, m
Fg componentes de fuerza de gravedad debido a la categoría de la vía, N
Ft/db fuerza de tracción y de freno dinámica de una unidad de locomotora, N
Será observado en el vehículo de tren, donde la locomotora o vagón, puede ser clasificada con una sola de las tres configuraciones de conexión; ir adelante (mostrar como m1), en tren, y en cola. Todos los vehículos están sujetos a Fuerzas de Retraso.
Fuerzas de Tracción y Fuerza de Frenado Dinámica son añadidas a los vehículos que la suministra. El modelo dinámico longitudinal del Tren de tres Vagones se obtuvo de aplicar la segunda ley de Newton, por medio de la sumatoria de fuerzas longitudinales. Sobre cada una de las masas d los vehículos (m) actúa una aceleración longitudinal (a&&). Se iguala las fuerzas a los elementos que sobre el están actuando entre las que se encuentran: el coeficiente de amortiguamiento (c), multiplicada por la velocidad longitudinal (v). La acción del resorte afecta al sistema por medio del coeficiente de rigidez (k), el cual va multiplicado por el desplazamiento longitudinal (x). Cada una de las variables van acompañadas de un subíndice que ayuda a identificar a que vehículo se refiere.
El modelo del tren de Tres Masas permite que las ecuaciones diferenciales sean desarrolladas. Con la conexión lineal del Vagón el modelo de las ecuaciones pueden ser escritas: 1 1 1 1 2 1 1 2 / 1 1 m a +c (v −v )+k (x −x )=Ft db−Fr −Fg (29) 1 2 1 2 1 2 2 3 1 2 1 2 2 3 2 2 m a +c v( −v)+c v( −v )+k x( −x)+k (x −x )= −Fr −Fg (30) 3 3 2 3 2 2 3 2 3 3 m a +c (v −v )+k (x −x )= −Fr −Fg (31) Donde: 1
a aceleración del vehículo 1, m/s2;
2
a aceleración del vehículo 2, m/s2
3
a aceleración del vehículo 3, m/s2
1 c constante de amortiguamiento 1, Ns/m; 2 c constante de amortiguamiento 2, Ns/m; 3 c constante de amortiguamiento 3, Ns/m; 1 k constante de rigidez 1, N/m;
2
k constante de rigidez 2, N/m;
3
k constante de rigidez 3, N/m;
1
m masa del vehículo 1, kg
2
m masa del vehículo 2, kg
3
m masa del vehículo 3, kg
1
v velocidad del vehículo 1, m/s;
2
v velocidad del vehículo 2, m/s;
3
v velocidad del vehículo 3, m/s;
1
x desplazamiento longitudinal del vehículo, m
2
x desplazamiento longitudinal del vehículo, m
3
x desplazamiento longitudinal del vehículo, m
1
g
F componentes de fuerza de gravedad 1 debido a la categoría de la vía, N
2
g
F componentes de fuerza de gravedad 2 debido a la categoría de la vía, N
3
g
F componentes de fuerza de gravedad 3 debido a la categoría de la vía, N
1
r
F suma de fuerza de retraso 1, N
2
r
F suma de fuerza de retraso 2, N
3
r
F suma de fuerza de retraso 3, N
Ft/db fuerza de tracción y de freno dinámica de una unidad de locomotora, N
Note que un valor positivo de Fg es tomado hacia arriba, (i.e.., Una fuerza de retraso).
Permitir que locomotoras sean puestas en cualquier lugar del tren y también extender la notación de ecuación para un tren de cualquier número de carros, por lo que puede ser escrito un conjunto más general de las ecuaciones.
Para el vehículo guía
1 1 1 1 2 1 1 2 / 1 1
m a +c (v −v )+k (x −x )=Ft db−Fr −Fg (32) Para el i-esimo vehículo
i i 1 1 1 1 1 1 /
Para el n-esimo vehículo
n n 1 1 1 1 /
m a +cn− (vn−vn−)+kn− (xn−xn−)=Ft dbn−Frn−Fgn (34) Incluyendo la fuerza de tracción y de freno dinámica de una unidad de locomotora Ft/db
en cada ecuación, por lo tanto en cada vehículo, las ecuaciones pueden ser aplicadas a cualquier ubicación de la locomotora o sistema distribuido de poder. Para vehículos sin tracción el Ft/db es colocado en cero. Para el modelado no lineal del sistema, las
constantes de rigidez y amortiguamiento son reemplazadas con funciones. Se acostumbra expresar la rigidez como una función del desplazamiento
2.5. Conclusiones Parciales
Se presentó el modelo del contacto rueda riel identificando como variables principales: los desplazamientos verticales de las ruedas, los coeficientes de rigidez de las ruedas y las cargas en el contacto. Las variables que caracterizan el desgaste en el contacto rueda riel son las fuerzas normales, dureza del material, coeficiente de desgaste, coeficiente de fricción y fuerza tangencial.
Las seis variables fundamentales del comportamiento dinámico de la rueda son; el desplazamiento, la velocidad y la aceleración vertical, lo que es generalizable al caso de cada una de las ocho ruedas que tiene un vagón en el metro.
Se formuló el modelo del comportamiento dinámico de cada uno de los lados del Bogie, así como se presentó el modelo del comportamiento dinámico del Bolster, identificando las variables que sobre estos actúan: el desplazamiento, la velocidad y la aceleración vertical, así como a nivel rotacional el desplazamiento, la velocidad y la aceleración. Esto permitió caracterizar el comportamiento tanto para el Bogie delantero como trasero.
Se modeló el comportamiento dinámico del Carro, y se integró al modelo del Vagón completo. Se agruparon las variables existentes tanto en el Carro como en el Vagón, resultando ser el desplazamiento, la velocidad y la aceleración vertical para el Carro y en forma análoga el desplazamiento, la velocidad y la aceleración rotacional para ambos.
Enrique J. Limongi E.