4.1. Elcableelástico:módulodeelasticidadsecante
Seauncableinclinadocuyalongituddecuerdaseaiguala
lcby suproyecciónconrespectoalahorizontalccb,sometido
a laacción de una fuerza de tracción T0 en el sentido de la
cuerdayalaaccióndesupesopropiogcb(fig.3).Basadosen
la configuracióncatenaria del cable, al aplicarunafuerza de tracciónT1enladireccióndelacuerda,elalargamientoδdel
mismopuedeexpresarsemediantelaecuación5[8]:
δ lcb = (σ1−σ0)·γcb+ccb−1· σ12·sinh(γcb·ccb·σ1−1)−σ02·sinh(γcb·ccb·σ0−1) 2·Ecb·γcb·cosh 1/2·γcb·ccb·σ1−1 +(5) +4·Ecb·ccb−1· σ0·sinh(1/2·γcb·ccb·σ0−1)−σ1·sinh(1/2·γcb·ccb·σ1−1) 2·Ecb·γcb·cosh 1/2·γcb·ccb·σ−11
siendoEcbelmódulodeelasticidaddelmaterialdelcable,σ1
yσ0lastensionesenelcabledebidoalasfuerzasenladirección
enlacuerdaT1yT0,respectivamente,yγcbladensidaddelcable.
Lano-linealidadexistenteentrelafuerzadetracciónaplicada enladireccióndelacuerdayladeformacióndebidoalcambioen
laflechabajodiferentescondicionesdecargapuedesertenidaen cuentamediantelosmódulosdeelasticidadtangenteysecante. Deestamanerapuedetratarseelfenómenono-linealcomouno lineal.Sinembargo,elmódulotangentedebeutilizarsecuando larelaciónentrelastensionesσ1yσ0espeque˜na;delocontrario,
deberáutilizarseelmódulosecantecuyaexpresiónvienedada porlaecuación6[8]:
Esec=Δσ
Δε =
σ1−σ0
δ ·ccb (6)
La gráficade la figura4 muestra lavariación del módulo de elasticidad secante en función de la tensión finalσ1 para
longitudesdecablede60,100y160m,cuyomódulodeelasti- cidad es Ecb=185 GPaysu tensióninicial es σ0=140MPa,
que corresponde al 10% de la tensión de rotura. Podemos verqueparatensionesfinalesdelordendel50%delatensiónde
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Figura4.Curvamódulodeelasticidadsecantevs.tensiónenelcable.TomandoEcb=185GPayσ0=0,1·fu=140MPa.
Figura5.Sistemaplanosimétricoformadoporelmástilydoscables.Configu- racióndeformadaalaplicarunacargahorizontalFenelextremosuperior.
rotura,larelaciónentreelmódulodeelasticidaddelcableyel módulosecantenoexcededel10%paraunalongituddelcable de160m,nidel4%paraunalongituddelcablede100m.
4.2. Elsistemadecables:constanteelásticaequivalente
Consideremosen primera instanciaelsistema planosimé- trico,enequilibrio,formadoporelmástilydoscables(fig.5). Siaplicamosunafuerzahorizontalenelextremosuperiordel mástil,estesedeformaráysuposiciónpuededescribirsecomo undesplazamientohorizontaluyunoverticalw,siendoambas componentesdeldesplazamientopeque˜nas.Dadoqueeldespla- zamientodemástilestácompuestoporunmovimientorígidoy porlaflexióndelmismo,puedeasumirsequeeldesplazamiento
wesuninfinitésimodesegundoordendeu(w∼Ou2)[15]. Aldesplazarseelmástil,elcablealaizquierdase alargará mientrasqueeldeladerechaseacortará.Siamboscablesestán sometidosaunafuerzadetraccióninicialT0enladireccióndela
cuerda,elcabledelaizquierdaexperimentaráunrápidoaumento delatensión,mientrasqueeldeladerechaunrápidodescenso. Lafigura 6 muestra de manera esquemáticael razonamiento precedente.
Figura6.Curvafuerzavs.desplazamientodelcableconorigenenlacondición inicialdetensado.Adaptadade[8].
Conrelaciónalafigura6,elalargamientoδ1delcabledela
izquierdayelacortamientoδ2delcabledeladerechaenfunción
deldesplazamientohorizontalupuedenexpresarsepormedio delaecuación7:
δ1=−δ2=ccb
lcb
·u (7)
Si lafuerza F aplicadaes devalor unidady considerando unarelaciónlinealentrelatensióny ladeformaciónmediante el empleodel módulode elasticidad secante(ecuación 7), la constanteelásticaequivalenteutilizadaparasustituirelsistema decableses(ecuación8): keq= Esec,1+Esec,2 ·Acb·ccb 2 lcb3 (8)
siendo Acb elárea de lasección transversalde los cables,
Esec,1yEsec,2sonlosmódulosdeelasticidadsecantedelcable
queseestiraydelcablequeseacorta,respectivamente,yαes lainclinacióndeloscablesconrespectoalahorizontal.
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Figura7.Sistematridimensionalformadoporelmástilytrescablesdeigual longituddecuerdaeigualinclinación.
Consideremos ahora el sistema tridimensional constituido porelmástilytrescablesdeiguallongituddecuerdalcb,igual
inclinación αytal quelos planos formadospor cadacabley elmástilequidistan entresí,alquese aplicaunafuerza hori- zontalFdevalorunidadenelextremosuperiordelmástilenla direccióndelejeU(fig.7).Silafuerzaseaplicaenelsentido positivo deleje U(comose muestraen lafigura),larelación entreelalargamientoδ1deloscablesabarloventoyeldespla-
zamientohorizontalu,asícomolarelaciónentreelacortamiento
δ2delcableasotaventoyeldesplazamientohorizontal,puede
expresarsemediantelasecuaciones9:
δ1= ccb
2·lcb ·u
(9)
δ2=−ccb
lcb ·u
Planteandoequilibriohorizontal,ecuación10:
Esec,1+2·Esec,2 ·Acb·u· ccb2 2·lcb3 =1 (10)
Porlotanto,laconstanteelásticaequivalenteutilizadapara sustituirelsistemadecablesquedadeterminadaporlaecuación 11: keq= Esec,1+2·Esec,2 ·Acb· ccb 2 2·lcb3 (11)
Apartirdelasecuaciones5,9y11podemosconcluirque, bajolashipótesisplanteadas,laestructuradelafigura7esmás flexibleenelsentidopositivodelejeUqueenelsentidonegativo.