2.6 Modelos de riesgo de crédito y cópulas
2.6.1 Modelos de Umbral
Los modelos de umbral se de…nen bajo el supuesto de que el incumplimiento de una empresa i ocurre cuando alguna v.a. crítica Xi = XT;i cae por debajo de un umbral determinista di al
…nal del período de tiempo [0; T]. En el modelo de Merton Xi es el valor de los activos y tienen
distribución Lognormal; en el modelo Credit Metrics (CM) la v.aXi tiene distribución Normal y
es interpretada como un cambio en el valor del logaritmo del valor de los activos. Las extensiones de los modelos estructurales para portafolios típicamente utilizan las distribuciones Lognormal multivariada y Normal multivariada para el vector X= (X1; : : : ; Xm)0 y la dependencia entre sus
componentes da la dependencia entre los eventos de incumplimiento.
El planteamiento general de los modelos de umbral permite tanto interpretaciones más generales para las variables críticas como el uso de modelos con distribuciones más generales. Por ejemplo, en el llamado modelo de Li, discutido un poco más adelante, la variables críticas son las “veces al incumplimiento”de la empresa, y el umbral crítico es el horizonte de tiempoT. Las distribuciones supuestas para X pueden ser completamente generales; es aquí donde el concepto de cópula de la distribución multivariada de X juega un papel importante al permitir de…nir modelos de umbral con estructuras de dependencia generales.
Sea un portafolio de m deudores en un horizonte de tiempo …joT. Para 1 i m, sea Si la
v.a. indicadora de estados para el deudorien el tiempoT y supóngase que Si=ST;i toma valores
enteros en el conjuntof0;1; : : : ; ngque representa, por ejemplo, clases de cali…cación; se interpreta el valor0 como el incumplimiento y los valores distintos de cero como estados de calidad crediticia creciente. En el tiempo t = 0 se supone que los deudores se encuentran en algún estado de no incumplimiento.
En la mayoría de los casos se hace más énfasis en los resultados binarios de incumplimiento y no incumplimiento y se ignora la categorización más …na de las compañías no incumplidas. Para tal efecto, denótese por Yi = YT;i a la v.a. indicadora de incumplimiento, i.e. Yi = 1fSi=0g, con lo que Yi = 1 , Si = 0 y Yi = 0 , Si > 0. El vector aleatorio Y = (Y1; : : : ; Ym)0 es un
vector de v.a. indicadoras para el portafolio yp(y) =pfY1 =y1; : : : ; Ym =ymg; y 2 f0;1gm, es su
función conjunta de probabilidades; las probabilidades de incumplimiento marginales se denotan por pi=PfYi = 1g; i= 1; : : : ; m:
Las correlaciones de incumplimiento son de particular interés en la mayoría de los modelos. Dado que
var(Yi) =E Yi2 E2(Yi) =E(Yi) p2i =pi p2i;
se tiene que para las empresas iyj,i6=j, la correlación entre incumplimientos está dada por (Yi; Yj) = E(YiYj) pipj q pi p2 i (pj p2j) ; (2.52) donde0< pi; pj <1.
Se cuenta el número de deudores en incumplimiento al tiempo T con la v.a. M = Pmi=1Yi.
La pérdida actual si la compañíaiincumple, en la práctica, es modelada por la cantidad aleatoria
iei, donde ei representa la exposición total de la empresa i en el momento del incumplimiento
(EAD) y0 i 1 representa la proporción aleatoria de la exposición que se pierde en el evento
de incumplimiento (LGD). En ocasiones a iei se le suele llamar simplemente pérdida dado el
incumplimiento. Se denota la pérdida total del portafolio por la v.a. L=Pmi=1 ieiYi y en general
se hacen supuestos adicionales sobreei y i con el propósito de facilitar el análisis de la función de
distribución de L:
Es posible derivar diferentes modelos de riesgo de crédito que utilicen la misma distribución multivariada de S o Y. Dado que esta distribución es el principal objeto de interés en el análisis del riesgo de crédito del portafolio, se dice que dos modelos con los mismos vectores de estado Sy
El caso especial intercambiable. Para simpli…car el análisis generalmente se supone que la indi- cadora de estadosS, y así la indicadora de incumplimientoY, son intercambiables (ver De…nición 25). Ésta parece ser la manera correcta de formalizar matemáticamente la noción de grupos ho- mogéneos usada comúnmente en la práctica. La intercambiabilidad implica en particular, que para cualquierk2 f1; : : : ; m 1g, cualquiera de las mk distribuciones marginalesk-dimensionales posi- bles de S son idénticas. En este contexto conviene denotar las probabilidades de incumplimiento individual de cada deudor por =PfYi= 1g; i2 f1; : : : ; mgy por
k=PfYi1 = 1; : : : ; Yik = 1g;fi1; : : : ; ikg f1; : : : ; mg;2 k m; (2.53) la probabilidad conjunta de incumplimiento para k deudores. En otras palabras, k es la proba-
bilidad de que un grupo arbitrario de k deudores incumpla en [0; T]. Cuando las indicadoras de incumplimiento son intercambiables, se tiene
E(Yi) =E Yi2 =PfYi = 1g= ; para todai
E(YiYj) =PfYi = 1; Yj = 1g= 2; para todai6=j: Así que por (2:52)
Y= (Yi; Yj) = 2
2
2 ; i6=j; (2.54)
la cual es una función simple de primer y segundo orden de las probabilidades de incumplimiento. Antes de discutir la relación entre cópulas y los modelos de umbrales, se da una de…nición general de un modelo de umbral.
De…nición 73 Sea X = (X1; : : : ; Xm)0 un vector aleatorio y D 2 Mm n(R) una matriz con
elementos dij tal que, para cada i, di1 < < djn. Sean di0 = 1 y di(n+1) =1 para todos los
deudores y defínase
Si =l,dil < Xi dj(l+1); l2 f1; : : : ; ng; i2 f1; : : : ; mg:
Entonces (X; D) de…ne un modelo de umbral para el vector de estados S= (S1; : : : ; Sm)0.
A X se le re…ere como el vector de variables críticas y se denotan por Fi(x) = PfXi xg
a sus f.d. marginales. El i-ésimo renglón de D contiene los umbrales críticos para el deudor i. Por de…nición, el incumplimiento (correspondiente al evento Si = 0) ocurre siXi di1, así que la probabilidad de incumplimiento de cada deudor iestá dada porpi =Fi(di1).
En el contexto de los modelos de umbral es importante diferenciar la correlación de incumpli- miento (Yi; Yj) de dos empresas i 6= j de la correlación de los activos (i.e. la correlación de
las variables críticas Xi y Xj). Por (2:52) se sabe que dadas las probabilidades de incumpli-
miento, (Yi; Yj)queda determinada solamente porE(YiYj), y en un modelo de umbralE(YiYj) =
PfYi = 1; Yj = 1g = PfSi= 0; Sj = 0g = PfXi di;1; Xj dj;1g, así que la correlación de in- cumplimiento depende de la distribución conjunta de Xi y Xj. Si X tiene distribución Normal
multivariada , como en los modelos tipo CreditMetrics/KMV, la correlación de Xi y Xj deter-
mina la cópula de su distribución conjunta. Para variables críticas generales fuera del caso de la Normal multivariada, la correlación de las variables críticas no determina completamente la co- rrelación de incumplimiento; esto puede tener serias implicaciones para la cola de la distribución de M =Pmi=1Yi, como se vió en el último apartado delCapítulo 1.
Ahora se presenta un criterio simple para establecer la equivalencia entre dos modelos de umbral en términos de las distribuciones marginales del vector de estadosS y de la cópula deX. Mientras que el resultado es bastante directo desde un punto de vista matemático21, es bastante útil para estudiar similitudes estructurales entre varios modelos de la industria para la administración de riesgo de crédito de portafolios.
Lema 74 Sean(X; D)y(X ; D )dos modelos de umbrales con vectores de estadosS= (S1; : : : ; Sm)0
y S = (S1; : : : ; Sm)0, respectivamente. Los modelos son equivalentes si y sólo si se satisfacen las siguientes condiciones.
2 1 SeanX= (X
1; : : : ; Xm)yX = (X1; : : : ; Xm)dondeFiyFi son las distribuciones marginales de cadaXiyXi,
respectivamente. Seandij los elementos de la matrizD;ydij analogamente paraD . Claramente, por la condición
(i), tenemos queFi(dij) =Fi(dij)para todaj2 f1; : : : ; ng; i2 f1; : : : ; mg.
Seanj1; : : : ; jm2 f1; : : : ; ng, entonces
C(F1(d1j1); : : : ; Fm(dmjm)) =C F1 d1j1 ; : : : ; Fm dmjm ;
así que comoXy X tienen la misma cópulaC, por la condición (ii), el Teorema de Sklar (Teorema 2.3) permite escribir equivalentemente
PfX1 d1j1; : : : ; Xm dmjmg=P X1 d1j1; : : : ; Xm dmjm ; lo cual implica que
P d1j1< X1 d1(j1+1); : : : ; dmjm < Xm dm(jm+1)
=P d1j1< X1 d1(j1+1); : : : ; dmjm< Xm dm(jm+1) : Dado que lo anterior sucede para todaj1; : : : ; jm2 f1; : : : ; ng, se tiene por laDe…nición 73queS
d
=S , es decir, los modelos(X; D)y(X ; D )son equivalentes.
(i) Las distribuciones marginales de los vectores aleatorios S y S coinciden, i.e.
PfSi =lg=PfSi =lg; l2 f1; : : : ; ng; i2 f1; : : : ; mg:
(ii) X y X tienen la misma cópula C.
La cópula en un modelo de umbral determina la relación entre las probabilidades marginales de migración para empresas individuales y probabilidades de migración conjuntas para grupos de empresas. Considérese por simplicidad, un modelo de dos estados para incumplimiento y no incumplimiento y un subgrupo de k empresas fi1; : : : ; ikg f1; : : : ; mg con probabilidades de incumplimiento individualespi1; : : : ; pik. Entonces
PfYi1 = 1; : : : ; Yik = 1g = PfXi1 di1; : : : ; Xik dikg
= Ci1;:::;ik pi1; : : : ; pik ; (2.55)
dondeCi1;:::;ik denota la correspondiente marginalk-dimensional de la cópulaC. Como un caso especial considérese ahora un modelo para un solo grupo homogéneo. Supóngase que X tiene una cópula intercambiable (i.e. de la forma (2:7)) y que todas las probabilidades de incumplimiento individuales son igual a alguna constante , por lo que el vector de indicadoras de incumplimiento
Y es intercambiable. La expresión (2:55)se reduce a la fórmula usual
k=C1;:::;k( ; : : : ; );2 k m: (2.56)
Modelos de umbral en la industria: KMV´s Portfolio Manager y Credit Metrics
Las versiones de portafolio para los modelos KMV´s Portfolio Manager y Credit Metrics introduci- dos en el primer capítulo usan un mecanismo similar para modelar la distribución conjunta de los incumplimientos; ambos modelos di…eren solamente con respecto a la aproximación usada para la determinación de las probabilidades de incumplimiento individuales.
En ambos modelos el vector de variables críticasXse supone que tiene una distribución Normal multivariada y Xi se puede interpretar como un cambio en el valor de los activos para el deudor
i sobre el horizonte de tiempo de interés; di1 se elige tal que la probabilidad de que Xi di1 coincida con la probabilidad de incumplimiento pi para la empresa i. Claramente, los modelos KMV y CM trabajan con una cópula Gaussiana para las variables críticas X y son, por lo tanto, estructuralmente similares. En particular, por el Lema 74las dos versiones de estados son equiva- lentes, suponiendo que las probabilidades de incumplimiento individualesp1; : : : ; pm y la matriz de correlación P de X son idénticas.
Ambos modelos derivan las correlaciones entre activos con un modelo estructural que las rela- ciona a factores fundamentales. Los modelos de factor para el rendimiento de los activos reducen en gran medida el número de correlaciones a calcular a solamente calibrar las que existen entre el número reducido de factores que afectan el rendimiento de los activos. Se supone que los rendimien- tos de los activos de las empresas son generados por un conjunto de factores de riesgos comunes o sistemáticos, y factores idiosincráticos. Los factores idiosincráticos son especí…cos a la empresa, país o industria y no contribuyen a la correlación de activos, ya que son no correlacionados entre sí y a su vez no correlacionados con los factores comunes. Las correlaciones entre los rendimientos de los activos de dos empresas son explicadas solamente por los factores comunes a todas las empresas. La contribución de riesgo de los factores comunes no es diversi…cable, a diferencia de los riesgos asociados con los factores idiosincrásicos que sí se pueden mitigar a través de la diversi…cación del portafolio.
Supóngase que se han transformado tanto las variables críticas como los umbrales, de manera que las marginales de X son Normal Estándar. En un modelo de factores, se supone que X se puede escribir como
X=BF+" (2.57)
Para un vector aleatoriop-dimensional de factores comunesF Np(0; )conp < m, una matriz
B 2Mm p(R), y un vector m-dimensional "de errores independientes con distribución marginal
Normal, que también son independientes deF. Aquí el vector aleatorioFrepresenta los efectos país e industria. Obviamente, la estructura de factores(2:57)implica que la matriz de covarianza P de
X, que resulta ser una matriz de correlación por los supuestos sobre las distribuciones marginales de X, es de la formaP =B B0+ , donde es matriz diagonal de covarianzas de ".
Escribiendo bi = (bi1; : : : ; bip)0 para el renglónide la matrizB, lai-ésima variable crítica tiene
la estructura Xi =b0iF+"i y la varianza explicada por los factores comunesFestá dada por
i V ar b0iF =b0i bi; (2.58)
el cuál puede ser visto como el riesgo sistemático de Xi. Dado que var(Xi) = 1, se sigue que el
correspondiente riesgo idiosincrásico no explicado por los factores comunes esvar("i) = 1 i.
En el modelo de factores empleado por KMV los factores se suponen observables, y se construye una serie de tiempo de rendimiento de éstos formando índices apropiados del valor de los activos de empresas que negocian públicamente. Los pesos de los factores que comprendenBson determinados usando argumentos económicos no cuantitativos combinados con técnicas de regresión; algunos
detalles se pueden encontrar en Kealhofer et. al. (2001) [47]. En ambas metodologías el capital económico se obtiene como un cuantil de la distribución de pérdidas simulada mediante realizaciones de la Norma multivariada que conduce a los factores comunesFy los errores"; estas realizaciones permiten simular los incumplimientos de las empresas que forman el portafolio, considerando la exposición (EAD) y pérdida dado el incumplimiento (LGD). En KMV la LGD se modela como una variable aleatoria con distribución Beta e independiente de los incumplimientos.
Modelo de Li
Este modelo propuesto en Li (2001) [53], es un modelo dinámico simple utilizado para valuar derivados de crédito. El autor interpreta la variable crítica Xi como el tiempo de incumplimiento
de la compañíaiy supone queXi tiene distribución Exponencial con parámetro i así queFi(t) =
1 e it. Obviamente, la empresaiincumple al tiempo T si y sólo siX
i T, así quepi=Fi(T).
Para determinar la distribución multivariada deX, Li supone queXtiene la cópula Gaussiana para alguna matriz de correlación P, así que PfX1 t1; : : : ; Xm tmg = CPGa(F1(t1); : : : ; Fm(tm)).
Por elLema 74se tiene que la distribución de las indicadoras de incumplimiento para un horizonte de tiempo …jo T en el modelo de Li es equivalente a un modelo del tipo KMV o CM, suponiendo que las probabilidades de incumplimiento individuales coinciden y que la matriz de correlación del cambio en el valor de los activos X en el modelo tipo KMV es igual a P. Esta equivalencia comúnmente es utilizada para calibrar el modelo de Li.
La presentación de los modelos de umbrales fue basada principalmente en Frey et. al. (2001) [37] y Frey et. al. (2003) [38].