2.6 Modelos de riesgo de crédito y cópulas
2.6.2 Modelos de umbral como modelos de mezcla
Un aspecto importante sobre los modelos de umbral es que la mayoría de los más usados, incluyendo los ejemplos vistos en este capítulo, se pueden expresar como los modelos de mezcla Bernoulli que fueron revisados en el capítulo anterior. Ésta es una propiedad muy útil, ya que el formato de los modelos de mezcla Bernoulli tiene varias ventajas sobre el de los modelos de umbral. Para empezar, el comportamiento para portafolios de mezcla Bernoulli grandes se puede entender con el compor- tamiento de la distribución de los factores económicos comunes, como se vió en el primer capítulo. Dos puntos importantes son que los modelos de mezcla Bernoulli permiten implementar fácilmente estimaciones via simulación Monte Carlo y además son bastante convenientes para propósitos de ajuste estadístico, ya que las técnicas estadísticas para modelos de mezcla lineales generalizados se
pueden utilizar para ajustar modelos de mezcla a datos empíricos de incumplimiento observados sobre varios períodos de tiempo. En las siguientes secciones enfatizaremos sobre los dos aspectos anteriores.
De…nición 75 SeaX= (X1; : : : ; Xm)0un vector aleatorio, si existe un vector aleatoriop-dimensional
= 1; : : : ; p 0, p < m, tal que, condicional en , la v.a. X1; : : : ; Xm son independientes, en-
tonces decimos que X tiene estructura de independencia condicional p-dimensional con variable condicionante .
La de…nición anterior establece la condición básica para que un modelo de umbral se pueda es- cribir como un modelo de mezcla Bernoulli, como se plasma en el siguiente Lema cuya demostración es bastante directa22.
Lema 76 Sea (X; D) un modelo de umbral para un vector aleatorio m-dimensional X. Si X
tiene estructura de independencia condicional p-dimensional con variable condicionante , en- tonces las indicadoras de incumplimiento Yi = 1fXi di1g siguen un modelo de mezcla Bernoulli
con factor , donde las probabilidades condicionales de incumplimiento están dadas por pi( ) =
PfXi di1j = g.
Enseguida se revisan algunos ejemplos de modelos de umbrales vistos como modelos de mez- cla Bernoulli utilizando algunas de las estructuras de dependencia (cópulas) vistas en secciones anteriores.
Ejemplo 77 (Estructura de factor con distribución Mezcla Normal). Sean las variables críticas
X = (X1; : : : ; Xm)0 con distribución Mezcla Normal en Media-Varianza como en (A:11), por lo
que X=m(W) +pWZ con W independiente de Z. Supóngase que Z sigue el modelo de factor
(2:57), es decir,Z=BF+"para un vector aleatorio de factores comunesF Np(0; ) con p < m, 2 2 Seay 2 f0;1gm. DefínaseA=f1 i mjYi= 1g,Ac=f1; : : : ; mg nA, entonces PfY=yj = g = P T i2Af Yi= 1g T i2Acf Yi= 0g j = = P T i2Af Xi di1g T i2Acf Xi> di1g j = = Q i2A PfXi di1j = g Q i2Ac (1 PfXi di1j = g) = m Q i=1 (PfXi di1j = g)yi(1 PfXi di1j = g)1 yi;
es decir, condicional en = , Y1; : : : ; Ym son v.a. independientes Bernoulli con probabilidad de éxito pi( ) = PfXi di1j = g.
una matriz B 2Mm p(R), y un vector m-dimensional "= ("1; : : : ; "m) de v.a. normales indepen-
dientes, que también son independientes de F. Defínase el vector aleatorio = (F1; : : : ; Fp; W)0
y observese que, condicional a = (f1; : : : ; fp; w)0, X tiene distribución Normal multivaria-
da Nm(m(w) +pwBf; w ), donde f = (f1; : : : ; fp)0 y = V ar(") es la matriz (diagonal) de
covarianzas de ".
Como la estructura de covarianzas es diagonal, sucede que, condicional a = , las v.a. son independientes, por lo queX tiene una estructura de independencia condicionalp+ 1-dimensional. Por el lema anterior, las indicadoras de incumplimientoYi= 1fXi di1g del modelo de umbral(X; D)
siguen un modelo de mezcla Bernoulli con probabilidades condicionales de incumplimiento
pi( ) =PfXi di1j = g=
di1 mi(w) pwb0if
pw
i
; (2.59)
dado que Xi N(mi(w) +pwb0if; w i), donde mi(w) es la i-ésima componente de m(w), bi es
lai-ésima columna de B, y i=V ar("i) es el i-ésimo elemento de la diagonal de .
Ejemplo 78 (Modelo de umbral tipo KMV/CreditMetrics). Considérese el caso especial de varia- bles críticas Gaussianas dondeX=Zy =F. Si se estandarizan las variables críticasX1; : : : ; Xm
y se reparametriza la fórmula en términos de las probabilidades de incumplimiento individualpi= PfXi di1g= (di1)y de la varianza sistémica(2:58) i =b0i bi =V ar(Xi) V ar("i) = 1 i,
se tiene que por (2:59)
pi( ) = 1(p i) b0i p 1 i ! : (2.60)
Obsérvese que las probabilidades condicionales de incumplimiento individualpi( )corresponden
al caso en que la distribución mezcla que se usa para el modelo de mezcla Bernoulli es Probit-Normal con parámetros i y i dados por
i = 1(p i) p 1 i y i= i p 1 i:
Ejemplo 79 (Modelo de umbral con cópula t de Student). Ahora considérese el caso especial en que las variables críticas tienen distribución t de Student multivariada donde X = pWZ y
W 1 Gamma 1
2v; 1
2v (W tiene distribución Gamma Inversa). Supóngase que las marginales
de X1; : : : ; Xm han sido estandarizadas para ser t de Student estándar univariadas con v grados
de libertad. Si de nuevo se reparametriza en términos de las probabilidades de incumplimiento individual pi =PfXi di1g=tv(di1) y de i la proporción de varianza de la variable crítica Xi
explicada por los factores =F, de nuevo utilizando (2:59), se tiene que pi( ) = tv1(pi) pWb0iF p W (1 i) ! = t 1 v (pip)W 1=2 b0i 1 i ! : (2.61)
La expresión (2:59)permite hacer simulación Monte Carlo para modelos de umbrales donde las variables críticas tienen una distribución de Mezcla Normal, particularmente en portafolios grandes. Por ejemplo, en vez de simular una distribucióntde Student de dimensión mpara implementar el último modelo, solamente es necesario simular un vector F con distribución Normal multivariada p-dimensional, con p m y una variable aleatoria W 1 con distribución Gamma. El siguiente paso consiste en simular experimentos Bernoulli con probabilidades de incumplimiento pi( ) para
decidir si los deudores individuales incumplen.
Ejemplo 80 (Aplicación a cópulas Arquimedianas). Otra clase de modelos de umbral con repre- sentación equivalente de modelo de mezcla se tiene cuando las variables críticasXtienen una cópula LT-Arquimediana en el sentido de la De…nicón 52. Considérese un modelo de umbral(X; D), donde
Xtiene una cópula LT-ArquimedianaC intercambiable con generador tal que 1 es la Transfor- mada de Laplace de alguna f.d. G sobre [0;1) con G(0) = 0. Sea d= (d11; : : : ; d1m)0 la primera
columna de D que contiene los umbrales de incumplimiento y denótese por(X;d) a un modelo de umbrales de incumplimiento con dependencia dada por una cópula Arquimediana. De nuevo, sea
p= (p1; : : : ; pm)0 el vector de probabilidades de incumplimiento, donde pi =PfXi di1g.
Considérese una v.a. no negativa Gy las v.a. U1; : : : ; Um condicionalmente independientes
dado con f.d. condicionalPfUi uj = g=e (u)para0 u 1. Según la ecuación(2:30)
se tiene que U = (U1; : : : ; Um)0 tiene cópula C, y entonces por el Lema 74 sucede que (X;d) y
(U;p) son modelos de umbral equivalentes. Por construcciónU tiene estructura de independencia condicional de dimensión uno con variable condicionante y las probabilidades condicionales de incumplimiento están dadas por
pi( ) =PfXi di1j = g=PfUi pij = g=e (pi): (2.62)
Entonces para simular de un modelo de umbral basado en una cópula LT-Arquimediana solamente se debe simular una realización de la v.a. y realizar experimentos Bernoulli independientes con probabilidades de incumplimiento pi( ) como en (2:62) para obtener una realización de las
Ejemplo 81 (Cópula de Clayton). Considérese la cópula de Clayton con generador (t) =t 1. Supóngase que se quiere construir un modelo de mezcla Bernoulli intercambiable con probabilidad de incumplimiento y probabilidad conjunta de incumplimiento 2 que sea equivalente a un modelo de
umbral donde las variables críticas tengan una cópula de Clayton. Como se dijo en la Observación 53, una v.a. Gamma 1;1 tiene transformada de Laplace igual a 1(t) = (t+ 1) 1= , así que la variable mezcla del modelo de mezcla Bernoulli equivalente se puede de…nir haciendo
Q=p1( ) =e (pi)=e ( )=e ( 1):
Usando (2:55) se tiene que el valor de que determina las probabilidades conjuntas de in- cumplimiento es la solución de 2 =C ( ; ) = 2 1 ; >0. Se observa que 2 y, por ende,
la correlación de incumplimiento Y en este modelo de mezcla Bernoulli son crecientes en ; para
! 0 se tienen incumplimientos independientes, mientras que para ! 1 los incumplimientos son comonóticos y la correlación de incumplimientos tiende a uno.