mediante engranajes
II.2.3.2. Modelos simplificados del contacto
En este segundo grupo se enmarcan los modelos de engranajes cuyo cálculo de esfuerzos de contacto permite resolver las ecuaciones dinámicas que rigen el movimiento en un tiempo asequible. Para poder abordar esta problemática, normalmente es necesario adoptar algún tipo de simplificación en el cálculo de esfuerzos. Con el objetivo de reducir el coste computacional, la mayor parte de los modelos dinámicos son del tipo multi-cuerpo o de parámetros concentrados [Viadero, 2013].
Fue Lewis en 1892 quién a partir de considerar el diente como una viga empotrada, aportó la primera formulación de tipo analítico. En ella relacionó la carga en un diente con la tensión en la base del mismo. La conocida fórmula de Lewis, con diversas correcciones, continúa siendo una herramienta de diseño en la que se fundamentan diversas normas todavía vigentes. Baud y Peterson, Walter, Weber, Attia o Cornell han desarrollado diversas propuestas de tipo analítico partiendo de este planteamiento, reduciendo el problema al caso bidimensional. En esta misma línea, Weber [1949], mediante el cálculo de la energía de deformación debida a los esfuerzos de flexión, axiales, y hertzianos, obtuvo la deformación en un punto del diente. Yang [1985] solo consideró la rigidez de contacto de carácter Hertziano, que, posteriormente, amplió incluyendo los esfuerzos de flexión y axiales [Yang, 1987]. Incluso en la actualidad, autores como De la Cruz [2011] propone varios modelos dinámicos, basados en formulaciones analíticas del contacto entre dientes en presencia de fluido lubricante. Uno de estos modelos reproduce el comportamiento del contacto entre engranajes bajo cargas considerables (EHL) y otro en baja carga (HL), ambos de 1 grado de libertad (g.d.l.). Para la implementación de los esfuerzos de contacto bajo cargas elevadas (EHL), este autor tomó la aproximación de que el contacto era hertziano, incorporando la expresión de Votsios y Teodorescu (Ecuación (II.18)). Para cargas reducidas (HL) incorporó la formulación de Rahnejat (Ecuación (II.52)). Además desarrolló un modelo de una caja de cambios de 7 g.d.l., compuesta por siete parejas de engranajes, extendiéndolo, posteriormente, a un modelo de 13 g.d.l. a partir de la consideración de rodamientos y ejes. Se ha expuesto previamente que dicho modelo cuenta con la posibilidad de calcular numéricamente la distribución de presiones y el espesor de película. Este modelo numérico de cálculo, de la distribución de presiones, sustituiría al modelo analítico de contacto Hertziano en caso de necesitar mayor precisión en el cálculo de esfuerzos. Esto implicaría un aumento considerablemente del proceso de simulación.
Uno de los enfoques más extendidos en la comunidad científica es el que calcula los esfuerzos de contacto a partir del producto de las deformaciones sufridas en el contacto por la correspondiente rigidez de engrane. Partiendo de esta premisa, diversos autores han tratado de conseguir expresiones de la rigidez de engrane que permitan su aplicación en modelos dinámicos, sin llevar asociado un gran coste computacional. Para ello existen diversas propuestas analíticas, semi-analíticas y numéricas, así como diferentes enfoques para determinar el valor de rigidez de los dientes del engranaje. Normalmente parten del análisis de la deformación del diente en condiciones de carga.
Este valor de rigidez se ha estimado como un valor constante, igual al valor promedio de la rigidez en un ciclo de engrane [Kahraman, 1993], o como una onda cuadrada en el caso de engranajes rectos [Lin, 2002] o como el sumatorio de una serie de funciones armónicas, tanto en engranajes rectos como en helicoidales [Kasuba, 1981], [Theodossiades, 2001a]. Cai y Hayashi [Cai, 1994], aproximaron la rigidez de cada pareja de dientes mediante una parábola proponiendo la siguiente expresión:
2 2 ( ) 1.8 1.8 1 ( ) 0.55 ( ) 0.85 m z z K t k t t t K εαt εαt εα − = = + + (II.2)
Donde k(t) es la rigidez normalizada con respecto al valor promedio (Km) y tz es el periodo de
engrane. El valor de Km [Amabili, 1997] puede determinarse a partir de la rigidez máxima
proporcionada por la norma ISO/DIS 6336-1.2 (1990) (actualizada por ISO 6336 de 2006). Esta expresión solamente proporciona la rigidez de una pareja de dientes, por lo que en el
caso de múltiples parejas en contacto éstas son combinadas como resortes en paralelo, obteniendo así la rigidez del conjunto.
El cálculo de la rigidez de engrane mediante formulaciones analíticas es de utilidad en determinados aspectos. Sin embargo resulta demasiado aproximado, si lo que se desea es un mejor conocimiento acerca del comportamiento dinámico de la transmisión. En este sentido hay que destacar que uno de los aspectos que caracterizan el comportamiento dinámico de las transmisiones por engranajes es precisamente la denominada frecuencia de engrane. Dicha frecuencia surge a partir de la variabilidad de la rigidez con el tiempo (o el ángulo), la cual está originada, entre otros aspectos, por el cambio en el número de parejas de dientes en contacto. Otros autores han abordado el problema desde el punto de vista numérico, como en el caso de Kuang [1992] quien, a partir de diversos análisis empleando un modelo plano de elementos finitos en condiciones de deformación plana, propone una formulación simplificada para el caso de engranajes de dientes rectos.
Hasta este punto, las formulaciones de rigidez descritas (Cai o Kuang), no tienen en cuenta las deformaciones producidas en los dientes adyacentes cuando una o varias parejas de dientes están transmitiendo el movimiento. Ebrahimi y Eberhard [Ebrahimi, 2006] trataron de definir un modelo simple que incorporara este aspecto, de forma que pudiera ser incluido en
aplicaciones de análisis de sistemas multi-cuerpo (Multibody Systems) de propósito general.
Otro procedimiento común, que han aplicado diversos autores, para el cálculo de la rigidez fue el que utiliza un análisis previo mediante elementos finitos. Utilizando este enfoque, Howard [2001] y Jia [2006] obtuvieron la rigidez de engrane a lo largo del contacto entre una pareja de dientes para transmisiones ordinarias, He [2007] para trenes epicicloidales, o, más recientemente, Chung [2007] para engranajes de tornillo sin fin.
Otro enfoque habitual para el cálculo de los esfuerzos de contacto, es considerar que las deformaciones de los engranajes involucran fenómenos a dos escalas muy diferentes; por un lado se encuentra la escala local, debida a la distribución de carga sobre la superficie de los dientes en el contacto, y por otro el comportamiento del conjunto de la transmisión a una escala global. A ésta, además de la flexibilidad de los propios dientes y de la interacción entre parejas, se puede incorporar los efectos de otros componentes como los ejes, los elementos de apoyo y la propia carcasa. Se puede deducir de lo anterior, que lo ideal sería disponer de un modelo muy preciso al simular tanto el comportamiento local del engranaje como el global. Sin embargo, se ha comprobado el gran esfuerzo computacional necesario para proporcionar una buena resolución del comportamiento local del diente. Como consecuencia se requiere un compromiso entre la velocidad de simulación (esfuerzo computacional) y la precisión del modelo adoptado.
El primer intento de alcanzar este compromiso se debe a Blankenship y Singh [Blankenship, 1995a], quienes propusieron un modelo tridimensional con 6 grados de libertad por rueda, el cual permite la incorporación de momentos en la dirección perpendicular al plano de la transmisión. Este modelo no fue analizado inicialmente, sino que se simplificó de modo que la propuesta final estaba basada en la introducción de una excitación externa, que se obtenía mediante un análisis estático previo. Dicho modelo fue convenientemente linealizado y aplicado al caso particular de una transmisión mediante engranajes helicoidales [Blankenship, 1995b] y, posteriormente, extendido al caso de transmisiones simples con ruedas intermedias [Vinayak, 1995]. Velex y Maatar [Velex, 1996] formularon un modelo válido para engranajes cilíndricos de dientes rectos y helicoidales. En él se consideraba cada rueda dentada como un cilindro rígido con 6 g.d.l. Estos cilindros estaban conectados mediante una serie de resortes
asociados a los puntos de contacto potencial, dispuestos en el plano de engrane. Cada línea de contacto se discretizó en una serie de celdas, incorporando en cada una de ellas los posibles errores de perfil, paso, excentricidades y desalineamientos. El mayor de sus inconvenientes es la definición del valor correspondiente a la rigidez de contacto de cada celda. En dicha propuesta, la rigidez fue supuesta uniforme para todas las celdas y calculada solo teniendo en cuenta la deformación del diente (no la deformación propia del cuerpo de la rueda). Pimsarn y Kazerounian [Pimsarn, 2002, 2003] presentaron un método para la estimación de la fuerza de
contacto a partir de la interferencia geométrica entre los cuerpos en contacto (método Pseudo-
Inteference Stiffness Estimation o método PISE). Eritenel y Parker [Eritenel, 2005] calcularon la rigidez a través de la superposición de dos componentes, una que engloba la debida al cuerpo del engranaje, la flexión y la cortadura del diente y otra propia del contacto. Como particularidad de este modelo, la estimación de ambas rigideces se obtiene a partir de un análisis cuasi-estático previo, implementado mediante un modelo de elementos finitos. Este modelo de elementos finitos fue desarrollado expresamente para el análisis del contacto entre engranajes. Posteriormente, los autores [Eritenel, 2012] desarrollaron un modelo analítico de 6 g.d.l de parámetros concentrados en transmisiones de engranajes helicoidales. Como novedad, se presentó un modelo de rigidez equivalente formado por la rigidez traslacional y
por la rigidez al doblado (twist-spread), reducidas ambas al centro de rigidez. Ajmi y Velex
[Ajmi, 2005] realizaron la superposición de tres aspectos, la deformación debida al cuerpo del engranaje, la deformación del diente y la deformación de contacto. La deformación del cuerpo del engranaje se describe mediante un modelo de elementos finitos de tipo viga que considera flexión, torsión y tracción. La deformación del diente se formula a través de la teoría de Pasternak y la deformación del cuerpo del diente y su base se define a través de un modelo de rebanadas, cuyo comportamiento viene definido por la rigidez del punto de contacto.
El método de elementos finitos (MEF) constituye una herramienta fundamental en el planteamiento de muchos de los modelos descritos previamente. De hecho algunos autores han tratado de elaborar modelos híbridos que combinen las prestaciones del MEF, con formulaciones apropiadas para la descripción del contacto. En la práctica lo que proponen es distinguir entre deformaciones globales (de carácter lineal) y locales (de naturaleza no-lineal). Las deformaciones globales se abordan mediante un modelo de elementos finitos, mientras que las locales se describen mediante una formulación de tipo analítico.
Vijayakar [1991] propuso una formulación basada en la combinación de un análisis de elementos finitos tradicional y la solución de Bousinesq para una carga puntual actuando en un espacio semi-infinito. El modelo obtiene los términos de rigidez a partir de la descomposición de la deformación en dos zonas, una interior y otra exterior. Además, resuelve el problema de contacto aplicando un procedimiento basado en el método Simplex [Vijayakar, 1988]. Parker, Vijayakar e Imajo, [Parker, 2000a] aplicaron la metodología anterior al caso de una transmisión simple mediante engranajes de dientes rectos. Se consideró que las deformaciones elásticas se superponen al movimiento de sólido rígido. La integración de dicho sistema se lleva a cabo mediante el método de Newmark, transformando de este modo el problema dinámico en uno estático equivalente. Este procedimiento se ha incorporado en diversas aplicaciones comerciales, que se han empleado en el análisis estático y dinámico de transmisiones mediante engranajes cilíndricos rectos, helicoidales e hipoidales [Cheng, 2003] e incluso en el caso de transmisiones planetarias [Bodas, 2003], [Parker, 2000b], [Yuksel, 2004]. Vedmar y Henrikson [Vedmar, 1998, 2003] consideraron que la masa de cada rueda se encontraba concentrada en su centro geométrico y aplicaron un procedimiento similar al descrito por Vijayakar [1991] para la formulación de los esfuerzos
de contacto. Para ello, siguieron el trabajo previo de Vedmar [1981] aplicado al caso estático. Consideraron que las deformaciones de los puntos en contacto se dividen en dos términos, uno local y otro global. Los desplazamientos locales de los puntos de contacto con respecto a
un punto situado a una profundidad h se obtienen mediante la formulación derivada por
Weber y Banashek. Esta formulación se particularizó para el caso de la deformación (Ecuación (II.13)) y tensión (Ecuación (II.14)) plana. Las deformaciones globales se obtienen a partir de la superposición de dos modelos de elementos finitos. El objetivo era eliminar la distorsión local debida a la aplicación de una carga puntual. Frente al modelo de Vijayakar, el modelo de Vedmar evita la obtención de la presión actuante en la zona de contacto. Para ello, se sustituye la discretización del área de contacto y la integración de la solución de Bousinesq, por una formulación analítica en forma cerrada derivada de la teoría de Hertz. Este hecho junto con la consideración de masas concentradas, en lugar de distribuidas, simplifica el problema. Sin embargo en este caso se plantea la problemática de que la formulación para la obtención de la deformación local es una función no-lineal. En la Figura II-1 se muestra la descomposición de las deformaciones y los modelos de elementos finitos necesarios para la
obtención de los coeficientes de flexibilidad.
Figura II-1 Descomposición de las deformaciones del modelo de Vedmar [Fernández, 2010]
Andersson y Vedmar [Andersson, 2003] extendieron este método al caso de transmisiones con engranajes cilíndricos de dientes helicoidales. Lundvall, Strömber y Klarbring, [Lundvall, 2004] plantearon un procedimiento similar al descrito por Vedmar [1998, 2003], en cuanto a la consideración de masas concentradas y la utilización de un modelo de elementos finitos para la obtención de los esfuerzos de contacto. Posteriormente, Fernández [2010], apoyándose en un planteamiento similar al de Vedmar, propone un modelo para el cálculo de las fuerzas de contacto en el que se incorpora la posibilidad de contacto en el contra flanco.