Modos directo e inverso y operaciones reversibles

Los procesos en modo directo e inverso de los que hemos hablado son formas de razonamiento que tienen gran semejanza con los procesos directo e inverso constitutivos de la reversibilidad de las operaciones estudiada por Piaget. De hecho son éstos procesos los que están inspirando nuestro estudio y por ello vamos a conceptualizarlo.

Piaget asume la naturaleza de la experiencia lógico-matemática diferenciada de la experiencia física (Piaget 1961). Esta distinción, que es esencial, se encuentra en que en tanto la experiencia física recae sobre los objetos, la experiencia lógico-matemática recae sobre las acciones que el sujeto ejerce sobre los objetos de modo que la adquisición de conocimiento resulta de una abstracción que procede de estas acciones. Se postula que todo aprendizaje posibilita la construcción de esquemas de conocimiento, esquemas que recogen la situación de relación o concatenación de saberes que el sujeto tiene integrados en un momento dado de su desarrollo a los cuales se da el nombre de esquemas de acciones y define como:

“Un conjunto estructurado de caracteres generalizables de esta acción, es decir, los que permiten repetir la misma acción o aplicarla a nuevos contenidos” Piaget (1961: 251).

La experiencia psicológica recae sobre el desarrollo causal o introspectivo de las acciones, en tanto la experiencia lógico-matemática recae sobre los esquemas de las acciones. Estos esquemas de conocimiento están sometidos a continuos cambios a causa de los nuevos conocimientos que el individuo integra, fundamentalmente, a través de la experiencia y suponen desequilibrios y contradicciones que, por otra parte, no son inherentes a la lógica del sujeto.

El objetivo último de esta estructuración es siempre, el logro de un conocimiento en equilibrio, (lo que se consigue mediante los llamados procesos de asimilación y acomodación) componiendo un esquema cíclico en el cual todas sus partes componentes pueden recorrerse en cualquier sentido.

Desde un punto de vista epistémico, en lo que se refiere a constitución de las estructuras cognitivas, la negación juega un papel crucial en la asimilación y acomodación de estructuras (Piaget 1975:16) puesto que la diferenciación de dos estructuras como tales reposa sobre las negaciones, es decir, sobre todo aquello que no

es en una dada estructura S1, y sí es en otra S2, de tal modo que la integración de ambas en una ulterior y total estructura S implica nuevamente a las negaciones.

El ajuste progresivo entre asimilación y acomodación, se puede efectuar de forma espontánea e intuitiva; pero “en la medida en que el sujeto busca una regularidad, es decir, tiende a obtener una estabilidad coherente, se convierte en necesario utilizar las exclusiones de forma sistemática, y sólo asegura el equilibrio una correspondencia exacta de las afirmaciones y negaciones”

“En el dominio lógico-matemático, el equilibrio es máximo, puesto que una verdad adquirida por demostración se conservará indefinidamente: no constituye un punto de parada, puesto que es una estructura acabada puede siempre dar lugar a exigencias de diferenciación en nuevas subestructuras o a integraciones en estructuras más grandes” Piaget (1975: 36).

El aspecto constructivo queda expresado por el funcionamiento de interacciones entre entidades que se pueden esquematizar en la siguiente forma:

 OS | ↓

(Obs. S → Coord. S) ↔ (Obs. O ← Coord. O) |SO↑

donde Obs.S se refiere a los observables relativos a la acción del sujeto, Coord. S son las coordinaciones inferidas de las acciones (u operaciones) del sujeto; Obs. O son los observables relativos a los objetos y Coord. O las coordinaciones inferidas de las relaciones entre objetos y el signo ↔ denota un equilibrio global, durable o momentáneo (Piaget, 1975: 59).

El esquema anterior es momentáneo o relativo a un estado concreto, digamos: n que, con la incorporación de nuevos observables produce un movimiento cíclico entre sus componentes en el orden:

Obs. O → Obs. S → Coord. S → Coord. O → Obs. O → etc.

que los propios mecanismos de equilibración incorporan a un nuevo esquema del tipo anterior pero relativo a un nuevo estado, digamos (n+1), que modifica el anterior incorporándolo.

“Así, pues, llamamos abstracción reflexiva a la reconstrucción de una estructura anterior en un plano superior en el que se integra, posibilitando una regresión sin fin” Piaget (1961: 217.

Esta abstracción reflexiva a partir de las acciones y operaciones, difiere de la abstracción a partir de los objetos percibidos que Piaget (1961: 203) llama “abstracción empírica” en que la primera, es necesariamente constructiva, en tanto que la “abstracción empírica” consiste simplemente en obtener de una clase de objetos sus caracteres comunes (por medio de una combinación de abstracción y generalización). Entre ambas, Piaget encuentra un tercer tipo de abstracción a la que llama abstracción seudo-empírica que surge de las acciones del sujeto sobre los objetos (Piaget 1985: 18- 19). Por ejemplo, la observación de una correspondencia 1-1 entre dos conjuntos de objetos que el sujeto ha colocado alineadamente (Ibíd.: 39). El conocimiento en esta situación puede ser considerado empírico porque ha sido creado con objetos, pero es su configuración en el espacio y las relaciones que la gobiernan las que interesan y, estas son debidas a la acción del sujeto. Comprender que esta es una relación 1-1 entre dos conjuntos es el resultado de construcciones internas hechas por el sujeto.

La abstracción reflexiva permite obtener de un sistema de acciones u operaciones de nivel inferior ciertos caracteres en los que asegura la reflexión (en el sentido casi físico

del término) sobre acciones u operaciones de nivel superior (Piaget 1961: 203). Está constituida por lo que Piaget llama coordinaciones generales de las acciones, su fuente es el sujeto y es completamente interna y producto de la actividad autorreguladora del sujeto. Piaget usa como ejemplo el caso de la multiplicación aritmética a partir de la adición que surge como coordinación de acciones sobre un objeto: la adición que por su parte ya ha constituido su propio esquema de conocimiento en equilibrio momentáneo por efecto de la reversibilidad, de un nivel: n sobre el que la abstracción reflexiva actúa transformándolo en objeto sobre el que ejecuta sus acciones para nuevamente constituir un nuevo esquema que ha de reequilibrarse por acción de la reversibilidad de pensamiento en una espiral sin fin y, retrospectivamente, sin un origen nítido.

Este cambio de naturaleza que supone la transformación de una acción u operación en un objeto de nueva, diferente y más extensa acción, es lo que Piaget (1985: 49) llama encapsulación (Dubinsky 1994:95-123). Ello comporta la formación de “coordinaciones de coordinaciones” y “operaciones de operaciones” debidas a actividades reflexivas llevadas a cabo sobre el esquema.

Más concretamente, el paso entre distintos estados: n, (n+1), (n+2), etc. tiene lugar en el pensamiento matemático mediante abstracciones puramente reflexivas, donde las actividades del sujeto (Obs. S) se confunden cada vez mas con la construcción misma de las nuevas coordinaciones. De modo que el modelo final se reduce a un paso de las coordinaciones de rango n a las de rango n+1 con identidad entre las coordinaciones de objetos y de las acciones u operaciones.

El desequilibrio introducido sobre el esquema de nivel n por una nueva observación (n+1), tiende a equilibrarse de acuerdo con una conducta que, para el caso de las situaciones lógico-matemáticas, consiste en anticipar las variaciones posibles, las cuales pierden, en tanto que previsibles y deducibles, su carácter de perturbaciones y vienen a insertarse entre las transformaciones virtuales del sistema Piaget (1975: 73). Cada transformación puede ser enteramente anulada por su inversa o devuelta

por su recíproca y forman parte de un mismo sistema en el cual todas las transformaciones son solidarias. El sentido de la compensación es el de una simetría inherente a la organización del sistema, y no de una eliminación de perturbaciones. Esta es la caracterización precisa de las estructuras en juego. Su simetría equivale a una compensación completa y su cerramiento elimina también toda contradicción proveniente tanto del interior como del exterior.

Esta necesidad intrínseca sobrepasa el nivel de las simples resultantes entre factores que son opuestos pero a la vez contingentes y recibe el nombre de reversibilidad. Piaget distingue dos tipos de reversibilidad: la reversibilidad empírica (también llamada revertibilidad) y la reversibilidad operacional (reversibilidad). La diferencia entre ambas es que la reversibilidad empírica no es mas que una vuelta al punto de partida, centrada en el resultado de la acción y sin implicar la identidad de los pasos recorridos. Por el contrario la reversibilidad operacional es una vuelta que puede tener lugar en el pensamiento, en la que los pasos son idénticos, siendo la única diferencia sus direcciones opuestas (Vuyk 1984: 245).

Los tipos de sistemas a los que Piaget aplica el modelo de equilibrio son sistemas de acciones que el sujeto lleva a cabo en medio del mundo de objetos y acontecimientos y, por tanto afectan a relaciones de muy diversa naturaleza que generan dos formas de reversibilidad: por inversión y por reciprocidad.

Corresponde a las operaciones de los agrupamientos aditivos de clase la reversibilidad por inversión y consiste en la presencia de una operación que compuesta con otra anula su efecto, es decir, que cada operación junto con su inversa constituyen, en realidad una sola operación de la cuál cada una de ellas es un aspecto de la misma y así la suma (T) y la resta (T-1) son una única operación A en cuanto que a+b = c puesto que c = b-a y sólo por esta razón. De este modo podríamos definir la operación A = (T T-1) como constituyentes de un mismo y único esquema de conocimiento.

La reversibilidad por reciprocidad consiste ya sea en permutar los términos de una relación como A<B, o en invertir la relación < en >. Esta es la reversibilidad propia de los sistemas aditivos de relaciones y tiene lugar de tres formas diferentes R, R’ y R’’ consistentes en:

R (A<B) = B<A R’ (A<B) = A>B

R’’ (A<B) = B>A

En el caso de estructuras de conocimiento mas complejas, como los agrupamientos multiplicativos de clases consistentes en clasificaciones de objetos según dos o más criterios a la vez, o bien clasificaciones de objetos entre los cuales hay dos o varios sistemas de relaciones a la vez, la reversibilidad está caracterizada por ambas formas: inversión y reciprocidad a la vez (Vuik, 1961: 191).

Este procedimiento fundado en el equilibrio como principio fundamental regiría en la construcción del conocimiento con independencia de la edad biológica o desarrollo.