7.1 Números incongruentes
7.1
Números incongruentes
Diremos que varios números forman un sistema de números incongruentes (mód. m), cuando sus
restos respecto de este módulo son todos distintos.
Evidentemente, estos restos son todos menores quem, luego no hay sistema de números incongruentes
que conste de más demnúmeros.
Un sistema demnúmeros incongruentes (mód. m) se llamarásistema completo.
Ejemplo 1.Un sistema completo de números incongruentes (mód. 7) sería el siguiente: 9,15,17,20,21,25,33.
El sistema completo más sencillo de números incongruentes (mód. m)es el 0,1,2,3, . . . ,m−1.
PROPOSICIÓN 1. Si los términos: a1, a2, . . . , de un sistema de números incongruentes (mód. m), se multiplican por un número n, primo con m, y se les suma o resta después un número cualquiera h, los números así obtenidos
a1⋅n±h, a2⋅n±h, . . . .
son incongruentes. Además, si los primeros forman un sistema completo, también lo formarán los segundos.
En efecto: Basta ver que dos cualesquiera de ellos ai⋅n±h y aj⋅n±h
son incongruentes, es decir, que su diferencia(ai−aj)⋅n(siai>aj) no es múltiplo dem. Si tal sucediese,
por sermprimo conn, debería dividir a:ai−aj, es decir sería:a1≡aj(mód.m), contra lo supuesto.
Análogamente: Los números:h−a1⋅n, h−a2⋅n,. . . .,h−am⋅n, (cuando estas sustracciones son
posibles), forman un sistema completo de números incongruentes.
En particular, sipes un número primo
es un sistema completo de números incongruentes(mód. p); luego los productos 0⋅n,1⋅n,2⋅n,3⋅n, ...,(p−1) ⋅n,
tiene la misma propiedad, sines primo conp, es decir, si no esnmúltiplo dep. Prescindiendo del primer
término, los restos de los demás son distintos y menores quep; luego son los números
1,2,3, ...,p−1 (en general en orden distinto). Por consiguiente:
1⋅n⋅2⋅n⋅3⋅n...⋅ (p−1) ≡1⋅2⋅3⋅...⋅ (p−1) (mód. p)
y como los números1,2, 3, ...,p−1son primos conp, se puede dividir por ellos ambos miembros
de la congruencia, resultando que:
Sines un número cualquiera, no divisible por el número primop, entonces se verifica que:
np−1≡1 (mód. p) (Congruencia de Fermat)
Es decir: Sinypson primos entre sí, ypes primo, entonces:
np−1≡1 (mód.p) Ejemplo 2.Comprobar que para todo número natural, n, el número
N=n5−n es divisible por 30.
Tenemos:N=n5−n=n⋅(n4−1) =n⋅(n2−1)⋅(n2+1) = (n−1)⋅n⋅(n+1)⋅(n2+1) Como30=6⋅5,Nserá divisible por30si lo es por6y por5.
1.- Nes divisible por6, ya que:(n−1),n,(n+1)son tres números consecutivos, luego al menos uno de ellos es par, luego múltiplo de2, y otro es múltiplo de3.
2.- Nes divisible por5ya que: a.- Sin=5⋅k, es evidente
b.- Sin≠5⋅k, entoncesn4−1es divisible por5, en virtud de lacongruencia de Fermat. De las consideraciones1.- y 2.- resulta que
N= (n−1)⋅n⋅(n+1)⋅(n2+1) =5n−n es divisible por:6⋅5=30.
Ejemplo 3.Comprobar que para todo número natural, n, y para todo número primo, p, el número N=np−n
es divisible por p.
Tenemos:N=np−n=n⋅(np−1−
1)
Puesto quenypson primos entre sí, aplicando la congruencia de Fermat, resulta que np−1
−1≡0 (mód. p) En consecuencia,N=np−nes divisible porp
Ejemplo 4.Comprobar que A= (274)9−(253)6es divisible por 37. Tenemos que:
A=2736−536 Dado que
m.c.d.(27,37) =1 y m.c.d.(5,37) =1 se tienen las siguientes congruencias de Fermat:
2736≡1 (mód. 37) 536=1 (mód. 37) de donde
2736−536≡0 (mód. 37) En consecuencia,Aes divisible por37.
Ejemplo 5.Comprobar que si a y b son números primos, entonces el número N=ab−1
+ba−1
−1 es divisible por a⋅b.
Por seraybnúmeros primos,Nserá divisible pora⋅bsi lo es porayb, separadamente. Así tenemos:
N=ab−1+
ba−1−
1≡ba−1−
1 (mód. a)
≡1−1 (mód. a), por la congruencia de Fermat
≡0 (mód. a) luego,Nes divisible pora.
Además,
N=ab−1+ ba−1−
1≡ab−1−
1 (mód. b)
≡1−1 (mód. b), por la congruencia de Fermat
≡0 (mód. b) luego,Nes divisible porb.
Ejemplo 6.Comprobar que el número
N=2015−1 es divisible por: 11⋅31⋅61.
Dado que11,31y61no tienen ningún factor común, comprobaremos queNes divisible por cada uno de estos números.
1.- Nes divisible por11, ya que:
2015−1≡915−1 (mód. 11) ≡330−1 (mód. 11) ≡ (35)6−1 (mód. 11) ≡ (243)6−1 (mód. 11) ≡16−1 (mód. 11) ≡0 (mód. 11) 2.- Nes divisible por31, ya que:
2015−1≡ (−11)15−1 (mód. 31) ≡ ((−11)3)5−1 (mód. 31) ≡ (−1331)5−1 (mód. 31) ≡ (−29)5−1 (mód. 31) ≡25−1 (mód. 31) ≡32−1 (mód. 31) ≡0 (mód. 31) 3.- Nes divisible por61, ya que:
2015−1≡ (20+61)15−1 (mód. 61) ≡8115−1 (mód. 61) ≡ (34)15−1 (mód. 61) ≡360−1 (mód. 61) ≡1−1 (mód. 61) (Congruencia de Fermat) ≡0 (mód. 61) Ejemplo 7.Comprobar que para todo número primo, p, el número
N=5p−2⋅3p+1 es divisible por p.
Distinguiremos tres casos:
1.- p=3. Entonces N≡125+1≡126≡0 (mód. 3) luegoNes divisible por el número primo3.
2.- p=5. Entonces N≡ −2⋅35+1≡ −485≡0 (mód. 5) luegoNes divisible por el número primo5.
3.- p≠3 y 5. Entonces, por la congruencia de Fermat resulta: 5p−1≡1 (mód. p) Ô⇒ 5p≡5 (mód. p) 3p−1≡1 (mód. p) Ô⇒ 3p≡3 (mód. p) luego N≡5p−2⋅3p+1 (mód. p) ≡5−2⋅3+1 (mód. p) ≡0 (mód. p) de donde resulta queNes divisible porp.
Dado un númeromes interesante para muchas cuestiones determinar cuantos números hay en la sucesión
1,2,3, ...,m
que son primos conm. Así, llamaremosindicador de mal número de ellos, y lo designaremos con el
símboloϕϕϕ(m).
Concretando:Indicador de un número m es el número de números primos con m, y no superiores a
él. (Convendremos en considerar el número1como primo consigo mismo, de modo que:ϕϕϕ(1) =1).
Por otra parte, podemos generalizar el concepto deindicador, considerando en lugar de la sucesión
1,2,3, ...,m la progresión aritmética
h, h+n,h+2⋅n, ...,h+ (m−1) ⋅n;
siendonun número primo conm, yhun número cualquiera.
Para saber si uno de los términos, de esta progresión, es primo conm, basta sustituirlo por el resto que
da al dividirlo porm. Ahora bien, en virtud de laproposición 1, los restos (mód. m) de los números de
la progresión dada, son precisamente los números
0, 1, 2,3, ...,m−1;
luego en la progresión hay tantos números primos conm, como haya en la
0,1, 2, 3, ...,m−1,m,
es decir,ϕϕϕ(m). Nos permite esto decir que:En una progresión aritmética de m términos, cuya razón
Veamos, ahora, algunas propiedades del indicador de un número:
1.- El indicador de un número primop, esp−1
2.- Si el número dado es una potenciapαααdel número primop, en la sucesión:1, 2,3, ...,pααα, los
únicos números no primos conpαααson los múltiplos dep, es decir:p,2
⋅p, 3⋅p, ...,(pααα−1⋅p);
luego, descontando estospααα−1números, quedan:
pααα −pααα−1=pααα−1⋅ (p−1). Por consiguiente ϕ ϕ ϕ(pααα) =pααα−1⋅ (p−1).
3.- El indicador del producto de varios números primos entre sí dos a dos, es el producto de los
indicadores de éstos. Veámoslo:
Seanmyndos números primos entre sí. La sucesión de los números
1,2,3, ...,m⋅n puede descomponerse como sigue:
1 2 3 ... h ... n n+1 n+2 n+3 ... n+h ... 2⋅n 2⋅n+1 2⋅n+2 2⋅n+3 ... 2⋅n+h ... 3⋅n ... ... (m−1) ⋅n+1 (m−1) ⋅n+2 (m−1) ⋅n+3...(m−1) ⋅n+h... m⋅n
Observemos que, sihes primo conn, todos los números de su columna son también primos con
n; y sihno es primo conn, tampoco lo son los demás números de la misma columna.
En la primera fila, el número de números primos connesϕϕϕ(n); los números de las columnas por
ellos encabezados son, pues, los únicos primos connque hay en todo el cuadro. Por otra parte,
en cada columna hayϕϕϕ(m)que son primos conm; luego en total, hay en el cuadro:ϕϕϕ(n) ⋅ϕϕϕ(m),
números que son primos conmy conn, es decir, primos conm⋅n. Por tanto
ϕϕϕ(m⋅n) =ϕϕϕ(m) ⋅ϕϕϕ(n).
Aplicada esta propiedad reiteradamente, quedará establecida para varios números primos entre sí dos a dos.
4.- Dado un número cualquiera
como los números:aααα, bβββ, cγγγ...```λλλ son primos entre sí dos a dos, en virtud de las propiedades anteriores2.- y3.-, tenemos: ϕ ϕ ϕ(M) =ϕϕϕ(aααα) ⋅ϕϕϕ(bβββ) ⋅ϕϕϕ(cγγγ)...ϕϕϕ(```λλλ) = =aααα−1⋅bβββ−1⋅cγγγ−1...```λλλ−1⋅ (a−1) ⋅ (b−1) ⋅ (c−1)...(```−1). Ejemplo 8.Consideremos el número: 60=22⋅3⋅5.Tenemos
ϕ ϕ
ϕ(60) =ϕϕϕ(22⋅31⋅51) =21⋅(2−1)⋅30⋅(3−1)⋅50(5−1) =2⋅1⋅2⋅4=16
Vamos, ahora, a generalizar lacongruencia de Fermatsuponiendo, en vez del módulo primop, un nú-
mero cualquieram, y tomando con basenun número cualquiera, primo conm.
Consideremos en la sucesión:1,2,3, ...,m, de números incongruentes (mód. m), solamente aque-
llos que sean primos conm, es decir:
a1,a2, ...,aϕϕϕ(m),
su número total, según sabemos es el indicador dem, es decirϕϕϕ(m).
En virtud de laproposición 1, del apartado anterior, los números
a1⋅n,a2⋅n, ...,aϕϕϕ(m)⋅n,
son incongruentes (mód. m); es decir, los restos que dan al dividirlos pormson todos distintos, y además
los términos de la sucesión anterior son primos conm; luego también dichos restos son primos conm.
Dado que los únicos números primos conmy menores quemson los
a1,a2, ...,aϕϕϕ(m), tendremos que los restos de los números
a1⋅n,a2⋅n, ...,aϕϕϕ(m)⋅n
respecto del módulom, son precisamente los anteriores, en general en otro orden.
Por tanto, el producto:a1⋅a2⋅ ...aϕϕϕ(m), es congruente con el productoa1⋅n⋅a2⋅n⋅ ...aϕϕϕ(m)⋅n, es decir:
a1⋅n⋅a2⋅n⋅ ...aϕϕϕ(m)⋅n≡a1⋅a2⋅ ...aϕϕϕ(m) (mód. m)
y como:a1,a2, ...,aϕϕϕ(m)son primos conm, podemos dividir por ellos, resultando:nϕϕϕ(m) . Pode- mos, por tanto, enunciar que:
Simynson dos números cualesquiera, primos entre sí, se verifica:
nϕϕϕ(m)
¡¡Atención!! Observemos que, si mes primo, entoncesϕϕϕ(m) =m−1, resultando la congruencia de
Fermatun caso particular de lacongruencia de Euler.
Ejemplo 9.Consideremos el númerom=8(no primo), y el númeron=3(primo conm=8). Consideremos, así mismo, en la sucesión
1,2,3,4,5,6,7,
de números incongruentes (mód. 8), solamente aquellos que son primos con8, es decir, los siguientes: 1,3,5,7.
Observemos que:ϕϕϕ(8) =ϕϕϕ(23) =22⋅(2−1) =4⋅1=4 (indicador de8) La congruencia de Euler nos dice:
nϕϕϕ(m)
≡1 (mód. m) Ô⇒ 34≡1 (mód. 8) Efectivamente:
81≡1 (mód. 8)
Diremos que dos númerosaybsonasociados (mód. m)cuando su producto da resto uno al dividirlo
porm, es decir si
a⋅b≡1 (mód. m)
Según sabemos:c≡d (mód. m) Ô⇒ m.c.d.(c, m) =m.c.d.(d, m), luego como en la congruen-
cia anterior, el segundo miembro de la misma es primo conm, también deben serlo los númerosayb
conm.
¡¡Atención!! Observemos que los números no primos con el módulo carecen de asociado.
Ejemplo 10.Los números3y12son asociados(mód. 7)puesto que 3⋅12≡1 (mód. 7) Sin embargo, el número14, no primo con el7carece de asociados pues
14⋅a/≡1 (mód. 7) cualquiera que seaa.
PROPOSICIÓN 2. Todo número, a, primo con el módulo admite un sólo asociado menor que el módulo.
En efecto: Dado el módulomconsideremos el sistema completo de números incongruentes(mód. m): 0,1,2,3, ...,m−1
Como, por hipótesis,aes primo conm, los números
0,a,2⋅a,3⋅a, ...,(m−1)⋅a
también forman un sistema completo de números incongruentes (mód. m); luego en este último sistema sólo hay un término:a′⋅
a, que da resto1, al dividirlo porm, es decir: a′
⋅a≡1 (mód. m) Siaes primo conm, acabamos de ver que sólo existe un asociadoa′
deamenor quem. Sin embargo hay infinitos asociados mayores que el módulo, ya que sibes congruente cona′
, respecto del módulom, se tiene
b≡a′
(mód. m) y multiplicando los dos miembros de esta congruencia poraresulta
b⋅a≡a′
⋅a≡1 (mód. m).
En consecuencia, cualquier númerobcongruente cona′
(mód. m) es asociado cona.
PROPOSICIÓN 3. Los únicos números menores que p asociados de sí mismos, respecto del módulo primo p son: 1 y p−1.
En efecto: Siaes asociado de sí mismo se tiene que verificar: a2≡1 (mód. m) es decir
a2−1= (a+1)⋅(a−1) =˙p que se cumple únicamente para:a=1 ó a=p−1. Si multiplicamos, ahora, cada uno de los números
2, 3, ...,p−3,p−2
por su asociado menor que p, cada uno de los productos obtenidos es congruente con 1 (mód. p).
Multiplicando todas estas congruencias, y puesto que en el primer miembro figura uno de los números
2, 3, ...,p−3,p−2 sólo una vez, obtenemos
2⋅3⋅ ...⋅ (p−3) ⋅ (p−2) ≡1 (mód. p)
bastando, entonces, con sumar1a los dos miembros para obtener:
Recíprocamente, si un númeropsatisface a esa congruencia, entonces es primo, puesto que todo divisor
suyo, por figurar como factor en(p−1)!, y dividir a la suma, debería dividir al sumando1.
Concretando:Una condición necesaria y suficiente para que un número p sea primo es que satisfaga
a la condición
(p−1)!+1=˙p
Ejemplo 11.Comprobar que si x y p son números naturales, siendo p primo, se verifica: (x+1)⋅(x+2)⋅(x+3)...(x+p−1) ≡xp−1−
1 (mód. p) Bastará probar que:
(x+1)⋅(x+2)⋅(x+3)...(x+p−1)−xp−1
+1=˙p Supongamos quexno sea múltiplo dep, y agrupemos el primer miembro en la forma:
[(x+1)⋅(x+2)⋅(x+3)...(x+p−1)]−(xp−1
−1)
Necesariamente uno de los factores del primer término es múltiplo dep. En cuanto el segundo término es múltiplo dep, por lacongruencia de Fermat.
Supongamos, ahora, quex=˙p, y agrupemos el primer miembro en la forma:
[(x+1)⋅(x+2)...(x+p−1)+1]−xn−1 .
El primer término es múltiplo dep, por lacongruencia de Wilson, y el segundo término por serlox. Ejemplo 12.Comprobar que se verifica que:
138!+197138=139˙ El número139es primo; luego según lacongruencia de Wilson
138!+1=139˙ y según lacongruencia de Fermat
197139−1
−1=139˙ Sumando estas dos igualdades tendremos
Ejemplo 13.Comprobar que el número N=138!+197138 es divisible por 139. Tenemos 138!+1≡0 (mód. 139) , (congruencia de Wilson) 197138−1≡0 (mód. 139) , (congruencia de Fermat) de donde resulta 138!+197138≡0 (mód. 139) En consecuencia,Nes divisible por139.
Ejemplo 14.Comprobar que para todo número natural, n, el número N=n7−n
es divisible por 42.
Dado que:42=2⋅3⋅7, y que:
N=n7−n=n⋅(n6−1) =n⋅(n3−1)⋅(n3+1) = =n⋅(n−1)⋅(n2+n+1)⋅(n+1)⋅(n2−n+1) tenemos que:
1.- Nes divisible por2, ya que:nón−1es par.
2.- Nes divisible por3, ya que:n−1,n,n+1contiene un múltiplo de3.
3.- Nes divisible por7, ya que:n6−1, es múltiplo de7, por la congruencia de Fermat. En consecuencia,Nes divisible por:2⋅3⋅7=42.
Dados dos números naturales m y n, diremos que son números amigos si la suma de los divisores
propios demes igual an, y la suma de los divisores propios denes igual am.
Ejemplo 15.Sim=220yn=284, tendremos que: Los divisores dem=220son:
{1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110} cuya suma es:
1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284=n Además, los divisores den=284son:
{1,2,4,71,142} cuya suma es:
1+2+4+71+142=220=m En consecuencia podemos afirmar que220y284sonnúmeros amigos.
Ejemplo 16.Como en el ejemplo anterior se comprueba que los números:1184y1210son números amigos. El procedimiento siguiente nos proporciona parejas de números amigos:
Sin>1es un entero tal que:
p=3⋅2n−1−1 , q=3⋅2n−1 , r=9⋅22⋅n−1−1 son números primos, entonces
2n⋅p⋅q y 2n⋅r son números amigos.
Ejemplo 17.Sin=2, se verifica: p=3⋅22−1
−1=5 , q=3⋅22−1=11 , r=9⋅22⋅2−1
−1=71 que son primos, luego:
22⋅5⋅11=220 y 22⋅71=284 son números amigos.
El procedimiento anterior no proporciona todas las parejas de números amigos, pues, por ejemplo, la pareja de números amigos
1184 y 1210 no se obtienen de esta manera.
Llamaremosnúmero perfectoa todo número entero positivomtal que la pareja(m,m)es de números
amigos, es decir,mes la suma de sus divisores primos.
Ejemplo 18.El númerom=28es un número perfecto, puesto que sus divisores son:
{1,2,4,7,14} y se verifica que
1+2+4+7+14=28
El procedimiento siguiente nos proporciona número prefectos
Si2n−1 es primo, entonces: 2n−1⋅ (2n−1) es perfecto.
No está demostrado que todos los números perfectos se obtienen de esta manera, pero si se ha comproba- do que los únicos números perfectos conocidos son todos de esta forma. En particular, no se sabe todavía si existen números perfectos impares.