Juan Ángel Díaz Hernando Doctor Ingeniero Industrial Licenciado en Ciencias Matemáticas
Profesor Titular de la Universidad Politécnica de Madrid
M
ISCELÁNEA DE
C
ÁLCULO
D
IFERENCIAL
E
I
NTEGRAL
Tomo I
Datos de catalogación bibliográfica. '
&
$
% JUAN ÁNGEL DÍAZ HERNANDO.
Miscelánea de Cálculo Diferencial e Integral . Tomo I. Análisis Algebraico
©JUAN ÁNGEL DÍAZ HERNANDO, Madrid 2017
Formato 176 x 250 mm Páginas: 645
Todos los derechos reservados.
Queda prohibida, salvo excepción prevista por la ley, cualquier forma de reproducción, distribución,
co-municación pública y transformación de esta obra sin contar con autorización del titular de la propiedad
intelectual. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la
propie-dad intelectual (arts. 270 y sgts. Código Penal)
DERECHOS RESERVADOS
©2017 por Juan Ángel Díaz Hernando
Presentación: M-008291/2017
R.P.I. 16/2018/2310 del 9 de Abril de 2018
(España)
Editor: Juan Ángel Díaz Hernando
Técnico editorial: E.B.M.
Anda plácidamente entre el ruido y la prisa,
y recuerda que paz puede haber en el silencio.
Evita a las personas ruidosas y agresivas,
pues son vejatorias para el espíritu.
Prólogo
Con este libro abro una nuevamiscelánea, la del Cálculo Diferencial e Integral, y lo hago rompiendo una
lanza en favor de la Aritmética, cuyo conocimiento debiera ser obligatorio para todo aquél que quiera
moverse en el mundo de las matemáticas; por supuesto el aspirante a universitario debe manejarla con
soltura.
Quiero encuadrar, los libros que seguirán a éste, en el ámbito de aquellas publicaciones en las que me
entretuve allá por los años ochenta. Mi justificación se apoya en que no es lo mismo explicar algo a
un estudiante, cual es mi posición, que facilitar el resultado de una investigación a un especialista en la
materia; cada una tiene su propio lenguaje, lo que no significa que el primero tenga que ser incorrecto,
sino simplemente pedagógico. En relación con el saber son importantes el conocimiento y la enseñanza;
si no se sabe, nada se puede transmitir, y si se sabe mucho pero no se transmite, ¿dónde está el maestro?.
Después de practicar con elprincipio de inducción completay de lossistemas de numeración, trataré
de ladivisibilidady de losnúmeros primos, así como losm.c.d.ym.c.m., estudiando, también la
con-gruencia. Seguirán loslogaritmos, que se manejan más adelante, y en particular lacombinatoria, de
aplicación inmediata alcálculo de probabilidades, que sigue. Una curiosidad la constituyen los
cuadra-dos mágicosy lostriángulos pitagóricos, de los que damos unas ideas; un tratamiento muy completo de los mismos se puede ver en los libros de Fourrey y de Descombres que figuran en la Bibliografía.
Al estudio de lassucesiones de números realesy la determinación de sus correspondientes límites,
de-dico todo un capítulo.
A continuación trato, casi en forma exhaustiva,las progresiones, tanto lasaritméticascomo las
geo-métricas, y en el capítulo siguiente lasseries numéricas, para continuar con el dedicado a lasseries potenciales.
En el penúltimo capítulo doy, a modo de pincelada, unas nociones acerca de un tema tan importante
como es el de lasseries de Fourier, con la idea de completarlo en elTomo II, que seguirá a éste.
En el último capítulo sobrevuelo dos temas muy relacionados entre sí, que aunque se apartan un poco
de la línea que estamos siguiendo, pues están más en la llamadaprogramación, tienen un atractivo
es-pecial: Dan solución a un problema clásico, como es el de lasTorres de Hanoi, para los que hablamos
antes deárbolesyrecursividad.
Una buena política ante cualquier decisión a tomar, nos la sugiere el siguiente pensamiento, no se de
quién pero muy realista:Dame, ¡Oh Señor!, serenidad para aceptar las cosas inevitables que no
pue-do cambiar; valentía para emprender aquellas que puepue-do y debo cambiar; pero sobre topue-do, dame, ¡Oh
Señor!, sabiduría para distinguirlas.
Siempre en mi memoria mis amigos, mi esposa y mis padres, mis hijos y mis queridos nietos: Lucía,
Diego y Mario.
CAPÍTULO I
Generalidades
... 1Lección 1 PRINCIPIO DE INDUCCIÓN COMPLETA 1.1 Principio de inducción completa... 3
Lección 2 SISTEMAS DE NUMERACIÓN 2.1 Sistemas de numeración... 15
Lección 3 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Y PARTICULARIDADES CURIOSAS DE LOS NÚMEROS 3.1 Criterios de divisibilidad y particularidades curiosas de los números.... 21
Lección 4 NÚMEROS PRIMOS 4.1 Números primos... 39
Lección 5 MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 5.1 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo... 53
Lección 6 NÚMEROS CONGRUENTES 6.1 Números congruentes... 69
Lección 7 NÚMEROS INCONGRUENTES 7.1 Números incongruentes... 79
Lección 8 RESTOS POTENCIALES 8.1 Restos potenciales... 91
Lección 9 LOGARITMOS 9.1 Logaritmos... 103
Lección 10 DESIGUALDADES 10.1 Desigualdad de Cauchy... 111
10.2 Desigualdad de Bernouilli... 112
10.3 Desigualdad de Cauchy-Buniakovski... 113
10.4 Ejemplos... 114
Lección 12 COMBINATORIA
12.1 Combinatoria... 129
Lección 13 NÚMEROS COMBINATORIOS 13.1 Números combinatorios... 139
Lección 14 CÁLCULO DE PROBABILIDADES 14.1 Cálculo de probabilidades... 149
Lección 15 PROBABILIDAD TOTAL Y PROBABILIDAD COMPUESTA 15.1 Probabilidad total y probabilidad compuesta... 159
Lección 16 FÓRMULA DE BAYES 16.1 Fórmula de Bayes... 171
Lección 17 RAÍCES ENTERAS Y FRACCIONES DE UNA ECUACIÓN 17.1 Raíces enteras y fracciones de una ecuación... 179
Lección 18 CUADRADOS MÁGICOS Y TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS 18.1 Cuadrados mágicos... 187
18.2 Cuadrados anti-mágicos... 199
18.3 Cuadrados sorprendentes... 202
18.4 Triángulos pitagóricos... 205
CAPÍTULO II
Sucesiones de números reales
... 207Lección 19 SUCESIONES DE NÚMEROS REALES 19.1 Sucesiones de números reales... 209
Lección 20 LÍMITE DE UNA SUCESIÓN DE NÚMEROS REALES 20.1 Límite a una sucesión de números reales... 217
Lección 21 CRITERIO GENERAL DE CONVERGENCIA Y CÁLCULO DE LÍMITES 21.1 Criterio general de convergencia y cálculo de límites... 227
Lección 22 LÍMITES DE EXPRESIONES RACIONALES E IRRACIONALES, EL NÚMERO
e
22.1 Límite de expresiones racionales e irracionales... 23922.2 El número
e
... 245Lección 23 INFINITÉSIMOS E INFINITOS. PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN 23.1 Infinitésimos e infinitos... 249
Lección 24 LÍMITES DE LA FORMA 1ααα,
∞ ∞ ∞0 y 00
24.1 Límites de la forma 1ααα... 265
24.2 Límites de la forma ∞∞∞0 y 00... 268
Lección 25 CRITERIOS DE STOLZ-CESAREO Y DE LAS MEDIAS ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA 25.1 Criterio de Stolz-Cesareo... 273
25.2 Criterio de la media aritmética... 279
25.3 Criterio de la media geométrica... 279
25.4 Criterio de la razón y de la raíz... 280
CAPÍTULO III
Progresiones y sucesiones recurrentes
... 287Lección 26 PROGRESIONES ARITMÉTICAS 26.1 Progresiones aritméticas... 289
Lección 27 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 27.1 Progresiones geométricas... 299
Lección 28 PROGRESIONES ARITMÉTICAS DE ORDEN SUPERIOR 28.1 Progresiones aritméticas de orden superior... 313
Lección 29 PROGRESIONES ARITMÉTICO-GEOMÉTRICAS 29.1 Progresiones aritmético-geométricas... 337
Lección 30 PROGRESIONES HIPERGEOMÉTRICAS 30.1 Progresiones hipergeométricas... 343
Lección 31 SUCESIONES RECURRENTES 31.1 Sucesiones recurrentes... 347
CAPÍTULO IV
Series numéricas
... 367Lección 32 SERIES NUMÉRICAS 32.1 Series numéricas... 369
Lección 33 SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 33.1 Serie de términos positivos... 381
33.2 Criterio de Rieman-Pringsheim... 388
33.3 Criterio de D’Alembert... 390
33.5 Criterio de Raabe-Duhamel... 398
33.6 Criterio de Logarítmico... 401
33.7 Criterios de Kummer y de Gauss... 403
33.8 Cuadro Resumen... 408
Lección 34 SERIES ALTERNADAS 34.1 Series alternadas... 409
Lección 35 SERIES DE TÉRMINOS CUALESQUIERA 35.1 Series de términos cualesquiera... 415
Lección 36 OPERACIONES CON SERIES 36.1 Operaciones con series... 425
Lección 37 SUMACIÓN DE SERIES (I) Sumación de series... 431
37.1 Series geométricas... 432
37.2 Series aritmético-geométricas... 433
37.3 Series hipergeométricas... 436
Lección 38 SUMACIÓN DE SERIES (II) 38.1 Series sumables por descomposición... 447
38.2 Series de término general x= 1 (b+p⋅n)! ... 457
Lección 39 SUMACIÓN DE SERIES (III) 39.1 Series trigonométricas... 465
39.2 Series formadas por los términos de la armónica (SERIES DE EULER)... 469
39.3 Series no encuadradas entre las anteriores (Ejemplos)... 474
Lección 40 SUMACIÓN APROXIMADA DE SERIES 40.1 Series de términos positivos... 479
40.2 Series alternadas... 486
40.3 Cálculo aproximada de raíces... 489
CAPÍTULO V
Series potenciales
... 493Lección 41 SERIES POTENCIALES. RADIO DE CONVERGENCIA 41.1 Series potenciales... 495
Lección 42 CONVERGENCIA UNIFORME
42.1 Convergencia uniforme... 507
42.2 Continuidad de las series convergentes... 509
42.3 Derivadas e integrales de las series potenciales... 514
Lección 43 DESARROLLOS EN SERIE DE POTENCIAS
43.1 Desarrollo en serie de potencias... 517
Lección 44 SUMACIÓN DE SERIES DEL TIPO
∞ ∞ ∞ ∑ n=0
P(n) ⋅an⋅xn
44.1 Sumación de series del tipo
∞ ∞ ∞ ∑ n=0
P(n) ⋅an⋅xn... 525
Lección 45 PRODUCTOS INFINITOS
45.1 Productos infinitos... 529
CAPÍTULO VI
Series de Fourier
... 535Lección 46 SERIES DE FOURIER
46.1 Series de Fourier... 537
Lección 47 FUNCIONES PARES E IMPARES
47.1 Funciones pares e impares... 545
CAPÍTULO VII
Fracciones Continuas
... 549Lección 48 FRACCIONES CONTINUAS
48.1 Fracciones continuas... 551
Lección 49 DESARROLLOS EN FRACCIÓN CONTINUA
49.1 Desarrollo de los números racionales... 563
49.2 Irracionales cuadráticos... 567
Lección 50 ALGORITMO DE LOS CUMULANTES
50.1 Algoritmo de los cumulantes... 593
CAPÍTULO VIII
Lección 51 ÁRBOLES
51.1 Definiciones... 605
51.2 Creación, inversión y borrado... 607
Lección 52 RECURSIVIDAD
52.1 Recursividad... 617
52.2 Ejemplos... 618
52.3 Las torres de Hanoi... 619
52.4 Identificar la bola... 623
ALFABETO GRIEGO ... 629
CAPÍTULO I
Lección 1.- EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN COMPLETA
1.1 El principio de inducción completa
1.1
El principio de inducción completa
Un método de demostración, de gran interés en matemáticas, es el llamado principio de inducción
completa, cuyo enunciado es el siguiente:
Si una proposición, en la cual se presenta un número natural n, indeterminado, cumple las dos condiciones siguientes:
a.- la proposición es cierta para n=0.
b.- de la hipótesis de ser cierta para el número n se deduce que la proposición es cierta para el número n+1,
entonces la proposición es cierta para todos los números naturales.
Es frecuente usar los términos siguientes: La proposición para n=0 es la base de la inducción; la
hipótesis de que la proposición es cierta para el númeronse llamahipótesis de inducción, y por último,
se dice que la inducción se hace respecto del númeron.
Ejemplo 1.Establecer la fórmula
0+1+2+3+. . . .+n= n⋅(n+1) 2
a.- La fórmula es cierta paran=0, pues
0= 0⋅(0+1) 2
b.- Supongamos la fórmula cierta para el númeron, y probémosla paran+1: Sumandon+1a los dos miembros de la igualdad dada se tiene
0+1+2+3+. . . .+n+(n+1) = n⋅(n+1)
2 +(n+1) = (n+1)⋅( n
2 +1) = (
n+1)⋅(n+2) 2
lo que nos prueba la fórmula paran+1.
En virtud del principio de inducción completa queda demostrada la fórmula dada, para todos los números naturales.
Ejemplo 2.Establecer la fórmula 1 1⋅2+
1
2⋅3 +. . . .+ 1
(n−1)⋅n =1− 1 n
a.- La fórmula es cierta paran=2, pues
1 1⋅2 =1−
1 2 =
1 2
b.- Supongamos la formula cierta para el númeron, y probémosla paran+1:
Sumando 1
n⋅(n+1) a los dos miembros de la igualdad dada se tiene 1
1⋅2 + 1
2⋅3 +. . . .+ 1 (n−1)⋅n +
1
n⋅(n+1)=1− 1 n +
1 n⋅(n+1) =
= (1− 1 n)+(
1 n −
1
n+1) =1− 1 n+1
que nos prueba la fórmula paran+1. Así, la fórmula es cierta para todos los números naturales a partir del2. La necesidad simultánea de las condicionesa.-yb.-, para establecer la conclusión del principio de inducción completa queda justificada por los dos ejemplos siguientes.
Ejemplo 3.Aunque una igualdad tal como la
n3+2⋅n=3⋅n2
se verifique paran=0, n=1 y n=2, puede no verificarse para ningún otron; en consecuencia, en la aplicación del principio de inducción completa, la condiciónb.-es esencial.
El ejemplo se ha construido teniendo en cuenta que
n⋅(n−1)⋅(n−2) =n3−3⋅n2+2⋅n.
En la misma forma la igualdad
(n−1)⋅(n−2)⋅(n−3). . . .(n−500) =0
se verifica para los quinientos números1,2, . . . .. . . , 500, y no por eso será cierta, en general, para cualquier valor den.
Ejemplo 4.La fórmula, falsa,
n=n+8,
cumple, evidentemente la condiciónb.-, pero en cambio no cumple la condicióna.-, ni paran=0, ni para cualquier otro valor den.
Intuitivamente elprincipiopodría plantearse en la forma siguiente: Supongamos que tenemos fichas de
dominó colocadas en fila, empezando por una determinada a la que siguen una infinidad de ellas. ¿Cómo
El principio dice que, para ello, bastará comprobar:
a.- Que la primera ficha cae al ser golpeada.
b.- Que las fichas están situadas de manera que si una cualquiera de ellas cae, automáticamente golpea
y hace caer a la siguiente.
Entonces, aunque la fila se extienda indefinidamente, afirmamos que todas las fichas caerán, en virtud
del principio de inducción completa
Una segunda forma del principio de inducción completa es la siguiente:
Si una proposición, en la cual se presenta un número natural n, indeterminado, cumple las dos condiciones:
a.- la proposición es cierta para n=0.
b.- de la hipótesis de ser cierta para el número n y todos los números naturales menores que n se deduce que la proposición es cierta para el número n+1 entonces la proposición es cierta para todos los números naturales.
Observemos que la diferencia entre este enunciado del principio de inducción completa, respecto del
primero, es que en la condiciónb.-se exige que la proposición sea cierta no sólo para el númeron, sino
para todos los números naturales menores quen.
Ejemplo 5.Sea una sucesión de números naturales
a1,a2,a3, . . . ,an, . . . .
en la que
a=1 , a2=22 , a3=32
y cada uno de los términos siguientes se obtiene a partir de los tres anteriores por la relación an=3⋅an−1−3⋅an−2+an−3.
Se trata de probar que:an=n2.
La proposición es cierta paran=4, puesto que
Supongamos que sea cierta para los números menores quen: entonces se tiene an−1= (n−1)
2
, an−2= (n−2)
2
, an−3= (n−3)2
de donde se deduce que
3⋅(n−1)2−3⋅(n−2)2+(n−3)2=3⋅n2−6⋅n+3−3⋅n2+12⋅n−12+n2−6⋅n+9=n2
lo que nos dice que
an=n2
como queríamos demostrar.
Veamos, ahora, unos cuantos ejemplos más, de aplicación del principio de inducción completa.
Empece-mos con unos del tipo aritmético:
Ejemplo 6.Determinar ansabiendo que a1=1, y que para todo número natural k>1 se verifica ak=ak−1+3.
En este caso no conocemos la hipótesis de inducción, que debemos establecer. Observando que:
a1=1=3⋅1−2
a2=1+3=4=3⋅2−2
a3=4+3=7=3⋅3−2
a4=7+3=10=3⋅4−2
se nos ocurre que puede verificarse
an=3⋅n−2
que es la proposición a comprobar. La fórmula es cierta paran=1, puesto que
a1=3⋅1−2=1
Supongámosla cierta paran, y comprobémosla paran+1:
an+1=an+3=3⋅n−2+3=3⋅(n+1)−2
Queda así probada la fórmula :an=3⋅n−2. Ejemplo 7.Establecer la formula siguiente:
12+22+32+42+. . . .+n2= n⋅(n+1)⋅(2⋅n+1) 6
a.- La fórmula es cierta paran=1, pues
1⋅(1+1)⋅(2⋅1+1) 6 =1=1
b.- Supongamos la fórmula cierta para el númeron, y probémosla paran+1: Sumando(n+1)2a los dos miembros de la igualdad dada se tiene
12+22+32+42+. . . .+n2+(n+1)2= n⋅(n+1)⋅(2⋅n+1)
6 +(n+1)
2=
=n⋅(n+1)⋅(2⋅n6+1)+6⋅(n+1)2 =
= (n+1)⋅(n⋅(2⋅n6+1)+6⋅(n+1)) =
= (n+1)⋅(2⋅n2+7⋅n+6) 6=
= (n+1)⋅(n+2)⋅(2⋅n+3)
6 =
= (n+1)⋅[(n+1)+1]⋅[2⋅(n+1)+1] 6
lo que nos prueba la fórmula paran+1.
En consecuencia, la fórmula dada es cierta para todos los números naturales a partir de1. Ejemplo 8.Establecer la fórmula siguiente:
13+23+33+43+. . . .+n3= (n⋅(n+1)
2 )
2
a.- La fórmula es cierta paran=1, pues
( 1⋅(12+1) ) 2
=1=13
b.- Supongamos la fórmula cierta para el númeron, y probemosla paran+1: Sumando(n+1)3en los dos miembros de la igualdad dada se tiene,
13+23+33+43+ . . . .+n3+(n+1)3= (n⋅(n+1)
2 )
2
+(n+1)3=
= n2⋅(n+1)24+4⋅(n+1)3 = (n+1) 2⋅[
n2+4⋅(n+1)]
4 =
= (n+1)2⋅(n2+4⋅n+4)
4 = (
n+1)2⋅(n+2)2
4 =
= (n+1)⋅[(n4+1)+1]2 = ( (n+1)⋅[(2n+1)+1] ) 2
lo que nos prueba la formula paran+1.
En consecuencia, la fórmula dada es cierta para todos los números naturales a partir del1.
Ejemplo 9.Comprobar que la suma de los cubos de tres números naturales consecutivos es divisible por 9. a.- La proposición es cierta si el primero de los tres números naturales es eln=1, pues
13+23+33=36,
b.- Supongamos que la proposición es cierta para el númeron, y probémosla para eln+1. Así, supondremos que el número
n3+(n+1)3+(n+2)3
es divisible por9. La suma
(n+1)3+(n+2)3+(n+3)3= (n+1)3+(n+2)3+(n3+9⋅n2+27⋅n+27) = = [n3+(n+1)3+(n+2)3]+9⋅(n2+3⋅n+3)
es entonces divisible por 9, puesto que lo son cada uno de los dos sumandos que figuran en el último miembro, lo que nos prueba la posposición paran+1.
En consecuencia, la proposición que nos interesa es cierta para todos los números naturales a partir del1.
Veamos, ahora, como el principio de inducción completa se aplica para establecer igualdades
trigono-métricas.
Ejemplo 10.Establecer la identidad siguiente
cosααα⋅cos 2ααα⋅cos 22ααα⋅. . . cos 2nααα= sen 2 n+1
α α α
2n+1⋅senααα ,
a.- La igualdad es cierta paran=0, pues
cosααα= sen 2ααα
2⋅senααα
b.- Supongamos que la igualdad es cierta para el númeron, y probémosla para eln+1. Multiplicando los dos miembros de la igualdad porcos 2n+1
α αα, se tiene cosααα⋅cos 2ααα⋅cos 22ααα⋅ . . . .cos 2nααα⋅cos 2n+1
α α α= sen 2
n+1
α α α
2n+1⋅senααα ⋅cos 2
n+1
α α α=
= sen 2n+1ααα⋅cos 2n+1ααα
2n+1⋅sen
α α
α =
1
2 ⋅sen(2⋅2 n+1
α α α)
2n+1⋅sen
α α
α =
sen 2(n+1)+1 α α α
2(n+1)+1⋅senααα
lo que nos prueba la igualdad paran+1.
En consecuencia, la igualdad dada es cierta para todos los números naturales.
También se puede utilizar el principio de inducción completa para establecer desigualdades.
Ejemplo 11.Comprobar que para todo número natural n>1, se verifica la desigualdad siguiente: 1
n+1 + 1
n+2 +. . . .+ 1 2⋅n >
13 24 .
a.- La desigualdad es cierta paran=2, pues 1 2+1 +
1 2+2 =
b.- Supongamos la desigualdad cierta para el númeron, y probemosla para eln+1. Si llamamosSnal primer miembro de la desigualdad, eso significa que, de ser cierto que
Sn> 13 24
debe deducirse que también
Sn+1>
13 24 . Como
Sn= 1 n+1 +
1
n+2 +. . . .+ 1 2⋅n y
Sn+1=
1 n+2 +
1
n+3 +. . . .+ 1 2⋅n +
1 2⋅n+1 +
1 2⋅n+2 si restamos de la segunda igualdad la primera se tiene
Sn+1−Sn=
1 2⋅n+1 +
1 2⋅n+2 −
1 n+1 =
2⋅n+2+2⋅n+1−2⋅(2⋅n+1) 2⋅(2⋅n+1)⋅(n+1) =
= (2⋅n+1)⋅(1 2⋅n+2) >0
LuegoSn+1>
13
24 , lo que nos prueba la desigualdad paran+1, y en definitiva para todo número natural n>1.
Veamos, por último, unos ejemplos muy ilustrativos en lo que se refiere al principio de inducción
com-pleta.
Ejemplo 12.Establecer la desigualdad siguiente:
2n>2⋅n+1.
a.- La fórmula no es cierta ni paran=1, ni paran=2. Sin embargo, si es cierta paran=3. b.- Supuesta cierta para el númeronprobémosla para eln+1.
Como para todok⩾1se verifica:2k⩾2, sumemos a la desigualdad que suponemos cierta, esta última para k=n:
2n>2⋅n+1
2n⩾2,
de donde resulta
2n+2n>2⋅n+1+2
es decir
2n+1
>2⋅(n+1)+1
lo que nos prueba la desigualdad que nos interesa paran+1.
Ejemplo 13.Establecer la desigualdad siguiente: 2n>n2
a.- La desigualdad es cierta paran=1, sin embargo no es cierta paran=2,3,4. Vuelve a ser cierta paran=5. b.- Supongamos, ahora, que es cierta para el númeron, y veamos bajo que condiciones es cierta para eln+1. En
el ejemplo anterior establecimos la desigualdad
(∀∀∀n⩾3) 2n>2⋅n+1.
Sumemos ésta a la que suponemos cierta
2n>n2,
de donde resultará
(∀∀∀n⩾3) 2n+2n>2⋅n+1+n2
es decir
(∀∀∀n⩾3) 2n+1
> (n+1)2
lo que nos prueba la desigualdad que nos interesaba, paran+1, siempre quen⩾3.
Como ena.- se estableció que la desigualdad era cierta paran=1, pero no lo era paran=2,3,4, y volverá a serlo paran=5, resultará que el principio de inducción completa nos garantiza la desigualdad en cuestión para valores mayores o iguales que
máx(5,3) =5,
es decir, paran⩾5. Además, por la comprobación directa efectuada, podemos afirmar que también se verifica para n=1.
(El símbolo∀∀∀debe leerse“para todo”).
Ejemplo 14.Comprobar que para todo número natural n (n⩾2) se cumple la igualdad
1⋅2+2⋅3+ . . . .+(n−1)⋅n= n⋅(n
2−
1) 3
Designemos el primer miembro de la igualdad conSn. a.- Paran=2, se tiene
S2=1⋅2=
2⋅(22−1) 3 =2 es decir la igualdad se verifica paran=2
b.- Supongamos, ahora, que la igualdad dada se cumple paran=k, es decir que Sk=
k⋅(k2−1)
3 ,
Debemos establecer que
Sk+1= (
k+1)⋅((k+1)2−1)
3 = (
Sabemos que
Sk+1=Sk+k⋅(k+1).
Así,
Sk+1=
k⋅(k2−1)
3 +k⋅(k+1) = k+1
3 ⋅[k⋅(k−1)+3⋅k] = (
k+1)⋅(k2+2⋅k) 3
como queríamos establecer, lo que nos prueba que se cumple la igualdad para todo número natural,n⩾2.
Ejemplo 15.Comprobar que para todo número natural n la suma de los cubos de n números impares es igual a: n2⋅(2⋅n2−1).
Se trata de comprobar la igualdad:
13+33+53+. . . .+(2⋅n−1)3=n2⋅(2⋅n2−1) , (n⩾1) Si denotamos porSnla suma buscada, entonces debe ser
Sn=n2⋅(2⋅n2−1).
a.- Sin=1, tendremos:
S1=13=1 , y S1=12⋅(2⋅12−1) =1,
es decir la igualdad es cierta paran=1.
b.- Supongamos que la igualdad se cumple paran=k, es decir que se verifica Sk=k2⋅(2⋅k2−1)
y veamos que se verifica paran=k+1, es decir establezcamos que Sk+1= (k+1)
2⋅(
2⋅(k+1)2−1) =2⋅k4+8⋅k3+11⋅k2+6⋅k+1.
De la definición de la sumaSndeducimos que
Sk+1=Sk+(2⋅(k+1)−1)
3
=Sk+(2⋅k+1)3
Utilizando la hipótesis de inducción aquí, obtenemos Sk+1=k
2
⋅(2⋅k2−1)+(2⋅k+1)3=2⋅k4+8⋅k3+11⋅k2+6⋅k+1
lo que nos prueba la igualdad parak+1; luego la igualdad es cierta para todos los números naturales.
Ejemplo 16.Comprobar que se verifica la igualdad √
2+ √
2+. . . .+√2
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶n =2⋅cos( π π π
2n+1 )
siendo n⩾1.
a.- Sean=1. Tendremos entonces que R1=
√
2 y S1=2⋅cos πππ
4 = √
2,
es decir:R1=S1, lo que nos prueba que la igualdad dada es cierta paran=1.
b.- Supongamos ahora que la igualdad dada es cierta paran=k, es decir que tenemosRk=Sk: √
2+ √
2+ . . . .+√2=2⋅cos( πππ 2n+1 )
Para comprobar queRk+1=Sk+1, transformemos la expresión anterior de la siguiente manera:
2+ √
2+ √
2+ . . . .+√2 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
k
=2⋅cos( πππ 2k+1 )+2
2+ √
2+ √
2+ . . . .+√2 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
k
=2⋅(2⋅cos2 ( πππ
2k+2 )−1)+2
2+ √
2+ √
2+ . . . .+√2 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
k
=4⋅cos2 ( πππ 2k+2 )
¿ Á Á Á Á Á À2+
√ 2+
√
2+ . . . .+√2 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
k
= √
4⋅cos2 ( πππ 2k+2 )
√ 2+
√
2+. . . .+√2 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
k+1
=2⋅cos( πππ 2k+2 )
Es decir:Rk+1=Sk+1, lo que demuestra la validez de la igualdad dada.
Ejemplo 17.Los números de Fibonacci, F(n), están definidos por la ecuación recurrente:
F(n+2) =F(n)+F(n+1)
siendo: n⩾1 y además F(1) =1 y F(2) =1 .
Comprobar que
F(1)+F(2)+. . . .+F(n) =F(n+2)−1
Denotemos el primer miembro de la igualdad conSn.
a.- Sin=1, entonces por la propia definición de los números de Fibonacci, se tiene que:F(1) =1. Así, consi-derando los dos miembros de la fórmula que nos interesa, tenemos
S1=F(1) =1 y S1=F(3)−1=F(1)+F(2)−1=1
b.- Supongamos, ahora, que la igualdad se cumple paran=k, es decir que Sk+1=F(k+2)−1.
Comprobemos entonces que la igualdad es cierta paran=k+1, es decir, que Sk+1=F(k+3)−1.
Como tenemos
Sk+1=Sk+F(k+1),
tomando en consideración la hipótesis de inducción obtenemos
Sk+1=Sk+F(k+1) =F(k+2)−1+F(k+1) =F(k+3)−1
como queríamos establecer, lo que nos prueba que se cumple la igualdad dada para todo número natural.
Ejemplo 18.Comprobar que si n>2, se verifica que:
(1⋅2⋅3, . . . ⋅n)2>nn.
Procedamos por inducción completa:
a.- Sin=3, entonces: (1⋅2⋅3)2=36>33=27. b.- Suponemos que la desigualdad se verifica paran:
(1⋅2⋅3. . . .⋅n)2>nn (Hipótesis de la inducción) y comprobémoslo paran+1, es decir,
(1⋅2⋅3. . . .⋅n⋅(n+1))2> (n+1)n+1
.
Considerando la hipótesis de la inducción, podemos escribir
(1⋅2⋅3. . . .⋅n)2⋅(n+1)2>nn⋅(n+1)2 Ô⇒ (1⋅2⋅3. . . .⋅n⋅(n+1))2>nn⋅(n+1)2
Si conseguimos demostrar que
nn⋅(n+1)2> (n+1)n+1
tenderemos resuelto el problema. Para ello acotamos el cociente siguiente:
(n+1)n+1
nn⋅(n+1)2 = ( n+1
n ) n
⋅ n1+1 <3⋅ 1 n+1 <1
donde se ha tenido en cuenta que:(n+1 n )
n
es el término general de la sucesión que define el número
e
, que está acotada entre2y3, y que paran>2la fracción 3n+1 es menor que1. En consecuencia:
(n+1)n+1
<nn⋅(n+1)2
y por tanto se cumplirá que
Lección 2.- SISTEMAS DE NUMERACIÓN
2.1 Sistemas de numeración
2.1
Sistemas de numeración
Llamamossistema de numeraciónal conjunto de reglas que permiten la representación de todos los
números.
Sistemas muy conocidos, pero de índole muy diversa, lo constituyen elromanoy eldecimal. El primero
descompone el número en suma o diferencia de otros varios, cada uno de los cuales está representado
por un símbolo especial:
I, V,X,L,C, D, M,
mientras que el segundo utiliza el principio del valor relativo es decir, una misma cifra representa valores
distintos, según el lugar que ocupa.
Los sistemas fundados en los mismos principios que el decimal, son los únicos que tienen interés
arit-mético.
Elsistema decimalestá fundado en el número fijoDIEZ; sin embargo, desde el punto de vista aritméti-co se puede establecer un sistema de numeración de igual naturaleza que el decimal, tomando aritméti-como base
un número cualquiera mayor que uno.
El fundamento de estos sistemas son los siguientes convenios:
1º.- Se toma como base un númeronmayor que uno, y se adoptan símbolos, denominadoscifraso
guarismospara representar el cero y los números menores que la base. Se llamansignificativas las cifras, prescindiendo del cero.
2º.- El número uno recibe el nombre deunidad(o de orden cero). Cadanunidades de un cierto orden
constituyen una unidad de orden superior.
3º.- Los números mayores que la base se expresan escribiendo varias cifras, unas a continuación de
otras. La primera cifra de la derecha representa las unidades simples que contiene el número, la
segunda, las unidades de primer orden contenidas en el mismo; la tercera, las de segundo orden, y
así sucesivamente.
Ejemplo 1.Consideremos el número representado por: c b 0 a
Consta deaunidades simples,bde segundo orden ycde tercer orden.
de órdenes no contenidas en el número. En este caso, no hay unidades de primer orden.
El convenio3º.- puede también enunciarse diciendo: Una cifra colocada a la izquierda de otra representa unidades del orden inmediatamente superior al de ésta.
PROPOSICIÓN 1. Elegido un número n, mayor que uno, todo número N puede expresarse de manera única en la forma:
N=```⋅nm+k⋅nm−1+h⋅nm−2+ . . . .+c⋅n2+b⋅n+a
En efecto: Si efectuamos la división entera deNporn, y así mismo, dividimos pornlos sucesivos cocientes que resulten, mientras la operación sea posible, tendremos
N n
a q1 n
b q2 n
c q3 ⋅ ⋅⋅
qm−2 n
h qm−1 n
k ```
N=q1⋅n+a. . . .[1]
q1=q2⋅n+b. . . ...[n]
q2=q3⋅n+c. . . ..[n2]
. . . .
. . . .
qm−2=qm−1⋅n+h. . . ..[n
m−2]
qm−1= ```⋅n+k. . . ..[n
m−1]
Sumando miembro a miembro las igualdades anteriores, previamente multiplicadas por las potencias den que figuran a la derecha, entre corchetes, y suprimiendo sumandos comunes a ambos miembros, resultará la relación que queremos demostrar. El segundo miembro de dicha relación recibe el nombre de:
expresión polinómica del número N en la base n.
Los números```,k,h. . . ,c,b,areciben el nombre decoeficientesdel polinomio en cuestión. Evidentemente la expresión obtenida es única.
Alalgoritmoutilizado le llamaremos:de las divisiones sucesivas. Ejemplo 2.Consideremos el número N=1900, y elijamos otro número n=2.
La expresión polinómica del númeroNen la basen, la obtenemos como se ha indicado antes. 1900 2
0 950 2
0 475 2
1 237 2
1 118 2
0 59 2
1 29 2
1 14 2
0 7 2
1 3 2
1 1
¡¡ Atención !! Comprobaremos, ya en el próximo ejemplo, que el númeroN=1900 10se expresará en
el sistema de base2, como:
N=11101101100 2
siendo sus cifras, a partir de la primera, el último cociente y luego sucesivamente y en orden ascendente,
como indica la flecha, los sucesivos restos.
Veamos, ahora, como pasar de un sistema de numeración a otro:
1.- Dado un número en un sistema de base n, expresarlo en el sistema decimal.
Bastará escribir la expresión polinómica en basendel número dado y efectuar en el sistema
deci-mal las operaciones indicadas.
Ejemplo 3.Dado el número, en base 2:
N=11101101100 2
determinemos su expresión en el sistema decimal:
N=0+0⋅2+1⋅22+1⋅23+0⋅24+1⋅25+1⋅26+0⋅27+1⋅28+1⋅29+1⋅210=1900
Ejemplo 4.Dado el número, en base 5,
N=13404 5
determinemos su expresión en el sistema decimal:
N=4+0⋅5+4⋅52+3⋅53+1⋅54=1104 10
Ejemplo 5.Si la base es superior a9, nos van a faltar guarismos; así si la base es11, los guarismos serían: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,ααα
significando con elααα, la hipotética cifra10. Dado el número, en base11,
N=172ααα 11
determinemos su expresión en el sistema decimal:
N=ααα+2⋅11+7⋅112+1⋅113=10+22+847+1331=2210 10
2.- Dado un número, N en el sistema decimal expresarlo en el sistema de base n:
La regla a aplicar es la siguiente: Se divideNporn, y los cocientes enteros que vayan resultando,
mientras la operación sea posible. Sia,b,c,. . . ,h,k,```, son los restos enteros por defecto de las divisiones efectuadas, y```<n, el último cociente obtenido, la expresión:
Ejemplo 6.Dado el número, en base 10,
N=60502 10
determinemos su expresión en el sistema de base 12:
Empezaremos aplicando el algoritmo de las divisiones sucesivas: 60502 12
10 5041 12
1 420 12
0 35 12
11 2
(En este caso representaremos:10=ααα y 11=βββ.)
Luego el númeroN=60502 10, tendrá en la basen=12, la expresión: N=2βββ01ααα 12
3.- Dado un número en un sistema no decimal expresarlo en otro sistema no decimal:
Ordinariamente se resuelve este problema utilizando1.- y2.-; es decir, se comienza pasando el
número dado al sistema decimal, y luego se pasa al sistema pedido.
Ejemplo 7.Dado el número, en base 5; N=13404 5, expresarlo en base 6.
Paso 1.-: ExpresamosN=13404 5, pasándolo al sistema decimal:
N=4+0⋅5+4⋅52+3⋅53+1⋅54=1104 10
Paso 2.-: ExpresamosN=1104 10, pasándolo al sistema de base6: 1104 6
0 184 6
4 30 6
0 5
Luego, el númeroN=1104 10, tendrá en la basen=6la expresión: N=5040 6.
En definitiva:
Ejemplo 8.Comprobar que el número
N=111. . . .12888. . . .896
que tiene n cifras 1 y n−1 cifras 8, es un cuadrado perfecto.
Podemos expresar el númeroNen la forma: N=102⋅n+1+
102⋅n+
. . . .+10n+2+
2⋅10n+1+
8⋅10n+. . . .+8⋅102+9⋅10+6= =10n+1⋅(
10n+. . . .+10+1)+10n+1+
8⋅(10n+. . . .+10+1)+8= = (10n+. . . .+10+1)⋅(10n+1+
8)+(10n+1+
8) =
= (10n+91−1 +1)⋅(10n+1+
8) = (10 n+1+
8
3 )
2
Ejemplo 9.Determinar un número de tres cifras que, disminuido en tres unidades, sea divisible por 5 y por 14, y que la suma de sus tres cifras sea 14.
Seaxyzel número buscado, que puede expresarse así:
100⋅x+10⋅y+z.
Disminuido en3unidades será el:
100⋅x+10⋅y+(z−3)
que como debe ser múltiplo de5y de14=2⋅7, lo tendrá que ser de:5,2y7. En consecuencia,z−3=0, luego tendremos que:
100⋅x+10⋅y=˙7.
En definitiva:
z=3
y además
x+y=11
El único número de dos cifras múltiplo de7, y tal que sus cifras sumen11, es el56. En consecuencia, el número buscado es el:563.
Ejemplo 10.Determinar el número de dos cifras que cumple con la condición de que la diferencia entre el doble del número obtenido invirtiendo sus cifras y el número buscado es igual al triple de la suma de sus cifras
más 3.
Sea el número:
N=ab
Se debe verificar:
2⋅(10⋅b+a)−(10⋅a+b) =3⋅(a+b)+3.
Simplificando, resulta:
16⋅b−11⋅a=3
o sea
11⋅a+3=16⋅b.
Las tablas de CRELLE
Contienen estas tablas todos los productos entre números inferiores a1000, utilizando para ello un
siste-ma de base1000, que precisa de999cifras.
Se adoptan como tales las mismas expresiones:1,2, . . . ...,99,100, ...,999.
El procedimiento seguido en este caso es el siguiente:Se dividen las cifras del número dado, a partir
de la derecha, en grupos de a tres; los grupos obtenidos expresan las unidades simples, de primer orden, segundo, etc.
Así, por ejemplo:
40812597063=40 812 597 063 1000
Todas las reglas operativas son, por tanto, válidas cuando se adopta esta base1000, operando con grupos
de tres cifras en vez de cifras aisladas.
La ventaja de la adopción de esta base1000, la tiene la multiplicación, cuando se trata de obtener el
producto de dos números con muchas cifras; así, vemos que en vez de incorporar al producto siguiente,
las unidades superiores que resulten de cada producto, es mejor escribir éste íntegro, y en vez de correr
cada producto parcial un lugar a la izquierda respecto del anterior, será preciso trasladarlo tres lugares.
Ejemplo.Efectuar la siguiente multiplicación: 42965062× 684213.
Productos
(tomados de la tabla) 213⋅ 62 = 13206
213⋅965=205545
213⋅ 42 = 8946
684⋅62 =42408
684⋅965=660060
684⋅ 42 = 28728
42 965 062
684 213
13 206
205 545
8 946
42 408
660 060
28 728
Lección 3.- CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Y
PARTICULARIDADES CURIOSAS DE LOS NÚMEROS
3.1 Criterios de divisibilidad y particularidades curiosas de los números
3.1
Criterios de divisibilidad y particularidades curiosas de los números
Existen ciertos criterios de divisibilidad, que nos pueden ayudar a conocer algunos divisores de un
nú-mero dado. Veamos unos cuantos:
Divisibilidad por: Criterio
2 Todos los números pares son divisibles por2
3 Si la suma de sus cifras es múltiplo de3
4 Si sus dos últimas cifras son múltiplo de4, o son00
5 Si su última cifra es0ó5
7 Si al sumar el doble de la centena a las dos últimas cifras se obtiene un
múltiplo de7
9 Si la suma de sus cifras es múltiplo de9
11 Si la diferencia entre la suma de las cifras de lugar par y de lugar impar
es0,11ó múltiplo de11
13 Si al restar cuatro veces la centena a las dos últimas cifras se obtiene un
múltiplo de13
17 Si al restar el doble de la centena a las dos últimas cifras del número se
obtiene un múltiplo de17
25 Si lo es el número formado por las dos últimas cifras
125 Si lo es el número formado por las tres últimas cifras
Observaciones: Cualquier número con las tres cifras repetidas es un múltiplo de37, y es
igual al producto de37por la suma de las tres cifras.
Veamos, ahora, unas curiosas particularidades de los números siguientes:
Del9 Los productos del número 9por los diferentes términos de la sucesión natural de los números
presentan un resultado curioso. Así, los productos de9por los nueve primeros números son,
respectiva-mente,
09, 18,27,36, 45,54,63, 72, 81,90.
Observemos que las primeras cifras de cada uno de estos números son las diez cifras del sistema decimal
en su orden natural, y las últimas cifras en el orden inverso.
Se verifica, así mismo, una propiedad análoga para una sucesión cualquiera de números enteros
conse-cutivos. Por ejemplo, para los números
231, 232, 233,234,235, 236, 237,238,239,240
el producto por9nos da
2079,2088,2097,2106, 2115,2124,2133,2142, 2151,2160.
Las últimas cifras de estos productos forman la sucesión decreciente de las diez cifras. En cuanto a las
tres primeras cifras, forman una sucesión de números consecutivos.
Veamos , ahora , la curiosa forma que presentan los cuadrados de los números formados sólo
con las cifras9:
92= 8 1
992= 9 8 0 1
9992= 9 9 8 0 0 1 99992= 9 9 9 8 0 0 0 1 999992= 9 9 9 9 8 0 0 0 0 1
. . . .. . . .
Jugando con el número9obtenemos los siguientes resultados:
Al sumar las cifras de cualquier múltiplo de9(y mientras no se obtenga un número de una cifra, seguir
sumando), el resultado es elnúmero 9.
95=531441 Ô⇒ 5+3+1+4+4+1=18 Ô⇒ 1+8=9
La suma de las cifras de todo múltiplo de9, es un múltiplo de9
97=4782969 Ô⇒ 4+7+8+2+9+6+9=45=9⋅5=˙9
Si a un número de dos cifras se le resta la suma de sus cifras se obtiene unmúltiplo de 9.
Si restamos dos números, que contienen las mismas cifras, pero en distinto orden, obtenemos siempre
unmúltiplo de 9.
4373−3734=639=9⋅71=˙9
Del11 Las potencias sucesivas del número11, son:
111= 1 1
112= 1 2 1
113= 1 3 3 1 114= 1 4 6 4 1
. . . .
Así, para obtener una cierta potencia de11, se escribe la cifra de las unidades de la potencia
prece-dente, que siempre será1, luego se suma esta cifra1a la cifra de las decenas de la misma potencia; a
continuación la de las decenas a la cifra de las centenas, y así sucesivamente.
Como generalización veamos como son los cuadrados de los números formados por la cifra1:
12= 1
112= 1 2 1
1112= 1 2 3 2 1
11112= 1 2 3 4 3 2 1
111112= 1 2 3 4 5 4 3 2 1 1111112= 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 11111112= 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 111111112= 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1 1111111112= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Recordemos que la llamada sucesión de Fibonacci es la:
(u0=0), u1=1, u2=1, u3=2, u4=5, u6=8, u7=13, . . . . cuyos términos verifican la ecuación de recurrencia:
un+2=un+1+un (n⩾1)
Para poder comprobar las tres propiedades que van a seguir, vamos a explicitarla un poco más. Así
tendremos:
1º.- La suma de diez números consecutivos de la sucesión, dividida entre11, da como resultado el séptimo número de los diez elegidos.
Ejemplo 1.Consideremos los diez números consecutivos a partir del89; su suma será 89+144+233+377+610+987+1597+2584+4181+6765=17567
Haciendo la división: 17567 11 =1597
2º.- La suma de losnprimeros números de la sucesión de Fibonacci es igual al términon+2 de la
sucesión menos una unidad.
Ejemplo 2.Sumemos los doce primeros términos de la sucesión:
1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144=376
El términon=14, es el377, lo que nos muestra que efectivamente que la suma vale: 376=377−1
3º.- La suma de los cuadrados de los nprimeros términos, de la sucesión de Fibonacci, es igual al
producto del último término de la sucesión por el siguiente, es decir
n ∑
iii=1
F2iii =F21+F22+. . . .+F2n=Fn⋅Fn+1
Ejemplo 3.Consideremos los siete primeros términos,n=7, 1,1,2,3,5,8,13
cuyos cuadrados son:
1,1,4,9,25,64,169
y cuya suma vale
1+1+4+9+25+64+169=273
El producto, del último término de la sucesión,13, multiplicado por el siguiente,21, vale, efectivamente: 13×21=273
Apuntemos, por último, como multiplicar por11, números de dos o tres cifras:
1.- Número de dos cifras. La regla es la siguiente:
ab×11= (a)(a+b)(b)
2.- Número de tres cifras. La regla es la siguiente:
abc×11= (a)(a+b)(b+c)(c)
(si alguna suma es⩾10, sumamos1a la cifra anterior)
Ejemplo 4.
23×11= (2)(2+3)(3) =253
47×11= (4)(4+7)(7) = (4+1)(1)(7) =517
Ejemplo 5.
135×11= (1)(1+3)(3+5)(5) =1485
472×11= (4)(4+7)(7+2)(2) = (4+1)(1)(9)(2) =5192
375×11= (3)(3+7)(7+5)(5) = = (3)(3+7+1)(2)(5) = = (3+1)(1)(2)(5) =4125 329×11= (3)(3+2)(2+9)(9) =
= (3)(3+2+1)(1)(9) =3619
Del37 Consideremos la progresión aritmética, de razón3,
3, 6,9,12,15, 18,21,24, 27
y multipliquemos por37cada uno de sus términos. Obtendremos
111, 222,333,444,555, 666,777,888,999
sucesión formada por elementos de tres cifras idénticas, y tales que la suma de sus cifras es igual al
elemento que los ha producido.
Del45 El número45puede obtenerse a partir de los números8,12,5 y 20; así
8+12+5+20=45, tales que:
8+2=10 12−2=10 5×2=10 20∶2=10
Consideremos, ahora, el número formado por las nueve cifras significativas:
9 8 7 6 5 4 3 2 1 y el simétrico
La suma de las cifras de cada uno de esos números es45. Si del primero restamos el segundo, tendremos
9 8 7 6 5 4 3 2 1−1 2 3 4 5 6 7 8 9=8 6 4 1 9 7 5 3 2
número que también verificará que la suma de sus cifras es45.
Del100 El número100puede obtenerse a partir de los números12,20, 4 y 64; así
12+20+4+64=100
tales que
12+4=16 20−4=16 4×4=16 64∶4=16
Se puede escribir el número100con cinco veces la misma cifra:
100=111−11 100=3×33+
3 3 100=5×5×5−5×5 100= (5+5+5+5) ×5
Se puede escribir el número100de diversas maneras con las nueve cifras significativas. Veamos algunas:
100=1+2+3+4+5+6+7+ (8×9)
100=74+25+ 3 6 +
9 18 100=95+4+
38 76 +
1 2 100=98+1+
3 6 +
27 54
Del143 Al multiplicar el número143 por cada uno de los999primeros múltiplos de7, los
produc-tos obtenidos estarán formados por dos números idénticos, que será precisamente iguales al rango del
múltiplo de7. Veamos algún ejemplo:
Si el rango es un número con menos de tres cifras, las dos partes podrán estar separadas por uno o más
ceros:
143× (4×7) =143×28=4004 143× (72×7) =143×504=72072
Se obtiene un resultado análogo al multiplicar por77los999primeros múltiplos de13; por ejemplo
77× (312×13) =77×4056=312312 77× (25×13) =77×325=25025,
y también al multiplicar por91los999primeros múltiplos de11; por ejemplo:
91× (316×11) =91×3476=316316
Del225 Se puede formar el número225sumando números compuestos por las nueve cifras
significa-tivas, tomadas cada una una sola vez:
225=1+23+45+67+89
(Observemos que cada uno de los sumandos se obtiene añadiendo22al número precedente)
Del142857 Este número presenta la siguiente curiosa propiedad: Sus seis primeros múltiplos son:
142857, 285714, 428571,571428,714285,857142.
Observemos que están compuestos por las mismas cifras, dispuestas en el mismo orden, y que una de
ellas puede obtenerse sobre la precedente por una simple transposición de cifras. Por ejemplo: la cuarta
se deduce de la tercera trasladando las tres últimas cifras de ésta a la cabeza, como las tres primeras.
Del12345679 Consideremos la progresión aritmética de razón9:
9,18,27, 36,45,54, 63, 72,81
Observemos que si se multiplica el número12345679(que contiene todas las cifras significativas, en
su orden natural, salvo la8), por un término cualquiera de la progresión, resultará un número de nueve
cifras iguales. La cifra constante representará la diferencia entre la decena del término inmediatamente superior al que multiplica y la de éste, o bien al rango de ese término en la progresión.
Veámoslo con más ejemplos:
Ejemplo 6. 12345679×63=777777777
(70−63=7; el número del término63es el7) Ejemplo 7. 12345679×9=111111111
Del134498697 Este número se puede escribir utilizando una sola vez cada una de las nueve cifras significativas, como sigue:
134498697=1+23+45+67+89
Por último, una curiosidad más: Se toma un número cualquiera y se construye, a partir de él, una sucesión,
siguiendo el siguiente criterio: Si el número es impar, el siguiente debe ser este número multiplicado por
3y sumándole1. Si el número es par, el siguiente será su mitad.
Observemos que, cualquiera que sea el número elegido, siempre llegamos al1.
Ejemplo 8.Si tomamos el número 12, tendremos:
12,6,3,10,5,16,8,4,2,1
Ejemplo 9.Si tomamos el número 9, tendremos:
9,28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1
Ejemplo 10.Comprobar que un número arbitrario formado por 3ncifras iguales es divisible por 3n. Denotemos el número buscado conRn, es decir
Rn=aa. . . .a ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
3n
(1⩽a⩽9).
Se trata, por tanto, de establecer queRnes múltiplo de3n. a.- Sea n=1. Entonces,R1=aaa
° 3
es múltiplo de3, puesto que la suma de las cifras que lo forman es3⋅a, divisible por3.
b.- La hipótesis de inducción supone queRkes múltiplo de3k.
Demostremos, por tanto, queRk+1es múltiplo de3k+1. La propia definición nos permite escribir Rk+1=aa. . . .a
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ 3k+1
=aa. . . .a ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
3k
aa. . . .a ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
3k
aa. . . .a ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
3k
=aa. . . .a ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
3k
⋅102⋅3k+
aa. . . .a ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
3k
⋅103k+aa. . . .a ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
3k =
=aa. . . .a ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
3k
⋅(102⋅3k+
103k+1) =
=Rk⋅(102⋅3 k
−1+103k−1+3) =
=Rk⋅(99. . . .9 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
2⋅3k
+99. . . .9 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
3k +3)
Dado que, por la hipótesis de inducción,Rkes múltiplo de3k, y el número 99. . . .9
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ 2⋅3k
+99. . . .9 ´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
es múltiplo de3, puesto que lo es cada uno de sus sumandos resulta queRk+1es múltiplo de3
k+1
. En consecuencia,Rnes múltiplo de3npara todo númeron⩾1.
Ejemplo 11.Determinar qué números de la forma: aa y bbcc son tales que: aa=√bbcc
Se verifica, sucesivamente:
(aa)2=bbcc
(10⋅a+a)2=1000⋅b+100⋅b+10⋅c+c (11⋅a)2=b000+b00+c0+c
112⋅a2=bb00+cc
11⋅11⋅a2=11⋅(100⋅b+c)
11⋅a2=b0c
El númerob0ces, por tanto, un múltiplo de11, lo que implica que: b+c=11,
debiendo coincidir la cifra de las unidades con la dea2, por lo quecdebe ser:4,5,6ó9(No puede ser1, pues entonces debería ser:b=11−1=10).
Parac=4 Ô⇒b=7 Ô⇒ (√7744=88) Ô⇒ a=8
(Los demás valores posibles de a:5,6y9, no proporcionan soluciones). En consecuencia: aa=88 y bbcc=7744.
Ejemplo 12.Comprobar que para todo número natural, n, la expresión 4n+15⋅n−1,
es divisible por 9.
Hagamos Rn=4n+15⋅n−1. a.- Sin=1, entonces
R1=4+15−1=18,
que es múltiplo de9.
b.- Supongamos que para n=k , Rk es múltiplo de9, y veamos que tambiénRk+1es múltiplo de9.
Para ver queRk+1es divisible por9, procedemos como sigue:
Rk+1=4
k+1
+15⋅(k+1)−1=4⋅(4k+15⋅k−1)−45⋅k+18=4⋅Rk−45⋅k+18
Dado queRk es, por hipótesis, múltiplo de9, deducimos queRk+1también es divisible por9, como queríamos
establecer.
Ejemplo 13.Comprobar que para todo n∈N, el número
55⋅n+1
+45⋅n+2
+35⋅n
es divisible por 11.
Transformemos, en primer lugar, la expresión dada 55⋅n+1+
45⋅n+2+
35⋅n=
5⋅(55)n+16⋅(45)n+(35)n= =5⋅3125n+16⋅1024n+243n=
=5⋅(11⋅284+1)n+16⋅(11⋅93+1)n+(11⋅22+1)n Podemos escribir, entonces, que se verifica:
55⋅n+1+
45⋅n+2+
35⋅n=
5⋅(11⋅A+1)+16⋅(11⋅B+1)+(11⋅C+1) = =11⋅(5⋅A+16⋅B+C)+5+16+1= =11⋅(5⋅A+16⋅B+C+2⋅D) =11˙ siendo:A=284 , B=93 , C=22 , D=1.
Ejemplo 14.Comprobar que para todo n∈N, el número
32⋅n+3
+40⋅n−27
es divisible por 64.
Si transformamos la expresión inicial tendremos 32⋅n+3+
40⋅n−27=27⋅9n+40⋅n−27= =27⋅(8+1)n+40⋅n−27= =27⋅(64⋅A+8⋅n+1)+40⋅n−27= =27⋅64⋅A+256⋅n=64⋅(27⋅A+40⋅n) =64˙ siendo:
A=8n−2+
n⋅8n−1+
. . . .+ n⋅(n−1) 2 por ser
(8+1)n=8n+n⋅8n−1+
. . . .+ n⋅(n−1) 2 ⋅8
2+
8⋅n+1=
=82⋅(8n−2+n⋅8n−3+. . . .+ n⋅(n−1)
2 )
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ A
+8⋅n+1=
=64⋅A+8⋅n+1
Ejemplo 15.Comprobar que para todo número entero positivo n, el número 25⋅n+3+
5n⋅3n+2
es divisible por 17.
En primer lugar, transformemos la expresión dada 25⋅n+3+
5n⋅3n+2=
8⋅(25)n+5n⋅3n⋅32=8⋅32n+9⋅15n=
puesto que
(17+15)n=17n+n⋅17n−1⋅15+. . . .+n⋅17⋅15n−1+15n= =17⋅(17n−1+n⋅17n−2⋅15+. . . .+15n−1⋅n)
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶ A
+15n
de donde
25⋅n+3+5n⋅3n+2=8⋅17⋅A+8⋅15n+9⋅15n=
=8⋅17⋅A+(8+9)⋅15n=17⋅(8⋅A+15n) =17˙
Ejemplo 16.Comprobar que para todo n∈N, el número
5n⋅(5n+1)−6n⋅(3n+2n)
es divisible por 91.
Dado que:91=7⋅13, la comprobación la haremos estableciendo que la expresión dada es divisible por7y por13 (Recordemos que tanto7como13son números primos).
1.- 5n⋅(5n+1)−6n⋅(3n+2n) =25n+5n−18n−12n=
= (7+18)n+5n−18n−(7+5)n=
= (7⋅A+18n)+5n−18n−(7⋅B+5n) =7⋅A−7⋅B=˙7 dondeAyBson números enteros.
2.- 5n⋅(5n+1)−6n⋅(3n+2n) =25n+5n−18n−12n=
= (13+12)n+5n−(13+5)n−12n=
= (13⋅C+12n)+5n−(13⋅D+5n)−12n=13⋅C−13⋅D=13˙
dondeCyDson números enteros.
Como la expresión dada es múltiplo de7y13, entonces también es múltiplo de:7⋅13=91.
Ejemplo 17.Si x, y, z son tres números enteros consecutivos, se verifica que: x3+y3+z3, es divisible por 9. Sean los números:x−1 , x , x+1. La suma de sus cubos es
(x−1)3+x3+(x+1)3=3⋅x⋅(x2+2)
Dado que esta suma es un múltiplo de3, bastará establecer que:x⋅(x2+2), es también un múltiplo de3, para todo valor dex.
Así tendremos:
1.- x=˙3 Ô⇒ x⋅(x2+2) =˙3
2.- x=˙3+1 Ô⇒ x⋅(x2+2) = (˙3+1)⋅[(˙3+1)2+2] = = (˙3+1)⋅(˙3+1+2) = (˙3+1)⋅˙3=˙3 3.- x=˙3+2 Ô⇒ x⋅(x2+2) = (˙3+2)⋅[(˙3+2)2+2] =
Ejemplo 18.Comprobar que si n es un número par, entonces: 13n+6 es divisible por 7. Si hacemosn=2⋅k, conk∈N, tenemos
132⋅k= (
132)k=169k= (168+1)k=
= (k0)⋅168k+(k 1)⋅168
k−1+
. . . .( k
k−1)⋅168+( k
k) =168˙ +1
Ahora bien,168es múltiplo de7, (168=7⋅24), es decir 132⋅k
=˙7+1.
En consecuencia:
13n+6=132⋅k+
6= (˙7+1)+6=˙7+(1+6) =˙7
Al mismo resultado hubiésemos llegado utilizando congruencias, es decir, 13≡ −1(7) Ô⇒ 132≡1(7) Ô⇒132⋅k
≡1(7) Ô⇒ 132⋅k
+6≡ (1+6) (7) Ô⇒
Ô⇒132⋅k
+6≡0⋅(7) Ô⇒ 132⋅k
+6=˙7
Ejemplo 19.Comprobar que el número: 255+1, es divisible por 11. Se verifica que:
25+1=33=11˙ .
Elevando ambos miembros de la igualdad al exponente11, tenemos
(25+1)11=3311=11˙
y al desarrollar la potencia del binomio obtendremos
(25+1)11= (11 0)⋅2
55
+(111)⋅250+(11 2)⋅2
45
+. . . .+(11 10)⋅2
5
+1=255+11˙ +1=11˙
En consecuencia:
255+1=11˙ .
Al mismo resultado hubiésemos llegado utilizando congruencias, es decir. Puesto que:
255+1= (25)11+1=3211+1
vemos que
3211+1=11˙ .
Así, tenemos
32≡ −1(11) Ô⇒ 3211≡ (−1)11= −1(11) Ô⇒ 3211+1=11˙
Ejemplo 20.Si n es un número entero positivo, comprobar que el número 1n+2n+3n+4n
es divisible por 5 si, y sólo si, n no es divisible por 4.
Se trata de establecer que:
1.- Supongamos quen=˙4, y comprobemos que
1n+2n+3n+4n≠˙5
Al sern=4⋅k, la suma
1n+2n+3n+4n=14⋅k
+24⋅k
+34⋅k
+44⋅k
=1+16k+81k+256k
termina en4, puesto que
1+6+1+6=14,
luego no es˙5.
2.- Supongamos ahora quen≠˙4. En este caso,npodría ser de la forma: 2.1.- n=4⋅k+1, en cuyo caso la suma
1n+2n+3n+4n=14⋅k+1+
24⋅k+1+
34⋅k+1+
44⋅k+1=
=1+2⋅24⋅k+
3⋅34⋅k+
4⋅44⋅k
terminaría en0, por ser:
1+2+3+4=10
luego sería˙5.
2.1.- n=4⋅k+2, en cuyo caso la suma
1n+2n+3n+4n=14⋅k+2+ 24⋅k+2+
34⋅k+2+ 44⋅k+2= =1+4⋅24⋅k+
9⋅34⋅k+ 16⋅44⋅k
terminaría en0, por ser
1+4+9+6=20
luego sería˙5.
2.3.- n=4⋅k+3, en cuyo caso la suma
1n+2n+3n+4n=14⋅k+3+
24⋅k+3+
34⋅k+3+
44⋅k+3=
=1+8⋅24⋅k+
27⋅34⋅k+
64⋅44⋅k
terminaría en0, por ser
1+8+7+4=20
luego sería˙5.
Ejemplo 21.Calcular el valor de √
2+ √
2+√2+. . .
Hacemos
x= √
2+ √
2+√2+. . . (x>0)
y elevando al cuadrado resulta
x2=2+ √
es decir
x2=2+x ⇐⇒ x2−x−2=0
cuyas soluciones son:
x1=2 y x2= −1.
Como hemos supuestox>0, tendremos
x1=2 ⇐⇒ x=22−2=2
es decir
x= √
2+ √
2+√2+. . .=2
Ejemplo 22.Calcular el valor de:√3999700029999.Se verifica que 3
√
999700029999=√3 999⋅109+7⋅108+2⋅104+9999=
=√3
(103−1)⋅109+7⋅108+2⋅104+104−1=
=√3
1012−109+7⋅108+3⋅104−1=
=√3
1012−3⋅108+3⋅104−1=104−1=9999.
Ejemplo 23.Calcular el valor de√4444488889.Se verifica que:
√
4444488889=√4444444444+44444+1=
=√4⋅1111111111+4⋅11111+1=
= 13 ⋅√4⋅9999999999+4⋅99999+9=
= 13 ⋅√4⋅(1010−1)+4⋅(105−1)+1=
= 13 ⋅(2⋅105+1) = 200001
3 =66667
Ejemplo 24.Calcular el valor de: 3 √
50+19⋅√7
Si hacemos
x= 3 √
50+19⋅√7+3 √
50−19⋅√7
y elevamos al cubo, tenemos
x3=50+19⋅√7+50−19⋅√7+3⋅√3−27⋅x
(recordemos que:(a+b)3=a3+b3+3⋅a⋅b⋅(a+b)) es decir
x3=100+3⋅(−3)⋅x
o lo que es lo mismo
ecuación con una única solución real:x=4. Por tanto
x= 3 √
50+19⋅√7+3 √
50−19⋅√7=4
Si hacemos ahora
3 √
50+19⋅√7=y,
y puesto que
(√3
50+19⋅√7)⋅(3 √
50−19⋅√7) =√3502−192⋅7=√3 −27= −3
tenemos
3 √
50−19⋅√7= −3 y
Así calcularemos el valor de√3 50+19⋅√7resolviendo la ecuación y− 3
y =4 Ô⇒ y
2−
4⋅y−3=0
cuyas soluciones son:y=2±√7.
Dado quey>0, tendremos que la solución válida es
y=2+√7 En consecuencia
3 √
50+19⋅√7=2+√7.
Ejemplo 25.La raíz cuadrada por defecto, con error menor que 0,1 , de una fracción irreducible es 1,3 , y la suma de sus términos es 81.
Se trata de determinar dicha fracción.
Sea p
q la fracción, que debe verificar: √ p q −1,3<
1 10
de donde √
p q < 13 10 + 1 10 = 14 10 Ô⇒ p q < 49
25 Ô⇒ p< 49 25 ⋅q Sumandoqa cada miembro obtenemos
p+q< 49
25 ⋅q+q Ô⇒ p+q< 74
25 ⋅q Ô⇒ (p+q=81) Ô⇒ 81< 74 25 ⋅q
de donde
q> 81⋅25
74 =27,36. . . Ô⇒ q⩾28 Luego:
1.- Si q=28 Ô⇒ p=81−28=53 Ô⇒ p q =
53 28
2.- Si q=29 Ô⇒ p=81−29=52 Ô⇒ p q =
53 29
Para los restantes valores depyq, la fracción es reducible o el valor de su raíz cuadrada es menor que1,3. En consecuencia las únicas soluciones son:
53 28 y
Ejemplo 26.Determinar las cuatro últimas cifras del número: 32004. Tenemos que
32004=91002= (10−1)1002.
Desarrollando, ahora, por el binomio de Newton, resulta:
(10−1)1002= (1002 0 )⋅10
1002−(1002
1 )⋅10
1001+
. . . .+
+[(1002998)⋅104−(1002 999)⋅10
3
+(10021000)⋅102−(1002
1001)⋅10+1]
En los últimos cinco sumandos de este desarrollo, encerrados entre corchetes, aparecen las cuatro últimas cifras finales.
Estos términos son:
4174995825⋅105−167167⋅106+501501⋅102−10020+1= =. . . .+50150100−10020+1=
=. . . .+. . . .50100−10019=. . . .0081 Las cuatro últimas cifras son, por tanto,
0081.
(Observemos que sólo han intervenido en este resultado los tres últimos términos situados entre corchetes.) Ejemplo 27.Calcular la suma de todos los múltiplos de 7 que tienen cinco cifras.
El menor múltiplo de7de cinco cifras es:10003y el mayor:99995.
Los múltiplos de7forman, evidentemente, una progresión aritmética de razón7.
Sabiendo que: a1=10003 y an=99995podemos determinar el número de términos de que consta la progresión
que nos interesa, aplicando la fórmula:
an=a1+(n−1)⋅d,
es decir
99995=10003+(n−1)⋅7.
Despejandonobtenemos:
n=12857.
Así la suma que nos interesa vale:
S
= a1+an 2 ⋅n=10003+99995
2 ⋅12857=707122143
Ejemplo 28.Determinar en cuantos ceros termina el número 1000!
El número1000! termina en tantos ceros como productos2⋅5aparezcan en la descomposición en factores primos de dicho número; y habrá tantos de esos productos como veces figura el factor5, que es menos numeroso que el2. Habrá un factor5por cada múltiplo de5, que son200, otro más por cada múltiplo de25, que son40, otro más por cada múltiplo de125, que son8, y por último otro más por cada múltiplo de625, que es1.
En total tenemos:
En consecuencia el número1000! termina en249ceros.
Otra manera de obtener el número de cincos consiste en aplicar que la descomposición en factores primos dem!, el exponente de un factorp, es la suma de los cocientes obtenidos al expresarmen el sistema de numeración de base p. En nuestro caso:m=1000 y p=5.
1000 5
0 200 5
0 40 5
0 8 5
3 1
Tendremos, entonces, la misma suma:
200+40+8+1=249.
Una curiosidad sobre los cubos
En Aritmética, los cubos reciben este nombre porque son la expresión del volumen de un cubo
geomé-trico del que se conoce su aristaa:
a⋅a⋅a=a3
La suma de los cubos de los n primeros números enteros es igual al cuadrado de la suma de estos
números:
13=1
13+23= (1+2)2 13+23+33= (1+2+3)2 13+23+33+43= (1+2+3+4)2
. . . . y en general
S
=13+23+33+. . . .+n3= [n2−n⋅ (n−1)
2 ]
2 = [
n⋅ (n+1)
2 ]
2
Otra curiosidad
, esta vez sobre lo que sondemostraciones falsas: 1.- 4=516−36=25−45
16−36+ ( 81
4 ) =25−45+ ( 81
4 ) 16−36+ (
9 2 )
2
=25−45+ ( 9 2 )
2
(4− 9 2 )
2 = (5−
9 2 )
2
4− 9 2 =5−
9 2 4=5
2.- 3= −2 SeanA=3 , B=2 , C=5 luego
A+B=C
Multiplicando ambas miembros por(A+B)obtenemos
(A+B) ⋅ (A+B) = (A+B) ⋅C A2+2⋅A⋅B+B2=A⋅C+B⋅C A2+A⋅B−A⋅C= −A⋅B−B2+B⋅C A⋅ (A+B−C) = −B⋅ (A+B−C)
A= −B Ô⇒ 3= −2
A+B−C=0
3.- 8=12
x+4 x−8
−3=
2⋅x−28 12−x Operando tenemos
x+4−3⋅ (x−8) x−8
=
2⋅x−28 12−x
−2⋅x+28 x−8
=
2⋅x−28 12−x 2⋅x−28
8−x =
2⋅x−28 12−x 8−x=12−x
8=12
