5 Primer Principio de la Termodinámica.
T 2 N OTA : Considérese un comportamiento ideal
para el vapor de agua y admítase que las densidades del hielo y del agua sean constan- tes.
5.10.- La ecuación térmica de estado de un
cierto sistema sólido viene dada por
V V0 ap bT
donde V0, a y b son constantes. Si la energía interna obedece la ecuación
U k T bp T (k, constante) determinar la capacidad calorífica del sistema a volumen constante.
5.11.- El estado inicial de 1 mol de un gas
perfecto comporta una presión p0=200 kPa y un volumen V0=14 L. Este gas experimenta sucesivamente los procesos siguientes: (i) una expansión isobara que duplica su volumen,
(ii) una compresión isoterma que le devuelve
su volumen inicial, (iii) un enfriamiento isóco- ro que le restituye al estado inicial. Este ciclo se denomina ciclo de Lenoir. a) ¿A qué tempe- ratura se efectúa la compresión isoterma? Calcular la presión máxima alcanzada. b) Di- bujar el ciclo en el diagrama de Clapeyron.
c) Calcular las cantidades de trabajo y de calor
intercambiadas por el sistema durante el ciclo.
5.12.- 200 cm3de aire seco a 10 °C y 10 atm se expansionan hasta una presión de 1 atm. Calcular el volumen final y la temperatura
Problemas 173
final si la expansión es a) isoterma; b) adia- bática. Calcular el trabajo realizado en cada caso. 5.13.- Demostrar la relación ∂U ∂p V χTCv α
5.14.- Admitiendo que el aire obedezca a la
ecuación de Van der Waals, determinar la variación de energía interna cuando 72 g de aire se expansionan isotérmicamente desde 1 a 10 litros. Tómese como peso molecular medio del aire 28.8 g/mol.
5.15.- a) Sabiendo que la longitud de un hilo metálico de sección S es solamente función de la tracción F a que se haya some- tido y de la temperatura, demostrar la relación
dF α SE dT S E d
dondeα es el coeficiente de dilatación lineal del hilo y E el módulo de Young isotermo;
i.e., E S ∂F ∂ T
b) Si el hilo tiene una longitud de 1 m y una
sección de 0.2 mm2
y la tracción sobre el mismo aumenta de modo isotermo y cuasies- tático desde 0 a 10 kg, a la temperatura de 0 °C, ¿cuánto vale el trabajo realizado si se admite que tanto S como E permanecen cons- tantes? c) Si la sección del alambre no permanece constante durante el alargamiento del hilo, determinar el trabajo adicional realizado sobre el hilo por la presión atmos- férica normal que actúa sobre la superficie lateral del mismo, sabiendo que el coeficiente de Poisson vale 0.3. Dato: E=4.3×107
N/cm2 .
5.16.- La ecuación térmica de estado de un
hilo elástico es F a T 3 3 0 0 2
siendo a y 0constantes. Determinar el trabajo puesto en juego por el sistema cuando, estando sometido el hilo a una tracción F, se produce un cambio cuasiestático de la
temperatura desde T1a T2. NOTA: Suponer que el módulo de Young y la sección del hilo per- manecen constantes en el intervalo de tempe- raturas considerado.
5.17.- 100 g de nitrógeno están a 25 °C y
30 atm. Bruscamente, la presión pasa a 10 atm mediante una expansión adiabática del gas contra la presión exterior constante de 10 atm. Admítase un comportamiento ideal del gas. Calcular la temperatura final del gas y las variaciones de su energía interna y entalpía.
5.18.- 5 m3de aire a 4 atm y 60 °C se expan- sionan cuasiestáticamente hasta alcanzar un estado en el que el volumen es tres veces el inicial y la presión es de 1 atm. Determinar:
a) El índice de politropía del proceso; b) los
valores de CVy Cppara el aire; c) Las canti- dades de trabajo, calor y energía interna puestas en juego en el proceso. El índice de adiabaticidad del aire es 1.4.
5.19.- Establecer la ecuación de una trans-
formación cuasiestática y adiabática para un gas perfecto, para el cualγ=Cp/CVes función lineal de la temperatura absoluta.
5.20.- Admitamos que a medida que nos
elevamos en la atmósfera el aire va experi- mentando una expansión adiabática, respecto del aire en la capa inferior, como la que experimenta un gas ideal. a) Determinar el cambio de la temperatura con la altura.
b) ¿Cuánto disminuye la temperatura en una
elevación de 1 km?
5.21.- Se consideran n1moles de un gas perfecto G1y n2moles de otro gas perfecto G2. Se somete la mezcla de ambos a una transfor- mación politrópica de ecuación pVη=cte.
a) Calcular la capacidad calorífica de la
mezcla molar, Cm, en esta transformación.
b) Deducir la condición relativa a η que se
debe cumplir en una transformación adiabática.
5.22.- Para la determinación del equivalente
Prob. 5.22
mecánico (J) de la caloría por un método mecánico, puede utilizarse el dispositivo
experimental que se muestra en la figura adjunta. Este dispositivo consta de un recinto calorimétrico de cobre (C), de forma cilíndrica y con su eje dispuesto horizontalmente, que puede hacerse girar con la ayuda de una manivela. En el interior de dicho recinto se deposita una masa m=70 g de agua. Un hilo de cobre está arrollado alrededor del cilindro, con uno de sus extremos sujeto a un muelle (R), que a su vez está fijado a la estructura del aparato, en tanto que del otro extremo pende una pesa M= 5 kg. a) Cuando se acciona la manivela de modo que el calorímetro efectúa un total de n=200 vueltas, demostrar que el calor recibido por el sistema (calorímetro+a- gua+termómetro+trozo de hilo en contacto con el calorímetro) viene dado por W=MgπnD, siendo D el diámetro del cilindro. b) Si
θ0=20 °C es la temperatura inicial del agua,
θ1=24.1 °C es la temperatura final y k= 14 g es el equivalente en agua del sistema, obtener una expresión para J y calcular su valor numérico con los datos proporcionados, sabiendo que D=46.5 mm.
5.23.- Para calcular el equivalente mecánico de
Tabla Prob. 5.23 t min θ °C t min θ °C 0 19.0 11 21.2 1 19.0 12 21.6 2 19.0 13 22.0 3 19.1 14 22.4 4 19.1 15* * 22.7 5 19.1 16 22.6 6* 19.2 17 22.4 7 19.5 18 22.3 8 20.0 19 22.2 9 20.4 20 22.1 10 20.8 21 22.0 * inicio de la corriente (θ0) ** final de la corriente (θ) Prob. 5.23
la caloría (J), por un método eléctrico, se emplea una resistencia eléctrica (R) sumergida en el agua de un calorímetro, como se ilustra en la figura adjunta. Se hace pasar una co- rriente eléctrica I=300±3 mA, durante un tiempo de 540 s, merced a la diferencia de
potencial V=51±1 V. a) Demostrar que
J VIt
c(m k)(θ θ0 ∆θ)
siendo m la masa de agua contenida en el calorímetro, k el equivalente en agua del mismo, θ0la temperatura inicial, θ la tempe- ratura final y∆θ la corrección de temperaturas correspondiente a las pérdidas.
A fin de evaluar las pérdidas caloríficas, se ha observado la variación de la temperatura del agua, antes, durante y después del paso de la corriente por la resistencia, registrándose los valores que se muestran en la tabla que se adjunta. b) Representar gráficamente la temperatura θ en función del tiempo.
c) Estudiar las pérdidas caloríficas, determinando la consiguiente corrección térmica∆θ (vide §3.9). d) Calcular el valor de
J con su error.
5.24.- 10 kg de cierto gas se comprimen
cuasiestáticamente a una presión constante de 14 atm, desde un volumen inicial de 1500 L hasta 300 L. Si el incremento de energía inter- na es de 2.5×106
J y la temperatura varía desde 175 °C a 20 °C, calcular: a) el trabajo realizado en el proceso, b) el calor intercam- biado, c) el cambio de entalpía y d) el calor específico medio a presión constante.
5.25.- El calor molar del dióxido de carbono
viene dado en función de la temperatura absoluta, en cal/(mol K), mediante la expresión
Cp 7.0 7.1 × 103
T 1.86 × 106
T2