Capitulo III Conjuntos finitos
3.6 Nociones básicas de numerabilidad
Definición
Todo subconjunto numerable, equivalentemente decimos entonces A es numerable a un subconjunto de N cuando es equipotente.
Un conjunto numerable el conjunto P = {2n: n ∈ N}, donde f: N → P, definida por f (n) = 2n para todo n ∈ N, es biyectiva, luego P es equipotente a N.
Si A es un subconjunto infinito de N, existe una función biyectiva σ : N → A,
Obtenemos la propiedad siguiente:
n, m ∈ N, n < m =⇒ σ(n) < σ(m) (2)
Obsérvese que con la aplicación σ, cuya definición se hará por inducción, lo que
pretendemos es enumerar de forma “creciente” los elementos de A.
Si A tiene mínimo, entonces σ(1) = mín A.
Aquí se debe explicar, que cada n ∈ N, la forma de obtener σ(n + 1) es a partir de σ(n). Como A es infinito, no puede estar contenido dentro del conjunto finito
{k ∈ N : k < σ(n)}, luego {a ∈ A : σ(n) < a} = , entonces la buena ordenación nos permite definir: σ(n + 1) = mín {a ∈ A : σ(n) < a}.
La numerabilidad se expresa cuando se tiene una aplicación inyectiva de A en N o un conjunto A es numerable cuando A =
Obtenemos así una aplicación σ : N → A, que tiene las propiedades deseadas, como
pasamos a comprobar, empezando por la condición (2).
Es claro que σ(n) < σ(n + 1) para todo n ∈ N. Dicho de otra forma, la afirmación
σ(n) < σ(n + k) ∀n ∈ N (Pk)
es cierta para k = 1.
Si cumplimos que (Pk) para un k ∈ N, entonces tendremos:
σ(n) < σ(n + k) < σ(n + k + 1) para todo n ∈ N,
luego se cumplirá (Pk+1). Esto prueba por inducción que se verifica (Pk) para todo k ∈ N. Dados n, m ∈ N con n < m, podemos tomar k = m − n ∈ N para deducir que
σ(n) < σ(m).
Comprobada la propiedad (2), se deduce que σ es inyectiva, queda ver que σ es sobreyectiva. Al razonar por reducción al absurdo, y asumiendo que la imagen de σ no es todo el conjunto A, es probable llegar a una contradicción.
Tenemos la siguiente dicotomía:
Todos los conjuntos numerables pueden ser bien finito o bien equipotente a N.
Se puede establecer que no hay conjunto infinito de que tenga “estrictamente menos” elementos que N
Conjuntos numerables
Para la conservación de determinadas operaciones establecemos ciertos estudios:
Equivalentemente: Tenemos que A es un conjunto numerable y f : B → A es denominada una aplicación inyectiva, entonces B es numerable. Esto demuestra que todo conjunto numerable es numerable.
Existe en C una aplicación sobreyectiva g: N → C.
Entonces, para cada c ∈ C, el conjunto {n ∈ N : g(n) = c} no es vacío, luego tiene mínimo. Se define una aplicación h : C → N:
h(c) = mín {n ∈ N : g(n) = c} ∀c ∈ C
Por tanto C es numerable e inyectiva
Sea ya A un conjunto numerable y f : A → B una aplicación cualquiera. Si A es finito, f (A) también será finito, luego numerable. Si A es infinito, tendremos A ∼ N, es decir, existe una aplicación biyectiva ϕ : N → A. Entonces g = f ◦ ϕ es una aplicación sobreyectiva de N en f (A). Por lo demostrado anteriormente, f (A) es numerable. Hemos probado lo siguiente:
Si A es un conjunto numerable y f : A → B una aplicación, entonces f (A) es
numerable.
En un producto cartesiano:
Si A y B son conjuntos numerables, entonces A × B es numerable.
Cuando N × N es numerable. Para ello basta observar que la aplicación:
ϕ : N× N → N definida por
Ello se debe a que, por ser 2 y 3 números primos, la igualdad 2m · 3n = 2p · 3q, con m, n, p, q ∈ N, implica que m = p y n = q.
Al unir conjuntos numerables. Veamos un primer caso:
Si J es un subconjunto no vacío de N y, para cada n ∈ J se tiene un conjunto de tipo numerable
Bn, entonces el conjunto B = Bn es numerable.
Para cada n ∈ J tal que Bn ϕ , existe una aplicación inyectiva ϕn : Bn → N. Construimos entonces una aplicación ϕ : B → N× N de la siguiente forma.
Dado b ∈ B, se tendrá que b ∈ Bn, para algún n ∈ J y podemos tomar
k = mín {n ∈ J : b ∈ Bn}. Como Bk0, podemos definir ϕ(b) = k, ϕk(b)
Aquí se evidencia que ϕ es inyectiva, y se sabe además que N× N es numerable, entonces B también es numerable.
Aplicación didáctica
Contribución didáctica para el estudio del concepto de función
Graciela Rey; Carolina Boubée
Patricia Sastre Vazquez; Alejandra Cañibano.
El presente estudio considera su importancia en los ingresantes a la universidad en el área de Matemática, destaca su importancia en el tema de “funciones” al considerar
múltiples dificultades en el transcurso del desarrollo de las carreras, el aporte de este se centra en el estudio alternativo de abordaje didáctico en las funciones y en particular la “función lineal”
En la enseñanza secundaria se aborda el concepto de conjunto como otros temas de la Matemática, los alumnos al ingresar a la universidad se ven con muchas dificultades y falto de capacidad para interpretar, definir o graficar funciones de situaciones
problemáticas.
Desarrollo
Una transformación de aprendizaje exige diseño de objetos de la situación de la enseñanza y sistema de enseñanza, complementado con textos y programas oficiales adaptados a los objetos y exigencias matemáticos provocando transformaciones.
Exigencias según (Ruiz, 1998):
• Establecer un marco divisorio dentro del campo de saber delimitados parciales
entre un fraccionamiento y automatización.
• Establecer una programación de aprendizaje mediante una progresión ordenada en
• Comprobar en todo momento el desarrollo del aprendizaje y conocimiento del
estudiante, expresado en las expectativas de logros.
• La estrategia de enseñanza de la matemática utiliza herramientas para resolver
problemas la explicación y la introducción se emplearán como objeto de estudio. La formalización del conocimiento y la enseñanza es aplicable en la resolución de ejercicios.
Ruiz Higueras expresa:
“Nuestros alumnos de secundaria manifiestan en general una concepción de la noción de función como un procedimiento algorítmico de cálculo... Podemos decir que sus definiciones no determinan el objeto función, sino las relaciones que han mantenido con él”.
“Tanto se ha descompuesto el objeto función en segmentos para su enseñanza que
elalumno no logra unificarlos dándoles una significación global. El alumno ha visto muchos objetos allí donde sólo debía existir uno”.
Al encontrar diversas concepciones sobre la función por las diferentes enseñanzas, en el uso de los procedimientos algorítmicos y rutinas, calculando dominios, funciones, construcción de tablas, etc. Se utilizan formulas algebraicas y eliminador del sentido de variabilidad y movilizando incógnitas.
La noción de función tiene un tratamiento en su formación muy limitada por el sistema de enseñanza no logrando generar una concepción más completa.
Pieza fundamental en la variable didáctica que depende del docente o el proyecto del sistema educativo, se plantea algunos aportes vinculados a ella.
¿Enumere las dificultades posibles que tienen los alumnos con relación a este concepto? ¿Al existir errores como lo tratan? ¿Cómo priorizan estos aspectos? ¿Cómo la Universidad afrontar la enseñanza, de un tema anteriormente visto?
Es un proceso muy largo que se lleva para la formación de un buen concepto matemático Shlomo Vinner (1983), en su concepto de modelo de construcción involucra conceptos, definiciones, representaciones, propiedades asociativas.
Dice este autor:
“Sea C un concepto y P una persona. La representación mental que P hace de C es el conjunto de todas las representaciones que se han asociado con C en la mente de P. La palabra representación está usada en sentido amplio e incluye cualquier representación visual del concepto, incluyendo símbolos. El gráfico de una función específica, algún diagrama, fórmula y/o tabla, la expresión simbólica y = f (x), etc. pueden estar incluidas en la representación mental del concepto de función de alguna persona.
Además de la representación mental de un concepto puede haber un conjunto de propiedades asociadas con el concepto (en la mente de nuestra persona P). Por ejemplo, si alguien piensa que una función siempre se puede expresar por una única fórmula, en su mente se encuentra esta propiedad asociada al concepto de función (existe en su mente esta asociación, independientemente de su veracidad). Se llama imagen de un concepto a su representación mental junto con el conjunto de propiedades asociadas al concepto. Queda claro por su definición, que la imagen de un concepto es propia de cada persona.
Se entiende por definición de un concepto a una formulación verbal que explica el concepto con precisión, en un sentido no circular Para algunos
conceptos tenemos sumada a su imagen mental su definición verbal, para muchos otros sólo tenemos su imagen. Por ejemplo, no tenemos una definición de naranja, casa, etc., pero si muy claras imágenes mentales de los mismos. Ellos fueron adquiridos cuando éramos chicos, probablemente por medio de definiciones ostensivas.
El modelo plantea la existencia, en la estructura cognitiva, de dos celdas diferentes: una para la imagen del concepto y otra para su definición verbal (para evitar confusión aclaramos que no se trata de celdas biológicas). Puede existir interacción entre ambas aunque pueden haberse formado independientemente. La forma de introducir un concepto puede activar una o la otra.
Para manipular un concepto se necesita la imagen del concepto y no su definición. Al pensar o reflexionar casi siempre se evoca la imagen del concepto y no su definición. Esto es así sobre todo en el aprendizaje informal. En el aprendizaje formal la situación puede ser diferente, aquí sí entra en juego la definición verbal. Las definiciones verbales tienen dos orígenes: o bien nos las han enseñado o bien las fabricamos cuando tenemos que explicar otros conceptos. Las que nos han enseñado forman parte de un sistema general (en el caso de conceptos matemáticos y científicos en general) al que no estamos
necesariamente familiarizados. A veces nos presentan definiciones antes de que tengamos una imagen del concepto y esperamos aprender más para llenar este vacío. Las
definiciones verbales tienen su razón de ser: por un lado ayudan a formar la imagen del concepto y por otro son de utilidad en la ejecución de ciertas tareas cognitivas”.
Los alumnos al representar el concepto de función, tienen diferentes dificultades ya sea por su veracidad, por las diferentes dificultades que tienen y la variedad de funciones con las que cuentan.
La noción dependencia está ligada al concepto de función variabilidad como único medio que no está en condiciones de valerse por sí mismo y depende de otra variando y constatando el efecto de su variación.
La función como herramienta de modelización debe tener claro el significado de dependencia entre variables.
En España la Comisión de reflexión sobre la enseñanza de la matemática (1978) sostiene que: “Una función no es ni unaestadística de valores ni una representación gráfica ni un conjunto de cálculos ni una fórmula, sino todo ello al mismo tiempo”.
Relacionar y modelizar las situaciones del mundo real es posible gracias a las funciones que permite relacionar las variables diversas en un medio dinámico que permitan una relación de conclusión y formulación.
Para la elección de problemas deben de considerar la familiarización de los alumnos en el tema y en sus conocimientos.
En la siguiente tabla 1:
Tabla 1 Función Lineal Contenido Matemático Actividad Contextualizada Actividad Descontextualizada Ecuación de la recta que pasa por dos
puntos. .
Un cultivo de soya que produce 2,6 ton/ha al fertilizarlo con fosfato diamónico (DAP) de 45kg/ha, y produce 3 ton/ha si se fertiliza con 55 kg DAP/ha.
a) Expresar la relación entre la producción (P) y la fertilización (f) con DAP en forma de función P(f). b) Como se comporta otra variedad de soya con respecto al mismo fertilizante:
Produce 2,7 ton/ha si se aplican 40 kg DAP/ha, y 3,3 ton/ha si se agregan 60 kg DAP/ha. Exprese la relación P2(f).
c) Saque sus conclusiones, luego de comparar el comportamiento de las dos variedades.
d) ¿Qué información está representada en la pendiente y la ordenada al origen de cada una de las funciones?
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(45;
2,6) y P2 (55;3). Grafique. Identifique
pendiente y ordenada al origen.
Representar un adecuado concepto matemático requiere identificar conceptos y resultados que presenten y expresen información sobre el dominio de la matemática y resolver el problema matemático.
La función admite diferentes representaciones, registros, alcances y limitaciones.
Un registro es un medio de expresión y representación que está constituido por signos, trazos, símbolos, íconos, está ligado a las ideas, conceptos, no necesariamente matemático.
Representación de función:
• Registro verbal: Es el registro de la función cuya representación es el lenguaje
natural.
• Registro tabla: Está representada con una tabla de valores estableciendo una
relación de correspondencia.
• Registro gráfico: Es un registro que es representado mediante una curva en un
plano cartesiano graficando una función.
• Registro algebraico: Es la representación que posibilita hallar la imagen f(x) para
toda x que pertenece al dominio de la función. Tiene poca limitación pues proviene del cálculo.
• Registro algorítmico: Es la representación del proceso de imagen de una función
programa o procedimiento a partir de los valores del dominio.
Para el alumno resulta dificultoso interpretar entre los registros gráficos y algebraicos la lectura de representaciones gráficas.
Es muy importante para el alumno el aprendizaje del concepto de función que pueda diferencias sus representaciones y registros que le podrían favorecer dicha diferenciación en las actividades de articulación.
Tabla 2
Ecuaciones de la recta
Los alumnos no se encuentran habituados con metodologías tan complejas para llegar aprender la Matemática. Esta metodología expresa una consolidación de los
conceptos e interpretaciones de la función lineal y sus parámetros, asís el alumno se evita de utilizar fórmulas de memoria y trabajos conceptuales y no memorísticos, llegando así a presentar al profesor un gran desafío.
Síntesis
Desde el año 1637, se viene utilizando la terminología función, que es uno de los conceptos más importantes de la matemática, este término fue acuñado por un matemático de origen francés, cuyo nombre fue René Descartes, quien la utilizó para distinguir una potencia xn de la variable x. En el año 1964, G.W. Leibniz matemático de origen alemán, también lo utilizó para distinguir a varios aspectos de descripción de la curva, como su pendiente. Pero para nuestra actualidad, el concepto de función, que más utilizamos fue defendido en el año 1829 por otro matemático de origen alemán, en este caso nos referimos J.P.G. Lejeune-Dirichlet, quien vivió entre (1805-1859). Todos estos matemáticos, llegaron a resumir en términos técnicos, las bondades de las funciones, explícitamente las funciones matemáticas en el mundo real, por ejemplo, la variación de la temperatura, la traslación y el movimiento de los planetas, las frecuencias o ritmos
cardiacos, las ondas del cerebro, los ciclos comerciales, el crecimiento humano, el crecimiento poblacional, entre otros. Por ello en esta sección sintetizamos, los tipos de funciones más utilizados, la modelización de los fenómenos aplicados a distintas ciencias y en la vida diaria, sus características analíticas y genéricas, así como su clasificación,
Apreciación crítica y sugerencias
Las funciones poseen mucho valor en la vida diaria, a la hora de resolver problemas de tipo matemático, sobre todo porque están ligados a la fenomenología física, dado que se encuentran presentes en todos los fenómenos. Por ejemplo, en los problemas de tipo ingeniería, financiera, económica, estadística, médica, astrónoma, química, geológica, física y de otras áreas sociales que se relacionan las variables, en todas ellas las funciones se hayan presentes.
Las situaciones en la actualidad, nos sugieren reflexionar la importancia del
conocimiento y la aplicación de las funciones, donde, un mecanismo el proceso educativo de las personas, que necesita estar subordinada a una concepción pedagógica global, que valorice la comprensión de las funciones matemáticas como una herramienta para la resolución de problemas, y en contexto utilizar gráficas, tablas, figuras, expresión matemática, interpretación de los procesos involucrados, y en la mayoría de los casos, mediante las funciones, poder comprender y solucionar problemas del entorno global, la cual se encuentra interrelacionado.
Bibliografía
Camuyrano, M. y otros. (1997) Matemática. Temas de su Didáctica. Algunosaspectos de la enseñanza de las funciones. Prociencia. Conicet.
Chevallard, Y. Bosch, M. Gascón J. (1997). Estudiar Matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. I.C.E. Universitat Barcelona.
Ruiz Higueras, L. (1998) La noción de función: análisis epistemológico y didáctico.
Universidad de Jaén. España.
Vinner, S. (1983) Definición e imagen de un concepto y la noción de función.