Funciones Función, Igualdad de funciones. Función: Inyectiva, suryectiva, biyectivas, inversa. Propiedades. Composición de funciones. Conjuntos equipotentes. Conjuntos infinitos y finitos. Cardinalidad. Nociones básicas de numerabilidad

Texto completo

(1)

Enrique Guzmán y Valle

Alma Máter del Magisterio Nacional

FACULTAD DE CIENCIAS

Escuela Profesional de Matemática e Informática

MONOGRAFÍA

FUNCIONES

Función, Igualdad de Funciones. Función: Inyectiva, Suryectiva,

Biyectivas, Inversa. Propiedades. Composición de funciones. Conjuntos

Equipotentes. Conjuntos Infinitos y Finitos. Cardinalidad. Nociones

Básicas de Numerabilidad.

Examen de Suficiencia Profesional Res. N° 0590-2018-D-FAC

Presentada por:

PASCUAL CONDORI QUISPE

Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación

Especialidad : Matemática e Informática

(2)

Biyectivas, Inversa. Propiedades. Composición de funciones. Conjuntos

Equipotentes. Conjuntos Infinitos y Finitos. Cardinalidad. Nociones

Básicas de Numerabilidad.

Designación de Jurado Res. N° 0590-2018-D-FAC

_________________________________________

Mg. Aurelio Julián GAMEZ TORRES PRESIDENTE

_________________________________________

Lic. Vicente Carlos DÁVILA HUAMAN SECRETARIO

____________________________________

Mg. Faustino Fortunato CUENCA CERVANTES VOCAL

Línea de Investigación: Tecnología y Soportes Educativos

MONOGRAFÍA

FUNCIONES

(3)

Dedicatoria

A Dios Padre, porque me inspira hacer todo en la vida;

A mis padres, que me han apoyado siempre,

(4)

Contenido

Portada i

Designación de jurado ii

Dedicatoria iii

Contenido iv

Introducción v

Capítulo I Función

1. Función. 11

1.1 Datos conjuntos no vacío 11

1.2 Clasificación de las funciones 20

1.3 Definiciones alternas 21

1.4 Función inyectiva y no, sobreyectiva 21

Capítulo II

Composición de funciones

2. Composición de funciones 26

2.1 La función inversa 28

2.2 Propiedades de la relación de equipotencia 30

(5)

Capítulo III Conjuntos infinitos

3. Conjuntos infinitos 33

3.1 Acerca del infinito 35

3.2 Cardinalidad 39

3.3 Técnicas de contar 40

3.4 Técnica de recuento para obtener cardinales 41

3.5 Coordinabilidad entre conjuntos 43

3.6 Nociones básicas de numerabilidad 44

Aplicación didáctica 48

Síntesis 57

Apreciación crítica y sugerencias 58

(6)

Introducción

La enseñanza y el aprendizaje de la Matemática en la sociedad del tercer milenio en

la que vivimos se ve comprometida en cambios constantes y en las maneras de

comunicación constante, de la mano con la ciencia y la tecnología con un enfoque de

desarrollo y fortalecimiento de pensamiento lógico y creativo capaz de resolver problemas

cotidianos desarrollando de esta manera las destrezas necesarias para que el estudiante sea

capaz de resolver problemas.

El poder interactuar con fluidez y eficacia en el mundo de las matemáticas, es

satisfactorio y extremadamente necesario. En nuestras actividades cotidianas nos vemos

envueltos en tomar decisiones relacionadas con la ciencia, por ejemplo, decidir el mejor

precio de un producto, interpretar cuadros, gráficos de los diarios, constituir vinculación

alguna con la lógica de razonamiento o decidir la mejor opción de inversión.

El pensamiento matemático crítico y resolutivo en los problemas hace que las

personas entiendan y puedan “hacer Matemática, crecer día a día y su aplicación y destreza

en las más variadas profesiones y lugares de trabajo, dando mayores oportunidades y

posiciones para decidir sobre su futuro.

Afianzar las destrezas con criterio y desempeño matemático permite las

oportunidades de desarrollar carreras y ocupaciones profesionales de gran variedad. Es una

gran responsabilidad y reto que tiene el sistema educativo ya que no todos los estudiantes

al finalizar su educación básica, desarrollan los mismos gustos y destrezas por la

Matemática ya sean por las oportunidades o facilidades para aprender que son necesarias

(7)

La educación es el motor del desarrollo de un país, el aprendizaje de la Matemática

es el saber transferir al estudiantado y profesionales, aportes positivos con enfoque

cognitivo, con pensamiento, razonamiento y criterio lógico basado en argumentos

fundamentados y resolutivos en los problemas.

El mérito y la necesidad de una mejora educativa en las Matemáticas en nuestros

estudiantes, permitirá cumplir sus ambiciones y objetivos personales en nuestra sociedad,

las autoridades, los padres de familia, estudiantes, profesores, se verán comprometidos en

un trabajo conjunto para crear espacios apropiados para la enseñanza y el aprendizaje de la

Matemática. Estos espacios son necesarios para que el par enseñanza-aprendizaje de

Matemática se comprenda y aprenda y represente un desafío al estudiante y al profesor con

base a los principios de equidad y poder, para lograr los objetivos propuestos. Tomando en

consideración proveer a todos estudiantes las mismas oportunidades para poder aprender

Matemática.

Un factor importante en el aprendizaje y la enseñanza de la Matemática, es el

desarrollo de un coherente currículo, tomando en consideración lo aprendido en los años

anteriores y que permita una relación estrecha y concatenada de la secuencia de año a año,

que asegure un conjunto de conocimientos competitivos con criterios metodológicos y

programas de evaluación que los estudiantes deben de alcanzar en todos sus niveles de

educación. Relacionadas también con las destrezas necesarias para interactuar dentro de

otros conceptos para desarrollar y crear nuevos conocimientos, saberes y capacidades.

La planificación y la comunicación que requieren los profesores de Matemática para

que el estudiante pueda fluir de un año al otro con los conocimientos previos en la

construcción de nuevos aprendizajes, debe trabajar con los temas más importantes y

(8)

La razón de crear espacios permanentes de dialogo entre los docentes de Matemática

de año a año, en desarrollar la capacidad de crear ideas, descubrir nuevas alternativas,

realizar conjeturas y aplicarlas permiten que los estudiantes puedan desarrollar un

pensamiento lógico matemático que le permita interpretar fenómenos de situaciones

cotidianas, capaz de argumentar y explicar. Un verdadero aprender a aprender. Afectaría a

todo este proceso un trabajo en forma aislada donde el estudiante seriamente sería afectado

impidiendo su crecimiento en el aprendizaje de la Matemática.

En esta propuesta el profesorado debe asegurar su compromiso enfocado en el

currículo de la Matemática básica, que el estudiantado ha captado conceptos, teoremas,

algoritmos, necesarios para la resolución de los problemas, comprensión de reglas,

teoremas y fórmulas.

El eje curricular de Matemática es de “interpretar y resolver problemas de la vida”,

por ello la educación en la Matemática debe generar una variedad de estrategias con

metodología activa y recursos, con un enfoque de trabajo general en la enseñanza y

aprendizaje.

Presentación de tres ejes del aprendizaje curricular máximo del área, con cinco

bloques curriculares y de segundo a décimo de básica y que son:

 Formación de Conceptos: Entender la concepción comprometida, códigos reglas

de utilización. ( C)

 Desarrollo de Procesos: Emplear los códigos accesibles, que se adapten a postras

reales o hipotéticas. ( P )

 Aplicación en la práctica: Solventar inconveniente y aclarar la táctica utilizada y

(9)

Bloques curriculares del área de Matemática:

Bloque de relaciones y funciones: Son los diferentes niveles de complejidad que

se inicia en los primeros años de básica donde se desarrolla la reproducción, la

construcción de patrones de objetos, figuras, posteriormente con la identificación

y reconocimiento de patrones bajo diferentes formas y usos para predecir valores,

permitiendo al estudiante construir patrones de crecimiento exponencial que en

los primeros años permita argumentar las funciones, sucesiones, ecuaciones y de

esta manera contribuir al desarrollo de la comunicabilidad matemática y el

razonamiento lógico.

Bloque numérico: Aquí lo que permite es la relación, la fluidez y el

razonamiento del análisis numérico, la forma como representarlo, significado de

las operaciones y la relación entre los sistemas numéricos y los números.

Bloque geométrico: Aquí lo que trata es potenciar el desarrollo visual, potenciar

el razonamiento espacial y potenciar el modelo geométrico para la resolución del

problemas. Bajo las características, propiedades, formas y figuras entre dos o tres

dimensiones, desarrollando argumentos matemáticos, geométricos, espaciales

utilizando simetrías para el análisis situacionales matemáticos.

Bloque de medida: Se busca comprender los sistemas, procesos de medición,

aplicaciones técnicas, fórmulas para la resolución de problemas de su entorno.

Cuyo objetivo es comprender los atributos medibles como la longitud, peso,

(10)

Bloque de estadística y probabilidades: Lo que busca este bloque es responder las

interrogantes planteadas basadas en datos, entendimientos y aplicaciones básicas

de probabilidades, desarrollando y evaluando inferencias y predicciones como

herramientas claves para la mejora de otras disciplinasen su vida cotidiana del

estudiante y que le permita la capacidad de formulación de preguntas.

La finalidad del estudio de la Matemática es permitir un comportamiento y

aprendizaje competitivo de los estudiantes, muy necesario para su desempeño en

(11)

Capítulo I Función 1. Función

1.1 Datos conjuntos no vacío

Definición 1

Definición 2

Notación. Las funciones se denotan con letras del alfabeto español o griego: f, g, h, F, , ,

, etc. Y simbólicamente por:

f : AB o AfB; yf x

 

Encuentro de ambos conjuntos no vacíos A y B, y sea f una correspondencia de A en B.

Diremos que f es una función de A en B si se cumplen las siguientes condiciones:

f1) Dom f = A

f2) Si (x, y) f (x, z) f entonces y = z

Encuentro entre ambas funciones f del conjunto vacío A y B correspondencia de A en B, es una relación que asocia a cada elemento xA un único elemento

(12)

Donde:

 

f x : se lee “f de x”

 

yf x : es la regla de correspondencia

y : es el valor o la imagen de x mediante f

x : es la pre imagen de y mediante f

Cualquier elemento arbitrario x del dominio de f se llama también variable

independiente y su imagen correspondiente mediante f se llama variable dependiente. En el

ejemplo del área del círculo, el radio, r, es la variable independiente y el valor A del área

es la variable dependiente.

Se escribe A r

 

 r , r2 0

.

La regla de correspondencia describe la forma como se obtiene el valor de la función f(x). Una función está bien definida cuando se conocen su dominio y su regla de

correspondencia.

Definición

Sea f : ABuna función definida por la regla de correspondencia yf x

 

.

a) El conjunto A se llama dominio de la función y se representa como Dom f.

Simbolicamente

(13)

b) El subconjunto de B formado por los valores que la función asigna a cada uno de los elementos de A, se llama rango y se representa como Ran (f).

Simbólicamente

Definición

Ejemplo: Si A

1, 2,3, 4,5 ,

B

0, 2, 4,6,8,10

son dos conjuntos y f : AB es una función definida por f x

 

2x.

Hallar Dom f

 

y Ran f

 

Solución

  

 

         

  

Dom f 1, 2,3, 4,5

Ran f f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 2, 4, 6,8,10 Luego Ran f 2, 4, 6,8,10

 

 

 

 

Ran f      y B x A y f x , Ran f B

Dos funciones f y g son iguales si y solo si:

a) f y g tienen el mismo dominio

(14)

Ejemplo.- Si f de IR en IR es la función definida por f x

 

x32x4; hallar:

a) el valor de f

   

 1 f 3

b) una función g, tal que g x

  

f x2

c) El valor de x Dom f tal que su imagen es 8

Solución

a) Sustituyendo x por -1 y 3 en la regla de correspondencia f x

 

x32x4 se tiene,

   

 

 

   

 

 

3

3

f 1 1 2 1 4, luego f 1 5

f 3 3 2 3 4,entonces f 3 25        

   

Por tanto f

   

 1 f 3 30

b) g x

  

f x2

 

 x2

32 x

2

4

3 2

x 6x 12x 8 2x 4 4

      

Luego g x

 

x36x210x 8

Dom gDom f  IR

c)

 

3

f x  8 x 2x4, factorizando se tiene:

3 2

x 2x  4 0 x2 x 2x2 0 x 2

(15)

Definición

Simbólicamente

La representación gráfica del grafo de la función, cuando es posible, se llamagráfica de la función.

Teorema. Existe una función f : ABcon regla de correspondencia yf x

 

si y solo si el grafo de f satisface las funciones propiedades:

a) x  A, y B : x, y

 

Gr f

 

b)

 

x, y Gr f

   

 x, z Gr f

 

 y z

Observación. Según el teorema f es una función siempre y cuando su gráfica son (x, y) con y = f(x), pares ordenados, tal que ninguno de esos pares tiene la misma primera

componente, además por definición para cada x en el dominio de la función existe uno y

solo un valor de y = f(x).

 

 

Gr f  x,f x xA

Sea f : ABuna función definida por la regla de correspondencia yf x

 

,

el grafo de f, que se denota con Gr (f), es el conjunto de A x B formado por

(16)

Geométricamente, esto significa que ninguna recta vertical puede cortar a la

gráfica de la función en más de un punto.

Observación. Cada elemento del dominio se relaciona solo con un elemento del rango

Ejemplo. Determinar los valores de a y b del dominio, si f es una función tal que

Gr f

      

1,0 , 2, 4 , 3, 1 , 2,a

 

b , 2,8a

 

 2 b

Solución

Tres pares ordenados de Gr (f) tienen la misma primera componente, como f es función,

aplicando el teorema, ellos representan al mismo punto.

Es decir:

 

2, 4 Gr f

  

 2,a b

G f

 

  4 a b .... ... (1)

 

2, 4 Gr f

  

 2,8a  2 b

Gr f

 

 4 8a 2 b... (2)

Resolviendo el sistema a b 4

8a b 6   

   

Por lo tanto, a109, b269

Ejemplo. Determinar si f de R en R es una función, si Gr (f) = {(x,y)∈ RxR / y² = x }

Solución

Aplicando el teorema, f es función si y solo si

a) ∀x ∈ R, ∃ y ∈ R tal que (x,y) ∈ Gr( f ) además

(17)

Pero si

 

x, y Gr f

 

y2x

 

 

2

x, z Gr f z x

De ahí que 2 2

y z , esto no implica que y = z.

Por tanto, f no es una función.

Ejemplo: Si Gr f

             

1, 2 , 2,3 , 4, 2 , n,3 , 3,3 , 1, b

y

f es una función definida de A en B, donde A

1, 2,3, 4,5

B

1, 2,3

.

Hallar

a) f f 2

 

b) una función g con dominio en A tal que g x

 

bx2n

Ejemplo:

El alejamiento que recorre un avión que viaja a una rapidez de 500 millas por hora

(mph) es una función del tiempo de planeo. Si s simboliza la distancia en millas y t es

el tiempo en horas, entonces la función es: s (t) = 500t.

Ejemplo

La periferia es la distancia entre cualquiera de sus puntos en función de su radio:

C(r) = 2πr.

Ejemplo

La propulsión en las fibras nerviosas se traslada con una rapidez de 293 pies/segundo.

Recorriendo una distancia dada en t:

(18)

Ejemplo

En la ecuación y = x3 + 6x2 -5, da como resultado una nueva valía de y. Por tanto, la

ecuación se determina por una función cuya norma es: asignar a x un número entero único

de forma que y = x3 + 6x2 -5. Representación de la función:

f(x) = x3 + 6x2 -5.

Entonces: f (0) = 03 + 6(0)2 -5 = -5 y,

f (2) = 23 + 6(2)2 -5 = 27

Ejemplo

Si x, se representa por f(x) = 1.6094x. y término de velocidad en América del Norte es

de 55 mph, su semejante es:

f (55) = 1.6094(55) = 89 km/h

Si x = 60 mph, f (60) = 1.6094(60) = 97 km/h

Ejemplo

Sea t el tiempo en segundos y d(t) “la distancia en metros que una piedra cae

después de t segundos”. La proposición “la distancia que cae la piedra después de

t segundos es 5t2 metros” d (t) = 5t2. Por ejemplo,

d (1) = 5(1)2 = 5

Representa “la distancia que la piedra cae después de 1 segundo es 5 metros”

d (4) = 5(4)2 = 80

Representa “la distancia que la piedra cae después de 4 segundos es 80 metros”

Ejemplo

Calcular la función f(x) = 2x2 – 4x + 1, cuando x = -1, x = 0, y, x = 2.

Solución.

(19)

Cuando x = 0, f es f (0) = 2(0)2 – 4(0) + 1 = 1

Cuando x = 2, f es f (2) = 2(2)2 – 4(2) + 1= 8 -8 + 1 = 1

Confección de la tabla:

X f(x)

-1 7

0 1

2 1

Ejemplo:

Para f (x) = x2-2x, encuentre y simplifique: (a) f (4), (b) f (4 + h), (c) f (4 + h) – f (4),

Solución.

(a) f (4) = 42 – 2(4) = 16 – 8 = 8

(b) f (4 + h) = (4 + h)2 – 2(4 + h) = 16 + 8h + h2 – 8 – 2h

= 8 + 6h + h2

(c) f (4 + h) – f (4) = 8 + 6h + h2 – 8 = 6h + h2

Ejercicio. - Analizar la función f(x) = x2 +1. Localizar cual es el dominio y su rango.

Sustituyendo valores:

Por ejemplo, f (-1) = (-1)2 + 1 = 1 + 1 = 2, f (2) = (2)2 + 1 = 4 + 1 = 5.

(20)

.

Los números reales son analizados por el domino de la función, para todo número real con

imagen x como número real. El intervalo [1, +∞) como rango jamás será número real x un

valor menor que 1.

1.2 Clasificación de las funciones

A, B, son conjuntos, examine que probables funciones puedan establecer estos conjuntos

que permite diversificar:

• Una imagen compete preimagen inyectiva.

• Al ser igual la imagen al codominio, sobreyectiva o suprayectiva

• Es biyectiva si al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva x f(x) = x2 + 1

3 10

2 5

1 2

0 1

-1 2

-2 5

(21)

1.3 Definiciones alternas

Sea f : A B, dada y sea b un elemento cualquiera del codominio B.

Consideremos la ecuación f(x) = b (*).

• Cuando constantemente la ecuación tiene al menos tiene una solución se dice que es

una función suprayactiva.

• Cuando la ecuación (*) solo tiene una solución es función inyectiva

• Únicamente cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez, es función biyectiva.

En el diagrama de Venn podemos observar que en el conjunto U es la representación

de todas las posibles funciones, donde A es la aplicación inyectiva y el conjunto B es

sobreyectiva. Estos nos permiten distinguir dos tipos de funciones en modo gráfico.

1.4 Función inyectiva y no sobreyectiva

Todo elemento imagen que tiene exclusiva y preimagen es una función inyectiva.

Al tener la misma imagen dos elementos del dominio no es inyectiva.

En el diagrama de Venn afectan a los siguientes empleos que corresponden a X y

(22)

La cardinalidad de X son constantemente menor que la de Y, donde Y tendrá más

elementos que X con acuerdo a la relación.

En el modelo se observa el comportamiento de todos los elementos de Y, no es una

función sobreyectiva.

Ejemplo

Asociando el los pinceles con las pinturas de los colores.

, ,

Conjunto C:

, , ,

Relacionando los pincel y la cara de perro adecuada: Al darse

que solo una cara color corresponde a la función. La función inyectiva se da porque cada

cara tiene un pincel de su color. Es sobreyectiva el a amarillo porque la cara no tiene

(23)

En resumen, podemos definir :

Cuando una función no es inyectiva.

En cuanto a las funciones suryectivas o suprayectivas :

(24)

Ahora, veamos

Un ejemplo de función biyectiva es y = f(x) = 2x + 5

a) f es inyectiva

b) f es suryectiva

c) f es biyectiva

Función

No Inyectiva Sobreyectiva

La función no inyectiva al menos su componente de imagen en ambos conjuntos o

más orígenes.

Sea f de A en f de B, si f es una función es biyectiva

(25)

En la funciones que no pertenecen a A y si pertenecen a B llevando a la pertenencia

de B y A: B - A.

La superioridad de elementos de A debe poseer sobre Y.

En el diagrama de representación de c de Y con dos orígenes 3 y 4 esta función no

es inyectiva es una concentración de función sobreyectiva.

Ejemplo:

P es el conjunto de colores:

, , ,

Observamos que los pinceles azules que son dos, semejantes de color, pero de

pincel distinto

Terminamos teniendo un conjunto de caras pintadas:

, ,

La función es sobreyectiva al relacionarse los colores los pinceles y las caras

(26)

Capitulo II

Composición de funciones

2. Composición de funciones

Definición.- Sean los conjuntos A, B y C conjuntos, f es una función de A en B y g es una función de B en C, Entonces se define la composición de funciones de f con

g, y se denota g ο f , definida por :

Esta función resulta ser una función de A en C. Esto se visualiza mejor en el diagrama

siguiente: f g

A B C

gο f

Ejemplo

Solución

 

 

   .

2

Las funciones y están definidas por y 1 Calcula :

3

x

f g f x g x x

ggf

 

x

b)

 

 

3 1 2 3 1 1 a) 2

2

    

f g x f x x x x

x g f

       2

3 1 1 3 1 3 3 b) 2 2 2 2                                

g g f x g g x g x x x

x f g

g 

( g ο f )(x) = g ( f (x) ) , aA

fg

 

x

(27)

Ejercicio

En la función p(x) y q(x) a partir de f(x) y g(x), descomponga:

Solución

Ejemplo

Gráfica de la función y = f (x):

Solución

 

x2x3 , g

 

xx2 , p

 

x2 x23 y q

 

x2x5

f

  

x f g

 

x q

  

x g f

 

x

p    

 

 

11

a) Calcula f 0 y f 2 .

 

 

1

b) Representa en los mismos ejes f x a partir de la gráfica de f x .

 

0 1porque

 

1 0

) f1  f

a

 

2 5 porque

 

5 2

1

f

(28)

b)

Ejemplo

Solución

2.1 La función inversa

La biunívoca de la función biyectiva está compuestas por los elementos del dominio y

contradominio. Mostraremos su significativo sobre la función biyectiva

Ejemplo:

Puntualiza una función f : {1, 2, 3, 4} → {a, b, c, d}

Puntulaiza una función g : {a, b, c, d} → {1, 2, 3, 4}

Podemos componer f con g invirtiendo las flechas en el diagrama

   2   ,

Sabiendo que f x x x y g x sen x halla :

gf

 

x

a) b)

gg

 

x

 

 

 

2

2

a) gf xg f xg xxsenxx

(29)

f g

1 a a 1

2 b b 2

3 c c 3

4 d d 4

g ◦ f : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4}. Notemos que (g ◦ f )(x) = x, para cada x ∈ {1, 2, 3, 4}.

Asimismo podemos establecer g con f ; logramos la función

f ◦g : {a, b, c, d} → {a, b, c, d}

Notemos que

(f ◦ g) (x) = x, para cada x ∈ {a, b, c, d}.

Se recibe el nombre de identidad por las funciones compuestas obtenidas, cuando

los elementos del dominio no se alteran. Podemos observar que las figuran no son iguales

el primero con dominio {1, 2, 3, 4} y la segunda {a, b, c, d}. Usamos una notación

especial para ellos. Para un conjunto A, 1A es su función.

iA : A → A Declarado por

iA(x) = x, para cada x ∈ A.

El uso del subíndice A con el fin de que la identidad de la función A depende del

conjunto A.

Al verificar podemos decir que f de 1ª es biyectiva.

Analizar si g tiene propiedad:

(30)

2.2 Propiedades de la relación de equipotencia

Definición:

Propiedades de equipotencia:

Reflexiva

A ≈ A

Simétrica

Si A ≈ B entonces B ≈ A

Transitiva

Si A ≈ B y B ≈ C entonces A ≈ C

Por la tanto, la relación de equipotencia entre conjuntos es de equivalencia.

Son ejemplo de conjuntos equipolentes:

a) Conjunto de números naturales y de números pares.

b) Conjunto de números naturales y de múltiplos de 3.

c) Conjunto de números naturales y de múltiplos de n.

d) Conjunto de números naturales y de enteros.

e) Conjunto de números naturales y de racionales.

f) Conjunto de números reales y de números reales en el intervalo] -1 , 1 [

Al existir la función biyectiva f : A → B. Los conjuntos A y B son equipotentes

(31)

2.3 Función inversa

Sea la función f(x). La inversa de f(x) se define como f−1 (x). Para hallar la

inversa se dan los siguientes pasos.

a) Si f es inyectiva, es decir, si al tomar la función f valores y puntos

distintos:

f (x1 )= f (x2 )⇔ x1 = x2

b) En la ecuación y = f(x) despejamos la variable x.

c) Intercambiamos la variable x por la y para obtener f−1 (x).

Ejemplo.- Dado f(x) = x−2 solucionar su inversa f(x) = x−2

Solución:

Comprobamos si es inyectiva:

f(x1 )= f(x2 )⇒ 5x1 − 2 = 5x2 − 2 ⇒ x1 = x2 .

Es inyectiva, tiene inversa

Escribimos y = 5x −2 como función y cambiamos x por y:

x = 5y −2

Ahora despejamos y:

(32)

Por último, hacemos el cambio y ≡ f−1 (x):

f−1 (x) =x+2 5

Definición

Sean f y g tales que, f es A en B y g es B en A. Decimos g es inversa de f si g (f(x))

= x, para todo x del dominio de g.

A g se le denota por f -1

Se cumple siempre que f o f-1 y f o f-1 son iguales a la función identidad.

(33)

Capitulo III

Conjuntos finitos

3. Conjuntos finitos

Si n ∈ N, es{ k ∈ N : k  n} debería ser “finito” y tener n elementos.

Para determinar el tamaño de un conjunto formalizamos las ideas intuitivas. La

primera idea es cuando dos conjuntos del mismo pueden establecer entre ellos una

aplicación biyectiva.

Existe una función biyectiva de A sobre B cuando A es equipotente a B (A ∼ B). Esto

verifica que A ∼ A, también A ∼ B implica B ∼ A, pues si f: A→ B es biyectiva, su

inversa f −1: B → A también es biyectiva.

Si A ∼ B y B ∼ C entonces A ∼ C, puesto que si f: A → B y g: B → C son funciones

biyectivas, la composición g ◦ f: A → C también es biyectiva.

Cuando una correspondencia fuese equipotentes en clase equivalencia forma dos

conjuntos pertenecientes a una misma clase.

Consideramos el conjunto para cada número natural

In = {k ∈ N : k  n}

Se debe tener en consideración que A tiene n elementos cuando A ∼ In.

m, n ∈ N, Im∼ In ⇒ m = n (1)

(34)

Un conjunto A es finito si bien A = , o si existe n ∈ N tal que A ∼ In. En el segundo

caso, en vista de (1) aseguramos que n es único y decimos que A tiene n elementos, o

que n es el número de elementos de A.

Se enumeran los elementos del conjunto A

ejemplo A = {a1, a2, . . . , an}.

Se utiliza cualquier aplicación biyectiva f : In → A y tomar ak = f (k) para todo k ∈

In. Si el número de elementos es 0, el conjunto e vacío.

Un conjunto es infinito cuando no es finito.

Dos propiedades de conjuntos infinitos como:

Un conjunto finito es un conjunto que tiene un número finito de elementos

Entonces una aplicación inyectiva si A es un conjunto finito y f: B → A entonces B finito

Si A es un conjunto finito y f: A → Bentonces f (A) es finito por imagen.

Propiedad de los conjuntos finitos de números reales

Los números reales como conjunto tienen máximo y mínimo, no vacío y mínimo.

Demostramos razonando que el número de elemento por inducción, para toda n ∈ N,

formado por un subconjunto de R con n elementos se considera que cuenta con

elementos máximo y mínimo.

Todo subconjunto R con n +1elementos tiene máximo y mínimo. Sea pues A ⊂ R tal

que exista una aplicación biyectiva f : In+1 → A.

(35)

Tomando a = f (n + 1), al restringir f a In obtenemos una aplicación biyectiva de In

sobre el conjunto B = A \ {a}, luego B tiene n elementos y, por tanto, tiene máximo y

mínimo. Poniendo u = m´ın B y v = max´ B, veamos los casos que pueden darse al

comparar u y v con a. Si u < a tenemos claramente u = m´ın A; de lo contrario será a <

u, con lo que a = m´ın A. Análogamente, puede ocurrir que v > a y v = max´ A, o bien

que a > v y a = max´ A.

Entonces, A tiene máximo y mínimo

Queda demostrado N es un conjunto infinito, puesto que no tiene máximo.

Entonces, Z, Q y R son conjuntos infinitos.

Es ya sabidoporque no tiene máximo ni mínimo: para r, s ∈ Q con r < s, el conjunto

A = {t ∈ Q: r < t < s} es infinito.

3.1Acerca del infinito

Al plantear por vez primera en el curso de algebra básica se dan muchas interrogantes

que escapan a la experiencia física, pero nos permite mostrar una experiencia de aula

relacionada al concepto de infinito.

El concepto de matemática no define una dirección lo que busca es un principio de

autoaprendizaje para su compresión. Ejemplo lo primero que aprendemos es sumar y

multiplicar los números no nos interesa en el transcurso de los años, simplemente su uso es

cotidiano hasta llegar a la madurez de comprender su significado. Entonces nos preguntamos

¿Cuál es el significado de número infinito?

La aplicación biunívoca es parte de los números naturales, es una aplicación que se

usa para contar entre el conjunto de cosas que queremos contar, ejemplo f : A

(36)

La función biunívoca tiene la función de asociarse a cada propiedad sobreyectiva e

inyectiva, esto es, biyectiva, esta función es utilizada para contar con elementos de cualquier

conjunto.

¿En un intervalo cerrado [0,1] como podemos contar los números?

*Número cero y número uno, si son enteros

*Número fraccionarios (hay infinitos) racionales

* Números reales (hay infinitos) racionales e irracionales.

Desde tiempos remotos los pensadores tienen intriga con el tema del infinito.

Euclides al afirmar que "Para toda cantidad de números primos, existe uno mayor",

nos lleva a referir que el infinito potencial tiene posibilidad que su magnitud aumente o se

divida. Lo que podemos interpretar al día de hoy que el conjunto de los números primos es

infinito. En la mitad del siglo XIX se transforma un dogma que permite el desarrollo del

uso de las matemáticas clásicas donde se ve incluida el cálculo infinitesimal.

Se considera que es un conjunto X equipotente a un conjunto Y cuando existe una

biyección de X sobre Y.

Fue en el siglo XVI con Galileo (1564-1642) quien nota el n? n2. Refiere que una

aplicación biunívoca con los enteros y sus cuadrados consiguiente al axioma “el todo es

mayor que la parte", no sería aplicable a los conjuntos infinitos.

La"Paradojas del infinito" de Bolzano fue publicado en 1851, definiendo como la

equipotencia a dos conjuntos:

(37)

* Que los conjuntos infinitos tienen una parte equipotente con el todo.

Demostrando de esta manera que los conjuntos infinitos tienen partes equipotentes

propias con el conjunto completo.

Cantor (1845-1918) los conjuntos X e Y son dos conjuntos equipotentes al tener la

misma cardinalidad existiendo biyección entre los conjuntos se escribe Card X = Card Y.

Así, Card {números pares}=Card IN, pues la aplicación x 2 x, estableciendo una

correspondencia entre los enteros naturales y los números pares.

En efecto: Al contar fracciones irreducible de modo que sumando del numerador y

denominador sea creciente y al tener la misma suma se ordena por el numerador. Por

ejemplo las fracciones irreducibles cuyo numerador y denominador suman 5 son :

2 3 , 3 2 , 1 4 , 4 1

Ordenándolas por el numerador:

1 4 , 2 3 , 3 2 , 4 1

El conteo de las fracciones irreducibles se muestra en la siguiente tabla:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ...

0

1 1 2 1 3 1 2 3 4 1 5 1 2 3 4 5 6 1 3 5

...

1 2 1 3 1 4 3 2 1 5 1 6 5 4 3 2 1 7 5 3

Prueba de numeración que Card {fracciones positivas}= CardN

Los números fraccionarios pueden intercalar con las fracciones

(38)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ...

0

1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 3 3 4 4

...

1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 4 4 3 3 2 2 1 1

Los infinitos diferentes demostrados por Cantor son:

*La existencia de conjuntos con infinitos elementos, con diferentes cardinales no

son equipotentes.

*En 1874, que entre los números naturales y los números reales no puede haber biyección.

*Cantor dio el nombre de continuum al cardinal de R, y lo indicó por c.

*Se llaman transfinitos a los cardinales de conjunto infinitos

* 0 es el menor número transferido.

Si se aplica una inyectiva de un conjunto X en un conjunto Y, no se podrá aplicar una

inyectiva Y en X, se dice que Card X <Card Y. Así podemos afirmar que el número de

fracciones en (0,1) es 0 y elnúmero de reales es c. Ambos son números infinitos, o mejor

dicho, números transfinitos, reiterando que 0 el menor de ellos. Se puede afirmar de acuerdo a

lo expuesto que los intervalos y que el conjunto completo de números reales tiene la misma

cantidad de elementos. El infinito estudiado desde cualquier plano en este trabajo que gravite

dentro del pensamiento racional: filosófico o dentro de las ciencias sociales y naturales.

Si se busca una disposición clara, rigurosa, virtuosa y profunda en la Educación de la

Matemática, es necesario de un vasto alcance y valor formativo desde los inicios de una

(39)

3.2Cardinalidad

Para obtener un dibujo parecido al cuadro debes tomar una lámina divídelos en dos en

cada mitad igual escribe tu nombre luego simula “granizar” durante treinta segundos,

marca puntos gruesos simulando caer granizos.

* * * *

* * * *

* * * * *

* ** * * *

* *

* * * *

* * * *

* * * * *

*

* *

* *

* * *

¿Qué cantidad de puntos tiene el dibujo? ¿Qué tipo de análisis te lleva a responder esta

pregunta?

Escribe un mensaje a uno de tus compañeros para realizar la misma operación con la

cantidad de granizo que tu haz producido, pero en diferente posición no escribir números.

Los mensajes deben ser intercambiados por otros compañeros y deben saber

interpretar los mensajes y producir la granizada.

La reproducción debe ser correcta y comprobada.

(40)

3.3 Técnicas de contar

Son una serie de métodos que surge con la necesidad de:

 La Numerosidad debe ser comunicado como un referente de información al tamaño

de las colecciones de objetos (cardinal de la colección).

 El lugar dentro de una colección ordenada que ocupa un objeto (ordinal de objeto)

Las interrogantes de:

¿Cuántos hay? o ¿cuántos son?

Siempre sea planteado desde la sociedad prehistórica cuando se habla en pequeña

escala.

Las órdenes de actuación también aparecen con preguntas:

¿Qué se hace primero?

¿Quién interviene en segundo lugar?,

Otros.

Nuestra sociedad utiliza predominantemente la técnica de recuento, esta técnica

considerada como la “manera de hablar” ante situaciones de reflexión de la necesidad de

(41)

3.4 Técnica de recuento para obtener cardinales

Basado en la ordenación y configuración consideradas siempre en el mismo orden

(numéricas), formando conjunto de elementos por el orden.

El número que se le adjudica y un orden habitual como elemento son: uno, dos, tres,

..., treinta.

Luego al último número contado del conjunto se le adjudica se hace referencia a toda

la colección (treinta) y designando al cardinal del conjunto o al número de elemento.

Los recuentos permiten cuantificar en un conjunto sus elementos con palabras

numéricas distintas en un mismo orden esto se ve complica cuando un conjunto de

palabras y solo una distinta se adjuntan, se necesita entonces un orden para el conjunto a

voluntad sin modificación al resultado final.

El conteo requiere una coordinación de palabras, mano y muchas veces técnicas auxiliares,

que se hace referencia a no solo al último objeto señalado sino a todo el conjunto o sea se

predica a todo el conjunto, se trata de una “propiedad”. La palabra numérica significa:

Ordinal y Cardinal. Es ordinal por el orden a sus elementos a su construcción. Es cardinal

por los objetos ya contados hasta el momento.

El recitado de las palabras numéricas sin mención cardinales u ordinales tienen en

cuenta repetirla en forma correcta eso es aprender el recuento intransitivo. El recuento

transitivo es aprender su uso como medida de conjuntos, la importancia es aprender una

notación de procedimiento recursivo que genere la notación en el orden adecuado previo a

contar transitivamente (Benacerraff1, 1983, p.275)

Las técnicas que se utilizan en distinguir un conjunto del subconjunto ya contado, del

(42)

Guía que nos permita dar seguimiento a los objetos contados.

Señalar lo ya contado

Distinguir los objetos contados y no contados, manual o mentalmente

Reemplazar la partid por otra que tenga el mismo cardinal, tomando en consideración

la última.

Para el buen uso de una técnica auxiliar:

 Elementos ya contados

 El conjunto ya configurado

 El conjunto contado y el tipo de objetos

 Los elementos del conjunto que permita su accesibilidad

 El desplazamiento de los objetos.

Estas técnicas auxiliares se basan en que mediante una coordinación con las palabras,

(43)

3.5 Coordinabilidad entre conjuntos

El contar corresponde una relación entre conjuntos. El uso del lenguaje en la teoría de

conjuntos permite formalizar la noción de cardinal.

Definición

Si existe una función biyectiva de A en B, entonces A es coordinable o equipotente con el

conjunto B (A∼ B) se corresponden los elementos con sólo uno del segundo.

Definición

(Conjunto infinito): Es aquel conjunto que no es finito, un claro ejemplo tenemos: Los

números enteros Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} son números que forman un conjunto

infinito y numerable.

Ejemplo

Colocamos a la correspondencia biyectiva con números múltiplos de 10. Obtenemos:

2 ↔ 20, 3 ↔30, 4 ↔ 40, etc

Proposición 1: La relación equivalencia coordinabilidad de los conjuntos finitos

cumpliendo las propiedades simétricas, transitivas y reflexivas.

Proposición 2: El cardinal está relacionado directamente en todos los conjuntos

coordinable. La equivalencia de los conjuntos se da cuando tienen el mismo cardinal y la

(44)

3.6 Nociones básicas de numerabilidad

Definición

Todo subconjunto numerable, equivalentemente decimos entonces A es numerable

a un subconjunto de N cuando es equipotente.

Un conjunto numerable el conjunto P = {2n: n ∈ N}, donde f: N → P, definida por

f (n) = 2n para todo n ∈ N, es biyectiva, luego P es equipotente a N.

Si A es un subconjunto infinito de N, existe una función biyectiva σ : N → A,

Obtenemos la propiedad siguiente:

n, m ∈ N, n < m =⇒ σ(n) < σ(m) (2)

Obsérvese que con la aplicación σ, cuya definición se hará por inducción, lo que

pretendemos es enumerar de forma “creciente” los elementos de A.

Si A tiene mínimo, entonces σ(1) = mín A.

Aquí se debe explicar, que cada n ∈ N, la forma de obtener σ(n + 1) es a partir de

σ(n). Como A es infinito, no puede estar contenido dentro del conjunto finito

{k ∈ N : k < σ(n)}, luego {a ∈ A : σ(n) < a} = , entonces la buena ordenación nos

permite definir: σ(n + 1) = mín {a ∈ A : σ(n) < a}.

La numerabilidad se expresa cuando se tiene una aplicación inyectiva de A en

(45)

Obtenemos así una aplicación σ : N → A, que tiene las propiedades deseadas, como

pasamos a comprobar, empezando por la condición (2).

Es claro que σ(n) < σ(n + 1) para todo n ∈ N. Dicho de otra forma, la afirmación

σ(n) < σ(n + k) ∀n ∈ N (Pk)

es cierta para k = 1.

Si cumplimos que (Pk) para un k ∈ N, entonces tendremos:

σ(n) < σ(n + k) < σ(n + k + 1) para todo n ∈ N,

luego se cumplirá (Pk+1). Esto prueba por inducción que se verifica (Pk) para todo k ∈

N. Dados n, m ∈ N con n < m, podemos tomar k = m − n ∈ N para deducir que

σ(n) < σ(m).

Comprobada la propiedad (2), se deduce que σ es inyectiva, queda ver que σ es

sobreyectiva. Al razonar por reducción al absurdo, y asumiendo que la imagen de σ no

es todo el conjunto A, es probable llegar a una contradicción.

Tenemos la siguiente dicotomía:

Todos los conjuntos numerables pueden ser bien finito o bien equipotente a N.

Se puede establecer que no hay conjunto infinito de que tenga “estrictamente

menos” elementos que N

Conjuntos numerables

Para la conservación de determinadas operaciones establecemos ciertos estudios:

(46)

Equivalentemente: Tenemos que A es un conjunto numerable y f : B → A es

denominada una aplicación inyectiva, entonces B es numerable. Esto demuestra

que todo conjunto numerable es numerable.

Existe en C una aplicación sobreyectiva g: N → C.

Entonces, para cada c ∈ C, el conjunto {n ∈ N : g(n) = c} no es vacío, luego tiene

mínimo. Se define una aplicación h : C → N:

h(c) = mín {n ∈ N : g(n) = c} ∀c ∈ C

Por tanto C es numerable e inyectiva

Sea ya A un conjunto numerable y f : A → B una aplicación cualquiera. Si A es

finito, f (A) también será finito, luego numerable. Si A es infinito, tendremos A ∼ N, es

decir, existe una aplicación biyectiva ϕ : N → A. Entonces g = f ◦ ϕ es una aplicación

sobreyectiva de N en f (A). Por lo demostrado anteriormente, f (A) es numerable. Hemos

probado lo siguiente:

Si A es un conjunto numerable y f : A → B una aplicación, entonces f (A) es

numerable.

En un producto cartesiano:

Si A y B son conjuntos numerables, entonces A × B es numerable.

Cuando N × N es numerable. Para ello basta observar que la aplicación:

ϕ : N× N → N definida por

(47)

Ello se debe a que, por ser 2 y 3 números primos, la igualdad 2m · 3n = 2p · 3q, con

m, n, p, q ∈ N, implica que m = p y n = q.

Al unir conjuntos numerables. Veamos un primer caso:

Si J es un subconjunto no vacío de N y, para cada n ∈ J se tiene un conjunto de tipo

numerable

Bn, entonces el conjunto B = Bn es numerable.

Para cada n ∈ J tal que Bn ϕ , existe una aplicación inyectiva ϕn : Bn → N.

Construimos entonces una aplicación ϕ : B → N× N de la siguiente forma.

Dado b ∈ B, se tendrá que b ∈ Bn, para algún n ∈ J y podemos tomar

k = mín {n ∈ J : b ∈ Bn}. Como Bk0, podemos definir

ϕ(b) = k, ϕk(b)

Aquí se evidencia que ϕ es inyectiva, y se sabe además que N× N es numerable, entonces B

(48)
(49)

Aplicación didáctica

Contribución didáctica para el estudio del concepto de función

Graciela Rey; Carolina Boubée

Patricia Sastre Vazquez; Alejandra Cañibano.

El presente estudio considera su importancia en los ingresantes a la universidad en el

área de Matemática, destaca su importancia en el tema de “funciones” al considerar

múltiples dificultades en el transcurso del desarrollo de las carreras, el aporte de este se

centra en el estudio alternativo de abordaje didáctico en las funciones y en particular la

“función lineal”

En la enseñanza secundaria se aborda el concepto de conjunto como otros temas de

la Matemática, los alumnos al ingresar a la universidad se ven con muchas dificultades y

falto de capacidad para interpretar, definir o graficar funciones de situaciones

problemáticas.

Desarrollo

Una transformación de aprendizaje exige diseño de objetos de la situación de la

enseñanza y sistema de enseñanza, complementado con textos y programas oficiales

adaptados a los objetos y exigencias matemáticos provocando transformaciones.

Exigencias según (Ruiz, 1998):

• Establecer un marco divisorio dentro del campo de saber delimitados parciales

entre un fraccionamiento y automatización.

• Establecer una programación de aprendizaje mediante una progresión ordenada en

(50)

• Comprobar en todo momento el desarrollo del aprendizaje y conocimiento del

estudiante, expresado en las expectativas de logros.

• La estrategia de enseñanza de la matemática utiliza herramientas para resolver

problemas la explicación y la introducción se emplearán como objeto de estudio.

La formalización del conocimiento y la enseñanza es aplicable en la resolución de

ejercicios.

Ruiz Higueras expresa:

“Nuestros alumnos de secundaria manifiestan en general una concepción de la

noción de función como un procedimiento algorítmico de cálculo... Podemos decir

que sus definiciones no determinan el objeto función, sino las relaciones que han

mantenido con él”.

Tanto se ha descompuesto el objeto función en segmentos para su enseñanza que

elalumno no logra unificarlos dándoles una significación global. El alumno ha

visto muchos objetos allí donde sólo debía existir uno”.

Al encontrar diversas concepciones sobre la función por las diferentes enseñanzas,

en el uso de los procedimientos algorítmicos y rutinas, calculando dominios, funciones,

construcción de tablas, etc. Se utilizan formulas algebraicas y eliminador del sentido de

variabilidad y movilizando incógnitas.

La noción de función tiene un tratamiento en su formación muy limitada por el

sistema de enseñanza no logrando generar una concepción más completa.

Pieza fundamental en la variable didáctica que depende del docente o el proyecto

del sistema educativo, se plantea algunos aportes vinculados a ella.

(51)

¿Enumere las dificultades posibles que tienen los alumnos con relación a este

concepto? ¿Al existir errores como lo tratan? ¿Cómo priorizan estos aspectos? ¿Cómo la

Universidad afrontar la enseñanza, de un tema anteriormente visto?

Es un proceso muy largo que se lleva para la formación de un buen concepto

matemático Shlomo Vinner (1983), en su concepto de modelo de construcción involucra

conceptos, definiciones, representaciones, propiedades asociativas.

Dice este autor:

“Sea C un concepto y P una persona. La representación mental que P hace

de C es el conjunto de todas las representaciones que se han asociado con C en la

mente de P. La palabra representación está usada en sentido amplio e incluye

cualquier representación visual del concepto, incluyendo símbolos. El gráfico de

una función específica, algún diagrama, fórmula y/o tabla, la expresión simbólica y

= f (x), etc. pueden estar incluidas en la representación mental del concepto de

función de alguna persona.

Además de la representación mental de un concepto puede haber un

conjunto de propiedades asociadas con el concepto (en la mente de nuestra

persona P). Por ejemplo, si alguien piensa que una función siempre se puede

expresar por una única fórmula, en su mente se encuentra esta propiedad asociada

al concepto de función (existe en su mente esta asociación, independientemente de

su veracidad). Se llama imagen de un concepto a su representación mental junto

con el conjunto de propiedades asociadas al concepto. Queda claro por su

(52)

Se entiende por definición de un concepto a una formulación verbal que

explica el concepto con precisión, en un sentido no circular Para algunos

conceptos tenemos sumada a su imagen mental su definición verbal, para muchos

otros sólo tenemos su imagen. Por ejemplo, no tenemos una definición de naranja,

casa, etc., pero si muy claras imágenes mentales de los mismos. Ellos fueron

adquiridos cuando éramos chicos, probablemente por medio de definiciones

ostensivas.

El modelo plantea la existencia, en la estructura cognitiva, de dos celdas

diferentes: una para la imagen del concepto y otra para su definición verbal (para

evitar confusión aclaramos que no se trata de celdas biológicas). Puede existir

interacción entre ambas aunque pueden haberse formado independientemente. La

forma de introducir un concepto puede activar una o la otra.

Para manipular un concepto se necesita la imagen del concepto y no su definición. Al

pensar o reflexionar casi siempre se evoca la imagen del concepto y no su definición. Esto

es así sobre todo en el aprendizaje informal. En el aprendizaje formal la situación puede

ser diferente, aquí sí entra en juego la definición verbal. Las definiciones verbales tienen

dos orígenes: o bien nos las han enseñado o bien las fabricamos cuando tenemos que

explicar otros conceptos. Las que nos han enseñado forman parte de un sistema general (en

el caso de conceptos matemáticos y científicos en general) al que no estamos

necesariamente familiarizados. A veces nos presentan definiciones antes de que tengamos

una imagen del concepto y esperamos aprender más para llenar este vacío. Las

definiciones verbales tienen su razón de ser: por un lado ayudan a formar la imagen del

(53)

Los alumnos al representar el concepto de función, tienen diferentes dificultades ya

sea por su veracidad, por las diferentes dificultades que tienen y la variedad de funciones

con las que cuentan.

La noción dependencia está ligada al concepto de función variabilidad como único

medio que no está en condiciones de valerse por sí mismo y depende de otra variando y

constatando el efecto de su variación.

La función como herramienta de modelización debe tener claro el significado de

dependencia entre variables.

En España la Comisión de reflexión sobre la enseñanza de la matemática (1978)

sostiene que: “Una función no es ni unaestadística de valores ni una representación

gráfica ni un conjunto de cálculos ni una fórmula, sino todo ello al mismo tiempo”.

Relacionar y modelizar las situaciones del mundo real es posible gracias a las

funciones que permite relacionar las variables diversas en un medio dinámico que

permitan una relación de conclusión y formulación.

Para la elección de problemas deben de considerar la familiarización de los alumnos

en el tema y en sus conocimientos.

En la siguiente tabla 1:

(54)

Tabla 1 Función Lineal Contenido Matemático Actividad Contextualizada Actividad Descontextualizada

Ecuación de la recta

que pasa por dos

puntos.

.

Un cultivo de soya que produce 2,6 ton/ha al

fertilizarlo con fosfato diamónico (DAP) de

45kg/ha, y produce 3 ton/ha si se fertiliza con 55 kg

DAP/ha.

a) Expresar la relación entre la producción (P) y la

fertilización (f) con DAP en forma de función P(f).

b) Como se comporta otra variedad de soya con

respecto al mismo fertilizante:

Produce 2,7 ton/ha si se aplican 40 kg

DAP/ha, y 3,3 ton/ha si se agregan 60

kg DAP/ha. Exprese la relación P2(f).

c) Saque sus conclusiones, luego de comparar el

comportamiento de las dos variedades.

d) ¿Qué información está representada en la

pendiente y la ordenada al origen de cada una de las

funciones?

Hallar la ecuación de la

recta que pasa

por los puntos P1(45;

2,6) y P2 (55;3).

Grafique. Identifique

pendiente y

ordenada al origen.

Representar un adecuado concepto matemático requiere identificar conceptos y

resultados que presenten y expresen información sobre el dominio de la matemática y

resolver el problema matemático.

La función admite diferentes representaciones, registros, alcances y limitaciones.

Un registro es un medio de expresión y representación que está constituido por

signos, trazos, símbolos, íconos, está ligado a las ideas, conceptos, no necesariamente

(55)

Representación de función:

• Registro verbal: Es el registro de la función cuya representación es el lenguaje

natural.

• Registro tabla: Está representada con una tabla de valores estableciendo una

relación de correspondencia.

• Registro gráfico: Es un registro que es representado mediante una curva en un

plano cartesiano graficando una función.

• Registro algebraico: Es la representación que posibilita hallar la imagen f(x) para

toda x que pertenece al dominio de la función. Tiene poca limitación pues

proviene del cálculo.

• Registro algorítmico: Es la representación del proceso de imagen de una función

programa o procedimiento a partir de los valores del dominio.

Para el alumno resulta dificultoso interpretar entre los registros gráficos y

algebraicos la lectura de representaciones gráficas.

Es muy importante para el alumno el aprendizaje del concepto de función que pueda

diferencias sus representaciones y registros que le podrían favorecer dicha diferenciación

en las actividades de articulación.

(56)

Tabla 2

Ecuaciones de la recta

Los alumnos no se encuentran habituados con metodologías tan complejas para

llegar aprender la Matemática. Esta metodología expresa una consolidación de los

conceptos e interpretaciones de la función lineal y sus parámetros, asís el alumno se evita

de utilizar fórmulas de memoria y trabajos conceptuales y no memorísticos, llegando así a

(57)

Síntesis

Desde el año 1637, se viene utilizando la terminología función, que es uno de los

conceptos más importantes de la matemática, este término fue acuñado por un matemático

de origen francés, cuyo nombre fue René Descartes, quien la utilizó para distinguir una

potencia xn de la variable x. En el año 1964, G.W. Leibniz matemático de origen alemán,

también lo utilizó para distinguir a varios aspectos de descripción de la curva, como su

pendiente. Pero para nuestra actualidad, el concepto de función, que más utilizamos fue

defendido en el año 1829 por otro matemático de origen alemán, en este caso nos

referimos J.P.G. Lejeune-Dirichlet, quien vivió entre (1805-1859). Todos estos

matemáticos, llegaron a resumir en términos técnicos, las bondades de las funciones,

explícitamente las funciones matemáticas en el mundo real, por ejemplo, la variación de la

temperatura, la traslación y el movimiento de los planetas, las frecuencias o ritmos

cardiacos, las ondas del cerebro, los ciclos comerciales, el crecimiento humano, el

crecimiento poblacional, entre otros. Por ello en esta sección sintetizamos, los tipos de

funciones más utilizados, la modelización de los fenómenos aplicados a distintas ciencias y

en la vida diaria, sus características analíticas y genéricas, así como su clasificación,

(58)

Apreciación crítica y sugerencias

Las funciones poseen mucho valor en la vida diaria, a la hora de resolver problemas

de tipo matemático, sobre todo porque están ligados a la fenomenología física, dado que se

encuentran presentes en todos los fenómenos. Por ejemplo, en los problemas de tipo

ingeniería, financiera, económica, estadística, médica, astrónoma, química, geológica,

física y de otras áreas sociales que se relacionan las variables, en todas ellas las funciones

se hayan presentes.

Las situaciones en la actualidad, nos sugieren reflexionar la importancia del

conocimiento y la aplicación de las funciones, donde, un mecanismo el proceso educativo

de las personas, que necesita estar subordinada a una concepción pedagógica global, que

valorice la comprensión de las funciones matemáticas como una herramienta para la

resolución de problemas, y en contexto utilizar gráficas, tablas, figuras, expresión

matemática, interpretación de los procesos involucrados, y en la mayoría de los casos,

mediante las funciones, poder comprender y solucionar problemas del entorno global, la

(59)

Bibliografía

Camuyrano, M. y otros. (1997) Matemática. Temas de su Didáctica. Algunosaspectos de

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