Funciones elementales. Composición y función inversa

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1. Resolución de problemas e interpretación de fenómenos sociales y económicos mediante funciones.

2. Funciones reales de variable real. Expresión de una función en forma algebraica, por medio de tablas o de gráficas. Características de una función.

3. Interpolación y extrapolación lineal y cuadrática. Aplicación a problemas reales.

4. Identificación de la expresión analítica y gráfica de las funciones reales de variable real: polinómicas, exponencial y logarítmica, valor absoluto, parte entera, y racionales e irracionales sencillas a partir de sus

características.

5. Las funciones definidas a trozos.

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DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

• Una función es una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente, x, le corresponde un único valor de la

variable dependiente, y

f: R R

x f(x) f(x) es único para cada x Domf

Recuerda que una función puede venir expresada como un enunciado: “gano 3€/hora”, una expresión algebraica: “y = 3x”, una tabla de valores o una gráfica.

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TIPOS DE FUNCIONES

1. Funciones polinómicas

2. Funciones racionales

3. Funciones radicales

4. Composición de funciones

5. Función inversa

6. Funciones exponenciales

7. Funciones logarítmicas

8. Función valor absoluto

9. Función parte entera

(5)
(6)

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN

(7)
(8)

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN

DOMINIO a partir de su expresión algebraica:

Polinómica: Estas expresiones están definidas para todos los números reales: Domf = R.

Racional: Un cociente no está definido cuando el denominador es 0

Irracional: Las raíces de índice par solo están definidas para radicandos positivos.

Logaritmos: solo están definidos para números reales positivos.

Razones trigonométricas de seno y coseno: siempre están definidas.

La tangente: no está definida cuando el coseno es cero.

Además debes tener en cuenta:

El contesto real del que se ha extraído la función (ejemplo: el área de un terreno)

(9)

FUNCIONES POLINÓMICAS

Función afín

 

x

mx

n

f

m

,

n

Estudio

Su gráfica es una línea recta:m = pendiente

n = ordenada en el origen ( si n = 0 la

recta pasa por el origen de coordenadas y se llama función lineal o de

proporcionalidad directa)

Dominio: R

Recorrido: R si m no es 0 / n si m = 0

Monotonía:

•Si m > 0 la recta es creciente

(10)
(11)

FUNCIONES POLINÓMICAS

Función afín

Pendiente

: aumento o disminución que se produce

en la

y

cuando

x

aumenta una unidad

Ecuación punto pendiente:

Ecuación general:

Ecuación explícita:

Gráfica

: es suficiente con pintar dos puntos siendo

uno de ellos la ordenada en el origen

0 1 0 1

x

x

y

y

m

0 0

)

(

x

x

y

m

y

0

By

C

Ax

n

mx

y

B A m A B v

(12)

FUNCIONES POLINÓMICAS

Función afín

Ejemplo: el beneficio de una

empresa es la diferencia entre las

ventas y los costos.

BENEFICIO = VENTAS - COSTOS

- VENTAS: Es el producto de la cantidad vendida por el valor de cada unidad.

VENTAS = PRECIO x CANTIDAD

- COSTOS: Es la suma del costo fijo (alquiler del local) y del costo variable.

COSTOS = COSTO FIJO + COSTO MARGINAL x CANTIDAD.

(El costo marginal es el costo de cada unidad extra que se fabrica)

¿Cuál sería el ingreso o beneficio para

300 unidades?

(13)

FUNCIONES POLINÓMICAS

Función afín

Interpolación lineal:

Si de una función conocemos solamente dos de sus puntos, es

claro que nada o casi nada podremos decir de su comportamiento

en otros puntos. Sin embargo, si pudiéramos suponer que entre

esos dos puntos la función es lineal, podríamos hallar exacta o

aproximadamente sus valores en puntos intermedios valiéndonos

de la ecuación de una recta.

Supongamos que la función que pasa por los puntos A(x

0

, x

1

), B(y

0

,

y

1

) es lineal en el intervalo [x

0

, x

1

], entonces podemos hallar su valor

para cualquier abscisa, x, de este intervalo:

0 0

0 1

0

1

(

)

)

(

x

x

y

x

x

y

y

x

f

)

,

(

x

0

x

1

(14)

FUNCIONES POLINÓMICAS

Función afín

Extrapolación lineal: x es exterior al intervalo [x0, x1].

En la extrapolación, cuanto mas alejado esté x del intervalo, menos fiable es el valor que obtenemos para f(x).

Ejemplo: si

colgamos de un muelle una pesa de 40g, se estira hasta

12mm. Y si colgamos una pesa de 60g, se estira hasta 20mm.

a)

¿Cuál sería su longitud si colgáramos una pesa de 55g?

b)

¿Cuál sería su longitud si colgáramos una pesa de 100g?

(resultado razonable)

c)

¿Y si la pesa fuera de 5kg?

(el muelle se deforma o se rompe. Es un disparate)

mm

f

(

55

40

)

12

18

20

8

)

55

(

mm

f

(

100

40

)

12

36

20

8

)

100

(

mm

f

(

5000

40

)

12

1996

20

8

)

5000

(15)
(16)

FUNCIONES POLINÓMICAS

Función cuadrática

 

x

ax

bx

c

f

2

a

,

b

,

c

Estudio

Su gráfica es una parábola con • vértice el punto:

eje de simetría la recta: Dominio: R

Simetría: si b = 0 es par

•Si a > 0 la parábola es convexa y el vértice es un mínimo.

•Si a < 0 la parábola es cóncava y el vértice es un máximo

Puntos de corte con los ejes:

Corta al eje X en dos puntos, uno o ninguno, según el número de raíces reales de ax2 + bx + c = 0, y corta al eje Y

en el punto (0, c)

(17)

 

x

ax

2

,

a

0

(18)

 

x

ax

2

,

a

0

(19)

FUNCIONES POLINÓMICAS

Función cuadrática

Traslación vertical y = ax2 + c

La parábola y = ax2 + c es una traslación vertical de c unidades de la

parábola y = ax2

-Si c > 0, la traslación es hacia arriba. -Si c < 0, la traslación es hacia abajo.

Traslación horizontal y = a(x – p)2

La parábola y = a(x – p)2 es una traslación horizontal de p unidades de la

parábola y = ax2

- El eje de simetría es la recta x = p

- El vértice es el punto V(p, 0)

Traslación horizontal y vertical y = a(x – p)2 + k

La parábola y = a(x – p)2 + k es una traslación horizontal de p unidades de la

parábola y = ax2 y una traslación vertical de k unidades, o viceversa. - El eje de simetría es la recta x = p

(20)

Traslación vertical

(21)

RESUMEN

TRANSFORMACIONES DE

FUNCIONES

• Representación de

y = f(x) + k, y = f(x) – k

es

una traslación de f(x) hacia arriba o hacia abajo

respectivamente.

• Representación de

y = -f(x)

es la simétrica de

f(x) respecto del eje X.

• Representación de

y = f(x - k), y = f(x + k)

es

una traslación k unidades hacia la derecha o

hacia la izquierda.

(22)

FUNCIONES POLINÓMICAS

Función cuadrática

Hallar la ecuación dada una gráfica:

a) El coeficiente a es el valor que aumenta o disminuye la ordenada y cuando la abscisa x aumenta una unidad desde el vértice.

b) El coeficiente b se halla despejándolo en la fórmula del eje de simetría: c) El coeficiente c es la ordenada del punto donde la parábola corta al eje Y

a b m

(23)

FUNCIONES POLINÓMICAS

Función cuadrática

Un uso común en los

negocios es maximizar las

ganancias, es decir, la

diferencia entre los

ingresos (dinero que entra)

y los costos de producción

(dinero gastado).

Ejemplo: supongamos que las

ganancias de una empresa

vienen dadas a partir de la

siguiente ecuación:

(24)
(25)

Extrapolación cuadrática:

cuando el valor que

queremos calcular está fuera del intervalo conocido,

pero muy próximo a él, se llama extrapolación.

(26)

FUNCIONES POLINÓMICAS

Función de grado >2

 

1 1 0

1

x

...

a

x

a

a

x

a

x

f

n n

n n

a

i

Estudio

Dominio y recorrido

:

R

Es

continua

en todo el

dominio.

Su

gráfica

es una curva con

(27)

c

b

a

,

,

(28)

0

,

)

(

x

ax

3

bx

2

cx

d

a

f

(29)
(30)

FUNCIONES RACIONALES

Función de proporcionalidad inversa

 

x

k

x

f

k

Estudio

• Su gráfica es una hipérbola con asíntotas en los ejes de coordenadas.

Dominio:

Ramas:

Si k > 0 la hipérbola se sitúa en el primer

y el tercer cuadrantes. Es decreciente en todo su dominio.

•Si k < 0 la hipérbola se sitúa en el segundo y cuarto cuadrantes. Es creciente en todo su dominio.

Simetría: impar, respecto del origen de coordenadas

 

0

(31)

0

(32)

0

(33)

FUNCIONES RACIONALES

Función de proporcionalidad inversa

(34)

FUNCIONES RACIONALES

Hipérbolas trasladadas

 

b

a

x

k

x

f

k

,

a

,

b

La hipérbola se traslada según los parámetros a y b:

Traslación horizontal de a unidades.

La asíntota vertical es la recta y = a.

(35)
(36)
(37)

FUNCIONES RACIONALES

 

k

2

f x

x

k

EstudioDominio:

Asíntotas: en los ejes coordenados.Ramas:

Si k > 0 la hipérbola se sitúa en

el primer y el segundo cuadrantes.

Si k < 0 la hipérbola se sitúa en

el tercer y el cuarto cuadrantes.

Simetría: Par, respecto del eje OY.

 

0

(38)
(39)

FUNCIONES RACIONALES

General

 

( )

( )

P x

f x

Q x

Estudio

Dominio todos los números reales excepto aquellos en los que se anula el denominador, es decir, Q(x)=0. En esos puntos puede tener asíntotas verticales u oblicuas.

Asíntotas:

Puede presentar una asíntota horizontal

si el grado del numerador es menor o igual al del denominador.

•También tiene una asíntota oblicua si

el grado del numerador es uno más que el del denominador.

Las posibles asíntotas verticales provienen de las raíces del denominador.

(40)
(41)
(42)

FUNCIONES RADICALES

(funciones irracionales)

 

n

( )

f x

g x

EstudioDominio:

Si n es par: el intervalo en

el que

Si n es impar:

Monotonía: Creciente en

todo su dominio

(Para que sea función consideramos solo uno de los resultados, el positivo o el negativo)

( ) 0 g x

N

n

(43)
(44)
(45)

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

La expresión (g o f )(x) se lee como f compuesta con g de x. Para nombrarla se comienza por la función de la derecha, porque es la primera que actúa sobre la variable x.

(46)
(47)

FUNCION INVERSA O RECÍPROCA

Las gráficas de una función y de su inversa son

simétricas respecto a la recta y = x. Por tanto, se cortan en ella.

Para que una función tenga inversa ha de ser inyectiva, es decir, cada valor de y ha de corresponder a un único valor de x. Si no es así, ha de descomponerse en

tramos en que sea inyectiva, cada uno de los cuales tendrá su función inversa.

(48)
(49)

FUNCIONES EXPONENCIALES

EstudioDominio:

Recorrido:

•Como a0 = 1, la función pasa siempre por

el punto (0,1).

Como a1 = a, la función pasa siempre por

el punto (1,a).

Monotonía: son continuas y convexas

•Si a>1: creciente.(Su crecimiento es muy rápido, superando incluso a cualquier función potencia)

Si 0<a<1: decreciente.

Asíntotas: asíntota horizontal en y = 0 (eje

X)

Observa que las funciones f1(x)=ax y f

2(x)=(1/a)x

cumplen que f1(-x)=f2(x) y por tanto son simétricas respecto al eje Y

x

a

x

f

(

)

a

,

a

0

,

a

1

(50)

x

y

-4

1/16

-3

1/8

-2

1/4

-1

1/2

0

1

1

2

2

4

3

8

4

16

(51)
(52)

x

y

-4

16

-3

8

-2

4

-1

2

0

1

1

1/2

2

1/4

3

1/8

4

1/16

(53)
(54)

EJEMPLOS FUNCIONES

EXPONENCIALES

• Podemos encontrar varios ejemplos en la página 133 del

libro de texto de Anaya.

• Ejemplo 1:

Algunos tipos de

bacterias

se reproducen

por

"mitosis"

, dividiéndose la célula en dos cada

espacio de tiempo muy pequeños, en algunos casos

cada 15 minutos. ¿Cuántas bacterias se producen en

estos casos, a partir de una, en un día?

2

x

siendo x el tiempo en minutos.

En un día se producen 7,9 10

28

• Ejemplo 2:

Interés compuesto

(

Crece si el rédito es positivo

y decrece si el rédito es negativo)

(55)

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

EstudioDominio:

Recorrido:

•Como loga1 = 0, la función pasa siempre por el punto (1,0).

•Como logaa = 1, la función pasa siempre por el punto (a,1).

Monotonía: continuas

•Si a>1: creciente (cóncavas) Su crecimiento es muy lento, tanto mas cuanto mayor sea a. Para valores grandes de x toma valores mucho menores que los de cualquier función raíz.

•Si 0<a<1: decreciente (convexas)

Asíntotas: asíntota vertical en x = 0 (eje Y).

x

x

f

(

)

log

a

a

,

a

0

,

a

1

(56)

x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

y -3 -2 -1 0 1 2 3

(57)
(58)

x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

y 3 2 1 0 -1 -2 -3

(59)
(60)

EJEMPLOS FUNCIONES

LOGARÍTMICAS

• Ejemplo: en psicología tiene gran importancia el estudio de

percepciones. El individuo percibe la luz, olores, etc. La

percepción depende (es función) de los estímulos físicos.

Por ejemplo, hablemos de la iluminación, I, y la percepción,

S, que aprecia un individuo. La relación entre las dos

variables viene dada por la

ley psicológica

o la

ley de

Weber-Fechner:

siendo C una constante.

Para valores pequeños de I el individuo aprecia pequeños

cambios. Pero cuanto mayor sea I mayores tiene que ser

los cambios para que se aprecien.

I

C

(61)

La función exponencial y la función logarítmica son

inversas, por lo tanto, sus gráficas son simétricas respecto

de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes, y = x.

(62)
(63)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

seno, coseno y tangente

CONCEPTOS BÁSICOS

:

Circunferencia goniométrica

: circunferencia

de radio 1 donde trazamos unos ejes coordenados XY

con origen en el centro de la circunferencia.

Unidades de medida

: la medida habitual de ángulos es en grados. Sin

embargo, para representar las funciones trigonométricas es muy útil otra

unidad de medida de ángulos:

el radián

.

El valor de un ángulo en radianes es igual a la longitud del arco

correspondiente

medido sobre la circunferencia goniométrica.

Por ejemplo,

un ángulo de 180º serían radianes.

(64)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

seno, coseno y tangente

Supongamos un punto P que recorre dicha circunferencia.

Función seno

: si es el ángulo de giro, se llama seno de , y se expresa

sen

a la distancia de punto P al eje X.

(función que relaciona la longitud recorrida por un punto P al girar y la altura a la que se encuentra P respecto al radio de la circunferencia goniométrica).

Si el punto queda encima de X la distancia es positiva y si queda debajo de X es negativa.

Función coseno:

se llama coseno de y se designa

cos

, a la abcisa de P,

es decir, a su distancia al eje Y.

Será positivo si esta a la derecha del eje Y y negativo sui está a la izquierda.

RELACIÓN FUNDAMENTAL:

1

cos

2

2

(65)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

seno, coseno y tangente

Otras relaciones:

Función tangente:

trazamos una recta t tangente a la circunferencia

goniométrica perpendicular al eje de abcisas X.

Al prolongar el segundo lado del ángulo de giro o su semirrecta opuesta,

corta a la recta t en un punto. Se llama tangente de y se designa

tg

, a la

distancia entre el eje de abcisas X y el punto de corte.

Será positiva si el punto de corte está sobre el eje X y negativa si está por debajo de este.

Los ángulos de 90º y 270º no tienen tangente, pues ni el segundo lado del

ángulo ni la semirrecta opuesta cortan a la recta t.

)

cos

º

90

(

sen

cos(

90

º

)

sen

(66)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

seno, coseno y tangente

Por la semejanza de triángulos podemos definir la tangente

como:

Aplicaciones de la trigonometría:

1. Cálculo de longitudes y áreas

2. Cálculo de distancias a puntos inaccesibles

cos

(67)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Función seno

x

x

f

(

)

sin

1,1

Z k k x

x) sin( 2 ),  sin( 

0,2

           

   ,2

2 3 2 , 0       2 3 , 2         ,1

2      

,1

(68)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Función seno

x

x

(69)

Función seno: transformaciones

(70)

Función seno: transformaciones

(71)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Función coseno

x

x

f

(

)

cos

1,1

Z k k x

x) cos( 2 ),  cos( 

0,2

,2

,1

 

0,1

(72)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Función coseno

x

x

f

(

)

cos

Teniendo en cuenta la relación , la gráfica del coseno coincide con la gráfica del seno desplazada /2 a la izquierda. Produciéndose traslaciones, dilataciones y contracciones de forma similar a lo visto en la función seno.

)

cos

º

90

(

(73)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Función tangente

Z k k           , 2   Z k k x

x)  tan(  ),  tan( 

,

Z k k

x   ,  2 

(74)
(75)

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

x

x

f

(

)

Se denomina así la

función que a cada

número real hace

corresponder su

valor absoluto.

Se puede expresar también

como una función definida

a trozos

0

0

)

(

x

si

x

x

si

x

x

f

EstudioRecorrido:

Puesto que el valor absoluto de un

número es siempre positivo el recorrido de una función con valor absoluto

(76)
(77)

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

De un polinomio

)

(

)

(

x

P

x

f

0

)

(

)

(

0

)

(

)

(

)

(

x

P

si

x

P

x

P

si

x

P

x

f

A trozos:

Para establecer los

intervalos

en los que P(x) tiene

signo negativo hay que resolver la ecuación P(x)=0 y

estudiar el signo de P en cada uno de los intervalos en

los que queda dividida la recta real.

Para dibujar su

gráfica

, se dibuja normalmente y

(78)

Ejemplo

f

(

x

)

x

2

8

x

12

Para expresar la función a trozos se buscan las raíces del polinomio P.

0

12

8

)

(

x

x

2

x

P

x

1

2

,

x

2

4

Se estudia el signo de P en cada intervalo de la recta real.

(79)
(80)

FUNCIÓN PARTE ENTERA

 

x

E

x

f

(

)

Se denomina así la

función de ecuación

f(x)=E[x], que a cada

número real hace

corresponder el

mayor número

entero que es menor

o igual que él.

(81)
(82)

FUNCIÓN PARTE DECIMAL

La parte decimal o mantisa de un número x es

Mant(x) = x – Ent(x)

• A partir de esto, definimos la

función decimal

de x

,

Mant(x),

que hace corresponder a cada

(83)

FUNCIONES DEFINIDAS A

TROZOS

Definición

: “Una función definida a trozos es

aquella cuyo dominio está dividido en intervalos

disjuntos, de forma que en cada intervalo la

función viene dada por expresiones

matemáticas distintas”.

Para dibujar las funciones a trozos tendremos que

representar cada una de las partes de las que está

(84)

Ejemplo 1:

2

2

0

( )

3

6

0

3

8

12

3

si

x

x

f x

x

si

x

x

x

si

x

 

 

  

(85)
(86)
(87)
(88)
(89)

Ejemplo 2:



1

8

1

3

5

4

4

1

(90)
(91)
(92)
(93)

Figure

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