1. Resolución de problemas e interpretación de fenómenos sociales y económicos mediante funciones.
2. Funciones reales de variable real. Expresión de una función en forma algebraica, por medio de tablas o de gráficas. Características de una función.
3. Interpolación y extrapolación lineal y cuadrática. Aplicación a problemas reales.
4. Identificación de la expresión analítica y gráfica de las funciones reales de variable real: polinómicas, exponencial y logarítmica, valor absoluto, parte entera, y racionales e irracionales sencillas a partir de sus
características.
5. Las funciones definidas a trozos.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
• Una función es una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente, x, le corresponde un único valor de la
variable dependiente, y
f: R R
x f(x) f(x) es único para cada x Domf
• Recuerda que una función puede venir expresada como un enunciado: “gano 3€/hora”, una expresión algebraica: “y = 3x”, una tabla de valores o una gráfica.
TIPOS DE FUNCIONES
1. Funciones polinómicas
2. Funciones racionales
3. Funciones radicales
4. Composición de funciones
5. Función inversa
6. Funciones exponenciales
7. Funciones logarítmicas
8. Función valor absoluto
9. Función parte entera
ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN
ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN
DOMINIO a partir de su expresión algebraica:
• Polinómica: Estas expresiones están definidas para todos los números reales: Domf = R.
• Racional: Un cociente no está definido cuando el denominador es 0
• Irracional: Las raíces de índice par solo están definidas para radicandos positivos.
• Logaritmos: solo están definidos para números reales positivos.
• Razones trigonométricas de seno y coseno: siempre están definidas.
• La tangente: no está definida cuando el coseno es cero.
Además debes tener en cuenta:
• El contesto real del que se ha extraído la función (ejemplo: el área de un terreno)
FUNCIONES POLINÓMICAS
Función afín
x
mx
n
f
m
,
n
Estudio
•Su gráfica es una línea recta: •m = pendiente
•n = ordenada en el origen ( si n = 0 la
recta pasa por el origen de coordenadas y se llama función lineal o de
proporcionalidad directa)
•Dominio: R
•Recorrido: R si m no es 0 / n si m = 0
•Monotonía:
•Si m > 0 la recta es creciente
FUNCIONES POLINÓMICAS
Función afín
•
Pendiente
: aumento o disminución que se produce
en la
y
cuando
x
aumenta una unidad
•
Ecuación punto pendiente:
•
Ecuación general:
•
Ecuación explícita:
•
Gráfica
: es suficiente con pintar dos puntos siendo
uno de ellos la ordenada en el origen
0 1 0 1
x
x
y
y
m
0 0)
(
x
x
y
m
y
0
By
C
Ax
n
mx
y
B A m A B v
FUNCIONES POLINÓMICAS
Función afín
•
Ejemplo: el beneficio de una
empresa es la diferencia entre las
ventas y los costos.
BENEFICIO = VENTAS - COSTOS
- VENTAS: Es el producto de la cantidad vendida por el valor de cada unidad.
VENTAS = PRECIO x CANTIDAD
- COSTOS: Es la suma del costo fijo (alquiler del local) y del costo variable.
COSTOS = COSTO FIJO + COSTO MARGINAL x CANTIDAD.
(El costo marginal es el costo de cada unidad extra que se fabrica)
¿Cuál sería el ingreso o beneficio para
300 unidades?
FUNCIONES POLINÓMICAS
Función afín
•
Interpolación lineal:
Si de una función conocemos solamente dos de sus puntos, es
claro que nada o casi nada podremos decir de su comportamiento
en otros puntos. Sin embargo, si pudiéramos suponer que entre
esos dos puntos la función es lineal, podríamos hallar exacta o
aproximadamente sus valores en puntos intermedios valiéndonos
de la ecuación de una recta.
Supongamos que la función que pasa por los puntos A(x
0, x
1), B(y
0,
y
1) es lineal en el intervalo [x
0, x
1], entonces podemos hallar su valor
para cualquier abscisa, x, de este intervalo:
0 0
0 1
0
1
(
)
)
(
x
x
y
x
x
y
y
x
f
)
,
(
x
0x
1FUNCIONES POLINÓMICAS
Función afín
• Extrapolación lineal: x es exterior al intervalo [x0, x1].
En la extrapolación, cuanto mas alejado esté x del intervalo, menos fiable es el valor que obtenemos para f(x).
Ejemplo: si
colgamos de un muelle una pesa de 40g, se estira hasta
12mm. Y si colgamos una pesa de 60g, se estira hasta 20mm.
a)
¿Cuál sería su longitud si colgáramos una pesa de 55g?
b)
¿Cuál sería su longitud si colgáramos una pesa de 100g?
(resultado razonable)c)
¿Y si la pesa fuera de 5kg?
(el muelle se deforma o se rompe. Es un disparate)mm
f
(
55
40
)
12
18
20
8
)
55
(
mm
f
(
100
40
)
12
36
20
8
)
100
(
mm
f
(
5000
40
)
12
1996
20
8
)
5000
FUNCIONES POLINÓMICAS
Función cuadrática
x
ax
bx
c
f
2
a
,
b
,
c
Estudio
• Su gráfica es una parábola con • vértice el punto:
• eje de simetría la recta: •Dominio: R
•Simetría: si b = 0 es par
•Si a > 0 la parábola es convexa y el vértice es un mínimo.
•Si a < 0 la parábola es cóncava y el vértice es un máximo
•Puntos de corte con los ejes:
Corta al eje X en dos puntos, uno o ninguno, según el número de raíces reales de ax2 + bx + c = 0, y corta al eje Y
en el punto (0, c)
x
ax
2
,
a
0
x
ax
2
,
a
0
FUNCIONES POLINÓMICAS
Función cuadrática
• Traslación vertical y = ax2 + c
La parábola y = ax2 + c es una traslación vertical de c unidades de la
parábola y = ax2
-Si c > 0, la traslación es hacia arriba. -Si c < 0, la traslación es hacia abajo.
• Traslación horizontal y = a(x – p)2
La parábola y = a(x – p)2 es una traslación horizontal de p unidades de la
parábola y = ax2
- El eje de simetría es la recta x = p
- El vértice es el punto V(p, 0)
• Traslación horizontal y vertical y = a(x – p)2 + k
La parábola y = a(x – p)2 + k es una traslación horizontal de p unidades de la
parábola y = ax2 y una traslación vertical de k unidades, o viceversa. - El eje de simetría es la recta x = p
Traslación vertical
RESUMEN
TRANSFORMACIONES DE
FUNCIONES
• Representación de
y = f(x) + k, y = f(x) – k
es
una traslación de f(x) hacia arriba o hacia abajo
respectivamente.
• Representación de
y = -f(x)
es la simétrica de
f(x) respecto del eje X.
• Representación de
y = f(x - k), y = f(x + k)
es
una traslación k unidades hacia la derecha o
hacia la izquierda.
FUNCIONES POLINÓMICAS
Función cuadrática
Hallar la ecuación dada una gráfica:
a) El coeficiente a es el valor que aumenta o disminuye la ordenada y cuando la abscisa x aumenta una unidad desde el vértice.
b) El coeficiente b se halla despejándolo en la fórmula del eje de simetría: c) El coeficiente c es la ordenada del punto donde la parábola corta al eje Y
a b m
FUNCIONES POLINÓMICAS
Función cuadrática
Un uso común en los
negocios es maximizar las
ganancias, es decir, la
diferencia entre los
ingresos (dinero que entra)
y los costos de producción
(dinero gastado).
Ejemplo: supongamos que las
ganancias de una empresa
vienen dadas a partir de la
siguiente ecuación:
•
Extrapolación cuadrática:
cuando el valor que
queremos calcular está fuera del intervalo conocido,
pero muy próximo a él, se llama extrapolación.
FUNCIONES POLINÓMICAS
Función de grado >2
1 1 01
x
...
a
x
a
a
x
a
x
f
n n
n n
a
i
Estudio
•
Dominio y recorrido
:
R
•
Es
continua
en todo el
dominio.
•
Su
gráfica
es una curva con
c
b
a
,
,
0
,
)
(
x
ax
3
bx
2
cx
d
a
f
FUNCIONES RACIONALES
Función de proporcionalidad inversa
x
k
x
f
k
Estudio
• Su gráfica es una hipérbola con asíntotas en los ejes de coordenadas.
•Dominio:
•Ramas:
•Si k > 0 la hipérbola se sitúa en el primer
y el tercer cuadrantes. Es decreciente en todo su dominio.
•Si k < 0 la hipérbola se sitúa en el segundo y cuarto cuadrantes. Es creciente en todo su dominio.
•Simetría: impar, respecto del origen de coordenadas
00
0
FUNCIONES RACIONALES
Función de proporcionalidad inversa
FUNCIONES RACIONALES
Hipérbolas trasladadas
b
a
x
k
x
f
k
,
a
,
b
La hipérbola se traslada según los parámetros a y b:
•Traslación horizontal de a unidades.
La asíntota vertical es la recta y = a.
FUNCIONES RACIONALES
k
2f x
x
k
Estudio •Dominio:
•Asíntotas: en los ejes coordenados. •Ramas:
•Si k > 0 la hipérbola se sitúa en
el primer y el segundo cuadrantes.
•Si k < 0 la hipérbola se sitúa en
el tercer y el cuarto cuadrantes.
•Simetría: Par, respecto del eje OY.
0FUNCIONES RACIONALES
General
( )
( )
P x
f x
Q x
EstudioDominio todos los números reales excepto aquellos en los que se anula el denominador, es decir, Q(x)=0. En esos puntos puede tener asíntotas verticales u oblicuas.
Asíntotas:
•Puede presentar una asíntota horizontal
si el grado del numerador es menor o igual al del denominador.
•También tiene una asíntota oblicua si
el grado del numerador es uno más que el del denominador.
Las posibles asíntotas verticales provienen de las raíces del denominador.
FUNCIONES RADICALES
(funciones irracionales)
n
( )
f x
g x
Estudio •Dominio:
•Si n es par: el intervalo en
el que
•Si n es impar:
•Monotonía: Creciente en
todo su dominio
(Para que sea función consideramos solo uno de los resultados, el positivo o el negativo)
( ) 0 g x
N
n
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
La expresión (g o f )(x) se lee como f compuesta con g de x. Para nombrarla se comienza por la función de la derecha, porque es la primera que actúa sobre la variable x.
FUNCION INVERSA O RECÍPROCA
Las gráficas de una función y de su inversa son
simétricas respecto a la recta y = x. Por tanto, se cortan en ella.
Para que una función tenga inversa ha de ser inyectiva, es decir, cada valor de y ha de corresponder a un único valor de x. Si no es así, ha de descomponerse en
tramos en que sea inyectiva, cada uno de los cuales tendrá su función inversa.
FUNCIONES EXPONENCIALES
Estudio •Dominio:
Recorrido:
•Como a0 = 1, la función pasa siempre por
el punto (0,1).
•Como a1 = a, la función pasa siempre por
el punto (1,a).
•Monotonía: son continuas y convexas
•Si a>1: creciente.(Su crecimiento es muy rápido, superando incluso a cualquier función potencia)
•Si 0<a<1: decreciente.
•Asíntotas: asíntota horizontal en y = 0 (eje
X)
•Observa que las funciones f1(x)=ax y f
2(x)=(1/a)x
cumplen que f1(-x)=f2(x) y por tanto son simétricas respecto al eje Y
x
a
x
f
(
)
a
,
a
0
,
a
1
x
y
-4
1/16
-3
1/8
-2
1/4
-1
1/2
0
1
1
2
2
4
3
8
4
16
x
y
-4
16
-3
8
-2
4
-1
2
0
1
1
1/2
2
1/4
3
1/8
4
1/16
EJEMPLOS FUNCIONES
EXPONENCIALES
• Podemos encontrar varios ejemplos en la página 133 del
libro de texto de Anaya.
• Ejemplo 1:
Algunos tipos de
bacterias
se reproducen
por
"mitosis"
, dividiéndose la célula en dos cada
espacio de tiempo muy pequeños, en algunos casos
cada 15 minutos. ¿Cuántas bacterias se producen en
estos casos, a partir de una, en un día?
2
xsiendo x el tiempo en minutos.
En un día se producen 7,9 10
28• Ejemplo 2:
Interés compuesto
(
Crece si el rédito es positivo
y decrece si el rédito es negativo)
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Estudio •Dominio:
•Recorrido:
•Como loga1 = 0, la función pasa siempre por el punto (1,0).
•Como logaa = 1, la función pasa siempre por el punto (a,1).
•Monotonía: continuas
•Si a>1: creciente (cóncavas) Su crecimiento es muy lento, tanto mas cuanto mayor sea a. Para valores grandes de x toma valores mucho menores que los de cualquier función raíz.
•Si 0<a<1: decreciente (convexas)
•Asíntotas: asíntota vertical en x = 0 (eje Y).
x
x
f
(
)
log
aa
,
a
0
,
a
1
x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
y -3 -2 -1 0 1 2 3
x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
y 3 2 1 0 -1 -2 -3
EJEMPLOS FUNCIONES
LOGARÍTMICAS
• Ejemplo: en psicología tiene gran importancia el estudio de
percepciones. El individuo percibe la luz, olores, etc. La
percepción depende (es función) de los estímulos físicos.
Por ejemplo, hablemos de la iluminación, I, y la percepción,
S, que aprecia un individuo. La relación entre las dos
variables viene dada por la
ley psicológica
o la
ley de
Weber-Fechner:
siendo C una constante.
Para valores pequeños de I el individuo aprecia pequeños
cambios. Pero cuanto mayor sea I mayores tiene que ser
los cambios para que se aprecien.
I
C
La función exponencial y la función logarítmica son
inversas, por lo tanto, sus gráficas son simétricas respecto
de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes, y = x.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
seno, coseno y tangente
CONCEPTOS BÁSICOS
:
Circunferencia goniométrica
: circunferencia
de radio 1 donde trazamos unos ejes coordenados XY
con origen en el centro de la circunferencia.
Unidades de medida
: la medida habitual de ángulos es en grados. Sin
embargo, para representar las funciones trigonométricas es muy útil otra
unidad de medida de ángulos:
el radián
.
El valor de un ángulo en radianes es igual a la longitud del arco
correspondiente
medido sobre la circunferencia goniométrica.
Por ejemplo,
un ángulo de 180º serían radianes.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
seno, coseno y tangente
Supongamos un punto P que recorre dicha circunferencia.
Función seno
: si es el ángulo de giro, se llama seno de , y se expresa
sen
a la distancia de punto P al eje X.
(función que relaciona la longitud recorrida por un punto P al girar y la altura a la que se encuentra P respecto al radio de la circunferencia goniométrica).Si el punto queda encima de X la distancia es positiva y si queda debajo de X es negativa.
Función coseno:
se llama coseno de y se designa
cos
, a la abcisa de P,
es decir, a su distancia al eje Y.
Será positivo si esta a la derecha del eje Y y negativo sui está a la izquierda.
RELACIÓN FUNDAMENTAL:
1
cos
22
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
seno, coseno y tangente
Otras relaciones:
Función tangente:
trazamos una recta t tangente a la circunferencia
goniométrica perpendicular al eje de abcisas X.
Al prolongar el segundo lado del ángulo de giro o su semirrecta opuesta,
corta a la recta t en un punto. Se llama tangente de y se designa
tg
, a la
distancia entre el eje de abcisas X y el punto de corte.
Será positiva si el punto de corte está sobre el eje X y negativa si está por debajo de este.
Los ángulos de 90º y 270º no tienen tangente, pues ni el segundo lado del
ángulo ni la semirrecta opuesta cortan a la recta t.
)
cos
º
90
(
sen
cos(
90
º
)
sen
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
seno, coseno y tangente
Por la semejanza de triángulos podemos definir la tangente
como:
Aplicaciones de la trigonometría:
1. Cálculo de longitudes y áreas
2. Cálculo de distancias a puntos inaccesibles
cos
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Función seno
x
x
f
(
)
sin
1,1
Z k k x
x) sin( 2 ), sin(
0,2
,2
2 3 2 , 0 2 3 , 2 ,1
2
,1
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Función seno
x
x
Función seno: transformaciones
Función seno: transformaciones
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Función coseno
x
x
f
(
)
cos
1,1
Z k k x
x) cos( 2 ), cos(
0,2
,2
,1
0,1FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Función coseno
x
x
f
(
)
cos
Teniendo en cuenta la relación , la gráfica del coseno coincide con la gráfica del seno desplazada /2 a la izquierda. Produciéndose traslaciones, dilataciones y contracciones de forma similar a lo visto en la función seno.
)
cos
º
90
(
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Función tangente
Z k k , 2 Z k k xx) tan( ), tan(
,
Z k k
x , 2
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
x
x
f
(
)
Se denomina así la
función que a cada
número real hace
corresponder su
valor absoluto.
Se puede expresar también
como una función definida
a trozos
0
0
)
(
x
si
x
x
si
x
x
f
Estudio •Recorrido:Puesto que el valor absoluto de un
número es siempre positivo el recorrido de una función con valor absoluto
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
De un polinomio
)
(
)
(
x
P
x
f
0
)
(
)
(
0
)
(
)
(
)
(
x
P
si
x
P
x
P
si
x
P
x
f
A trozos:
Para establecer los
intervalos
en los que P(x) tiene
signo negativo hay que resolver la ecuación P(x)=0 y
estudiar el signo de P en cada uno de los intervalos en
los que queda dividida la recta real.
Para dibujar su
gráfica
, se dibuja normalmente y
Ejemplo
f
(
x
)
x
2
8
x
12
Para expresar la función a trozos se buscan las raíces del polinomio P.
0
12
8
)
(
x
x
2
x
P
x
1
2
,
x
2
4
Se estudia el signo de P en cada intervalo de la recta real.