¿Se puede calcularla resultante ralaasociada a una familia de soportes A = (A1, . . . , An) en un n´umero de pasos que dependa
de invariantes combinatorios y geom´etricos como el volumen mixto de los soportes? ¿Y se podr´a evaluar “f´acilmente” ?
Nuestro problema
¿Se puede calcularla resultante ralaasociada a una familia de soportes A = (A1, . . . , An) en un n´umero de pasos que dependa
de invariantes combinatorios y geom´etricos como el volumen mixto de los soportes? ¿Y se podr´a evaluar “f´acilmente” ?
Herramienta I
Diferentes m´etodos de codificar polinomios
En la forma densa est´andar, como el vector de los coeficientes de sus monomios prefijando una cota para su grado.
(det ser´ıa un vector de n2n+n coordenadas.)
En forma rala, como una lista de pares (a, ca) donde a recorre
los exponentes de los monomios del polinomio y ca es el
coeficiente correspondiente. (det ser´ıa una lista de n! pares.)
Como straight-line program (slp). Un slp es un algoritmo que permite evaluar el polinomio en cualquier punto.
Herramienta I
Diferentes m´etodos de codificar polinomios
En la forma densa est´andar, como el vector de los coeficientes de sus monomios prefijando una cota para su grado.
(det ser´ıa un vector de n2n+n coordenadas.)
En forma rala, como una lista de pares (a, ca) donde a recorre
los exponentes de los monomios del polinomio y ca es el
coeficiente correspondiente. (det ser´ıa una lista de n! pares.)
Como straight-line program (slp). Un slp es un algoritmo que permite evaluar el polinomio en cualquier punto.
Herramienta I
Diferentes m´etodos de codificar polinomios
En la forma densa est´andar, como el vector de los coeficientes de sus monomios prefijando una cota para su grado.
(det ser´ıa un vector de n2n+n coordenadas.)
En forma rala, como una lista de pares (a, ca) donde a recorre
los exponentes de los monomios del polinomio y ca es el
coeficiente correspondiente. (det ser´ıa una lista de n! pares.)
Como straight-line program (slp). Un slp es un algoritmo que permite evaluar el polinomio en cualquier punto.
Herramienta I
Diferentes m´etodos de codificar polinomios
En la forma densa est´andar, como el vector de los coeficientes de sus monomios prefijando una cota para su grado.
(det ser´ıa un vector de n2n+n coordenadas.)
En forma rala, como una lista de pares (a, ca) donde a recorre
los exponentes de los monomios del polinomio y ca es el
coeficiente correspondiente.
(det ser´ıa una lista de n! pares.)
Como straight-line program (slp). Un slp es un algoritmo que permite evaluar el polinomio en cualquier punto.
Herramienta I
Diferentes m´etodos de codificar polinomios
En la forma densa est´andar, como el vector de los coeficientes de sus monomios prefijando una cota para su grado.
(det ser´ıa un vector de n2n+n coordenadas.)
En forma rala, como una lista de pares (a, ca) donde a recorre
los exponentes de los monomios del polinomio y ca es el
coeficiente correspondiente. (det ser´ıa una lista de n! pares.)
Como straight-line program (slp). Un slp es un algoritmo que permite evaluar el polinomio en cualquier punto.
Herramienta I
Diferentes m´etodos de codificar polinomios
En la forma densa est´andar, como el vector de los coeficientes de sus monomios prefijando una cota para su grado.
(det ser´ıa un vector de n2n+n coordenadas.)
En forma rala, como una lista de pares (a, ca) donde a recorre
los exponentes de los monomios del polinomio y ca es el
coeficiente correspondiente. (det ser´ıa una lista de n! pares.)
Como straight-line program (slp). Un slp es un algoritmo que permite evaluar el polinomio en cualquier punto.
Herramienta I
Diferentes m´etodos de codificar polinomios
En la forma densa est´andar, como el vector de los coeficientes de sus monomios prefijando una cota para su grado.
(det ser´ıa un vector de n2n+n coordenadas.)
En forma rala, como una lista de pares (a, ca) donde a recorre
los exponentes de los monomios del polinomio y ca es el
coeficiente correspondiente. (det ser´ıa una lista de n! pares.)
Como straight-line program (slp). Un slp es un algoritmo que permite evaluar el polinomio en cualquier punto.
Herramienta II
Resoluciones geom´etricas
Sea V = {ξ(1), . . . , ξ(D)} ⊂ kn una k-variedad cero-dimensional. Sea λ = λ1X1+ · · · + λnXn una forma lineal con coeficientes en k
tal que λ(ξ(i )) 6= λ(ξ(j )) si i 6= j .
Los siguientes polinomios caracterizan a V completamente: qλ=Q1≤i ≤D(Y − λ(ξ(i ))) ∈ k[Y ],
v1, . . . , vn∈ k[Y ] con deg(vj) < D que satisfacen
V = {(v1(η), . . . , vn(η)) ∈ k n
| η ∈ k, qλ(η) = 0}.
(qλ, v1, . . . , vn) ∈ k[Y ]n+1 se llama la resoluci´on geom´etrica de V
Herramienta II
Resoluciones geom´etricas
Sea V = {ξ(1), . . . , ξ(D)} ⊂ kn una k-variedad cero-dimensional.
Sea λ = λ1X1+ · · · + λnXn una forma lineal con coeficientes en k
tal que λ(ξ(i )) 6= λ(ξ(j )) si i 6= j .
Los siguientes polinomios caracterizan a V completamente: qλ=Q1≤i ≤D(Y − λ(ξ(i ))) ∈ k[Y ],
v1, . . . , vn∈ k[Y ] con deg(vj) < D que satisfacen
V = {(v1(η), . . . , vn(η)) ∈ k n
| η ∈ k, qλ(η) = 0}.
(qλ, v1, . . . , vn) ∈ k[Y ]n+1 se llama la resoluci´on geom´etrica de V
Herramienta II
Resoluciones geom´etricas
Sea V = {ξ(1), . . . , ξ(D)} ⊂ kn una k-variedad cero-dimensional. Sea λ = λ1X1+ · · · + λnXn una forma lineal con coeficientes en k
tal que λ(ξ(i )) 6= λ(ξ(j )) si i 6= j .
Los siguientes polinomios caracterizan a V completamente: qλ=Q1≤i ≤D(Y − λ(ξ(i ))) ∈ k[Y ],
v1, . . . , vn∈ k[Y ] con deg(vj) < D que satisfacen
V = {(v1(η), . . . , vn(η)) ∈ k n
| η ∈ k, qλ(η) = 0}.
(qλ, v1, . . . , vn) ∈ k[Y ]n+1 se llama la resoluci´on geom´etrica de V
Herramienta II
Resoluciones geom´etricas
Sea V = {ξ(1), . . . , ξ(D)} ⊂ kn una k-variedad cero-dimensional. Sea λ = λ1X1+ · · · + λnXn una forma lineal con coeficientes en k
tal que λ(ξ(i )) 6= λ(ξ(j )) si i 6= j .
Los siguientes polinomios caracterizan a V completamente:
qλ=Q1≤i ≤D(Y − λ(ξ(i ))) ∈ k[Y ],
v1, . . . , vn∈ k[Y ] con deg(vj) < D que satisfacen
V = {(v1(η), . . . , vn(η)) ∈ k n
| η ∈ k, qλ(η) = 0}.
(qλ, v1, . . . , vn) ∈ k[Y ]n+1 se llama la resoluci´on geom´etrica de V
Herramienta II
Resoluciones geom´etricas
Sea V = {ξ(1), . . . , ξ(D)} ⊂ kn una k-variedad cero-dimensional. Sea λ = λ1X1+ · · · + λnXn una forma lineal con coeficientes en k
tal que λ(ξ(i )) 6= λ(ξ(j )) si i 6= j .
Los siguientes polinomios caracterizan a V completamente: qλ=Q1≤i ≤D(Y − λ(ξ(i ))) ∈ k[Y ],
v1, . . . , vn∈ k[Y ] con deg(vj) < D que satisfacen
V = {(v1(η), . . . , vn(η)) ∈ k n
| η ∈ k, qλ(η) = 0}.
(qλ, v1, . . . , vn) ∈ k[Y ]n+1 se llama la resoluci´on geom´etrica de V
Herramienta II
Resoluciones geom´etricas
Sea V = {ξ(1), . . . , ξ(D)} ⊂ kn una k-variedad cero-dimensional. Sea λ = λ1X1+ · · · + λnXn una forma lineal con coeficientes en k
tal que λ(ξ(i )) 6= λ(ξ(j )) si i 6= j .
Los siguientes polinomios caracterizan a V completamente: qλ=Q1≤i ≤D(Y − λ(ξ(i ))) ∈ k[Y ],
v1, . . . , vn∈ k[Y ] con deg(vj) < D que satisfacen
V = {(v1(η), . . . , vn(η)) ∈ k n
| η ∈ k, qλ(η) = 0}.
(qλ, v1, . . . , vn) ∈ k[Y ]n+1 se llama la resoluci´on geom´etrica de V
Herramienta II
Resoluciones geom´etricas
Sea V = {ξ(1), . . . , ξ(D)} ⊂ kn una k-variedad cero-dimensional. Sea λ = λ1X1+ · · · + λnXn una forma lineal con coeficientes en k
tal que λ(ξ(i )) 6= λ(ξ(j )) si i 6= j .
Los siguientes polinomios caracterizan a V completamente: qλ=Q1≤i ≤D(Y − λ(ξ(i ))) ∈ k[Y ],
v1, . . . , vn∈ k[Y ] con deg(vj) < D que satisfacen
V = {(v1(η), . . . , vn(η)) ∈ k n
| η ∈ k, qλ(η) = 0}.
(qλ, v1, . . . , vn) ∈ k[Y ]n+1 se llama la resoluci´on geom´etrica de V
asociada a λ.
Herramienta II
Resoluciones geom´etricas
Sea V = {ξ(1), . . . , ξ(D)} ⊂ kn una k-variedad cero-dimensional. Sea λ = λ1X1+ · · · + λnXn una forma lineal con coeficientes en k
tal que λ(ξ(i )) 6= λ(ξ(j )) si i 6= j .
Los siguientes polinomios caracterizan a V completamente: qλ=Q1≤i ≤D(Y − λ(ξ(i ))) ∈ k[Y ],
v1, . . . , vn∈ k[Y ] con deg(vj) < D que satisfacen
V = {(v1(η), . . . , vn(η)) ∈ k n
| η ∈ k, qλ(η) = 0}.
Herramienta III
Herramienta III
Una f´ormula de tipo Poisson para la resultante rala
ResA∈ Z[U0, . . . , Un] (la resultante rala) es un polinomio que
Herramienta III
Una f´ormula de tipo Poisson para la resultante rala
ResA∈ Z[U0, . . . , Un] (la resultante rala) es un polinomio que
define la clausura de Zariski de la proyecci´on π(ΓA).
Como la clausura π(ΓA) es una hipersuperficie irreducible, puede
Herramienta III
Una f´ormula de tipo Poisson para la resultante rala
ResA∈ Z[U0, . . . , Un] (la resultante rala) es un polinomio que
define la clausura de Zariski de la proyecci´on π(ΓA).
Como la clausura π(ΓA) es una hipersuperficie irreducible, puede
pedirse que ResA ∈ Z[U0, . . . , Un] sea un polinomio irreducible.
Pedersen–Sturmfels, 1993 Minimair, 2003
Herramienta III
Una f´ormula de tipo Poisson para la resultante rala
ResA∈ Z[U0, . . . , Un] (la resultante rala) es un polinomio que
define la clausura de Zariski de la proyecci´on π(ΓA).
D’Andrea–Sombra (2015) (Esterov, 2010) redefinen la resultante rala como una potencia de un polinomio irreducible (el exponente dado por el grado de π|ΓA).
Herramienta III
Una f´ormula de tipo Poisson para la resultante rala
ResA∈ Z[U0, . . . , Un] (la resultante rala) es un polinomio que
define la clausura de Zariski de la proyecci´on π(ΓA).
D’Andrea–Sombra (2015) (Esterov, 2010) redefinen la resultante rala como una potencia de un polinomio irreducible (el exponente dado por el grado de π|ΓA).
Con esta nueva definici´on, en caracter´ıstica cero, la resultante cumple:
ResA= ±
Y
v
ResA1,v,··· ,An,v(f1,v, . . . , fn,v)−hA0(v )
Y
ξ∈V (f1,...,fn)
Herramienta III
Una f´ormula de tipo Poisson para la resultante rala
ResA∈ Z[U0, . . . , Un] (la resultante rala) es un polinomio que
define la clausura de Zariski de la proyecci´on π(ΓA).
D’Andrea–Sombra (2015) (Esterov, 2010) redefinen la resultante rala como una potencia de un polinomio irreducible (el exponente dado por el grado de π|ΓA).
Con esta nueva definici´on, en caracter´ıstica cero, la resultante cumple:
ResA= ±
Y
v
ResA1,v,··· ,An,v(f1,v, . . . , fn,v)−hA0(v )
Y
ξ∈V (f1,...,fn)
f0(ξ),
donde el primer producto es sobre todos los vectores primitivos v ∈ Zn y hA0 es la funci´on soporte hA0(v ) = mina∈A0hv , ai.