C´
alculo efectivo de resultantes ralas
Gabriela Jeronimo - Juan Sabia
Universidad de Buenos Aires - IMAS (UBA-CONICET)
Reuni´on Anual de la UMA
Resoluci´
on de ecuaciones polinomiales
El problema de decisi´on Un ejemplo cl´asico 1. El sistema lineal a11x1 +a12x2 + . . . +a1nxn = 0 a21x1 +a22x2 + . . . +a2nxn = 0 . . . . an1x1 +an2x2 + . . . +annxn = 0tiene soluci´on no nula si y s´olo si det(aij) = 0
Resoluci´
on de ecuaciones polinomiales
El problema de decisi´on Un ejemplo cl´asico 1. El sistema lineal a11x1 +a12x2 + . . . +a1nxn = 0 a21x1 +a22x2 + . . . +a2nxn = 0 . . . . an1x1 +an2x2 + . . . +annxn = 0tiene soluci´on no nula si y s´olo si det(aij) = 0
Resoluci´
on de ecuaciones polinomiales
El problema de decisi´on Un ejemplo cl´asico 1. El sistema lineal a11x1 +a12x2 + . . . +a1nxn = 0 a21x1 +a22x2 + . . . +a2nxn = 0 . . . . an1x1 +an2x2 + . . . +annxn = 0tiene soluci´on no nula si y s´olo si det(aij) = 0
Resoluci´
on de ecuaciones polinomiales
El problema de decisi´on M´as ejemplos cl´asicos 2. f (x ) = anxn +an−1xn−1 + . . . +a0 = 0 g (x ) = bmxm +bm−1xm−1 + . . . +b0 = 0con ai, bj ∈ Q, an.bm6= 0 tiene soluci´on en C si y s´olo si
Res(f , g ) = 0 Res(f , g ) = det an an−1 . . . a0 0 . . . 0 0 an . . . a1 a0 0 . . . 0 . . . . 0 . . . 0 an an−1 . . . a0 bm . . . b0 0 . . . 0 0 bm . . . b0 0 0 . . . 0 . . . . 0 . . . 0 bm . . . b0
Resoluci´
on de ecuaciones polinomiales
El problema de decisi´on M´as ejemplos cl´asicos 2. f (x ) = anxn +an−1xn−1 + . . . +a0 = 0 g (x ) = bmxm +bm−1xm−1 + . . . +b0 = 0con ai, bj ∈ Q, an.bm 6= 0 tiene soluci´on en C si y s´olo si
Res(f , g ) = 0 Res(f , g ) = det an an−1 . . . a0 0 . . . 0 0 an . . . a1 a0 0 . . . 0 . . . . 0 . . . 0 an an−1 . . . a0 bm . . . b0 0 . . . 0 0 bm . . . b0 0 0 . . . 0 . . . . 0 . . . 0 bm . . . b0
Resoluci´
on de ecuaciones polinomiales
El problema de decisi´on M´as ejemplos cl´asicos 2. f (x ) = anxn +an−1xn−1 + . . . +a0 = 0 g (x ) = bmxm +bm−1xm−1 + . . . +b0 = 0con ai, bj ∈ Q, an.bm 6= 0 tiene soluci´on en C si y s´olo si
Res(f , g ) = 0 Res(f , g ) = det an an−1 . . . a0 0 . . . 0 0 an . . . a1 a0 0 . . . 0 . . . . 0 . . . 0 an an−1 . . . a0 bm . . . b0 0 . . . 0 0 bm . . . b0 0 0 . . . 0 . . . . 0 . . . 0 bm . . . b0
Resoluci´
on de ecuaciones polinomiales
El problema de decisi´on 3. a11x1 +a12x2 + . . . +a1nxn = b1 a21x1 +a22x2 + . . . +a2nxn = b2 . . . . am1x1 +am2x2 + . . . +amnxn = bmtiene soluci´on si y s´olo si
rg a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . am1 am2 . . . amn = rg a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 . . . . am1 am2 . . . amn bm
Resoluci´
on de ecuaciones polinomiales
El problema de decisi´on 3. a11x1 +a12x2 + . . . +a1nxn = b1 a21x1 +a22x2 + . . . +a2nxn = b2 . . . . am1x1 +am2x2 + . . . +amnxn = bmtiene soluci´on si y s´olo si
rg a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . am1 am2 . . . amn = rg a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 . . . . am1 am2 . . . amn bm
Resoluci´
on de ecuaciones polinomiales
El problema de decisi´on
Pregunta
Dado un sistema de ecuaciones polinomiales en varias variables con coeficientes en Q, ¿existir´a alguna f´ormula que se pueda verificar con los coeficientes de los polinomios para decidir si el sistema tiene soluciones (∗) de coordenadas complejas?
(∗) ¿Y que las soluciones cumplan alguna condici´on adicional, si es necesario?
Resoluci´
on de ecuaciones polinomiales
El problema de decisi´on
Pregunta
Dado un sistema de ecuaciones polinomiales en varias variables con coeficientes en Q, ¿existir´a alguna f´ormula que se pueda verificar con los coeficientes de los polinomios para decidir si el sistema tiene soluciones (∗) de coordenadas complejas?
(∗) ¿Y que las soluciones cumplan alguna condici´on adicional, si es necesario?
Resoluci´
on de ecuaciones polinomiales
El problema de decisi´on
Pregunta
Dado un sistema de ecuaciones polinomiales en varias variables con coeficientes en Q, ¿existir´a alguna f´ormula que se pueda verificar con los coeficientes de los polinomios para decidir si el sistema tiene soluciones (∗) de coordenadas complejas?
(∗) ¿Y que las soluciones cumplan alguna condici´on adicional, si es necesario?
Eliminaci´
on: enfoque te´
orico
Sea Lk(k) el lenguaje de primer orden sobre k con constantes en k
(k ⊂ k cuerpos, k algebraicamente cerrado).
Lk(k) admiteeliminaci´on de cuantificadores:
Teorema (Tarski, 1951)
Para toda f´ormula ϕ ∈ Lk(k) existe una f´ormulalibre de
cuantificadoresψ ∈ Lk(k)equivalente a ϕ que s´olo involucra las
Eliminaci´
on: enfoque te´
orico
Sea Lk(k) el lenguaje de primer orden sobre k con constantes en k
(k ⊂ k cuerpos, k algebraicamente cerrado).
Lk(k) admiteeliminaci´on de cuantificadores:
Teorema (Tarski, 1951)
Para toda f´ormula ϕ ∈ Lk(k) existe una f´ormulalibre de
cuantificadoresψ ∈ Lk(k)equivalente a ϕ que s´olo involucra las
Eliminaci´
on: enfoque te´
orico
Sea Lk(k) el lenguaje de primer orden sobre k con constantes en k
(k ⊂ k cuerpos, k algebraicamente cerrado).
Lk(k) admiteeliminaci´on de cuantificadores:
Teorema (Tarski, 1951)
Para toda f´ormula ϕ ∈ Lk(k) existe una f´ormulalibre de
cuantificadoresψ ∈ Lk(k)equivalente a ϕ que s´olo involucra las
Eliminaci´
on: enfoque te´
orico
Sea Lk(k) el lenguaje de primer orden sobre k con constantes en k
(k ⊂ k cuerpos, k algebraicamente cerrado).
Lk(k) admiteeliminaci´on de cuantificadores:
Teorema (Tarski, 1951)
Para toda f´ormula ϕ ∈ Lk(k) existe una f´ormulalibre de
cuantificadoresψ ∈ Lk(k)equivalente a ϕ que s´olo involucra las
Eliminaci´
on
Volviendo al primer ejemplo: La f´ormula ϕ: ∃(x1, . . . , xn) 6= (0, . . . , 0) ∧ X 1≤j ≤n a1jxj = 0 ∧ · · · ∧ X 1≤j ≤n anjxj = 0 es equivalente a ψ: det(aij) = 0
Eliminaci´
on
Volviendo al primer ejemplo:
La f´ormula ϕ: ∃(x1, . . . , xn) 6= (0, . . . , 0) ∧ X 1≤j ≤n a1jxj = 0 ∧ · · · ∧ X 1≤j ≤n anjxj = 0 es equivalente a ψ: det(aij) = 0
Eliminaci´
on
Volviendo al primer ejemplo: La f´ormula ϕ: ∃(x1, . . . , xn) 6= (0, . . . , 0) ∧ X 1≤j ≤n a1jxj = 0 ∧ · · · ∧ X 1≤j ≤n anjxj = 0 es equivalente a ψ: det(aij) = 0
Eliminaci´
on
Volviendo al primer ejemplo: La f´ormula ϕ: ∃(x1, . . . , xn) 6= (0, . . . , 0) ∧ X 1≤j ≤n a1jxj = 0 ∧ · · · ∧ X 1≤j ≤n anjxj = 0 es equivalente a ψ: det(aij) = 0
El problema general
De cualquier f´ormula ϕ ∈ Lk(k), obtener ψ algor´ıtmicamente.
Heintz (1983)
Chistov-Grigor’ev (1984)
Fitchas-Galligo-Morgernstern (1990) Puddu-S. (1998)
Si se aplica cualquiera de estos algoritmos sin un an´alisis particular, calcular el determinante tomar´ıa por lo menos 2O(n) operaciones. Sin embargo, a pesar de que det es un polinomio irreducible de grado n, en n2 variables con n! monomios, puede evaluarse con s´olo O(n2.376) operaciones.
El problema general
De cualquier f´ormula ϕ ∈ Lk(k), obtener ψ algor´ıtmicamente.
Heintz (1983)
Chistov-Grigor’ev (1984)
Fitchas-Galligo-Morgernstern (1990) Puddu-S. (1998)
Si se aplica cualquiera de estos algoritmos sin un an´alisis particular, calcular el determinante tomar´ıa por lo menos 2O(n) operaciones. Sin embargo, a pesar de que det es un polinomio irreducible de grado n, en n2 variables con n! monomios, puede evaluarse con s´olo O(n2.376) operaciones.
El problema general
De cualquier f´ormula ϕ ∈ Lk(k), obtener ψ algor´ıtmicamente.
Heintz (1983)
Chistov-Grigor’ev (1984)
Fitchas-Galligo-Morgernstern (1990) Puddu-S. (1998)
Si se aplica cualquiera de estos algoritmos sin un an´alisis particular, calcular el determinante tomar´ıa por lo menos 2O(n) operaciones. Sin embargo, a pesar de que det es un polinomio irreducible de grado n, en n2 variables con n! monomios, puede evaluarse con s´olo O(n2.376) operaciones.
El problema general
De cualquier f´ormula ϕ ∈ Lk(k), obtener ψ algor´ıtmicamente.
Heintz (1983)
Chistov-Grigor’ev (1984)
Fitchas-Galligo-Morgernstern (1990) Puddu-S. (1998)
Si se aplica cualquiera de estos algoritmos sin un an´alisis particular, calcular el determinante tomar´ıa por lo menos 2O(n) operaciones.
Sin embargo, a pesar de que det es un polinomio irreducible de grado n, en n2 variables con n! monomios, puede evaluarse con s´olo O(n2.376) operaciones.
El problema general
De cualquier f´ormula ϕ ∈ Lk(k), obtener ψ algor´ıtmicamente.
Heintz (1983)
Chistov-Grigor’ev (1984)
Fitchas-Galligo-Morgernstern (1990) Puddu-S. (1998)
Si se aplica cualquiera de estos algoritmos sin un an´alisis particular, calcular el determinante tomar´ıa por lo menos 2O(n) operaciones. Sin embargo, a pesar de que det es un polinomio irreducible de grado n, en n2 variables con n! monomios, puede evaluarse con s´olo O(n2.376) operaciones.
Resultante multivariada
x = (x0, . . . , xn), d0, . . . , dn∈ N U0, . . . , Unconjuntos de variables, #Ui = din+n = Ni + 1 fi(Ui, x ) = X |a|=di Uiaxa∈ Q[Ui][x0, . . . , xn]. Γ(d0,...,dn) = {(ξ, u) ∈ Pn× n Y i =0 PNi | f0(ξ, u0) = 0, . . . , fn(ξ, un) = 0}la variedad de incidencia asociada. Consideramos la proyecci´on π : Pn× n Y i =0 PNi → n Y i =0 PNi. Res(d0,...,dn) ∈ Z[U0, . . . , Un] (la resultante multivariada) es un
Resultante multivariada
x = (x0, . . . , xn), d0, . . . , dn∈ N U0, . . . , Unconjuntos de variables, #Ui = din+n = Ni + 1 fi(Ui, x ) = X |a|=di Uiaxa∈ Q[Ui][x0, . . . , xn]. Γ(d0,...,dn) = {(ξ, u) ∈ Pn× n Y i =0 PNi | f0(ξ, u0) = 0, . . . , fn(ξ, un) = 0}la variedad de incidencia asociada. Consideramos la proyecci´on π : Pn× n Y i =0 PNi → n Y i =0 PNi. Res(d0,...,dn) ∈ Z[U0, . . . , Un] (la resultante multivariada) es un
Resultante multivariada
x = (x0, . . . , xn), d0, . . . , dn∈ N
U0, . . . , Un conjuntos de variables, #Ui = di+nn = Ni + 1
fi(Ui, x ) = X |a|=di Uiaxa∈ Q[Ui][x0, . . . , xn]. Γ(d0,...,dn) = {(ξ, u) ∈ Pn× n Y i =0 PNi | f0(ξ, u0) = 0, . . . , fn(ξ, un) = 0}
la variedad de incidencia asociada. Consideramos la proyecci´on π : Pn× n Y i =0 PNi → n Y i =0 PNi. Res(d0,...,dn) ∈ Z[U0, . . . , Un] (la resultante multivariada) es un
Resultante multivariada
x = (x0, . . . , xn), d0, . . . , dn∈ N
U0, . . . , Un conjuntos de variables, #Ui = di+nn = Ni + 1
fi(Ui, x ) = X |a|=di Uiaxa∈ Q[Ui][x0, . . . , xn]. Γ(d0,...,dn) = {(ξ, u) ∈ Pn× n Y i =0 PNi | f0(ξ, u0) = 0, . . . , fn(ξ, un) = 0}
la variedad de incidencia asociada. Consideramos la proyecci´on π : Pn× n Y i =0 PNi → n Y i =0 PNi. Res(d0,...,dn) ∈ Z[U0, . . . , Un] (la resultante multivariada) es un
Resultante multivariada
x = (x0, . . . , xn), d0, . . . , dn∈ N
U0, . . . , Un conjuntos de variables, #Ui = di+nn = Ni + 1
fi(Ui, x ) = X |a|=di Uiaxa∈ Q[Ui][x0, . . . , xn]. Γ(d0,...,dn) = {(ξ, u) ∈ Pn× n Y i =0 PNi | f0(ξ, u0) = 0, . . . , fn(ξ, un) = 0}
la variedad de incidencia asociada.
Consideramos la proyecci´on π : Pn× n Y i =0 PNi → n Y i =0 PNi. Res(d0,...,dn) ∈ Z[U0, . . . , Un] (la resultante multivariada) es un
Resultante multivariada
x = (x0, . . . , xn), d0, . . . , dn∈ N
U0, . . . , Un conjuntos de variables, #Ui = di+nn = Ni + 1
fi(Ui, x ) = X |a|=di Uiaxa∈ Q[Ui][x0, . . . , xn]. Γ(d0,...,dn) = {(ξ, u) ∈ Pn× n Y i =0 PNi | f0(ξ, u0) = 0, . . . , fn(ξ, un) = 0}
la variedad de incidencia asociada. Consideramos la proyecci´on π : Pn× n Y i =0 PNi → n Y i =0 PNi.
Res(d0,...,dn) ∈ Z[U0, . . . , Un] (la resultante multivariada) es un
Resultante multivariada
x = (x0, . . . , xn), d0, . . . , dn∈ N
U0, . . . , Un conjuntos de variables, #Ui = di+nn = Ni + 1
fi(Ui, x ) = X |a|=di Uiaxa∈ Q[Ui][x0, . . . , xn]. Γ(d0,...,dn) = {(ξ, u) ∈ Pn× n Y i =0 PNi | f0(ξ, u0) = 0, . . . , fn(ξ, un) = 0}
la variedad de incidencia asociada. Consideramos la proyecci´on π : Pn× n Y i =0 PNi → n Y i =0 PNi.
Otro ejemplo de eliminaci´
on
f : (f0, . . . , fn) polinomios homog´eneos en k[X0, . . . , Xn] de grados
d0, . . . , dn.
∃ x = (x0, . . . , xn) 6= (0, . . . , 0) : f(x) = 0
es equivalente a
Res(d0,...,dn)(coefs(f)) = 0
Otro ejemplo de eliminaci´
on
f : (f0, . . . , fn) polinomios homog´eneos en k[X0, . . . , Xn] de grados
d0, . . . , dn.
∃ x = (x0, . . . , xn) 6= (0, . . . , 0) : f(x) = 0
es equivalente a
Res(d0,...,dn)(coefs(f)) = 0
Otro ejemplo de eliminaci´
on
f : (f0, . . . , fn) polinomios homog´eneos en k[X0, . . . , Xn] de grados
d0, . . . , dn.
∃ x = (x0, . . . , xn) 6= (0, . . . , 0) : f(x) = 0
es equivalente a
Res(d0,...,dn)(coefs(f)) = 0
Otro ejemplo de eliminaci´
on
f : (f0, . . . , fn) polinomios homog´eneos en k[X0, . . . , Xn] de grados
d0, . . . , dn.
∃ x = (x0, . . . , xn) 6= (0, . . . , 0) : f(x) = 0
es equivalente a
Res(d0,...,dn)(coefs(f)) = 0
Otro ejemplo de eliminaci´
on
f : (f0, . . . , fn) polinomios homog´eneos en k[X0, . . . , Xn] de grados
d0, . . . , dn.
∃ x = (x0, . . . , xn) 6= (0, . . . , 0) : f(x) = 0
es equivalente a
Res(d0,...,dn)(coefs(f)) = 0
C´
alculo efectivo de resultante multivariada
Macaulay (1902) . . .
D’Andrea - Dickenstein (2001) Jeronimo - Krick - S - Sombra (2004) Jeronimo - S. (2007)
Res(d0,...,dn) es un polinomio irreducible que tiene grado D = n X i =0 d0. . . ˆdi. . . dn en N = n X i =0 di+n
n variables que puede
C´
alculo efectivo de resultante multivariada
Macaulay (1902) . . .
D’Andrea - Dickenstein (2001) Jeronimo - Krick - S - Sombra (2004) Jeronimo - S. (2007)
Res(d0,...,dn) es un polinomio irreducible que tiene grado D = n X i =0 d0. . . ˆdi. . . dn en N = n X i =0 di+n
n variables que puede
C´
alculo efectivo de resultante multivariada
Macaulay (1902) . . .
D’Andrea - Dickenstein (2001) Jeronimo - Krick - S - Sombra (2004) Jeronimo - S. (2007)
Res(d0,...,dn) es un polinomio irreducible que tiene grado D = n X d0. . . ˆdi. . . dn en N = n X di+n
Contexto ralo
A = (A1, . . . , An) subconjuntos de Zn
f1, . . . , fn en k[x1±1, . . . , x ±1
n ] polinomios de Laurent, cada fi
con soporte incluido en Ai:
fi(x ) =
X
a∈Aj
cj ,axa.
La geometr´ıa de A juega un papel fundamental en la resoluci´on de ecuaciones polinomiales:
Teorema (Bernstein–Kushnirenko, 1975)
El n´umero de soluciones aisladas x ∈ (C∗)n de un sistema de este tipo est´a acotada por MV (A1, . . . , An), el volumen mixto de la
Contexto ralo
A = (A1, . . . , An) subconjuntos de Zn
f1, . . . , fn en k[x1±1, . . . , x ±1
n ] polinomios de Laurent, cada fi
con soporte incluido en Ai:
fi(x ) =
X
a∈Aj
cj ,axa.
La geometr´ıa de A juega un papel fundamental en la resoluci´on de ecuaciones polinomiales:
Teorema (Bernstein–Kushnirenko, 1975)
El n´umero de soluciones aisladas x ∈ (C∗)n de un sistema de este tipo est´a acotada por MV (A1, . . . , An), el volumen mixto de la
Contexto ralo
A = (A1, . . . , An) subconjuntos de Zn
f1, . . . , fn en k[x1±1, . . . , x ±1
n ] polinomios de Laurent, cada fi
con soporte incluido en Ai:
fi(x ) =
X
a∈Aj
cj ,axa.
La geometr´ıa de A juega un papel fundamental en la resoluci´on de ecuaciones polinomiales:
Teorema (Bernstein–Kushnirenko, 1975)
El n´umero de soluciones aisladas x ∈ (C∗)n de un sistema de este tipo est´a acotada por MV (A1, . . . , An), el volumen mixto de la
Contexto ralo
A = (A1, . . . , An) subconjuntos de Zn
f1, . . . , fn en k[x1±1, . . . , x ±1
n ] polinomios de Laurent, cada fi
con soporte incluido en Ai:
fi(x ) =
X
a∈Aj
cj ,axa.
La geometr´ıa de A juega un papel fundamental en la resoluci´on de ecuaciones polinomiales:
Teorema (Bernstein–Kushnirenko, 1975)
El n´umero de soluciones aisladas x ∈ (C∗)n de un sistema de este tipo est´a acotada por MV (A1, . . . , An), el volumen mixto de la
Contexto ralo
A = (A1, . . . , An) subconjuntos de Zn
f1, . . . , fn en k[x1±1, . . . , x ±1
n ] polinomios de Laurent, cada fi
con soporte incluido en Ai:
fi(x ) =
X
a∈Aj
cj ,axa.
La geometr´ıa de A juega un papel fundamental en la resoluci´on de ecuaciones polinomiales:
Teorema (Bernstein–Kushnirenko, 1975)
El n´umero de soluciones aisladas x ∈ (C∗)n de un sistema de este tipo est´a acotada por MV (A1, . . . , An), el volumen mixto de la
Contexto ralo
A = (A1, . . . , An) subconjuntos de Zn
f1, . . . , fn en k[x1±1, . . . , x ±1
n ] polinomios de Laurent, cada fi
con soporte incluido en Ai:
fi(x ) =
X
a∈Aj
cj ,axa.
La geometr´ıa de A juega un papel fundamental en la resoluci´on de ecuaciones polinomiales:
Teorema (Bernstein–Kushnirenko, 1975)
El n´umero de soluciones aisladas x ∈ (C∗)n de un sistema de este tipo est´a acotada por MV (A1, . . . , An), el volumen mixto de la
Ejemplo
Resultante rala
A = (A0, . . . , An) en Zn U0, . . . , Unconjuntos de variables, #Ui = #Ai fi = X a∈Ai Uiaxa ∈ Q[Ui][x1±1, . . . , xn±1]. ΓA = {(ξ, u) ∈ (C∗)n× n Y i =0 PNi | f0(ξ, u0) = 0, . . . , fn(ξ, un) = 0}la variedad de incidencia asociada.
ResA∈ Z[U0, . . . , Un](la resultante rala) es un polinomio que
define la clausura de Zariski de la proyecci´on si es de codimensi´on 1:
π(ΓA) donde π : (C∗)n×Qni =0PNi →Qni =0PNi
Resultante rala
A = (A0, . . . , An) en Zn U0, . . . , Unconjuntos de variables, #Ui = #Ai fi = X a∈Ai Uiaxa ∈ Q[Ui][x1±1, . . . , xn±1]. ΓA = {(ξ, u) ∈ (C∗)n× n Y i =0 PNi | f0(ξ, u0) = 0, . . . , fn(ξ, un) = 0}la variedad de incidencia asociada.
ResA∈ Z[U0, . . . , Un](la resultante rala) es un polinomio que
define la clausura de Zariski de la proyecci´on si es de codimensi´on 1:
π(ΓA) donde π : (C∗)n×Qni =0PNi →Qni =0PNi
Resultante rala
A = (A0, . . . , An) en Zn U0, . . . , Un conjuntos de variables, #Ui = #Ai fi = X a∈Ai Uiaxa ∈ Q[Ui][x1±1, . . . , xn±1]. ΓA = {(ξ, u) ∈ (C∗)n× n Y i =0 PNi | f0(ξ, u0) = 0, . . . , fn(ξ, un) = 0}la variedad de incidencia asociada.
ResA∈ Z[U0, . . . , Un](la resultante rala) es un polinomio que
define la clausura de Zariski de la proyecci´on si es de codimensi´on 1:
π(ΓA) donde π : (C∗)n×Qni =0PNi →Qni =0PNi
Resultante rala
A = (A0, . . . , An) en Zn U0, . . . , Un conjuntos de variables, #Ui = #Ai fi = X a∈Ai Uiaxa ∈ Q[Ui][x1±1, . . . , xn±1]. ΓA = {(ξ, u) ∈ (C∗)n× n Y i =0 PNi | f0(ξ, u0) = 0, . . . , fn(ξ, un) = 0}la variedad de incidencia asociada.
ResA∈ Z[U0, . . . , Un](la resultante rala) es un polinomio que
define la clausura de Zariski de la proyecci´on si es de codimensi´on 1:
π(ΓA) donde π : (C∗)n×Qni =0PNi →Qni =0PNi
Resultante rala
A = (A0, . . . , An) en Zn U0, . . . , Un conjuntos de variables, #Ui = #Ai fi = X a∈Ai Uiaxa ∈ Q[Ui][x1±1, . . . , xn±1]. ΓA = {(ξ, u) ∈ (C∗)n× n Y i =0 PNi | f0(ξ, u0) = 0, . . . , fn(ξ, un) = 0}la variedad de incidencia asociada.
ResA∈ Z[U0, . . . , Un](la resultante rala) es un polinomio que
define la clausura de Zariski de la proyecci´on si es de codimensi´on 1:
π(ΓA) donde π : (C∗)n×Qni =0PNi →Qni =0PNi
Resultante rala
A = (A0, . . . , An) en Zn U0, . . . , Un conjuntos de variables, #Ui = #Ai fi = X a∈Ai Uiaxa ∈ Q[Ui][x1±1, . . . , xn±1]. ΓA = {(ξ, u) ∈ (C∗)n× n Y i =0 PNi | f0(ξ, u0) = 0, . . . , fn(ξ, un) = 0}la variedad de incidencia asociada.
ResA∈ Z[U0, . . . , Un](la resultante rala) es un polinomio que
define la clausura de Zariski de la proyecci´on si es de codimensi´on 1:
Resultante rala
A = (A0, . . . , An) en Zn U0, . . . , Un conjuntos de variables, #Ui = #Ai fi = X a∈Ai Uiaxa ∈ Q[Ui][x1±1, . . . , xn±1]. ΓA = {(ξ, u) ∈ (C∗)n× n Y i =0 PNi | f0(ξ, u0) = 0, . . . , fn(ξ, un) = 0}la variedad de incidencia asociada.
ResA∈ Z[U0, . . . , Un](la resultante rala) es un polinomio que
define la clausura de Zariski de la proyecci´on si es de codimensi´on 1:
π(ΓA) donde π : (C∗)n×Qni =0PNi →Qni =0PNi
Nuestro problema
¿Se puede calcularla resultante ralaasociada a una familia de soportes A = (A1, . . . , An) en un n´umero de pasos que dependa
de invariantes combinatorios y geom´etricos como el volumen mixto de los soportes? ¿Y se podr´a evaluar “f´acilmente” ?
Nuestro problema
¿Se puede calcularla resultante ralaasociada a una familia de soportes A = (A1, . . . , An) en un n´umero de pasos que dependa
de invariantes combinatorios y geom´etricos como el volumen mixto de los soportes? ¿Y se podr´a evaluar “f´acilmente” ?
Herramienta I
Diferentes m´etodos de codificar polinomios
En la forma densa est´andar, como el vector de los coeficientes de sus monomios prefijando una cota para su grado.
(det ser´ıa un vector de n2n+n coordenadas.)
En forma rala, como una lista de pares (a, ca) donde a recorre
los exponentes de los monomios del polinomio y ca es el
coeficiente correspondiente. (det ser´ıa una lista de n! pares.)
Como straight-line program (slp). Un slp es un algoritmo que permite evaluar el polinomio en cualquier punto.
Herramienta I
Diferentes m´etodos de codificar polinomios
En la forma densa est´andar, como el vector de los coeficientes de sus monomios prefijando una cota para su grado.
(det ser´ıa un vector de n2n+n coordenadas.)
En forma rala, como una lista de pares (a, ca) donde a recorre
los exponentes de los monomios del polinomio y ca es el
coeficiente correspondiente. (det ser´ıa una lista de n! pares.)
Como straight-line program (slp). Un slp es un algoritmo que permite evaluar el polinomio en cualquier punto.
Herramienta I
Diferentes m´etodos de codificar polinomios
En la forma densa est´andar, como el vector de los coeficientes de sus monomios prefijando una cota para su grado.
(det ser´ıa un vector de n2n+n coordenadas.)
En forma rala, como una lista de pares (a, ca) donde a recorre
los exponentes de los monomios del polinomio y ca es el
coeficiente correspondiente. (det ser´ıa una lista de n! pares.)
Como straight-line program (slp). Un slp es un algoritmo que permite evaluar el polinomio en cualquier punto.
Herramienta I
Diferentes m´etodos de codificar polinomios
En la forma densa est´andar, como el vector de los coeficientes de sus monomios prefijando una cota para su grado.
(det ser´ıa un vector de n2n+n coordenadas.)
En forma rala, como una lista de pares (a, ca) donde a recorre
los exponentes de los monomios del polinomio y ca es el
coeficiente correspondiente.
(det ser´ıa una lista de n! pares.)
Como straight-line program (slp). Un slp es un algoritmo que permite evaluar el polinomio en cualquier punto.
Herramienta I
Diferentes m´etodos de codificar polinomios
En la forma densa est´andar, como el vector de los coeficientes de sus monomios prefijando una cota para su grado.
(det ser´ıa un vector de n2n+n coordenadas.)
En forma rala, como una lista de pares (a, ca) donde a recorre
los exponentes de los monomios del polinomio y ca es el
coeficiente correspondiente. (det ser´ıa una lista de n! pares.)
Como straight-line program (slp). Un slp es un algoritmo que permite evaluar el polinomio en cualquier punto.
Herramienta I
Diferentes m´etodos de codificar polinomios
En la forma densa est´andar, como el vector de los coeficientes de sus monomios prefijando una cota para su grado.
(det ser´ıa un vector de n2n+n coordenadas.)
En forma rala, como una lista de pares (a, ca) donde a recorre
los exponentes de los monomios del polinomio y ca es el
coeficiente correspondiente. (det ser´ıa una lista de n! pares.)
Como straight-line program (slp). Un slp es un algoritmo que permite evaluar el polinomio en cualquier punto.
Herramienta I
Diferentes m´etodos de codificar polinomios
En la forma densa est´andar, como el vector de los coeficientes de sus monomios prefijando una cota para su grado.
(det ser´ıa un vector de n2n+n coordenadas.)
En forma rala, como una lista de pares (a, ca) donde a recorre
los exponentes de los monomios del polinomio y ca es el
coeficiente correspondiente. (det ser´ıa una lista de n! pares.)
Como straight-line program (slp). Un slp es un algoritmo que permite evaluar el polinomio en cualquier punto.
Herramienta II
Resoluciones geom´etricas
Sea V = {ξ(1), . . . , ξ(D)} ⊂ kn una k-variedad cero-dimensional. Sea λ = λ1X1+ · · · + λnXn una forma lineal con coeficientes en k
tal que λ(ξ(i )) 6= λ(ξ(j )) si i 6= j .
Los siguientes polinomios caracterizan a V completamente: qλ=Q1≤i ≤D(Y − λ(ξ(i ))) ∈ k[Y ],
v1, . . . , vn∈ k[Y ] con deg(vj) < D que satisfacen
V = {(v1(η), . . . , vn(η)) ∈ k n
| η ∈ k, qλ(η) = 0}.
(qλ, v1, . . . , vn) ∈ k[Y ]n+1 se llama la resoluci´on geom´etrica de V
Herramienta II
Resoluciones geom´etricas
Sea V = {ξ(1), . . . , ξ(D)} ⊂ kn una k-variedad cero-dimensional.
Sea λ = λ1X1+ · · · + λnXn una forma lineal con coeficientes en k
tal que λ(ξ(i )) 6= λ(ξ(j )) si i 6= j .
Los siguientes polinomios caracterizan a V completamente: qλ=Q1≤i ≤D(Y − λ(ξ(i ))) ∈ k[Y ],
v1, . . . , vn∈ k[Y ] con deg(vj) < D que satisfacen
V = {(v1(η), . . . , vn(η)) ∈ k n
| η ∈ k, qλ(η) = 0}.
(qλ, v1, . . . , vn) ∈ k[Y ]n+1 se llama la resoluci´on geom´etrica de V
Herramienta II
Resoluciones geom´etricas
Sea V = {ξ(1), . . . , ξ(D)} ⊂ kn una k-variedad cero-dimensional. Sea λ = λ1X1+ · · · + λnXn una forma lineal con coeficientes en k
tal que λ(ξ(i )) 6= λ(ξ(j )) si i 6= j .
Los siguientes polinomios caracterizan a V completamente: qλ=Q1≤i ≤D(Y − λ(ξ(i ))) ∈ k[Y ],
v1, . . . , vn∈ k[Y ] con deg(vj) < D que satisfacen
V = {(v1(η), . . . , vn(η)) ∈ k n
| η ∈ k, qλ(η) = 0}.
(qλ, v1, . . . , vn) ∈ k[Y ]n+1 se llama la resoluci´on geom´etrica de V
Herramienta II
Resoluciones geom´etricas
Sea V = {ξ(1), . . . , ξ(D)} ⊂ kn una k-variedad cero-dimensional. Sea λ = λ1X1+ · · · + λnXn una forma lineal con coeficientes en k
tal que λ(ξ(i )) 6= λ(ξ(j )) si i 6= j .
Los siguientes polinomios caracterizan a V completamente:
qλ=Q1≤i ≤D(Y − λ(ξ(i ))) ∈ k[Y ],
v1, . . . , vn∈ k[Y ] con deg(vj) < D que satisfacen
V = {(v1(η), . . . , vn(η)) ∈ k n
| η ∈ k, qλ(η) = 0}.
(qλ, v1, . . . , vn) ∈ k[Y ]n+1 se llama la resoluci´on geom´etrica de V
Herramienta II
Resoluciones geom´etricas
Sea V = {ξ(1), . . . , ξ(D)} ⊂ kn una k-variedad cero-dimensional. Sea λ = λ1X1+ · · · + λnXn una forma lineal con coeficientes en k
tal que λ(ξ(i )) 6= λ(ξ(j )) si i 6= j .
Los siguientes polinomios caracterizan a V completamente: qλ=Q1≤i ≤D(Y − λ(ξ(i ))) ∈ k[Y ],
v1, . . . , vn∈ k[Y ] con deg(vj) < D que satisfacen
V = {(v1(η), . . . , vn(η)) ∈ k n
| η ∈ k, qλ(η) = 0}.
(qλ, v1, . . . , vn) ∈ k[Y ]n+1 se llama la resoluci´on geom´etrica de V
Herramienta II
Resoluciones geom´etricas
Sea V = {ξ(1), . . . , ξ(D)} ⊂ kn una k-variedad cero-dimensional. Sea λ = λ1X1+ · · · + λnXn una forma lineal con coeficientes en k
tal que λ(ξ(i )) 6= λ(ξ(j )) si i 6= j .
Los siguientes polinomios caracterizan a V completamente: qλ=Q1≤i ≤D(Y − λ(ξ(i ))) ∈ k[Y ],
v1, . . . , vn∈ k[Y ] con deg(vj) < D que satisfacen
V = {(v1(η), . . . , vn(η)) ∈ k n
| η ∈ k, qλ(η) = 0}.
(qλ, v1, . . . , vn) ∈ k[Y ]n+1 se llama la resoluci´on geom´etrica de V
Herramienta II
Resoluciones geom´etricas
Sea V = {ξ(1), . . . , ξ(D)} ⊂ kn una k-variedad cero-dimensional. Sea λ = λ1X1+ · · · + λnXn una forma lineal con coeficientes en k
tal que λ(ξ(i )) 6= λ(ξ(j )) si i 6= j .
Los siguientes polinomios caracterizan a V completamente: qλ=Q1≤i ≤D(Y − λ(ξ(i ))) ∈ k[Y ],
v1, . . . , vn∈ k[Y ] con deg(vj) < D que satisfacen
V = {(v1(η), . . . , vn(η)) ∈ k n
| η ∈ k, qλ(η) = 0}.
(qλ, v1, . . . , vn) ∈ k[Y ]n+1 se llama la resoluci´on geom´etrica de V
asociada a λ.
Herramienta II
Resoluciones geom´etricas
Sea V = {ξ(1), . . . , ξ(D)} ⊂ kn una k-variedad cero-dimensional. Sea λ = λ1X1+ · · · + λnXn una forma lineal con coeficientes en k
tal que λ(ξ(i )) 6= λ(ξ(j )) si i 6= j .
Los siguientes polinomios caracterizan a V completamente: qλ=Q1≤i ≤D(Y − λ(ξ(i ))) ∈ k[Y ],
v1, . . . , vn∈ k[Y ] con deg(vj) < D que satisfacen
V = {(v1(η), . . . , vn(η)) ∈ k n
| η ∈ k, qλ(η) = 0}.
Herramienta III
Herramienta III
Una f´ormula de tipo Poisson para la resultante rala
ResA∈ Z[U0, . . . , Un] (la resultante rala) es un polinomio que
Herramienta III
Una f´ormula de tipo Poisson para la resultante rala
ResA∈ Z[U0, . . . , Un] (la resultante rala) es un polinomio que
define la clausura de Zariski de la proyecci´on π(ΓA).
Como la clausura π(ΓA) es una hipersuperficie irreducible, puede
Herramienta III
Una f´ormula de tipo Poisson para la resultante rala
ResA∈ Z[U0, . . . , Un] (la resultante rala) es un polinomio que
define la clausura de Zariski de la proyecci´on π(ΓA).
Como la clausura π(ΓA) es una hipersuperficie irreducible, puede
pedirse que ResA ∈ Z[U0, . . . , Un] sea un polinomio irreducible.
Pedersen–Sturmfels, 1993 Minimair, 2003
Herramienta III
Una f´ormula de tipo Poisson para la resultante rala
ResA∈ Z[U0, . . . , Un] (la resultante rala) es un polinomio que
define la clausura de Zariski de la proyecci´on π(ΓA).
D’Andrea–Sombra (2015) (Esterov, 2010) redefinen la resultante rala como una potencia de un polinomio irreducible (el exponente dado por el grado de π|ΓA).
Herramienta III
Una f´ormula de tipo Poisson para la resultante rala
ResA∈ Z[U0, . . . , Un] (la resultante rala) es un polinomio que
define la clausura de Zariski de la proyecci´on π(ΓA).
D’Andrea–Sombra (2015) (Esterov, 2010) redefinen la resultante rala como una potencia de un polinomio irreducible (el exponente dado por el grado de π|ΓA).
Con esta nueva definici´on, en caracter´ıstica cero, la resultante cumple:
ResA= ±
Y
v
ResA1,v,··· ,An,v(f1,v, . . . , fn,v)−hA0(v )
Y
ξ∈V (f1,...,fn)
Herramienta III
Una f´ormula de tipo Poisson para la resultante rala
ResA∈ Z[U0, . . . , Un] (la resultante rala) es un polinomio que
define la clausura de Zariski de la proyecci´on π(ΓA).
D’Andrea–Sombra (2015) (Esterov, 2010) redefinen la resultante rala como una potencia de un polinomio irreducible (el exponente dado por el grado de π|ΓA).
Con esta nueva definici´on, en caracter´ıstica cero, la resultante cumple:
ResA= ±
Y
v
ResA1,v,··· ,An,v(f1,v, . . . , fn,v)−hA0(v )
Y
ξ∈V (f1,...,fn)
f0(ξ),
donde el primer producto es sobre todos los vectores primitivos v ∈ Zn y hA0 es la funci´on soporte hA0(v ) = mina∈A0hv , ai.
Resultante rala:
Familias esenciales
Para i = 0, . . . , n, si Ai = {ai ,0, . . . , ai ,Ni} ⊂ Zn, sea
LAi :=PNik=1(ai ,k − ai ,0)Z.
Para I ⊂ {0, . . . , n}, notamos AI := (Ai)i ∈I y LAI :=
P
i ∈I LAi.
Definici´on
Sea I ⊂ {0, . . . , n}. La subfamilia AI se dice esencial si:
|I | = rg(LAI) + 1;
Resultante rala:
Familias esenciales
Para i = 0, . . . , n, si Ai = {ai ,0, . . . , ai ,Ni} ⊂ Zn, sea
LAi :=PNik=1(ai ,k − ai ,0)Z.
Para I ⊂ {0, . . . , n}, notamos AI := (Ai)i ∈I y LAI :=
P
i ∈I LAi.
Definici´on
Sea I ⊂ {0, . . . , n}. La subfamilia AI se dice esencial si:
|I | = rg(LAI) + 1;
Resultante rala
Algoritmo
Determinar si hay una ´unica familia esencial (si no, ResA= 1)
(Sturmfels, 1993)
Si I := {i | 0 ≤ i ≤ n, Mi(A) > 0}, la familia A tiene una ´unica
familia esencial si y s´olo si AI es esencial.
Si la ´unica familia esencial es I, hacemos un cambio de variables para trabajar con I.
Nos reducimos al caso en que 0 ∈ A0 y A1, . . . , An⊂ (Z≥0)n.
Resultante rala
Algoritmo
Determinar si hay una ´unica familia esencial (si no, ResA= 1)
(Sturmfels, 1993)
Si I := {i | 0 ≤ i ≤ n, Mi(A) > 0}, la familia A tiene una ´unica
familia esencial si y s´olo si AI es esencial.
Si la ´unica familia esencial es I, hacemos un cambio de variables para trabajar con I.
Nos reducimos al caso en que 0 ∈ A0 y A1, . . . , An⊂ (Z≥0)n.
Resultante rala
Algoritmo
Determinar si hay una ´unica familia esencial (si no, ResA= 1)
(Sturmfels, 1993)
Si I := {i | 0 ≤ i ≤ n, Mi(A) > 0}, la familia A tiene una ´unica
familia esencial si y s´olo si AI es esencial.
Si la ´unica familia esencial es I, hacemos un cambio de variables para trabajar con I.
Nos reducimos al caso en que 0 ∈ A0 y A1, . . . , An⊂ (Z≥0)n.
Resultante rala
Algoritmo
Determinar si hay una ´unica familia esencial (si no, ResA= 1)
(Sturmfels, 1993)
Si I := {i | 0 ≤ i ≤ n, Mi(A) > 0}, la familia A tiene una ´unica
familia esencial si y s´olo si AI es esencial.
Si la ´unica familia esencial es I, hacemos un cambio de variables para trabajar con I.
Nos reducimos al caso en que 0 ∈ A0 y A1, . . . , An⊂ (Z≥0)n.
Resultante rala
Algoritmo
Determinar si hay una ´unica familia esencial (si no, ResA= 1)
(Sturmfels, 1993)
Si I := {i | 0 ≤ i ≤ n, Mi(A) > 0}, la familia A tiene una ´unica
familia esencial si y s´olo si AI es esencial.
Si la ´unica familia esencial es I, hacemos un cambio de variables para trabajar con I.
Nos reducimos al caso en que 0 ∈ A0 y A1, . . . , An⊂ (Z≥0)n.
Resultante rala
Algoritmo
Determinar si hay una ´unica familia esencial (si no, ResA= 1)
(Sturmfels, 1993)
Si I := {i | 0 ≤ i ≤ n, Mi(A) > 0}, la familia A tiene una ´unica
familia esencial si y s´olo si AI es esencial.
Si la ´unica familia esencial es I, hacemos un cambio de variables para trabajar con I.
Nos reducimos al caso en que 0 ∈ A0 y A1, . . . , An⊂ (Z≥0)n.
Resultante rala
Teorema (Jeronimo–S.)
ResA puede evaluarse en un n´umero de pasos que es polinomial en
N :=P
0≤i ≤n|Ai| (n´umero de variables),
Q := max{||a|| : a ∈ A}, D :=P
0≤i ≤nMVn(A0, . . . , Ai −1, Ai +1, . . . , An) (grado),
M´as a´un, se puede obtener un slp de esta longitud para la resultante rala por medio de un algoritmo probabil´ıstico.
Resultante rala
Teorema (Jeronimo–S.)
ResA puede evaluarse en un n´umero de pasos que es polinomial en
N :=P
0≤i ≤n|Ai| (n´umero de variables),
Q := max{||a|| : a ∈ A}, D :=P
0≤i ≤nMVn(A0, . . . , Ai −1, Ai +1, . . . , An) (grado),
M´as a´un, se puede obtener un slp de esta longitud para la resultante rala por medio de un algoritmo probabil´ıstico.
Resultante rala
Teorema (Jeronimo–S.)
ResA puede evaluarse en un n´umero de pasos que es polinomial en
N :=P
0≤i ≤n|Ai| (n´umero de variables),
Q := max{||a|| : a ∈ A}, D :=P
0≤i ≤nMVn(A0, . . . , Ai −1, Ai +1, . . . , An) (grado),
M´as a´un, se puede obtener un slp de esta longitud para la resultante rala por medio de un algoritmo probabil´ıstico.
