OBTENCION DEL MODELO PREDICTIVO DE LA HISTORIA TERMICA

La transferencia de calor en un sólido, como una placa muy fina respecto de su largo y ancho, sometido a cambios en las condiciones externas (Tair), puede ser expresada por:

p Cp dT /dt - k d2T / dx2 + dk / dx dT/ dx (3.14) donde:

p: Es la densidad del sólido.

Cp: Es la capacidad calorífica específica del sólido, a presión constante. t: Es el tiempo de almacenamiento.

k: Es la conductividad térmica del sólido. T: Es la temperatura del sólido,

x: Es la dimensión del sólido a través de la cual tiene lugar la transferencia de calor.

La expresión 3.14 asume que pueden ser variables p, Cp, y k y se establecen las siguientes condiciones de contorno e inicial (siempre que corresponda x = L a la superficie del sólido y x = 0 al centro del mismo):

Condición inicial: t = 0, V x, T = To

Condiciones de contorno: x = 0, dT/dx = 0

x = L, dT/dx = f (T^r), o sea, TX=L = f (Tair)

En el caso de sistemas heterogéneos y con propiedades variables, como son los alimentos, la ecuación 3.14 no tiene solución analítica.

3.3.1. Fundamentos del uso de las funciones de transferencia.

Para poder predecir de manera simple y precisa la respuesta térmica de los productos almacenados a diferentes fluctuaciones de la temperatura del aire del ambiente de almacenamiento, es necesario el empleo de algún método analítico, aproximado o numérico que permita realizar el cálculo de las historias térmicas.

Este cálculo, como ya se dijo, resulta difícil (heterogeneidad y estructura de la estiba, empaque externo, cajas internas, espacios de aire y el producto) y es muy complicada una solución analítica o numérica a este problema de transferencia de calor.

La predicción, por medio de las funciones de transferencia “z”, de las fluctuaciones de la temperatura y de la pérdida de calidad de los alimentos almacenados congelados permite caracterizar los sistemas sujetos a la transferencia de calor de forma simple y suficientemente precisa. Hoy en día esta metodología está ampliamente difundida (ASHRAE, 1997) en la resolución de problemas específicos de transferencia de calor en una o varias dimensiones, como son los casos de: Mitalas, 1978; Sanz, 1984; Sanz y otros, 1986; Barakat, 1987; Ceylan, 1987; Mascheroni y otros, 1987; Seem y otros, 1989a, 1989b y Salvadori, 1994. Los diferentes autores utilizan métodos diferentes para obtener las correspondientes funciones de transferencia.

En general, la metodología a seguir consiste en modelar el sistema de interés y obtener la función de transferencia (coeficientes fn) del mismo. Esto permite posteriormente,

mediante cálculos que se realizan utilizando un programa de computación muy sencillo, predecir las respuestas térmicas del sistema a diferentes perturbaciones externas de la temperatura. La función de transferencia obtenida es válida sólo para un sistema con las mismas o aproximadamente iguales características de transferencia de calor que el modelado. Los coeficientes de la función de transferencia se pueden calcular analíticamente (cuando ello sea posible por las características del sistema), numéricamente o experimentalmente.

3.3.2. Formulación matemática.

Para un sistema lineal, con propiedades físicas que no varían en el tiempo, la relación existente entre una perturbación, p (t), que afecta al sistema y la respuesta del mismo, r(t), queda descrita por una ecuación diferencial lineal como la siguiente:

Según la metodología utilizada por Salvadori (1994), se puede obtener una solución, en la cual se considera que, para un sistema particular se puede definir una función de transferencia z, F(z), efectuando el cociente de polinomios entre la respuesta, R(z), y la perturbación, P(z).

(3.16)

El comportamiento dinámico del sistema de estudio queda entonces caracterizado mediante dicha función de transferencia F(z), la cual puede ser representada como un polinomio en z'n (ecuación 3.17), cuyos coeficientes son los “coeficientes de la función de transferencia” (fn), que son específicos del sistema y de las condiciones de transferencia de calor del mismo.

El método usual para la determinación de fn y, consecuentemente, de F(z) utiliza la respuesta del sistema a una señal perturbación patrón o normalizada. Este proceso puede ser desarrollado de forma experimental o, cuando es posible, pueden ser calculados mediante métodos analíticos o numéricos. El tipo más común de señal normalizada es el pulso triangular o doble rampa, de altura I y ancho 2A.

Una vez que la función de transferencia es conocida, ésta podrá ser utilizada para la predicción de la respuesta del sistema a cualquier otra perturbación, asumiendo que las características del sistema permanecen invariables (Salvadori y otros, 1994). Para cualquier entrada e(t) cuya transformada z es E(z), la transformada de la respuesta real s(t) es S(z):

El valor que toma la respuesta s(t) en el instante t = nA es el coeficiente de z n en S(z), variable transformada:

En la práctica, F(z), en la ecuación 3.17, se aproxima por un número finito de coeficientes, N. El valor de N afectará la precisión de los resultados predichos. Como regla práctica se establece N de modo tal que:

(3.20)

Si N es pequeño y se quiere calcular la respuesta a tiempos largos, de modo tal que n (número de intervalos de tiempo) sea considerablemente mayor que N, en el cálculo de la salida, s (t), para dichos tiempos se desprecia el efecto de los primeros valores de la señal de entrada, introduciendo un nuevo error; pero si se cumple la ecuación 3.20 se estará despreciando coeficientes de muy poco peso. En general, la serie de la ecuación 3.17 es convergente, o sea, a medida que se incrementa n los coeficientes tienden a cero y el error cometido en el cálculo de la respuesta, s (nA), será mínimo.

En el sistema en estudio, de almacenamiento de alimentos, las entradas son las temperaturas del ambiente de almacenamiento de la cámara frigorífica (Tair) y las salidas son las temperaturas en puntos característicos de las estibas de los alimentos (Taii). Así, las funciones de transferencia se determinan experimentalmente colocando termocuplas en las posiciones representativas de la historia térmica del sistema y siguiendo la respuesta de dichos puntos (Tai¡) a la perturbación patrón (pico o escalón) en la temperatura externa (Tair).

Es muy importante recalcar que el método de las funciones de transferencia es rigurosamente válido para los sistemas lineales. En el caso de alimentos, esta condición implica valores constantes para las propiedades térmicas (conductividad térmica, capacidad calorífica y densidad) en el rango de interés de la temperatura. Esto es aproximadamente cierto para productos sin congelar o descongelados, o para productos completamente congelados (temperaturas menores que aproximadamente -12°C).

3.3.3. Utilización de las funciones de transferencia para la predicción de la pérdida de calidad.

De la aplicación de la ecuación de Arrhenius a dos temperaturas distintas se puede obtener:

(3.21) donde:

Ti y T2: Son dos temperaturas diferentes de almacenamiento del producto. Eac: Es la energía de activación de la pérdida de calidad

y Son las constantes cinéticas de la reacción de pérdida de calidad, a ambas temperaturas, considerando cinética de reacción de orden cero,

R: 8,314 J/(mol K).

El cociente de dos vidas útiles (Practical Storage Life - P.S.L.) a temperaturas distintas es inversamente proporcional al cociente de las constantes cinéticas a dichas temperaturas:

0Ti IOTx = kTi /kTi = exp[-Eac//?(l/7; -1/T2)] (3.22)

donde:

0ti y 0T2 • Son los valores de P.S.L. a Ti y T2, respectivamente.

A partir de la ecuación general para el cálculo del deterioro:

t

A ~ A = -^o-fexPÍ-^oc IRJ}dt (3.23)

0

Denotando a Ti la temperatura para la cual su P.S.L. es 8Ti, se obtiene:

'4'“4""«1JeXp!7R“IF(<)"r111‘"

<324)

Cuando la temperatura es constante, se realiza la integral directamente mientras que si la temperatura T(t) es variable, la integral de la ecuación anterior tiene que ser calculada numéricamente, usando los valores predichos mediante las funciones de transferencia de las temperaturas T(t) del alimento para cada incremento (nA) del tiempo.