4.5. Construcci´on del C´odigo Cu´antico
4.5.2. C´odigo Cu´antico de Shor
Se revisara ahora el caso particular del alfabeto Λ = {0,1},el caso estudiado a lo largo del documento, con los valoresm = 3 yn = 3. Entonces, para Λ3 = {0,1}3, t´omese el c´odigo ya usado antes, C = {000,111} ⊂
{0,1}3, el cual es un (3,2,3)
{0,1}-c´odigo corrector de 1 - error. Para este
c´odigo, el conjunto de caracteres, ˆC posee dos elementos, γ0, γ1 definidos
como
γ0(000) = 1 ; γ0(111) = 1,
γ1(000) = 1 ; γ1(111) = −1,
Para cada uno de los caracteres se define el KET |γ0i = 1 √ #C (γ0(000)|000i+γ0(111)|111i), = √1 2(|000i+|111i) ; |γ1i = 1 √ #C (γ1(000)|000i+γ1(111)|111i), = √1 2(|000i − |111i) .
Entonces, usando a ˆC como alfabeto, se toma como grupo de c´odigo D3 =
{γ0γ0γ0 , γ1γ1γ1}, el cual corrige un solo error la transmisi´on en cadenas
ˆ
γ ∈ Cˆ de longitud 3. Entonces, a partir de Dm se define una base para el
c´odigo cu´antico corrector de un solo error, definida por {|bγi |bγ ∈D3 } ={|γ0γ0γ0i, |γ1γ1γ1i }, = ( 1 √ 2(|000i+|111i) ⊗3 , 1 √ 2(|000i − |111i) ⊗3) , ={Γ0, Γ1}.
Mediante D3 se codifica el elemento |0icomo Γ0, y se codifica el elemento|1i
como Γ1. El ejemplo discutido es el C´odigo de correcci´on de 1-error cu´antico
de nueve qubits propuesto por Peter Shor, el cual es un caso particular de la abstracci´on planteada en la secci´on anterior. Este ejemplo tiene una gran importancia hist´orica [21] pues con ´este se dio inicio al estudio de c´odigos de correcci´on en el campo cu´antico. Los detalles desde la perspectiva f´ısica e inform´atica, como introducci´on al tema, se recomienda consultar [15] [11]; para un desarrollo m´as profundo se recomienda [20] [21]
5.
Conclusiones y Observaciones Finales
1. En el presente escrito se hizo una visi´on de conjunto sobre la con- strucci´on de c´odigos de correcci´on de errores cu´anticos a partir de la teor´ıa cl´asica de grupos de c´odigos de errores, haciendo uso de las rela- ciones de ortogonalidad de Schur para el grupo de caracteres de un grupo abeliano finito y haciendo uso las condiciones (criterios) de Knill- Laflamme para la obtenci´on de bases ortonormales para tales c´odigos, acotados por el n´umerotde errores que est´an en posibilidad de corregir . La construcci´on se formalizo mediante la definici´on de una familia de c´odigos cu´anticos correctores de t errores cu´anticos, la cual se uso co- mo abstracci´on y generalizaci´on del c´odigo de Shor, ´el cual se uso como ejemplo particular de esta construcci´on. Es de resaltar que es posible realizar construcciones similares para (HΛ)⊗7 [22][18] y (HΛ)⊗5 [18].
2. A lo largo del trabajo se caracterizo un c´odigo a implementar usando tres par´ametros distintivos:
n, par´ametro que define el n´umero de qubits involucrados para codificar informaci´on en un sistema cu´antico dado,
M, define el tama˜no del c´odigo, par´ametro que limita el n´umero de mensajes que se pueden transmitir,
3. Es entonces posible plantearse tres retos de optimizaci´on [16]
Dejar fijonyt, e intentar maximizarM, con lo cual se aumentar´ıa la cantidad de mensajes que es posibles enviar codificados por el canal,
Dejar fijo n y M, e intentar maximizar t, con lo cual se podr´ıan corregir una mayor cantidad de posibles errores,
Dejar fijotyM, e intentar minimizarn, con lo cual se podr´ıan es- tar´ıa optimizando recursos para transmitir mensajes de un tama˜no dado, expuestos a un fijo de errores.
4. El esquema planteado, haciendo uso de representaciones de grupo, abre nuevas perspectivas en la construcci´on de modelos de control operati- vo de errores y manejo de decoherencia en el sistema de computaci´on cu´antica estudiado, pues facilita el proceso de extender la estructura a sistemas computaciones que pretendan manipular sistemas con estados cu´anticos de multi-part´ıculas en superposici´on.
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