Códigos de corrección de errores en computación cuántica

(1)

C´

odigos de Correcci´

on de Errores en

Computaci´

on Cu´

antica

Trabajo Final para optar por el Grado en Matem´aticas

Andrés Rincón Gómez

C´odigo 1802295

Director

C´esar Neyit Galindo Mart´ınez

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICAS

FACULTAD DE CIENCIAS

(2)

T´ıtulo

Códigos de Corrección de Errores en Computación Cuántica

Autor

Andrés Rincón Gómez.

Estudiante de Matem´aticas Pontificia Universidad Javeriana E-mail: [email protected]

Director

C´esar Neyit Galindo Mart´ınez.

Profesor de Matem´aticas de la Universidad de los Andes. E-mail: [email protected]

(3)

Reconocimientos

Extiendo mi m´as sincero agradecimiento a mi Director de Trabajo de Grado, Cesar Galindo, por su orientaci´on, ayuda y paciencia.

A Camila, mis Hermanos, Mama y Papa, gracias por no dejar de creer en m´ı.

(4)

´

_Indice

1. Resumen 5

2. Introducci´on 6

3. Preliminares 9

3.1. Teor´ıa Cu´antica . . . 9

3.2. Estados Cu´anticos . . . 14

3.3. Canales Cu´anticos . . . 19

4. Códigos de Corrección de Errores Cuánticos 23 4.1. Códigos Clásicos . . . 24

4.2. Grupos de C´odigos . . . 31

4.3. Caso Cu´antico . . . 36

4.4. Grupo de Operadores Error . . . 41

4.5. Construcción del Código Cuántico . . . 47

4.5.1. Generalización del Código Cuántico de Shor . . . 47

4.5.2. C´odigo Cu´antico de Shor . . . 49

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1. Resumen

El control de errores y el fenómeno de decoherencia es uno de los mayores retos a enfrentar en el campo de la Computación Cuántica. Los resultados y avances en dicho campo son estudiados en el área de la Información Cuánti-ca mediante metodolog´ıas de Corrección de Errores, dentro de las cuales el enfoque que hace uso de representaciones de grupo se ha mostrado particular-mente fruct´ıfero en la producción de códigos y comprensión de caracter´ısticas especificas de los mismos para la corrección de errores cuánticos.

(6)

2. Introducci´

on

Cualquier tarea abstracta de procesamiento de información siempre puede traducirse a una tarea de naturaleza f´ısica. Sin embargo, para resolver proce-sos, algoritmos o protocolos demasiado complejos y/o que requieren excesivos recursos f´ısicos, es necesario usar modelos matemáticos que traten problemas computacionales de forma abstracta. Tales modelos deben ser pensados según las limitaciones reales de los dispositivos en los cuales se desean implemen-tar. Por lo anterior, los paradigmas computacionales se deben ajustar a los paradigmas y modelos f´ısicos que gobiernan el entorno en el que implemen-tamos los modelos computacionales. Es por esto que es deseable que el estu-dio de la factibilidad, el método y la eficiencia de la solución de problemas concretos en máquinas abstractas por medio de algoritmos, corresponda en ´

ultima instancia con las leyes y estructuras más elaboradas del mundo f´ısico. Esta afirmación implica que las leyes de la f´ısica dictan la capacidad real de cualquier máquina de procesamiento de información, incluido el proce-samiento de algoritmos que resuelvan problemas de los mismos postulados de la f´ısica.

(7)

El procesamiento de información cuántica es el resultado de usar los pos-tulados que la mecánica cuántica nos plantea sobre el mundo f´ısico con el propósito de realizar tareas previamente consideradas irrealizables o imposi-bles. Por analog´ıa con nuestra tecnolog´ıa actual, los dispositivos que se en-cargar´ıan de realizar de manera factible el procesamiento de información cuántica se denominan Computadores Cuánticos, los cuales desafortunada-mente por el momento son sólo un artificio abstracto de matemáticos, f´ısicos y cient´ıficos de la computación. Es pues de suma importancia lograr avances significativos y determinantes en el campo de laComputación Cuántica, cam-po cuyo estudio abrirá paradigmas y aplicaciones tal vez mucho más revolu-cionarias y fascinantes que los logrados en el siglo XX en lo que se conoce hoy en d´ıa como Teor´ıa de la Computación Clásica.

Los avances en computación cuántica, han mostrado que este modelo puede ser usado para solucionar de forma realista cierto tipo de problemas de forma más eficiente (mejor uso de los recursos disponibles) que lo que se puede lo-grar con el modelo computacional clásico. Aqu´ı se entiende un modelo como realista a aquel que es consistente con las leyes/postulados de la f´ısica, en el cual se pueden describir y considerar los recursos f´ısicos usados. Sin embargo, realista también implica entender, analizar y superar los problemas ligados a la implementación de un modelo abstracto en un dispositivo f´ısico. Uno de los problemas más importantes y fundamentales de la materialización e implementación de un modelo computacional es el ruido o generación de er-rores, los cuales dependen del dispositivo en el cual se pretende implementar el modelo.

(8)

(9)

3. Preliminares

3.1. Teor´ıa Cu´

antica

En la teor´ıa clásica de la computación, la información se representa o almacena mediante un registro binario. Dado un conjunto indexado Λ = {j0, ..., jn−1} ; llamado alfabeto, el registro binario sobre Λ es el conjunto

de funciones RΛ = {X : Λ → {0,1}}. Haciendo uso del registro RΛ, se

pueden representar palabras (cadenas de elementos del alfabeto Λ) como cadena de longitud n de elementos de Z₂_{, donde cada car´acter es llamado}

d´ıgito binario (bit-acrónimo deBinary digITen ingles). Para hacer más clara esta representación, en lugar de pensar cadaX como conjuntos de tuplas, de forma general, una cadena de n-bits se puede representar como un elemento sobreZn

2. Cada uno de estos vectores es denominado unn-estado (booleano),

por ser la composición de n-bits, los cuales son los pilares de la teor´ıa de la información clásica [?].

Partiendo de un conjunto indexado Λ (que ahora llamamos no sólo alfabeto sino también sistema) y del registro binario correspondiente, construimos ahora un registro cuántico, el cual es un espacio de Hilbert de dimensión 2N

generado por el conjunto RΛ, el cual se define como

Definici´on Sea Λ un conjunto indexado. Entonces el Λ₋registro cu´anticoes el espacio de Hilbert

(10)

Siguiendo la notaciónBRA-KET, estándar en la teor´ıa cuántica, intro-ducida por Paul Dirac en 1930 [8], cada ψ _{∈ H}Λ, se va a denotar como |ψi.

Para todo _|ψ_i,_|ϕ_{i ∈ H}Λ, la suma y multiplicaci´on por n´umeros complejos,

a _∈C_{, est´a definida por}

|ψ_i+_|ϕ_i=_|ψ+ϕ_i

a_|ψ_i=_|aψ_i ,

y producto interno

hψ_||φ_i=_hψ_|φ_i= X

X∈{0,1}Λ

φ†(X)ψ(X)

En particular, si Λ = Z₂ ₌ _{_0,₁_}_{, entonces}_H_Λ_{es llamado registro cu´antico;}

en general si Λ = Z_n _{= [0, n}₋_1]1 _{es llamado registro n-cu´antico. En la}

notación usada, cada elemento (vector) |ϕ_i se le denomina un KET y a su vector dual, _hϕ_|, se le denomina BRA. Es común (ver [11], [14]) definir una base para un Λ-registro cuántico de la siguiente forma: Para cada Xi ∈

{0,1}Λ_{, 0} _≤_i_≤₂n_{, sea} _|_X

ii:{0,1}Λ −→Cdefinida por

|Xii(Xj) =

  

1 ifi=j , 0 en otro caso.

; 1≤j ≤2n

1

(11)

Haciendo uso de esta base, cada vector |ψ_{i ∈ H}Λ se puede expresar como

|ψ_i =

2n

X

i=1

Ci|Xii; Ci ∈C

Dado que la base escogida es ortonormal, cada Ci se puede expresar como

(ver [15]) Ci = hXi|ψi. Al sustituir cada Ci por a expresi´on anterior, se

tiene que

|ψi =

2n

X

i=1

hXi|ψi|Xii =

2n

X

i=1

|XiihXi|ψi =

2n

X

i=1

|XiihXi|

!

|ψi

Como la igualdad de cumple para cualquier|ψ_{i ∈ H}Λ, se obtiene que para los

elementos_|Xiide la base computacional se cumple larelaci´on de completitud,

esto es

2n

X

i=1

|XiihXi| = I

donde I denota el matriz identidad de orden n.

Por simplicidad, cada uno de los KETS_|ψ_{i ∈ H}Λ, se puede representar como

un vector columna con entradas en C_,

|ψ_i=

               z1 z2 . . . zn               

zj ∈C,1≤j ≤n

Usando esta caracterizaci´on, el correspondiente BRA _hψ_| es el vector fila complejo conjugado de _|ψ_i, esto es,_hψ_|= (z1, ..., zn). Esta caracterizaci´on se

(12)

la cadena x1x2...xn le corresponde la funci´onX ∈RΛ tal queX(ji) =xi, i∈

[0, n₋1]Z, y la funci´on Y _∈R_Λ corresponde a la cadena Y(j1)Y(j2)...Y(jn).

Usando esta correspondencia, se puede expresar el producto interno como :

hψ_|ϕ_i=

n

X

i=1

ziti,

En la base computacional, cada _|X_i es un KET definido a partir de una cadena binaria de longitud n. Cada una de estas cadenas es la etiqueta con la que se representan cada uno de los 2n _{vectores de la base escogida para}

el espacio. La forma estándar (as´ı como conveniente) de asociar (etiquetar) elementos de la base en notación KET con elementos de la base en notación de vector columna se muestra a continuación

|000. . .00_{i ↔}

               1 0 0 ... 0 0                                            

2n _;_|₀₀₀_{. . .}₀₁_{i ↔}

               0 1 0 ... 0 0                                            

2n _{. . .}

. . .; |111. . .10i ↔

               0 0 0 ... 1 0                                            

2n _; _|₁₁₁_{. . .}₁₁_{i ↔}

               0 0 0 ... 0 1                                            

2n_.

Entonces, con esta representaci´on es f´acil ver que

(13)

es una base ortonormal para HΛ, conocida en la literatura de complejidad

computacional [11] como base computacional respecto a Λ. [10].

Antes de definir las caracter´ısticas principales de un sistema cu´antico me-diante operadores lineales en el espacio HΛ, es necesario hacer una ´ultima

aclaración respecto a la notación. Es conveniente pensar (visualizar) el es-pacio _HΛ como producto tensorial de registros cuánticos H{j} con j ∈Λ, es

decir,

HΛ =N_j_∈_ΛH_{j_}

Por esto, no habr´a diferencia entre el vector_|x1x2...xni,xi ∈ {0,1}y el vector

|x1i ⊗ |x2i ⊗...⊗ |xni, este ´ultimo abreviado alternativamente usando comas,

(14)

3.2. Estados Cu´

anticos

Dado que un algoritmo computacional se define en instantes de tiempo que describen el progreso del mismo, as´ı como un dispositivo electrónico presenta un comportamiento y/o cambios en el tiempo, un KET _|ψ_i debe incluir en su definición esta temporalidad o esquema por etapas (pasos). Esta caracter´ıstica esta impl´ıcita (y he aqu´ı una ventaja de la definición usada para registro n-cuántico) en el conjunto indexado Λ, donde cada uno de los ji representa una etapa del algoritmo y/o un momento en el tiempo

de funcionamiento de un dispositivo electrónico. As´ı pues, de hecho un KET |ψ_i se puede entender como una función del tiempot, _|ψ(t)_i. Para el modelo cuántico a usar ( ver[10] ), se va a asumir que la evolución en el tiempo de un KET es lineal, esto es, el efecto del tiempo en un qubit se puede modelar mediante una aplicación lineal T, que transforma _|ψii en T|ψii.

En computaci´on cu´antica, una matriz sobre C _{que define un operador (o}

transformaci´on) linealT :HΛ −→ HΛ, es llamado una compuerta de Λ-qubit,

o alternativamente compuerta cu´antica 2_{. Dado que} _T_|_ψ_{i ∈ H}

Λ , hψ|T|ψi

es un escalar. Se debe recordar que una matriz T es llamada definida no-negativo si hψ_|T_|ψ_{i ≥} 0, para todo |ψ_{i ∈ H}Λ. Se puede entonces introducir

el concepto de estado, el cual es el t´ermino adecuado para identificar cada KET en el tiempo (Ver [16]):

2

(15)

Definici´on Una matriz definida no-negativa Ψ de traza T r(Ψ) = 1 es lla-mada unestado. Dado un estado Ψ y una matriz Hermitiana T, denominada en adelante un observable, el escalar T r (TΨ) es llamado la expectativa o medici´on del observableT en el estado Ψ

Dado que la matriz T es hermitiana, en particular es una matriz normal, as´ı que es posible hacer uso del del Teorema Espectral para descomponer T

T =

k

X

i=1

λi|Ei

donde losλi son k autovalores reales diferentes, y los Ei = |λiihλi|3 son las

proyecciones en los respectivos autoespacios en las bases4_{las cuales satisfacen}

la relaci´on de completitud enunciada en la secci´on anterior. Se sigue que Ψ se puede expresar como

Ψ =

n

X

i=1

pi|ϕiihϕi|

donde (p1, ..., pn) es una distribuci´on de probabilidad sobre el conjunto{1, ..., n}

(puesto que Ψ tiene traza igual a 1), y B = {|ϕii|1 ≤ i ≤ n} es una base

ortonormal para _HΛ =Cn.

Lo anterior significa que dado un sistema cu´antico en el estado Ψ, la proba-bilidad que el observable T asuma el valorλi es igual aT r(ΨEi), 1≤i≤k,

y la expectativa (medici´on) de T es igual a

k

X

i=1

λiT r(EiΨ) =T r Ψ k

X

i=1

λiEi

!

=T r(TΨ)

Si |ψ_i es un vector unitario en HΛ =Cn, entonces |ψihψ| es una proyecci´on

cuyo rango es el espacio unidimensional C_|_ψ_i _llamado _rayo _{(el cual tambi´en}

3

Aqu´ı_|λi denota el autovector correspondiente al autovalorλi

4

Si Ei=E

2

(16)

es un estado). En particular, como los |ψii son elementos de la base, se

denominan estados básicos. As´ı, cualquier estado Ψ se puede expresar como una combinación lineal convexa de estados básicos_|ψiihψi|, correspondientes

a vectores unitarios |ψii. Es costumbre en la teor´ıa cu´antica identificar al

vector unitario_|ψii(m´as exactamente al rayo unitarioλ|ψii,|λ|= 1 ) estado,

aunque en realidad se esta haciendo referencia al operador proyecci´on_|ψiihψi|

(17)

Teniendo claro como definir e identificar un estado mediante vectores unitarios, la descripción de cómo evoluciona este en el tiempo en un sis-tema cuántico cerrado5 _{mediante operadores unitarios, está enunciada por el}

Postulado de la Evoluci´on:

Postulado 3.1 (Evolución) La evolución en el tiempo del estado de un sis-tema cuántico cerrado es descrito por una operador unitario, esto es, para cualquier sistema cerrado existe un operador unitario T tal que si el estado inicial del sistema (registro) es _|ψ1i, entonces después de la evolución (paso

del tiempo, etapas, ´ındices) el estado del sistema sera

|ψ2i=T|ψ1i

As´ı mismo, usando la convención de identificar un estado con el vector unitario que define su proyección, la medición de un observable queda enun-ciada como postulado de la siguiente forma.

Postulado 3.2 (Medici´on) Dada una base ortonormal _B = _{|ϕii} de un

espacio HΛ para un sistema (alfabeto) Λ, es posible realizar una medici´on

con respecto a la base _B, la cual, dado un estado _|ψ_i =Xαi|ϕii, da como

resultado _|ϕii con probabilidad |αi|2, dejando el sistema en el estado |ϕii

5

Un sistema cu´antico idealmente no se encuentra en contacto con el medio ambiente.

Todos los principios y postulados de la Teor´ıa Cu´antica plantean en principio que las

part´ıculas y/o estados que se analizan pierden coherencia al interactuar con el medio

ambiente circundante al sistema cu´antico. Este problema se analiza en mayor detalle en el

capitulo siguiente, cuando se muestre la necesidad de implementar c´odigos de correcci´on

(18)

Es importante notar que el estado de un n-qubit no siempre se puede ex-presar en la forma producto _|x1, x2, ...xni, es decir, despu´es de aplicar un

(19)

3.3. Canales Cu´

anticos

Un canal cuántico es el medio por el cual se desea transmitir información (un componente electrónico por ejemplo). Un canal cuántico se puede pensar visualmente como una caja negra, la cual recibe como entrada (input) una estado Ψ de una sistema cuántico, y produce como salida (output) un estado Ψ′ de otro sistema cuántico, como se muestra en la figura a continuación.

(20)

tiene que ser lineal, pero de nuevo en pro de la simplicidad del modelo, se asumir´a que T es miembro de una clase bien definida de transformaciones llamadas afines lineales, esto significa que

T(pΨ1+qΨ2) = pTΨ1+qTΨ2

para cualquier par de estados Ψ1,Ψ2 en H, donde p, q son escalares no

neg-ativos tal que p+q = 1. Dentro de esta clase, supongamos que se tiene una transformaci´on invertible T, la cual se puede expresar como

TΨ = UΨU†

donde U es un operador unitario 6_{. N´otese que la aplicaci´on} _T _{es invertirle}

con inverso T−1Ψ = U†ΨU. Extendiendo esta idea, sup´ongase que se tienen operadores unitarios U1, U2, ..., Uk, y cada operador tiene una probabilidad

asociada de ser elegidop1, p2, ..., pk, respectivamente, y aplicado al estado Ψ.

Entonces, el estado de salida TΨ, obtenido al aplicar la transformaci´on T que modela el efecto del canal cu´antico, se podr´ıa expresar como

TΨ =

k

X

j=1

pjUjΨUj†

Esta expresi´on es correcta en el caso que T es una transformaci´on invertible, lo cual no siempre es el caso, pues es posible que el estado de salida sea un estado enredado. Por lo anterior, en general, se puede pensar en considerar transformaciones T tales que

TΨ =

k

X

j=1

LjΨL†j

6

U† denota el operador adjunto (matriz traspuesta conjugada). Se dice que U es un

(21)

donde

k

X

j=1

L†_jLj = I

Es sencillo verificar que TΨ es de nuevo un estado. En efecto, dado que Ψ es una matriz positiva semi-definida, cada LjΨL†j es positiva semi-definida , y

por lo tanto su suma tambi´en lo es. Adem´as

T r(TΨ) =

k

X

j=1

T rLjΨL†j

=T r

k

X

j=1

L†_jLj

!

Ψ

=T rΨ

= 1.

Este tipo de aplicaciones son utilizadas de forma extendida en la literatu-ra de la f´ısica cuántica, pues en teor´ıa, los efectos f´ısicos de un dispositivo cuántico sobre la información transmitida tendr´ıan estas caracter´ısticas[11] . Se dice que las transformacionesLj corrompen el estado de entrada al canal,

pues, como ya se mencionó, la aplicación de estas sobre el estado de entrada al canal cuántico, se produce de forma aleatoria, lo que introduce incertidumbre (ruido) al momento de hacer una medida de un observable sobre el estado de salida del canal cuántico, generando errores en la medición. Es por lo anterior, que estos operadores Lj serán llamadosOperadores Error. As´ı pues, el ruido

(22)

Habiendo discutido los conceptos fundamentales de estado en un sistema cuántico, el concepto de canal cuántico y habiendo introducido la proble-mática de presencia de ruido en la transmisión de estados (información) a través de un canal (dispositivo f´ısico), es necesario implementar una metodolog´ıa de detección y corrección de los errores introducidos por los Operadores Er-ror Lj, es decir, cómo introducir Códigos de Corrección de Errores. En la

(23)

4. C´

odigos de Correcci´

on de

Errores Cu´

anticos

(24)

4.1. C´

odigos Cl´

asicos

Para entender mejor como construir un código de corrección de errores para un canal cuántico, primero se va a introducir el concepto de código y las caracter´ısticas que lo definen.

Sea Λ un alfabeto de tama˜no N (lo que se denotara como #Λ = N) y sea α una cadena de n caracteres (una palabra)7 _{en este alfabeto, es decir,}

α =a1a2...an∈Λn, ai ∈Λ. Se tiene la siguiente definici´on

Definici´on Para todo a,b _∈ Λn _{se define la distancia de Hamming entre}

estos como

d(a,b) = #_{i_|ai 6=bi,1≤i≤n}.

Se puede ver con facilidad que d(a,b) =d(b,a) y que d(a,b) = 0 si y s´olo si para todo i, se tiene 1 _≤ i _≤ n, ai = bi. Por otro lado, si c = c1c2...cn es

otra cadena cualquiera en Λn_{, entonces} _a

i 6= bi implica que ai 6= ci, o que

ci 6=bi, 1 ≤i≤n. Por lo anterior se tiene que

{i_|ai 6=bi} ⊆ {i|ai 6=ci} ∪ {i|ci 6=bi}

esto implica que

d(a,b)≤d(a,c) +d(c,b)

7

Aqu´ı no se usara la notaci´on tradicional (a0, a1, ..., aN₋1) para elementos del conjunto

cartesiano Λn

(25)

Lo descrito hasta ac´a se puede sintetizar en la siguiente proposici´on.

Proposici´on 4.1 El espacio _{Λn_,_d(_∗_,_∗₎_} _{de todas las palabras de longitud}

n del alfabetoΛ y distancia d anteriormente definida, es un espacio m´etrico.

Sea C ⊂Λn _{. Definamos la} _{distancia m´ınima de C} _como

d(C) = min

a,b∈C

a6=b

d(a,b)

Supóngase que d(C) =d y #C = M, entonces diremos que C es un código con alfabeto Λ, de longitud n, tamaño M y m´ınima distancia d, lo que se denotara diciendo que C es un (n, M, d)Λ código.

Por ejemplo, para Λ = _{0,1_}, n = 3 y C = _{000,111_{} ⊂} Λ3_, _C _{es un}

(3,2,3)-c´odigo.

Teniendo un (n, M, d)Λ c´odigo C, se puede pensar en las palabras del

es-pacio {Λn_,_d₍_∗_,_∗₎_}_{que est´en a una distancia}_t _{de una palabra fija del c´odigo}

C, es decir, identificar el conjunto de palabras en este espacio que difieren a lo más en un número t de posiciones con respecto a alguna palabra código en C. A continuación se define dicho conjunto.

Definici´on Para cualquier entero no-negativot y cualquier palabraa_∈Λn

se define la esfera de Hamming de radio t y centro a como

S(a,t)={x|x∈Λn,d(a,x)≤t}.

Ahora bien, si se define una esfera de radio t para cada una de las palabras del código C, es deseable, para la construcción de códigos correctores8_{, que}

8

Más adelante será evidente por qué, por lo cual se volverá sobre esta caracter´ıstica en

(26)

tales esferas sean disjuntas. La siguiente proposici´on brinda un criterio para satisfacer esta condici´on.

Proposici´on 4.2 Sea C un (n, M, d)Λ c´odigo. Entonces, la familia de

es-feras de Hamming _S = _{S(a,t)|a ∈ C t ≥ 0} es disjunta dos a dos si y s´olo

si d_≥2t+ 1.

Prueba (_⇒) Sup´ongase que existen palabras a,b_∈ C tales que las esferas de radio t que ´estas palabras generan no son disjuntas, es decir

S(a,t)∩S(b,t) 6=∅

Esto implica que existe una palabra x_∈Λn _{tal que}

d(a,x)≤t, y , d(b,x)≤t.

A partir de la desigualdad triangular, se obtiene que

d_≤d(a,b)_≤d(a,x) + d(x,b) _≤ 2t

lo que demuestra la suficiencia.

(_⇐) Sea d_≤2t. Entonces, existen palabras a,b_∈C tales que

d(a,b) =d_≤2t

Haciendo uso de una permutaci´on σadecuada de los elementos de la palabra b =b0b1...bn−1, de tal forma que los d caracteres bi en los que difiere de ase

encuentren las primeras d posiciones de σ(b). Def´ınase

x=

  

a1a2...akbk+1...b2kad+1...an; si d= 2k

(27)

Entonces

d(a,x) =d(b,x) = k si d= 2k, d(a,x) = k₋1,d(b,x) =k si d= 2k₋1.

Para ambos casos se tiene que d(a,x) ≤ t,d(b,x) ≤ t, es decir, {x_{} ⊂} S(a,t)∪S(b,t) 6=∅ .

¿Pero c´omo puede ayudar un (n, M, d)Λ c´odigoC a contribuir o

contrar-restar y/o corregir el problema de ruido en un canal dado?. Sup´ongase que se tiene un canal que comunica una palabra a _∈ Λn_{, la cual es recibida a}

la salida de este como (posiblemente diferente) la palabra b. Entonces, el número de errores en la transmisión de la palabraaa través del canal usado, no es más que la distancia de Hamming d(a,b) entre la palabra de entradaa y la palabra de salidab. Si se asume que el canal produce a los sumoterrores en la transmisión de una palabra de longitud n, (normalmente se asume que t es significativamente menor que n [15]), y que se tienen M palabras ( o mensajes) que comunicar, dado un (n, M, d)Λ código C (el cual satisface la

condici´on d≥2t+ 1) se puede codificar la lista de M palabras haciendo una correspondencia con las palabras c´odigo a _∈ C, a(1)_,_a(2)_{, ...,}_a(M)_{. As´ı pues,}

si se quiere comunicar la palabra i-´esima, se debe transmitir la palabra cod-ificada a(i).

A modo de ejemplo, si se toma nuevamente Λ = {0,1} y n = 3, el conjunto de las posibles cadenas o palabras Λ3_{, seria}

Λ3 ₌_{_000,_001,_010,_100,_011,_101,_110,₁₁₁_}

(28)

n = 3, con distancia m´ınima d = 3 ; usando la notaci´on introducida, C es un (3,2,3)_{0,1} c´odigo. Al trasmitir palabras codificadas conC, se obtiene un

(29)

este caso particular (Λ ={0,1}), se dice queC es unCódigo Binario. El pro-ceso de codificación, partir´ıa de la asignación un código para cada mensaje que se quiere transmitir. Supóngase la siguiente asignación par los mensajes 0,1:

0_→000 1_→111

Después de transmitir cada mensaje a través del canal ruidoso, dado que este genera a lo sumo 1 error en la transmisión de las tres letras, se tendr´ıan las siguientes opciones : Al transmitir el mensaje 0, se obtendr´ıa como salida del canal una de las siguientes cadenas, S(000,1) ={000,001,010,100} ; por otro

lado, al transmitir el mensaje 1, se obtendr´ıa como salida del canal una de las siguientes cadenas: S(111,1) ={111,110,101,011}. El proceso de

decodifi-caci´on se realiza dependiendo de la cadena obtenida; si la cadena obtenida es un elemento deS(000,1) , entonces el mensaje transmitido es 0, y, si la cadena

obtenida es un elemento de S(111,1), entonces el mensaje transmitido es 1.

Usando esta estrategia, y la suposici´on de disyunci´on que se hizo sobre la familia de esferas de Hamming _S, la palabra de salida b debe pertenecer a una (y solo una) de dichas esfera, en concreto aS(ai_,t

). Entonces, si la palabra

de salida del canal b pertenece a la esfera de Hamming S(a(i)_,t₎, la palabra

original (de entrada) es la palabra i-´esima. As´ı pues, se puede lograr una transmisi´on libre de errores siempre que d _≥2t+ 1 o, lo que es equivalente, cuando t _≤ d−1

2

₉

. Entonces, se dice que un (n, M, d)Λ c´odigo es un c´odigo

corrector de d₋1 2

errores.

9d₋1 2

(30)

Del ejemplo anterior es importante resaltar que el conjunto de cadenas Λ3 _{se puede expresar como la partici´on de las dos esferas de radio unitario}

S(000,1) y S(111,1), caso en el cual se podr´ıa llamar perfecto al c´odigo C, pues

siempre ser´ıa posible decodificar el mensaje. En general, si para un alfabeto Λ de tama˜no N y cadenas ai _{de longitud} _{n, el conjunto de cadenas Λ}n _se

puede expresar como la partici´on de M esferas S(ai_,t

) , esto es,

Λn₌ [

0≤i≤M

S(ai_,t₎

entonces, el conjunto C = _{ai_{; 0} _≤ _i _≤ _M_}_{, formado por los centros de las}

esferas S(ai_,t

) , define un (n, M, d)Λ-c´odigoperfecto. Todav´ıa es un problema

abierto determinar cuales son las condiciones para N, n, M y d= 2t−1 para las cuales el conjunto de cadenas Λn _{se puede expresar como una uni´on de}

(31)

4.2. Grupos de C´

odigos

En la presente sección se estudiará cómo construir códigos de corrección de errores haciendo uso de homomorfismos de grupos.

Sean G1, G2, grupos finitos con elementos identidad e1, e2, respectivamente,

se debe recordar que la aplicaci´on τ :G1 → G2 se denomina homomorfismo

de G1 en G2 si, para todo f, g ∈ G1, se cumple que τ(f g) =τ(f)τ(g), y se

cumple queτ(e1) =e2. Si se tiene queτ−1 es tambi´en un homomorfismo,τ es

llamado isomorfismo, y si adicionalmenteG1 =G2,τ es llamado un

automor-fismo. As´ı mismo, se debe recordar que el n´ucleo o kernel del homomorfimo τ es el conjunto Kerτ ={g ∈G1|τ(g) =e2}. Un m´etodo pr´actico de

obten-er subgrupos (normales) de G1 es definir homomorfismos τi y analizar sus

n´ucleosKerτi ; alternativamente, se podr´ıan considerar subgrupos deG2, los

cuales son los imágenes de los homomorfismosτi. Tales métodos son técnicas

de gran utilidad para la construcci´on de c´odigos.

Sup´ongase que el alfabeto Λ usado es un grupo finito con elemento identi-dad e. En este contexto, el conjunto de todas las cadenas de longitud n, Λn_,

es el grupo producto cartesiano n-veces el grupo Λ, con elemento identidad e = eee..e_{| {z }}

n−veces

y operaci´on de grupo ab = a1b1...anbn

| {z }

n₋veces

, a,b _∈ Λn_{. Ahora}

(32)

definida para los elementos de Λ , se tiene que, para todo a,b,c_∈Λ

d(a,b) = #_{i_|ai 6=bi,1≤i≤n};

= #_{i_|b−_i 1ai 6=e,1≤i≤n}=d(b−1a,e);

= #_{i_|e₆=a−_i 1bi,1≤i≤n}=d(a−1b,e);

= #{i_|ciai 6=cibi,1≤i≤n}=d(ac,bc);

= #{i_|aici 6=bici,1≤i≤n}=d(ca,cb).

De lo anterior se puede concluir que la distancia de Hamming es invariante respecto a translaciones de cadenas a derecha e izquierda. A partir de este hecho, se puede definir el peso de una cadena como

w(a) = d(a,e) = #_{i_|ai 6=e,1≤i≤n}

el n´umero de elementos de la cadena diferentes del elemento identidad. As´ı mis-mo, usando la definici´on de peso de una cadena en Λn_{, se obtiene que}

d(a,b) = w(a−1_b_{) =} _w₍_b−1_a_{). Entonces, el peso de una cadena ( y por}

ende la distancia de Hamming) es invariante bajo cualquier automorfismo

τ : Λ_→Λ, esto es

w(a) =w(τ(a)) donde τ(a) = τ(a1)τ(a2)...τ(an)

Lo anterior se deduce del hecho que

a1a2...an→τ(a1)τ(a2)...τ(an),

eee..e

| {z }

n₋veces

→ eee..e_{| {z }}

n₋veces

(33)

τ = τ(a1)τ(a2)...τ(an), diferentes de la cadena elemento identidad, es decir

w(τ(a)).

Un C ≤ Λn_{, tal que #}_C ₌ _M_{, ser´a llamado un} _{(sub)grupo de c´odigo} _con

alfabeto Λ, con distancia m´ınima d(C) dada por

d(C) = min

c₆=e;c_∈Cw(c).

En particular, si se utiliza como alfabeto un espacio vectorial sobre un cuerpo finito, visualiz´andolo como un grupo abeliano aditivo, este permite usar un conjunto grande de homomorfismos. Para este caso, HOMΛ es tambi´en un

grupo aditivo con elemento nulo la aplicación que env´ıa todo elemento a e, por lo que el código C definido, es un grupo de código. Ampliando esta idea a homomorfismos de Λ en otro grupo abeliano, digamos Ω, es posible construir códigos con mayor capacidad de mensajes, es decir, si se denota por HOM(Λ,Ω) al conjunto de homomorfismo de Λ en Ω, el número de mensajes

M = #HOM(Λ,Ω) incrementar´ıa [17]. A continuaci´on se extiende esta idea.

Se va a hacer uso del grupo (alfabeto) Λ con las caracter´ısticas propuestas, esto es, Λ es un grupo aditivo abeliano tal que #Λ = N. Para cualquier elemento de este alfabeto, a_∈Λ, def´ınase la operaci´on

na=a+a+a+· · ·+a

| {z }

n−veces

Como Λ es un grupo finito, existen varios valores enteros positivos n tales que na =e, para a _∈ Λ. T´omese el menor de tales valores y den´otese como

r _∈Z+_{, es decir,}

(34)

Por otro lado, para el grupo abeliano Ω, t´omese el grupo multiplicativo abeliano de las ra´ıces r-´esimas de la unidad, Ω = _{1, ω, ω2_{, ω}3_{, . . . , ω}r−1_}_,

donde ω = exp(2πi

r ). Para simplificar un poco la notaci´on, den´otese al

con-junto de homomorfismos de Λ en Ω, HOMΛ,Ω = ˆΛ. Se va a llamar car´acter

de Λ a cadaα_∈Λ, y, se va a definir para todoˆ α, β _∈Λ, (αβ)(a) =ˆ α(a)β(a), dondea _∈Λ . Haciendo uso de esta definición para el producto de caracteres de Λ, la operación resulta cerrada, esto es, (αβ)(a) ∈ Λ. As´ı mismo, si seˆ defineα−1(a) =α(a), este resulta ser un carácter, es decir un homomorfismo elemento de ˆΛ. También, se puede definir el carácter identidad por medio de

αα−1 =α−1α.

De las observaciones anteriores se concluye que ˆΛ un grupo abeliano multi-plicativo, el cual es llamado el grupo dual o grupo de caracteres de Λ, donde #ˆΛ = #Λ =N.

Es posible ordenar los elementos de Λ y ˆΛ con la siguiente indexaci´on

Λ ={a0, a1, . . . , aN₋1}

ˆ

Λ ={α0, α1, . . . , αN−1}

dondea0 =ees el elemento nulo de Λ, y α0 es el car´acter identidad. A partir

de esta indexaci´on, def´ınase la matrizHN×N = ((αi(aj))), 1 ≤i, j ≤N−1,

la cual es una matriz ortogonal con entradas lasr-´esimas ra´ıces de la unidad. Haciendo uso de H, se pueden expresar las relaciones de ortogonalidad de

Schur como

(35)

Revisemos un ejemplo num´erico, con un alfabeto usado ya antes, Λ = {0,1_}, considerado como un grupo abeliano aditivo con adici´on modulo 2. Para este grupo,r=min_{n_∈Z+ _|_na_{= 0}_,_∀_a _∈_Λ_}_{= 2, luego Ω =}_{_1,₋₁_}_.

Entonces s´olo existen dos homomorfismos, α0, α1 ∈Λ definidos porˆ

α0(0) = 1, α0(1) = 1 ;

α1(0) = 1, α1(1) =−1.

Entonces el conjunto de caracteres del alfabeto Λ es ˆΛ = _{α0, α1} como se

definieron arriba. Si se extendiera el alfabeto, digamos a Λ3 ₌ _{_0,₁_}3 ₌

{000,001,010,100,011,101,110,111_}, conociendo el conjunto de caracteres de Λ, es posible escribir cualquier car´acter λ de Λ3 _como

λ(i,j,k)(xyz) =αi(x)αj(y)αk(z) ; αi ∈Λˆ

donde xyz _∈ Λ3_{, y,} _{i, j, k} _{∈ {}_0,₁_}_{. Dada la naturaleza del alfabeto, con la}

suma +2 m´odulo 2 y el productosxi, yj, zk usual en Λ, cada car´acterλ∈Λˆ3,

se puede calcular de la siguiente forma:

λ(i,j,k)(xyz) =αi(x)αj(y)αk(z)

= (₋1)(xi+2yj+2zk)

(36)

4.3. Caso Cu´

antico

Ser´ıa deseable poder reconstruir el estado de entrada Ψ a un canal cu´anti-co a partir del estado de salida TΨ, aplicando una transformaci´on derescate R sobre el conjunto de posibles estados, tal que

R(TΨ) = R

m

X

j=1

LjΨL†j = Ψ

para cualquier estado Ψ _{∈ H}y cualquier operadorLj ∈ E,1≤j ≤m, donde

E es el espacio de operadores error. Se podr´ıa pensar en buscar transforma-ciones R de la forma

RΨ =

m

X

i=1

RiΨR†i

donde

m

X

i=1

R†_iRi = I

Sin embargo, tales transformacionesRino necesariamente existen para cualquier

estado del sistema cuántico, sólo se puede asegurar su existencia para una clase especial de estado (la cual, según [16], no es para nada pequeña), para los cuales es posible un rescate (casi)-total de la información inicial, i.e., del estado inicial. Los estados miembros de esta clase son denominados buenos para codificar mensajes. En el presente escrito se evadirá la demostración de la existencia de tales estados buenos para codificar, pero si se caracterizarán dada la importancia de su introducción para el objetivo propuesto. En [2] se puede encontrar el argumento detallado de este hecho, y la conclusión del mismo soporta la existencia de los códigos a discutir.

(37)

Definici´on Sea C ⊂ H un subespacio. Un estado Ψ se dice que tiene su soporte en_C siT r PΨ = 1, donde P es la proyecci´on en _C.

Para C como en la definici´on anterior, se denota por C⊥ _{al complemento}

ortogonal de _C, es decir,

C⊥ ₌ _{|_ϕ_{i ∈ H | h}_φ_|_ϕ_i_{= 0}_, _∀|_φ_{i ∈ C}}

Cada _|ψ_i en _HΛ se puede escribir de forma ´unica como |ψi = |φi + |ϕi,

donde _|φ_{i ∈ C}⊥ y _|ϕ_{i ∈ C}.

Un estado Ψ tiene soporte en C si y s´olo si Ψ deja a C y aC⊥ _{invariantes y si}

k

X

i=1

hϕi|Ψ|ϕii = 1

donde _{|ϕ_ii |1≤i≤k} es una base ortonormal paraC. Ahora se introduce

la definici´on clave para la codificaci´on de un estado [16].

Definición Sea_E el espacio de operadores error de un canal cuántico, cuyos estados de entrada y salida están definidos en el espacio de Hilbert _H 10

de dimensión n. Un subespacio C ⊂ H es llamado un código cuántico si existen matrices R1, R2, ..., Rm (las cuales actúan como operadores lineales

en _H), tales que satisfacen las siguientes caracter´ısticas:

m

X

i=1

R_i†Ri = I ;

Para cualquier m _∈ Z+_{, para cualquier} _L_j _{∈ E} _, ₁ _≤ _j _≤ _m _{y para}

cualquier estado Ψ_{∈ H} con soporte en _C se tiene que

m

X

i=1

Ri

( _k X

j=1

LjΨL†j

)

R†_i = Ψ

10

se debe recordar la suposici´on hecha sobre los espacios de entrada y salida del canal

(38)

Entonces, los estados con soporte en código cuánticoC son los estados buenos que se buscan. Si se transmite uno de tales estados Ψ buenos, el estado de salida tendrá la forma

Ψ′ ₌

k

X

j=1

LjΨL†j, tales que k

X

j=1

LjL†j.

Si, para este estado Ψ′_{, se tiene aplica el operador de rescate} _R _{definido por}

RΨ′ ₌

m

X

j=1

RjΨRj†,

se podr´ıa recuperar el estado inicial Ψ. As´ı pues, se pude replantear la se-lección de estados buenos para codificar como la sese-lección de estados Ψ con soporte en el código cuánticoE-correctorC, el cual se tendr´ıa que escoger con la dimensión mas grande posible para aumentar la cantidad de información libre de error transmitida por el canal cuántico. El siguiente teorema, al cual se llamara teorema de Knill-Laflamme ([13]), sintetiza las condiciones para esta familia de operadores de rescate R.

Teorema 4.3 (Knill-Laflamme) Sea _E una familia de operadores en _H⊗n

y sea _{C ⊂ H}⊗n

un c´odigo cu´antico con base ortonormal _{ϕ1, . . . , ϕk}.

En-tonces, existe una familia de operadores {Rj}, 1≤j ≤m, enH⊗

n

los cuales satisfacen las siguientes condiciones

1.

m

X

j=1

RjRj† = I

2. para un numero finito de operadores Li ∈ E, 1 ≤ i ≤ k, tales que k

X

i=1

LiL†i = I, se tiene que

m X j=1 Rj ( _k X i=1

Li|ϕihϕ|L†i

)

(39)

si y s´olo si se cumplen que

i) _hϕp|L†1L2|ϕqi = 0, para todo L1, L2 ∈ E, p 6= q, 1 ≤p, q ≤ k.

ii) hϕp|L†₁L2|ϕpi es independiente de p, 1 ≤p ≤ k.

La prueba de Knill-Laflamme es constructiva (ver [13]), por lo cual expresa los operadores de rescate en términos de la base ortonormal de_C escogida. En el presente escrito no se mostrara tal prueba, pero si se replanteara el teorema de Knill-Laflamme de forma mas conveniente para la posterior construcción de códigos cuánticos basados en códigos clásicos.

Ahora sup´ongase que el espacio de Hilbert H, del que son miembros los estados de entrada y salida, es obtenido a partir del producto tensorial de n copias de otro espacio de Hilbert _H′_{, esto es,} _H _{= (}_H′₎⊗n

. En este caso, un estado Ψ ∈ H es un KET producto |ψ1ψ2...ψni, donde ψi 1≤ i ≤ n, es un

vector unitario en H′_{. Si este estado} _|_ψ

1ψ2...ψni es transmitido a trav´es de

un canal cuántico dado, supóngase que el ruido del mismo afecta a no más de

t entradas de |ψ1ψ2...ψni, donde t es de magnitud peque˜na comparada con

n. Lo anterior significa que si el estado de salida del canal es |φ1φ2...φni, se

tiene que existe un N_⊂Z+ _{tal que}

|ψii = |φii, ∀i∈N⊂ {1,2, ..., n}, donden−t≤#N

Ahora, sea N′ = _{i1, i2, ..., is}, con s ≤ t, el complemento de N. Se podr´ıa

re-escribir el estado de salida _|φ1φ2...φni del canal cu´antico como

|φ1φ2...φni = |U1ψ1, U2ψ2, ..., Unψni

= U1⊗U2⊗...⊗Un|ψ1ψ2...ψni

donde Ui = I si i ∈ N. De lo anterior se puede afirmar que para el caso

(40)

donde a lo sumotoperadoresUi , 1 ≤1≤n, no son iguales al operador

iden-tidad (operador no-error si se quiere). Se denotara entonces por_Etal espacio

lineal generado por los operadores producto U1⊗U2⊗...⊗Un. Entonces, al

subespacioC ⊂ Ha partir del que se defineEtse le llama un c´odigo cu´antico

corrector de t-errores.

Es muy importante resaltar que, aunque el estado de entrada al canal cuánti-co sea el producto de estados puros, debido a la cuánti-corrupción del estado gener-ada por los operadores de error en _Et, al ser transmitido a través del canal,

el estado de salida no necesariamente sigue siendo el producto de estados puros. En tal caso se dice que ha ocurrido decoherencia a la salida del canal [21].

(41)

4.4. Grupo de Operadores Error

Haciendo uso de los grupos abelianos Λ y Ω usados en la secci´on 4,2, y tomando {|a_{i |}a_∈Λ} una base ortonormal de un espacio de Hilbert n-dimensional _H, es posible definir dos familias importantes de operadores unitarios sobre _H,

{Xb |b∈Λ}, determinada por Xb |ai = |a+nbi, ∀b∈Λ; y

n

Zα|α∈Λˆ

o

, determinada por Zα |ai = α(a)|ai, ∀α ∈Λ.ˆ

Es f´acil ver que para todos los miembrosXb yZαde estas familias se cumplen

las siguientes condiciones 11_:

XbXc = Xb+c ; b, c ∈Λ ;

ZαZβ = Zαβ ; α, β ∈Λ ;ˆ

ZαXa = α(a)XaZα ; a ∈Λ, α∈Λˆ

A los operadoresXbse les conoce comoerrores de vuelta de bit (bit-flip errors

en ingles), pues intercambian el valor de las bases, y a los errores ZC se les

conoce comoerrores de fase, cuyo efecto es girar onegar la base a la cual se le aplica. Para clarificar como operan los elementos de estas familias, se va a discutir el caso n = 2, esto es, Λ = {0,1} y registro cu´anticoHΛ = C2.

Para este alfabeto es f´acil ver que r = 2, por lo tanto Ω = _{−1,1_}, y los caracteres de Λ son las aplicaciones

α: Λ−→Ω ; α(0) = α(1) = 1;

β : Λ−→Ω ; β(0) = 1, β(1) = −1.

11

(42)

Por otro lado, una base ortonormal (la base computacional) para H estar´ıa definida por

{|0_i;_|1_i} =

    1 0  ;  0 1     .

Entonces, para el alfabeto binario Λ = _{0,1_}, los operadores error debit flip estar´ıan representados, en notaci´on KET, por

X0 : H −→ H, |ai 7−→ |ai = |a+20i

X1 : H −→ H, |ai 7−→ |a+21i.

La representaci´on matricial de estos operadores seria

X0 =

 1 0

0 1



 ; X1 =

 0 1

1 0

 

X0 es equivalente a la matriz identidad, por lo cual, se har´a referencia a este

como operador identidad u operador errorI. As´ı mismo, los operadores error de fase en notaci´on KET estar´ıan definidos por

Zα : H −→ H, |ai 7−→α(a)|ai = 1|ai

Zβ : H −→ H, |ai 7−→β(a)|ai = (−1)1·a|ai.

y en notaci´on matricial,

Zβ =

 1 0

0 1



 ; Zα =



1 0

0 ₋1

 

(43)

de estas familias de errores a espacios producto H⊗n

= C2n

[24]. Se debe recordar que una base ortonormal para_H⊗n

se obtiene tomando el producto tensorial de los elementos de la base, en este caso, de la base computacional {|0i;|1i}. As´ı pues, cada elemento de la base tiene la forma (en notaci´on KET)

|a_i = _|a1a2...aki = |a1|a2i...|aki=|a1i ⊗ |a2i ⊗...⊗ |aki

donde a _∈ Λn ₌_{_0,₁_}n_{, y, de forma an´aloga, se define un car´acter} _α _{de la}

siguiente forma

α : Λ∗ −→Ωn

a = a1a2...an 7−→α(a) = (α1(a1), α2(a2), ..., αn(an))

donde cada αj es un car´acter de Λ, yα ∈Λˆn

Entonces, usando la notaci´on bj para representar al j-esimo vector de la

base de_H⊗n

, los posibles errores debit-flipy fase, producidos sobre_|a_{i ∈ H}⊗n al atravesar un canal cu´antico se representan como

Xbj : H

⊗n

−→ H⊗n, _|a_{i 7−→ |}a+bji,

Zα_bj : H⊗

n

−→ H⊗n, _|a_{i 7−→}αbj(a)|ai.

Esto es,Xbj produce un error de vuelta de bit en el j-´esimo qubit del vector |a_i siempre que laj-´esima coordenada de bj es igual a 1, yZα_bj produce un

error de fase de bit en el j-ésimo qubit del vector_|a_i siempre que la j-ésima coordenada de bj es igual a 1. Lo anterior es más claro si se re-expresa cada

(44)

individuales de la siguiente forma

Xbj = Xa1 ⊗Xa2 ⊗...⊗Xan

Zα_bj = Zα1 ⊗Zα2 ⊗...⊗Zαn

En el caso general, tambi´en es inmediato el cumplimiento de las condi-ciones de conmutaci´on

XbXc = Xb+c ; b, c ∈Λ ;

ZαZβ = Zαβ ; α, β ∈Λ ;ˆ

ZαXa =

n

Y

i

αi(ai)XaZα ; a ∈Λ, α∈Λˆ

Adicional a satisfacer las condiciones de conmutaci´on antes descritas, los operadores Xa , Zα tienen la caracter´ıstica que no existe ning´un subespacio

propio de _H⊗n

tal que este ´ultimo sea invariante al aplicar cualquiera de los operadores. Esto tiene como consecuencia que cualquier operador (o su representaci´on matricial) en_H⊗n

, se puede expresar como combinaci´on lineal de operadores unitarios de la forma XaZα. Si se unen estas dos familias, se

genera el grupo

E = DXa , Zα ; a∈Λ∗ , α ∈Λˆ∗

E

=n_±XaZα ; a∈Λ∗ , α∈Λˆ∗

(45)

En general, este grupo se puede expresar como

E = _{±U1⊗U2⊗...⊗Un|Ui ∈ {XaiZαi}, 1 ≤ i ≤ n}

donde cada operador productoU1⊗U2⊗...⊗Unopera de forma independiente

sobre |a1i ⊗ |a2i ⊗...⊗ |ani ∈ H⊗

n

, esto es,

(U1⊗U2⊗...⊗Un) (|a1i ⊗ |a2i ⊗...⊗ |ani) = U1|a1i ⊗U2|a2i ⊗...⊗Un|ani

Ahora bien, si para cada pareja (a, α)∈Λn_×_Λˆn_{, se puede definir el peso de}

(a, α) como

w(a, α) = #_{i_|(ai, αi)6= (a0, ι),1≤i≤n}

ι denotando la aplicación (carácter) identidad en ˆΛ. Dado que los operadores XaZα afectan no más de t posiciones de las cadenas de entrada al canal

cuántico usado, se puede decir que w(a, α) _≤ t [16]. La afirmación anterior se resumen en la siguiente proposición

Proposici´on 4.4 El conjunto _{XaZα |w(a, α)≤t} es una base de

operadores unitarios para el espacio de errores Et.

(46)

Teorema 4.5 Un subespacio C del espacio de Hilbert H⊗n _{es un c´odigo}

cu´antico corrector de t₋errores si y s´olo si C posee una base ortonormal {ψ1, ψ2, . . . ψm} para cuyos elementos se cumple que

1. para i₆=j, hψi|XaZα |ψji = 0 , donde w(a, α)≤2t , y

2. _hψi|XaZα |ψii es independiente de i siempre que w(a, α)≤2t.

Prueba Sean a, b _∈ Λn _y _{α , β} _∈ _Λˆn_{. Sup´ongase que} _{w(a, α)} _≤ _t,

w(a, α) _≤t.

Entonces para el par (a + b, αβ), obtenido de la composici´on de (a, α) y (b, β), se cumple que (a + b, αβ) _≤ 2t.

Por otro lado, sea U1 = XaZα y U2 = XbZβ. Entonces el operador U1†U2

resulta ser un m´ultiplo escalar del operador Xa+bZαβ.

Las condiciones 2.i),2.ii) del teorema 4,3 resultan ser sesqui-lineales paraU1

y U2, por lo cual, junto con las afirmaciones anteriores , garantizan las dos

condiciones del teorema.

Entonces se dirá que este códigoC es un código cuántico corrector ded−1 2

= t errores, por lo que se notara (como se podr´ıa esperar) como un [n, k, d]Λ

-c´odigo cu´antico.

(47)

4.5. Construcci´

on del C´

odigo Cu´

antico

4.5.1. Generalización del Código Cuántico de Shor

Se va a hacer uso de la estructura analizada para un grupo de c´odigo C definido a partir de un grupo abeliano Λ. Sea C un (n, M, d)- grupo de errores t- corrector. Se puede verificar de forma directa que el c´odigo C es a su vez un grupo abeliano, por lo cual es valido definir un grupo de caracteres

ˆ

C para C. Entonces para todo γ ∈Cˆ, def´ınase el vector KET

|γ_i= _√1 #C

X

c_∈C

γ(c)_|c_i;

El conjunto _{|γ_{i |} γ _∈ Cˆ_} resulta ser ortonormal ya que satisface las rela-ciones de ortogonalidad de Schur 12_{. Si ahora se considera el conjunto ˆ}_C

como un alfabeto, para el cual se define un (sub)grupo de c´odigo cl´asico cor-rector de t-errores de longitud m, denotado por D _⊂ Cˆm_{, los elementos de}

este grupo serán cadenas de caracteres de código C, es decir, cada _bγ ∈ D tendrá la forma

b

γ = γ1γ2. . . γm ; con γi ∈Cˆ

Si se toma cada una de estas cadenas _bγ ∈Dm, y se define el vector KET

|bγ_i = _|γ1i|γ2i. . .|γmi

12

(48)

donde

|γii = √_#1C

X

c_∈C

γi(c)|ci; 1 ≤i≤m.

y adicionalmente con la propiedad que

#_{j_|γj 6=ι} ≥ 2t+ 1

cada _|ˆγ_i sera un elemento de (_HΛ)⊗

n

. Para el conjunto _{|_bγ_{i |} _bγ _∈ D _} se obtiene el siguiente teorema (ver [17] para una prueba detallada. )

Teorema 4.6 El conjunto _{|_bγ_{i |} _bγ _∈ D _} es una base ortonormal para un c´odigo cu´antico corrector de t-errores en el espacio de Hilbert _H⊗mn_.

(49)

4.5.2. C´odigo Cu´antico de Shor

Se revisara ahora el caso particular del alfabeto Λ = _{0,1_},el caso estudiado a lo largo del documento, con los valoresm = 3 yn = 3. Entonces, para Λ3 ₌ _{_0,₁_}3_{, t´omese el c´odigo ya usado antes,} _C ₌ _{_000,₁₁₁_{} ⊂}

{0,1_}3_{, el cual es un (3,}_2,₃₎

{0,1}-c´odigo corrector de 1 - error. Para este

c´odigo, el conjunto de caracteres, ˆC posee dos elementos, γ0, γ1 definidos

como

γ0(000) = 1 ; γ0(111) = 1,

γ1(000) = 1 ; γ1(111) = −1,

Para cada uno de los caracteres se define el KET

|γ0i =

1 √

#C (γ0(000)|000i+γ0(111)|111i), = √1

2(|000i+|111i) ; |γ1i =

1 √

#C (γ1(000)|000i+γ1(111)|111i), = √1

2(|000i − |111i) .

Entonces, usando a ˆC como alfabeto, se toma como grupo de c´odigo D3 =

{γ0γ0γ0 , γ1γ1γ1}, el cual corrige un solo error la transmisi´on en cadenas

ˆ

γ _∈ Cˆ de longitud 3. Entonces, a partir de Dm se define una base para el

c´odigo cu´antico corrector de un solo error, definida por

{|bγ_{i |}_bγ _∈D3 }

={|γ0γ0γ0i, |γ1γ1γ1i },

=

(

1 √

2(|000i+|111i)

⊗3

,

1 √

2(|000i − |111i)

⊗3)

,

(50)

Mediante D3 se codifica el elemento |0icomo Γ0, y se codifica el elemento|1i

como Γ1. El ejemplo discutido es el Código de corrección de 1-error cuántico

(51)

5. Conclusiones y Observaciones Finales

1. En el presente escrito se hizo una visión de conjunto sobre la con-strucción de códigos de corrección de errores cuánticos a partir de la teor´ıa clásica de grupos de códigos de errores, haciendo uso de las rela-ciones de ortogonalidad de Schur para el grupo de caracteres de un grupo abeliano finito y haciendo uso las condiciones (criterios) de Knill-Laflamme para la obtención de bases ortonormales para tales códigos, acotados por el númerotde errores que están en posibilidad de corregir . La construcción se formalizo mediante la definición de una familia de códigos cuánticos correctores de t errores cuánticos, la cual se uso co-mo abstracción y generalización del código de Shor, él cual se uso coco-mo ejemplo particular de esta construcción. Es de resaltar que es posible realizar construcciones similares para (_HΛ)⊗7 [22][18] y (HΛ)⊗5 [18].

2. A lo largo del trabajo se caracterizo un c´odigo a implementar usando tres par´ametros distintivos:

n, parámetro que define el número de qubits involucrados para codificar información en un sistema cuántico dado,

M, define el tamaño del código, parámetro que limita el número de mensajes que se pueden transmitir,

(52)

3. Es entonces posible plantearse tres retos de optimizaci´on [16]

Dejar fijonyt, e intentar maximizarM, con lo cual se aumentar´ıa la cantidad de mensajes que es posibles enviar codificados por el canal,

Dejar fijo n y M, e intentar maximizar t, con lo cual se podr´ıan corregir una mayor cantidad de posibles errores,

Dejar fijotyM, e intentar minimizarn, con lo cual se podr´ıan es-tar´ıa optimizando recursos para transmitir mensajes de un tama˜no dado, expuestos a un fijo de errores.

(53)

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