Operación matricial para la determinación de los pesos

La razón más importante para no asignar directamente los pesos a los diferentes niveles considerados, sino la implementación de matrices, es de tipo conceptual y está soportada en un principio básico de análisis de decisiones: cuando en un proceso de decisión hay valoraciones subjetivas, hay que estructurar los juicios que deben hacer los decisores de la forma más simple posible, evitando valoraciones sobre aspectos demasiado globales. En síntesis, la obtención de los pesos a través del método de matrices de comparación por pares tiene como propósito principal hacer los juicios de los decisores más específicos, completos y precisos y, como se verá más adelante, evaluar el nivel de consistencia de dichos juicios.

En algebra lineal, cuando se tiene una matriz y un vector con la propiedad de que , se dice que el vector es un vector propio de la matriz , y el valor propio asociado. Estos vectores y valores propios de una matriz dada son muy importantes, pues la caracterizan completamente. Adicionalmente, el valor propio corresponde a la dimensión de la matriz . Así , donde corresponde al número de aspectos que se están comparando entre sí en relación con un aspecto de nivel inmediatamente superior.

Es claro que en la práctica no se conocen los pesos de antemano, pues precisamente son éstos los que se quieren estimar. De esta forma, el entender que si una matriz es completamente consistente el vector de pesos es un

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vector propio con valor propio asociado , siendo la dimensión de la matriz , da una pauta importante de cómo poder estimar dichos pesos.

Por tanto, si se tiene la matriz de comparación por pares , la cual se puede obtener con base en los juicios de los decisores, y se quiere estimar el vector de pesos , se puede comenzar obteniendo los vectores propios de la matriz y examinar cuál de estos vectores es el más apropiado para estimar .

Inspirado en la situación descrita anteriormente, Saaty construyó una metodología para estimar los pesos de un Proceso Analítico Jerárquico con base en los vectores propios de la matriz de comparación con pares . A continuación se presenta el método de estimación propuesto por Saaty.

4.4.3.1. Método de estimación propuesto por Saaty.

Para entender el proceso, hay que empezar suponiendo que se está en determinado nivel de un PAJ y que se tienen aspectos que se quieren comparar con relación a determinado aspecto del nivel inmediatamente superior. Igualmente, se asume que el decisor ya ha construido la matriz de comparación por pares correspondiente, , que debe tener dimensión .

De esta forma, Saaty demostró que para una matriz recíproca, en el sentido de que , si representa el máximo valor propio de la matriz entonces:

1)

2) , sí y sólo sí es completamente consistente.

Basado en estos dos resultados, el método de estimación de Saaty consiste en hallar el máximo valor propio, , de la matriz de comparación por pares, , y luego obtener su vector propio asociado, . Es decir, el vector de pesos estimado estará dado por aquel vector de dimensión que satisface la ecuación:

El vector final de pesos estimado que se notara como corresponde al vector apropiadamente normalizado de manera que sus componentes (los pesos) sumen 1.

Adicionalmente, asociado a este método de estimación existen indicadores importantes acerca del nivel de consistencia de la matriz , los cuales se definen a continuación:

Es decir, entre más se acerque al valor , más consistente será la matriz y, entre más se aleje, menos consistente.

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Para calcular la Razón de Consistencia de una matriz de comparación por pares , es necesario definir primero lo que Saaty llama el índice de consistencia aleatorio promedio , el cual se obitene con base en el índice de consistencia promedio de un conjunto de matrices recíprocas utilizando la escala 1/9, 1/8, …, 1, …, 8, 9.

La idea es, por supuesto, que una matriz recíproca generada aleatoriamente no tiene por qué ser consistente. Así que se espera que el índice de consistencia de una matriz de comparación por pares, , debe ser muy inferior al índice de consistencia aleatorio promedio. La razón de consistencia de la matriz se define como:

Saaty recomienda que para una matriz de comparación por pares sea considerada consistente la no debe superar el 10%.

El método de estimación que se acaba de presentar ha sido incorporado al software especializado en toma de decisiones ExpertChoice, el cual es uno de los programas de uso más extendido en este tipo de problemas.

En la mayoría de casos reales los Pasos 1 y 2, explicados en el numeral 4.4.1 de este documento, requieren de un grupo de trabajo integrado por personas que conozcan los principales aspectos del problema y que, por tanto, suelen provenir de diferentes áreas del proyecto. Un aspecto clave en el éxito de un proyecto que utilice el PAJ es el manejo adecuado de los diferentes interlocutores del problema, así como el uso de métodos estructurados (no improvisados) para la obtención de las matrices de comparación por pares.

En el caso en el que hay un decisor, las matrices de comparación por pares responden únicamente a su percepción. Pero, cuando intervienen varios decisores en el proceso, las matrices de comparación por pares podrían ser el resultado de un consenso o alternativamente de algún tipo apropiado de promedio de un conjunto de matrices obtenidas de los juicios de varios individuos.

De esta forma, para este último caso, el profesor titular Mario Castillo de la Universidad de los Andes, experto en la aplicación del PAJ y quien ha trabajado en múltiples proyectos que implementan dicha metodología, aconseja realizar la aplicación de una media geométrica para cada uno de los elementos del conjunto de matrices que se tengan, es decir para cada una de las posiciones de la matriz.

4.4.3.2. Media Geométrica

La media geométrica (MG), de un conjunto de números positivos se define como la raiz -ésima del producto de los números. Por tanto, la fórmula para la media geométrica es dada por:

Existen dos usos principales de la media geométrica:

- Para promediar porcentajes, índices y cifras relativas y

- Para determinar el incremento porcentual promedio en ventas, producción u otras actividades o series económicas de un periodo a otro.

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La gran ventaja de la media geométrica comparada a la media aritmética es que no se ve tan afectada por valores extremos (Universidad Nacional de Colombia, 2015).