3. Operadores Morfológicos sobre Reticulados Completos para Imá-
3.2. Operadores Morfológicos sobre Reticulados Completos para Imágenes
en Escala de Grises 75
3.2.
Operadores Morfológicos sobre Reticulados Com-
pletos para Imágenes en Escala de Grises
Los operadores morfológicos para imágenes binarias son extendidos para imá- genes en escala de grises. Nakagawa y Rosenfeld [14] fueron los primeros en discutir la factibilidad de dicha extensión.
La extensión general realizada por Sternberg [22] está basada en la idea de que los puntos sobre y bajo el grafo de una función constituyen un conjunto, al cual pueden ser aplicados los operaciones morfológicos discutidos en la sección 3.1.
En el presente trabajo la extensión será hecha de la siguiente manera:
Primero introducimos el concepto de top de un conjunto y el concepto relacionado de umbra de una función. Luego, dilatación para imágenes en escala de grises es definida como el Top de la dilatación de las umbras. De esta definición procedemos a dar una caracterización la cual muestra que la dilatación para imágenes en escala de grises puede ser calculada tomando el máximo de un conjunto de sumas.
Análogamente, la erosión para imágenes en escala de grises es definida como el top de la erosión de las umbras. De esta definición procedemos a dar una caracterización la cual muestra que la erosión para imágenes en escala de grises puede ser calculada tomando el mínimo de un conjunto de diferencias.
Luego, exploraremos algunas relaciones entre los conceptos de umbra y top, así como también definimos la apertura y cerradura para imágenes en escala de grises, dando sus propiedades más importantes.
En el presente capítulo, las imágenes en escala de grises son modeladas matemáti- camente por funciones f :Z2 →Z.
Por F un(Ed) representaremos al conjunto de todas las funciones f :
Ed → E. Em- pezamos definiendoT op de un conjunto y U mbra de una función.
Definición 3.2.1 Sea A⊂Ed+1 y F ={x∈Ed/ ∃y∈E; (x, y) ∈A} el T op de
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A denotado porT op[A] es la función T op[A] :F→E, definida por: T op[A](x) = m´ax{y/(x, y)∈A}
Figura 3.14: T op de un conjunto.
Definición 3.2.2 Un conjunto A⊂Ed×
Ees una U mbra si y solo si (x, y)∈A implica que (x, z)∈A para cada z ≤y.
Figura 3.15: Un conjunto A y la umbra de A.
Para cualquier función f definida sobre algún conjunto F del espacio euclidiano d- dimensional, la U mbra de f es el conjunto formado por el grafo de f y por cada punto bajo el grafo.
Definición 3.2.3 Sea F ⊂ Ed y f :
F → E. La U mbra de f, denotado por U[f], U[f]⊆F×E, es definida por: U[f] ={(x, y)∈F×E/ y ≤f(x)}.
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Ejemplo 3.12 En siguiente figura se muestra la malla de una función con su correpondiente umbra
Figura 3.16: Pantalla que ilustra laU mbra U[f]de f.
Nota 3.15.
1. Es fundamental aquí que x∈D[f]∩D[g].
2. El análogo del complemento en la morfología en escala de grises es la negación. La negación de f es dada por −f y representado por:−f(x).
3. La reflexión es un operador importante para una función en escala de grises. Sir es una función con dominioD[r], la reflexión der por el origen es definido como r−(x) = r(−x).
Definidos el T op y U mbra podemos ahora definir la dilatación para imágenes en escala de grises.
Definición 3.2.4 Sean f, g ∈ F un(Ed). La dilatación de f por g, la cual es
denotada porδg, se define como el operador sobre F un(Ed)definido por: δg(f) =T op[U[f]⊕U[g]].
Definición 3.2.5 Seanf, g ∈F un(Ed). La erosión defporg, la cual es denotada porEg, se define como el operador sobre F un(Ed) definido por:
Eg(f) =T op[U[f] U[g]].
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Ejemplo 3.13 Este ejemplo ilustra una pantalla topla dilatación U[f] porU[k]
donde las funcionesf y k y sus umbras son mostradas en pantallas.
Figura 3.17: Pantalla topde la dilatación U[f] por U[k].
Ejemplo 3.14 Usando las funciones f y k del ejemplo 3.13, mostramos la pan- talla erosión de la umbra def por la umbra dek para luego obtener la pantalla top de esta erosión.
Figura 3.18: Pantalla donde se muestra elumbra y el topde f.
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Teorema 3.2.1 Si F⊆Ed−1 yf ∈F un(
Ed) tal que f :F→E, entonces: T op[U[f]] =f.
Demostración.
Sea y=T op[U[f]](x). Entonces y= m´ax{z/(x, z)∈U[f]}.
Ahora de(x, z)∈U[f]implica z ≤f(x), es decir (x, f(x))∈U[f].
De este modo y no puede ser mayor que f(x) y como (x, f(x)) ∈ U[f], podemos decir quey puede ser tan grande como f(x). Así y=f(x).
Pero tenemos quey=T op[U[f]](x), por lo tanto
T op[U[f]] =f.
El siguiente teorema establece que la dilatación para imágenes en escala de grises puede ser llevada a cabo tomando el máximo de un conjunto de sumas.
Teorema 3.2.2 Si f, g ∈ F un(Ed) y δg : F un(Ed) → F un(Ed) el operador dilatación, entonces δg(f)(x) = m´ax u∈D[g] (x−u)∈D[f] {f(x−u) +g(u)} Demostración. Supongamos que: z =δg(f)(x) entonces z =T op[U[f]⊕U[g]](x)
Por definición 3.2.1 se tiene que:
z = m´ax{y∈E/(x, y)∈[U[f]⊕U[g]]}
Por definición 3.1.1
z = m´ax{a+b/para algúnu∈Dom(g)tal que(x−u)∈Dom(f),
(x−u, a)∈U[f]y(u, b)∈U[g]}
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Por definición de umbra, el mayor a tal que (x−u, a) ∈U[f] es a = f(x−u); así mismo, el mayor b tal que (u, b)∈U[g]es b =g(u).
En consecuencia,
z = m´ax{f(x−u) +g(u)/ u∈D[g], (x−u)∈D[f]} En el siguiente teorema mostraremos la forma de como calcular la erosión en escala de grises y como usar la representación clásica de este operador, el cual es representado porEg(f) = f g. Teorema 3.2.3 Si f, g∈F un(Ed) y E g :F un(Ed)→F un(Ed), entonces Eg(f)(x) = m´ın u∈D[g] (u+x)∈D[f] {f(x+u)−g(u)} Demostración. Supongamos que: z =Eg(f)(x), entonces z =T op[U[f] U[g]](x)
Por definición 3.2.1 se tiene que:
z = m´ax{y∈E/(x, y)∈[U[f] U[g]]}
Por definición 3.1.2
z = m´ax{y∈E/para cada (u, v)∈U[g], (x, y) + (u, v)∈U[f]}
z = m´ax{y ∈E/para cada(u, v)∈U[g] (x+u, y+v)∈U[f]}
Por definición 3.2.3
z = m´ax{y∈E/para cada u∈Dom(g), v ≤g(u), para cada
(x+u)∈Dom(f), y+v ≤f(x+u)}
Peroy≤f(x+u)−v para cada v ≤g(u) implicay≤f(x+u)−g(u). En consecuencia:
z= m´ax{y∈E/para cadau∈Dom(g), para cada(x+u)∈Dom(f), y ≤f(x+u)−g(u)}
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Peroy≤f(x+u)−g(u) para cada u∈Dom(g) implica que: y≤ m´ın u∈Dom(g) (u+x)∈Dom(f) {f(x+u)−g(u)} Luego: z = m´ax{y∈E/ y ≤ m´ın u∈D[g] (u+x)∈D[f] {f(x+u)−g(u)}} z = m´ın u∈Dom(g) (u+x)∈Dom(f) {f(x+u)−g(u)} Nota 3.17.
Elumbra provee de un mecanismo para expresar los operadores en escala de grises en términos de los operadores binarios. Este mecanismo facilita el entendimiento de los operadores en escala de grises, además de usarlos para definir los operadores dilatación y erosión en escala de grises.
Ejemplo 3.15 Seaf(1,2) = 3, x= (1,2), yD[g] ={(0,0),(0,1),(−1,0),(−1,1)}, un elemento estructurante plano es decir g(u) = 0; u∈D[g], tenemos:
Eg(f)(1,2) = m´ın{f((1,2) +u)−g(u)} Eg(f)(1,2) = m´ın{f(0 + 1,0 + 2), f(0 + 1,1 + 2), f(−1 + 1,0 + 2), f(−1 + 1,1 + 2)} = m´ın{f(1,2), f(1,3), f(0,2), f(0,3)} = m´ın{3,2,7,5} Eg(f)(1,2) = 2
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Figura 3.19: Malla que ilustra la erosión de f por un elemento estructurante plano g.
Ejemplo 3.16 Seaf(1,2) = 3, x= (1,2), D[g] ={(0,0),(0,1),(−1,0),(−1,1)} y consecuentemente D[g]− = {(0,0),(0,−1),(1,0),(1,−1)} la reflexión de D[g], ademásg(u) = 0; u∈D[g], un elemento estructurante plano, entonces:
δg(f)(1,2) = m´ax{f((1,2)−u) +g(u)} (Teorema 3.2.2)
= m´ax{f(0 + 1,0 + 2), f(0 + 1,−1 + 2), f(1 + 1,0 + 2), f(1 + 1,−1 + 2)}
= m´ax{f(1,2), f(1,1), f(2,2), f(2,1)}
δg(f)(1,2) = m´ax{3,6,8,5}, es decir, δg(f)(1,2) = 8, por lo tanto:
δg(f)(1,2) = 2
Figura 3.20: Malla que ilustra la dilatación def por un elemento estructurante planog.
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3.2 Operadores Morfológicos sobre Reticulados Completos para Imágenes en Escala de Grises 83 Ejemplo 3.17 Seaf(1,2) = 3, x= (1,2), D[g] ={(0,0),(0,1),(−1,0),(−1,1)}, entonces: δg(f)(1,2) = m´ax{f((1,2)−u) +g(u)} (Teorema 3.2.2) = m´ax{f(1−0,2−0) +g(0,0), f(1−0,2−1) +g(0,1), f(1 + 1,2−0) +g(−1,0), f(1 + 1,2−1) +g(−1,1)} = m´ax{f(1,2)+g(0,0), f(1,1)+g(0,1), f(2,2)+g(−1,0), f(2,1)+g(−1,1)} = m´ax{3 + 2,6 + 1,8 + 4,5 + 3}
= m´ax{5,7,12,8}. Es decir, δg(f)(1,2) = 12, por lo tanto:
δg(f)(1,2) = 2
Figura 3.21: Malla que ilustra la dilatación de f por g.
Definición 3.2.6 Sean F,K ⊆ Ed con f :
F → E y k :K →E. La Apertura de f por el elemento estructurante k denotado por f ◦k es definido por
f ◦k =δk(Ek(f)).
El siguiente teorema expresa el operador apertura en términos de las operaciones máximo y mínimo, el cual es una forma de calcular la operación de apertura.
Teorema 3.2.4 Si F,K⊆Ed y f, k∈F un( Ed), tal que f :F→E y k:K→E, entonces: (f ◦k)(x) = m´ax u∈K (x−u)∈F K {m´ın v∈K{f(x−u+v)−k(v)}+k(u)}.
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Demostración.
La demostración la realizamos a partir de la definición de erosión y dilatación. Sea R⊆Ed y r:
R→E tal que r=Ek(f). Además tomemos R=F K, r(x) = m´ınv∈K{f(x+v)−k(v)} (Teorema 3.2.3) De f◦k =δk(Ek(f)) y Ek(f) = r, tenemos (f ◦k)(x) = (δk(r))(x), luego (f ◦k)(x) = m´ax u∈K x−u∈R {r(x−u) +k(u)}.
Sustituyendo la igualdad deR y r(x−u) tendremos:
(f ◦k)(x) = m´ax u∈K x−u∈F K {m´ın v∈K {f(x−u+v)−k(v)}+k(u)}. Definición 3.2.7 Sean F,K ⊆Ed con f :
F →E y k :K→ E. La cerradura de f por el elemento estructurante k es denotado por f•k y definido por:
f •k =Ek(δk(f)).
El siguiente teorema expresa el operador cerradura en términos de las operaciones mínimo y máximo, el cual es una forma de calcular la operación de cerradura.
Teorema 3.2.5 Si F,K⊆Ed y f, k∈F un( Ed), tal que f :F→E y k:K→E, entonces: (f•k)(x) = m´ın u∈K x+u∈F⊕K {m´ax v∈K{f(x+u−v) +k(v)} −k(u)}. Demostración.
La demostración la realizamos a partir de la definición de dilatación y erosión. Sea R⊆Ed y r:
R→E tal que r=δk(f). Además R=F⊕K,
r(x) = m´axv∈K{f(x−v) +k(v)}. (Teorema 3.2.2) De f•k =Ek(δk(f)), y δk(f) =r, tenemos (f •k)(x) = Ek(r), luego (f •k)(x) = m´ın u∈K x+u∈R {r(x+u)−k(u)}.
Sustituyendo la igualdad deR y r(x+u) tendremos,
(f•k)(x) = m´ın u∈K (x+u)∈F⊕K {m´axv∈K{f(x+u−v) +k(v)} −k(u)}. Nota 3.18.
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Las figuras 3.22 y 3.232 muestran la señal en una dimensión, en el cual la apertura en escala de grises se puede interpretar como hacer rodar una pelota, como elemento estructurante bajo la superficie de la señal y los más altos valores donde la pelota llega constituye el resultado de la apertura, como se muestra por la superficie en negrita en la figura 3.22 (b). La apertura tiende a eliminar los objetos sobrantes que son pequeños en tamaño y romper las conexiones estrechas entre dos objetos. Por el contrario, la cerradura en escala de grises se puede interpretar como rodar la pelota por encima de la superficie de la señal y los valores más bajos donde la pelota llega constituye el resultado de la cerradura, como se muestra por la superficie en negrita en la figura 3.23 (b). La cerradura tiende a preservar los pequeños huecos y los conectan.
Figura 3.22: La apertura en escala de grises usando un elemento estructurante de forma circular.
Figura 3.23: La cerradura en escala de grises usando un elemento estructurante de forma circular.
Los siguientes teoremas nos permitirán establecer algunas propiedades de umbra, top, apertura y cerradura.
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Teorema 3.2.6 Si A⊆Ed+1, entoncesA ⊆U[T[A]]. Demostración.
Supongamos que(x, y)∈A con x∈Ed, y ∈
E y sea
z=T op[A](x) = m´ax{y∈E/(x, y)∈A}, donde se tiene quez ≥y.
z=T op[A](x)⇒(x, y)∈U[T op[A]], ∀w≤z. (Definición 3.2.11) Puesto quey≤z, se tiene que (x, y)∈U[T op[A]].
Por lo tanto,A⊆U[T[A]].
Debido al teorema 3.2.6 mostremos el siguiente teorema que relaciona elumbra y el T opde un conjunto A.
Teorema 3.2.7 Si A es un umbra, entonces A=U[T[A]].
Demostración.
Sabemos queA⊆U[T[A]]. (Teorema 3.2.6) Luego solo basta probarA⊇U[T[A]]. En efecto:
Sea (x, y)∈U[T op[A]] entoncesy ≤T op[A](x) (Definición 3.2.11) Además existe algúnz tal que (x, z)∈A.
Ahora, si existe algúnz tal que (x, z)∈A se tiene que (x, T[A](x))∈A. Dado que A es un umbra, (x, T[A](x))∈A implica(x, w)∈A∀w≤T[A(x)]. Comoy≤T op[A](x) se tiene(x, y)∈A. Obteniéndose así A⊇U[T[A]]
Por lo tanto,A=U[T[A]].
Observación 3.1 La operación topes siempre inverso a la operación delumbra y la operación umbra es inversa a la operación top, cuando el conjunto que se está operando en sí es unumbra.
El siguiente teorema muestra que la dilatación de unaumbra por otra umbra es un umbra y que la erosión de unaumbra por otraumbra es unaumbra.
Teorema 3.2.8 Si A y B son umbras, entonces δB(A) y EB(A) son umbras.
Demostración.
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(i) Primero mostremos el caso en que δB(A) es umbra.
Supongamos que (x, y)∈δB(A). Sea w≤y. (Definición 3.2.11)
Demostraremos que (x, w)∈δB(A).
Sea (x, y)∈δB(A) entonces∃(u, v)∈B tal que (x−u, y−v)∈A.
Sea w≤y implica que w−v ≤y−v. (Definición 3.2.11) Como A es una umbra tal que (x−u, y−v)∈ A y dado que w−v ≤y−v implica que (x−u, w−v)∈A. Pero,
(x−u, w−v)∈A y (u, v)∈B ⇒(x, w)∈δB(A) (Definición 3.2.11)
∴ δB(A) es un umbra.
(ii) Segundo mostremos el caso en que EB(A)es umbra.
Supongamos que (x, y)∈ EB(A) y seaw≤y. (Definición 3.2.11)
Demostraremos que (x, w)∈ EB(A).
Sea (x, y)∈ EB(A)entonces ∀(u, v)∈B se tiene que
(x, y) + (u, v) = (x+u, y +v)∈A. (Definición 3.2.11) Luego w≤y implica que w+v ≤y+v.
Como A es un umbra tal que (x+u, y+v)∈A y dado que w+v ≤y+v entonces (x+u, w+v)∈A. Pero [(x, w) + (u, v)]∈A, ∀(u, v)∈B entonces
(x, w)∈ EB(A). (Definición 3.1.2) EB(A) es unumbra. Teorema 3.2.9 Si f, g∈F un(Ed), entonces: (i) U[δg(f)] =U[f]⊕U[g] (ii) U[Eg(f)] = U[f] U[g] Demostración.
(i) Tenemos que
δg(f) =T op[U[f]⊕U[g]] (Definición 3.2.13)
U[δg(f)] =U[T op[U[f]⊕U[g]]].
Pero U[f]⊕U[g] es unaumbra entonces, (Teorema 3.2.8)
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U[δg(f)] =U[T op[U[f]⊕U[g]]] =U[f]⊕U[g] (Teorema 3.2.7)
Tomando ambos extremos de la igualdad obtenemos U[δg(f)] =U[f]⊕U[g].
(ii) Sabemos que
Eg(f) =T op[U[f] U[g]] (Definición 3.2.14)
U[Eg(f)] = U[T op[U[f] U[g]]]
Pero U[f] U[g] es unaumbra entonces, (Teorema 3.2.8) U[Eg(f)] = U[T op[U[f] U[g]]] =U[f] U[g] (Teorema 3.2.7)
Tomando ambos extremos de la igualdad obtenemos
U[Eg(f)] = U[f] U[g].
Teorema 3.2.10 Si f, g ∈F un(Ed), entonces:
δg(f) =δf(g).
Demostración.
δg(f) =T op[U[f]⊕U[g]]δg(f) = T op[U[g]⊕U[f]]δg(f) = δf(g).
El siguiente teorema muestra la propiedad asociativa de la dilatación.
Teorema 3.2.11 Si f, g ∈F un(Ed), entonces δδh(g)(f) =δh(δg(f)). Demostración. δδh(g)(f) =T op[U[f]⊕U[(g⊕h)]] δδh(g)(f) =T op[U[f]⊕(U[g]⊕U[h])] δδh(g)(f) =T op[(U[f]⊕U[g])⊕U[h]] δδh(g)(f) =T op[U[f⊕g]⊕U[h])] δδh(g)(f) =δh(δg(f)).
A continuación mostraremos algunas propiedades del operador apertura y cerradura que son de importancia en el procesamiento de imágenes digitales.
El siguiente teorema muestra la relación de las funciones y susumbras.
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3.2 Operadores Morfológicos sobre Reticulados Completos para Imágenes en Escala de Grises 89 Teorema 3.2.12 Si f, g ∈F un(Ed); D[f]⊆D[g], entonces: f ≤g ⇐⇒U[f]⊆U[g]. Demostración. ⇒]f ≤g ⇒U[f]⊆U[g]. En efecto:
Sea (x, y)∈U[f]entonces y≤f(x) (Definición 3.2.12) Puesto quex∈D[f]y dado que D[f]⊆D[g] se tiene que x∈D[g]. Dado que f(x)≤g(x)tenemos y≤g(x).
Luego se tiene que (x, y)∈U[g]. (Definición 3.2.12) Por lo tanto de f(x)≤g(x)⇒(x, y)∈U[f]⊆U[g].
Es decirf ≤g ⇒U[f]⊆U[g].
⇐]U[f]⊆U[g]⇒f ≤g. En efecto:
Sea y=f(x), debido a que(x, y)∈U[f] y como U[f]⊆U[g]se tiene que:
(x, y)∈U[g]⇒y≤g(x). (Definición 3.2.12) Pero,y=f(x) obteniendo f(x)≤g(x). Por lo tanto,U[f]⊆U[g]⇒f ≤g. Teorema 3.2.13 Si f, g ∈F un(Ed), entonces: g ≤ Eh(f)⇐⇒f ≥δh(g). Demostración. g ≤f h⇔U[g]⊆U[f ⊕h]. (Teorema 3.2.12) Por otro lado, sabemos que:
U[f g] =U[f] U[g]. (Teorema 3.2.9) Ahora tenemos que:
U[g]⊆U[f g] =U[f] U[h]. Además U[g]⊆U[f] U[h]⇔U[f]⊇U[g]⊕U[h] (Teorema 3.1.12) U[g]⊆U[f] U[h]⇔U[f]⊇U[g⊕h].
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Finalmente,U[f]≥U[g⊕h]⇔f ≥g⊕h. El siguiente teorema nos muestra la propiedad de idempotencia para la apertura.
Teorema 3.2.14 Si f, g ∈F un(Ed); D[f]⊆D[g], entonces: (f◦g)◦g =f◦g. Demostración. (f◦g)◦g = ((f◦g) g)⊕g (Definición 3.2.16) (f ◦g)◦g =T op[U[(f◦g) g]⊕U[g]] (Definición 3.2.14) (f ◦g)◦g =T op[U[(f◦g)] U[g]]⊕U[g]] (Teorema 3.2.9) ((f◦g)◦g =T op[U[(f g)⊕g] U[g]]⊕U[g]]. (Definición 3.2.16) Aplicando reiteradamente el teorema 3.2.9 tendremos:
(f ◦g)◦g =T op[((U[f g]⊕U[g]) U[g])⊕U[g]] (f ◦g)◦g =T op[(((U[f] U[g])⊕U[g]) U[g])⊕U[g]]
(f ◦g)◦g =T op[(U[f]◦U[g])◦U[g]] (Definición 3.2.16)
(f ◦g)◦g =T op[(U[f]◦U[g])] (Teorema 3.1.18)
(f ◦g)◦g =T op[(U[f] U[g])⊕U[g]].
Aplicando reiteradamente el teorema 3.2.9 se tiene que:
(f ◦g)◦g =T op[(U[f g])⊕U[g]] (f ◦g)◦g =T op[U[(f g)⊕g]] (Definición 3.2.16) (f ◦g)◦g =T op[U[f◦g]] (Teorema 3.2.1) (f ◦g)◦g =f ◦g. Teorema 3.2.15 Si f, g ∈F un(Ed); D[f]⊆D[g], entonces: (f•g)•g =f•g. Demostración. (f •g)•g = ((f •g)⊕g) g (Definición 3.2.17) (f •g)•g =T op[U[(f•g)⊕g] U[g]] (Definición 3.2.15) (f •g)•g =T op[U[(f•g)]⊕U[g]] U[g]] (Teorema 3.2.9) (f •g)•g =T op[U[(f⊕g) g]⊕U[g]] U[g]] (Definición 3.2.17)
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3.2 Operadores Morfológicos sobre Reticulados Completos para Imágenes
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Aplicando reiteradamente el teorema 3.2.9, tendremos:
(f •g)•g =T op[((U[f⊕g] U[g])⊕U[g]) U[g]] (f •g)•g =T op[(((U[f]⊕U[g]) U[g])⊕U[g]) U[g]]
(f •g)•g =T op[(U[f]•U[g])•U[g]] (Definición 3.2.17)
(f •g)•g =T op[(U[f]•U[g])] (Teorema 3.1.17)
(f •g)•g =T op[(U[f]⊕U[g]) U[g]] (Definición 3.2.17) Aplicando reiteradamente el teorema 3.2.9, se tiene que:
(f •g)•g =T op[(U[f⊕g]) U[g]] (f •g)•g =T op[U[(f⊕g) g]] (Definición 3.2.17) (f •g)•g =T op[U[f•g]] (Teorema 3.2.1) (f •g)•g = (f •g).
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Y MATEMÁTICAS
RESULTADOS
En el presente trabajo se planteó el problema de presentar una teoría para el Análisis y Procesamiento de Imágenes que esté basada en la forma y fundamentada en Matemática, obteniéndose los siguientes resultados:
1. Se definió los operadores morfológicos básicos: Dilatación y Erosión para imá- genes binarias a partir de las nociones de Adición y Sustracción de Minkowski. 2. Existe una dualidad entre el operador Dilatación y el operador Erosión. 3. Se definieron los operadores morfológicos Apertura y Cerradura para imágenes
binarias en función de los operadores básicos Dilatación y Erosión.
4. Se extendió los operadores morfológicos para el caso de imágenes en escala de grises.
5. La extensión a escala de grises toma como base el hecho de que los puntos sobre y bajo el gráfo de una función constituyen un conjunto al que pueden aplicarse los operadores morfológicos para imágenes binarias.
6. Se definieron los operadores Dilatación y Erosión para imágenes en escala de grises haciendo uso de las nociones de Umbra de una función y de Top de un conjunto.
7. Se definieron los operadores Apertura y Cerradura para imágenes en escala de grises en función de los operadores Dilatación y Erosión para imágenes en escala de grises.
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3.2 Operadores Morfológicos sobre Reticulados Completos para Imágenes
en Escala de Grises 93
8. La aplicación del operador Apertura a una imagen en escala de grises tiene el siguiente efecto. La Erosión inicial reduce o elimina detalles brillantes pero también oscurece la imagen. La Dilatación subsecuente del resultado erosiona- do aclara nuevamente la imagen sin reintroducir nuevamente los detalles elimi- nados por la Erosión.
9. La aplicación del operador Cerradura a una imagen en escala de grises tiene el siguiente efecto. La dilatación inicial elimina o reduce detalles oscuros o muy brillantes y la erosión subsecuente oscurece la imagen sin reintroducir los detalles removidos o reducidos durante la dilatación.
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CONCLUSIONES
Al finalizar el presente informe de práctica pre-profesional se han obtenido las siguientes conclusiones:
1. Los operadores morfológicos sobre reticulados completos proporcionan una metodología para el análisis y procesamiento de imágenes digitales basadas en la forma y fundamentada en matemática.
2. La idea central en el enfoque morfológico para el análisis y el procesamiento de una imagen digital es variar el tamaño y la forma del elemento estructurante. 3. Los operadores morfológicos para imágenes binarias son extendidas a imágenes en escala de grises, basándose en el hecho de que los puntos sobre y bajo el grafo de una función constituyen un conjunto al cual pueden aplicarse los operadores desarrollados para el caso binario.
4. El sistema de operadores morfológicos es de gran utilidad en análisis y proce- samiento de imágenes digitales debido a que solamente con dos operadores básicos: diltación y erosión, es posible construir otros operadores; permitiendo que formas subyacentes presentes en una imagen sean identificadas y recon- struidas de forma óptima a partir de sus formas distorsionadas y ruidosas.
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Referencias Bibliográficas
[1] Bangham, J. & Marshall, S. (1998). Image and Signal Processing with Mathematical Morphology . IEE Electronics & Communication Engineering Journal, 10, pag. 117-128.
[2] Banon, G. & Barreda, J. (1998). Bases da Morfología Matemática para Analise de Imágenes Binarias. Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, Sao Paulo.
[3] Birkhoff, G.(1967). Lattice Theory. American Mathematical Society. Prov- idence Rhode Island.
[4] Facon, J.(1996).Morfología Matemática. Teoría y Ejemplos. CITS. Curitiba, Brazil.
[5] Gonzales, R. & Woods, R. (1992). Digital Image Processing. Addison - Wesley. New York.
[6] Heijmans, H.(1994). Morphological Image Operators. Academic Press, Lon- don.
[7] Heijmans, H.(1995).Mathematical Morphology: A modern approach in image processing based on Algebra and Geometry. SIAM Review, vol. 12 Pag. 1-36.
[8] Kresch, R. & Sapiro, G. (1996). Morphological Image Sharpening. HPL Technical Report.
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 96
[9] Maragos, P. (1989).Pattern Spectrum and Multiscale Shape Representation. IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence vol. 11,N0 7. [10] Matheron, G. (1964). Estude Theorique des Granulometrics. Annales des
Mines Pag. 736-756.
[11] Matheron, G.(1967).Elements pour une theorie desmilieux poreux. Masson. París.
[12] Matheron, G.(1975).Randon Sets and Integral Geometry. Wiley. New York. [13] Meyer, F. & Beucher, S. (1990). Morphological Segmentation. Journal of
Visual Communication and Image Representation, vol. 1, N0 1, pp. 21-46. [14] Nakagawa, Y. & Rosenfeld, (1978). A note on the use of local min and
max operations in digital picture processing. IEEE Trans. Syst. Man, Cybern. Vol smc-8, pag. 632-635.
[15] Salembier, P. & Brigger, P.(1996).Morphological operators for image and video compression. IEEE Transactions on Image Processing, vol 5, N0 6, pag. 881-898.
[16] Salembier, P. & Serra, J. (1995). Fat zones filtering, connected operators, and filters by reconstruction. IEEE Transactions on Image Processing, vol. 4, N0 8, pag. 1153-1160.
[17] Serra, J. (1964). Contribution al analyse petro graphique que quantitative. Annales des Mines. Pag. 358-379.
[18] Serra, J. (1982). Image Analysis and Mathematical Morphology. vol. 1. Aca- demic Press, New York.
[19] Serra, J.(1986).Introduction to Mathematical Morphology. Computer Vision, Graphics and Image Processing, vol. 35,N0 3.
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 97
[20] Serra, J.(1988). Image Analysis and Mathematical Morphology. Vol. 2. Aca- demic Press, New York.
[21] Serra, J. & Lay, B. (1988). Algorithms in Mathematical Morphology. Aca- demic Press, London.
[22] Sternberg, R.(1992). Grayscale Morphology. Computer Vision, Grafics and Image Precessing pag. 335-355.
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Anexos
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Anexo A
Aplicaciones de los Operadores
Morfológicos a Imágenes en Escala
de Grises
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Figura 1: Portada principal de la Universidad Nacional de Trujillo.
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Figura 2: Portada principal de la Universidad Nacional de Trujillo en escala de grises.
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Figura 3: Dilatación en escala de grises de la portada principal de la Universidad Nacional de Trujillo.
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Figura 4: Erosión en escala de grises de la portada principal de la Universidad Nacional de Trujillo.
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Figura 5: Apertura en escala de grises de la portada principal de la Universidad Nacional de Trujillo.
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Figura 6: Cerradura en escala de grises de la portada principal de la Universidad Nacional de Trujillo.