Operadores morfológicos sobre reticulados completos para imágenes en escala de grises

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(1)Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. OPERADORES MORFOLÓGICOS SOBRE RETICULADOS COMPLETOS PARA IMÁGENES EN ESCALA DE GRISES. B. IB. LI O. TE. Informe Final de Práctica Pre Profesional. Autor:. Br. CARLOS ABEL REYES ALVARADO. Asesor: Mg. Raúl Martinez Zocón. Trujillo - Perú 2016. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. OPERADORES MORFOLÓGICOS SOBRE RETICULADOS COMPLETOS PARA IMÁGENES EN ESCALA DE GRISES. B. IB. LI O. TE. Informe Final de Práctica Pre Profesional. Autor:. Br. CARLOS ABEL REYES ALVARADO. Asesor: Mg. Raúl Martinez Zocón. Trujillo - Perú 2016. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. Jurado. Mg. Guillermo Ramírez Lara. Mg. Rosario Delgado Vásquez Secretario. B. IB. LI O. TE. Presidente. Dra. Jenny Rojas Geronimo Vocal. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. Dedicatoria A mis padres: Victor y Elia. con mucho amor y gratitud por su permanente apoyo y sacrificio.. A mis hermanos: Elmer y Edita. por su apoyo moral desde el inicio hasta. A mi tía: Pascuala. por su bendición eterna desde los cielos.. B. IB. LI O. TE. la culminación de mis estudios.. A mis abuelitos: Julio y Felipa, Celso y María por su ejemplo, sabiduría y perseverancia.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Agradecimiento. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. En la presente página, hago extensivo mi más profundo agradecimiento al Sr. profesor RAÚL MARTINEZ ZOCÓN, asesor del presente trabajo, por su manifiesta y constante colaboración durante su desarrollo. Así mismo, expreso mi amistad y simpatía a todas las personas que de una u otra manera hicieron posible el feliz. B. IB. LI O. TE. término de este trabajo.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Presentación. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Señores miembros del jurado:. En cumplimiento a lo estipulado en el reglamento de Grados y Títulos de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad Nacional de Trujillo, es un honor presentar a vuestra consideración el presente trabajo titulado:. OPERADORES MORFOLÓGICOS SOBRE RETICULADOS COMPLETOS PARA IMÁGENES EN ESCALA DE GRISES;. Con el propósito de obtener el Título Profesional de Licenciado en Matemáticas.. TE. Esperando que vuestro criterio sea de comprensión por algunos errores u omisiones involuntarios al momento de su elaboración, acepto honestamente vuestro dic-. B. IB. LI O. tamen, el cual me guiará para mejorar en el futuro.. El Autor. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) f (x, y). : Imagen digital. i(x, y). : Componente iluminación. r(x, y). : Componente reflacción. p(x, y). : Píxel de la imagen. N (p) Vp. A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Lista de símbolos. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. : Grupo de píxeles. : Vecindad de un píxel. D(p, q) P (A) BA. : Distancia del píxel p a q : Conjunto potencia. : Conjunto de funciones de A en B : Relación binaria. 4. (L, 4). : Elemento minimal de L. TE. M inl(L). : Conjunto parcialmente ordenado. : Elemento maximal de L. mı́n(L). : Elemento mínimo de L. máx(L). : Elemento máximo de L. B. IB. LI O. M axl(L). Cotsup(A) : Cota superior de A Cotinf (A) : Cota inferior de A sup(A). : Supremo de A ⊂ L. ı́nf(A). : Infimo de A ⊂ L. A⊕B. : Adición de Minkowski de A y B. A. : Sustracción de Minkowski de A y B. B. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. viii. εA (X). : Operador erosión de X, por A. αB (A). : Operador apertura de A, por B. βB (A). : Operador cerradura de A, por B. F un(E d ). : Conjunto de funciones f : Ed → E : Dominio de f. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. D[f ]. A. : Operador dilatación de X, por A. SI C. δA (X). S. : Traslación de A ⊂ X, por un elemento x ∈ X. (A)x. (f ∧ g)(x) : Mínimo del conjunto {f (x), g(x)}. (f ∨ g)(x) : Máximo del conjunto {f (x), g(x)} G[f ] fc. T op[A] U [f ] δg (f ) εg (f ). : Grafo de f. : Reflexión de f. : Función T op[A] : F → E, F ⊂ Ed. : Umbra de f. : Dilatación de f por g : Erosión de f por g. : Apertura de f, por el elemento de estructurante k. (f • k). : Clausura de f, por el elemento de estructurante k.. B. IB. LI O. TE. (f ◦ k). Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) Jurado. A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Índice general. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Dedicatoria. Agradecimiento Presentación. iv v vi. Lista de símbolos. vii. Resumen. xii. TE. Abstract. Introducción. LI O. 1. Conceptos Básicos en el Procesamiento Digital de Imágenes. xiii xiv 1. 1.1. Adquisición de la Imagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.1.1. Digitalización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.1.2. Imagen digital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.1.3. Formas típicas de elementos estructurantes. . . . . . . . . . .. 5. 1.2. Formación y representación de la imagen. . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.3. Clasificación de las imágenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.3.1. Imágenes físicas visibles: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.3.2. Imágenes físicas no visibles: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. IB B. iii. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. x. 1.3.3. Imágenes matemáticas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.4. Procesamiento Digital de Imágenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1.4.1. Segmentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. A. S. 1.4.2. Suavizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. SI C. 1.5. Relaciones Básicas entre Píxeles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.1. Vecinos de un Píxel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 1.5.2. Diagonales de un Píxel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.3. Adyacencia de Píxeles (Conectividad). . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.4. Conectividad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.5. Rutas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.6. Bordes o Fronteras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.7. Medida de Distancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2. Elementos de la Teoría de Reticulados. 19. 2.1. Conjuntos Parcialmente Ordenados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Elementos Extremos de un Conjunto Parcialmente Ordenado. . . . . 24 3. Operadores Morfológicos sobre Reticulados Completos para Imágenes en Escala de Grises. 47. TE. 3.1. Operadores Morfológicos sobre Reticulados Completos para Imágenes Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48. LI O. 3.2. Operadores Morfológicos sobre Reticulados Completos para Imágenes. B. IB. en Escala de Grises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75. RESULTADOS. 92. CONCLUSIONES. 94. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 95. ANEXOS. 98. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. xi. A. Aplicaciones de los Operadores Morfológicos a Imágenes en Escala 99. B. IB. LI O. TE. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. de Grises. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Resumen. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Operadores Morfológicos sobre Reticulados Completos para Imágenes en Escala de Grises.. En el presente trabajo se discuten los operadores morfológicos sobre reticulados completos, los cuales proporcionan una metodología para el análisis y el procesamiento de imágenes digitales basado en la forma y fundamentado en la matemática.. Se presentan ejemplos para cada concepto morfológico dado, así como también. B. IB. LI O. TE. se muestra la acción de los operadores morfológicos sobre imágenes digitales.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Abstract. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Morphological Operators on Complete Lattice for Grayscale Images.. In this work we discuss Morphological operators on Complete Lattices, which provide a methodology for the Analysis and Image Processing of Digital Imagenes which is based on the shape and Mathematics.. Examples are given for each morphological concept. Too show the action of the. B. IB. LI O. TE. morphological operators on Digital Images.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Introducción. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Morfología Matemática es una teoría para el procesamiento de imágenes digitales basadas en la forma.. Su origen se remonta a los años sesenta cuando dos investigadores de la Escuela de Minas de París, en Fontainebleau, George Matheron y Jean Serra se encontraban investigando problemas de Minerología y Petrografía.. El problema de sus investigaciones era la caracterización de propiedades físicas de ciertos materiales, tales como la permeabilidad de un medio poroso examinando su estructura geométrica.. El resultado de sus investigaciones condujeron a las publicaciones de G. Matheron [10], [11], [12] y J. Serra [17], las cuales dan origen a lo que en nuestros días es conocida como Morfología Matemática.. TE. Durante los ochenta las publicaciones de J. Serra [18],[19] y [20] consolidaron a la. LI O. Morfología Matemática y permitieron que las investigaciones en este campo, que hasta ese momento estaban restringidas a Fontainebleau, sean realizadas en otros. IB. centros de investigación del mundo.. B. La idea central en Morfología Matemática para examinar una imagen digital es variar el tamaño y la forma del “elemento estructurante”, un conjunto de tamaño y forma conocido, que es comparado apartir de un operador, con el conjunto desconocido de la imagen. La forma y tamaño del elemento estructurante permite testear y cuantificar de qué manera el elemento estructurante “está, o no está contenido” en la imagen [4]. En el presente informe de práctica pre profesional intitulado: “Operadores Morfológi-. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. xv. cos sobre Reticulados Completos para Imágenes en Escala de Grises”, se tiene por objetivo hacer un desarrollo sistemático de los operadores morfológicos para imágenes en escala de grises, por dicha razón es necesario discutir en primer lugar los. A. S. operadores morfológicos para Imágenes Binarias y luego, basándonos en el hecho. SI C. de que los puntos sobre y bajo el grafo de una función constituyen un conjunto, extender los operadores morfológicos para imágenes binarias a imágenes en escala. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. de grises. El informe se ha organizado en tres capítulos.. En el primer capítulo se presentan conceptos básicos de procesamiento de imágenes digitales. En el segundo capítulo presentamos conceptos básicos sobre la teoría retículos. El tercer capítulo es la parte central del trabajo y se inicia con el estudio de los operadores morfológicos para imágenes binarias, demostrando sus propiedades básicas y mostrando su efecto estas; luego, tomando como base los resultados desarrollados para el caso binario, extendemos los operadores morfológicos a imágenes en escala de grises demostrando sus propiedades fundamentales y mostrando su efecto también sobre estas últimas.. La importancia del tema tratado en el presente informe de practica pre-profesional sobre Morfología Matemática es el hecho de que solamente con dos operadores bási-. TE. cos: dilatación y erosión, es posible construir toda una familia de operadores morfológicos los cuales son usados en múltiples aplicaciones tales como nonlinear filtering. LI O. [16], sharpening [8], compression [15], shape analysis [9], segmentation [13], y otros. Morfología Matemática se destaca de otras técnicas de procesamiento de imágenes. B. IB. debido a que en las otras técnicas en la mayoría de los casos sus implementaciones no hacen uso de las herramientas ya existentes [1].. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Capítulo 1. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Conceptos Básicos en el. Procesamiento Digital de Imágenes Desde el inicio de la ciencia, la observación visual ha jugado un papel muy importante. En un principio se utilizaban descripciones verbales, así como dibujos hechos a mano; con el paso del tiempo se introdujo el uso de fotografías, permitiendo así resultados con una documentación más amplia para realizar descripciones con mayor rapidez.. Se estima que el 75 % de la información recibida por un ser humano es visual. Al. TE. proceso de recibir información visual se le llama percepción visual. Visión es la. LI O. percepción de objetos, por el ojo, mediante la acción de la luz; constituye asimismo el proceso por el que, a partir de las imágenes, se descubre lo que está presente en. IB. ellas y dónde está.. B. Aunque todo el mundo tiene la noción de lo que es una imagen, esta palabra proviene del latín imago que significa representación visual de un objeto. Para efectos computacionales, una imagen es una representación en dos dimensiones de un objeto con un conjunto finito de valores digitales enteros, donde cada valor se llama elemento de la imagen o píxel. Resulta difícil dar una definición precisa, según el diccionario Webster una imagen es una representación, semejanza o imitación de un objeto o cosa, una descripción gráfica, un algo para representar.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Adquisición de la Imagen.. 2. Si el mundo se modifica en el proceso de formación de la imagen, se necesitará inferir. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. también la naturaleza del cambio, e incluso predecir el futuro.. Figura 1.1: Distribución de pixeles en una imagen de dos dimensiones. La visión, tanto para el hombre como para un ordenador, consta principalmente de dos fases: captar una imagen e interpretarla. A pesar de la complejidad que presenta el ojo humano, la fase de captación de imágenes hace mucho tiempo que está resuelta. El ojo del ordenador es la cámara de vídeo, y su retina un sensor que es sensible a la intensidad luminosa. Así que en la visión artificial lo que resta es interpretar las imágenes, distinguir los objetos de la escena, extraer información de ellos y resolver aspectos más particulares según las necesidades que se deseen satisfacer. Es. TE. obvio que el procesamiento de imágenes no puede producir información a partir de nada. Si en el conjunto de datos no existe información concerniente a una aplicación. LI O. o interpretación en particular, entonces no importa qué cantidad de complicadas. B. IB. rutinas de procesamiento apliquemos, no se podrá obtener información.. 1.1.. Adquisición de la Imagen.. La primera etapa, dentro de un proceso de procesamiento digital de imágenes es la etapa de adquisición. En este primer paso, se trata de conseguir que la imagen sea lo más adecuada posible para que se pueda continuar con las siguientes etapas. Una correcta adquisición de la imagen supone un paso muy importante para que el proceso de reconocimiento tenga éxito. Dentro de esta etapa existen múltiples. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Adquisición de la Imagen.. 3. factores que atañen directamente el proceso de captura de la imagen, formados fundamentalmente por: el sistema de hardware de visión artificial (cámara óptica, tarjeta de adquisición de imagen, ordenador y software) y el entorno y posicionamiento. A. S. de los elementos (la iluminación, el fondo, posición correcta de la cámara, ruido. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. eléctrico-óptico externo, etc.). Figura 1.2: Adquisición de la imagen.. 1.1.1.. Digitalización.. TE. Es el proceso de paso del mundo continuo o analógico al mundo discreto o digi-. LI O. tal. En la digitalización normalmente se distinguen dos procesos: el muestreo (“Sampling”) y la cuantización (“Quantize”).. IB. En esta etapa la imagen tiene un formato adecuado para su manipulación por parte. B. del computador. Esta puede ser ahora transformada en cualquier función (imagen) matemática elegida. Además, cada sistema de procesamiento de imágenes tiene su propio software asociado, cada uno desarrollando una tarea diferente.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 4. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. 1.1 Adquisición de la Imagen.. Figura 1.3: Digitalización de una imagen.. 1.1.2.. Imagen digital.. Una imagen digital es una malla (rejilla) compuesta por unos elementos llamados pixeles, que son los componentes más pequeños de una imagen digital. Cada pixel es un espacio en la memoria de la computadora donde se almacena un número y este. B. IB. LI O. TE. número representa la definición de color y el brillo de una parte de la imagen.. Figura 1.4: Pixel de una Imagen Digital.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.2 Formación y representación de la imagen.. 1.1.3.. 5. Formas típicas de elementos estructurantes.. El elemento estructurante como un conjunto completamente definido es conocido. S. (forma y tamaño), el cual es comparado, a partir de una transformación de un. A. conjunto desconocido de la imagen. El resultado de esta transformación permite. SI C. evaluar el conjunto desconocido. Este elemento estructurante es clave para el éxito de las operaciones, su selección depende de las formas geométricas del objeto a ser. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. extraído en la imagen. Presentamos algunos ejemplos de elementos estructurantes ilustrados en la figura 1.5.. Formación y representación de la imagen.. LI O. 1.2.. TE. Figura 1.5: Algunas formas de elementos estructurantes.. La formación de una imagen digital es el primer paso para cualquier procesamien-. IB. to de imágenes digitales, una imagen es una representación visual de un objeto ilu-. B. minado por una fuente radiante. Las que se perciben en las actividades visuales cotidianas provienen normalmente de la luz reflejada por los objetos.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 6. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. 1.2 Formación y representación de la imagen.. Figura 1.6: Coordenadas convencionales que se usan para representar una Imagen Digital.. La naturaleza básica de una imagen, representada por f (x, y), está caracterizada por dos componentes: la cantidad de luz incidente que procede de la fuente de la escena contemplada; y la cantidad de luz reflejada por los objetos de la escena. Dichas componentes reciben el nombre de iluminación y reflactancia denotándose. TE. por i(x, y) y r(x, y) respectivamente. Ambas funciones se combinan como producto. LI O. para dar f (x, y).. En el proceso de formación de la imagen intervienen los siguientes elementos: el. IB. objeto, la fuente radiante, el sistema de formación de la imagen, que consiste bási-. B. camente en un sistema óptico, un sensor y un digitalizador. La imagen digital puede ser representada por una matriz f de dimensiones N × M de la forma:. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 7. SI C. A. S. 1.3 Clasificación de las imágenes.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Figura 1.7: Matriz discreta que representa una imagen digital.. Ejemplo 1.1 La siguiente imagen mide 3 pixeles de ancho por 3 de alto. (Ha sido ampliada para fines demostrativos). La matriz correspondiente a esta imagen sería una matriz de orden 3 × 3.. Clasificación de las imágenes.. LI O. 1.3.. TE. Figura 1.8: Imagen digital en tonos de gris.. IB. Las imágenes pueden ser clasificadas de diferentes maneras, según sea la forma. B. en que se generen. Puede realizarse una clasificación de interés, utilizando elementos de la teoría de conjuntos.. 1.3.1.. Imágenes físicas visibles:. Son perfectamente materiales y de naturaleza volátil o permanente. Las imágenes permanentes pueden ser ópticas, constituidas por fotones en el dominio visible (imágenes dadas por los instrumentos de óptica, hologramas, etc.) o imágenes. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Clasificación de las imágenes.. 8. electro ópticas (CRT, visualizadores LED, etc.). Las imágenes permanentes son reproducidas de todo tipo: clichés fotográficos, dibujos, pinturas, grabados, esculturas,. A. Imágenes físicas no visibles:. SI C. 1.3.2.. S. documentos impresos, etc.. Son imágenes ópticas fuera del dominio visible o imágenes de naturaleza inma-. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. terial: espectros físicos, mapas de poblaciones, de temperatura, de presiones o, en general, representaciones de parámetros físicos no directamente visibles. Por ejemplo, una imagen infrarroja es no visible, pero, después de impresión en película infrarroja, constituye una imagen visible. Asimismo, pertenecen a esta clase las imágenes topográficas 3D.. 1.3.3.. Imágenes matemáticas:. Son perceptuales y, por tanto, invisibles por naturaleza. Pueden ser analógicas o. B. IB. LI O. TE. digitales, representables mediante una función continua o una secuencia.. Figura 1.9: Clasificación global de las Imágenes.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.4 Procesamiento Digital de Imágenes.. 1.4.. 9. Procesamiento Digital de Imágenes.. El término procesamiento digital de imágenes versa sobre la manipulación y. A. S. análisis de imágenes por computadora. Es el conjunto de técnicas que se aplica a las. SI C. imágenes digitales, con el objetivo de mejorar la calidad o facilitar la búsqueda de. 1.4.1.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. información.. Segmentación.. Diversos estudios psicológicos indican la preferencia de los humanos por realizar agrupaciones de las regiones visuales, según la similitud entre ellas, de ahí surge el origen de la segmentación.. El primer paso en cualquier procesamiento de imágenes es la segmentación; por medio de esta, una imagen será dividida en partes (o área de la imagen en la que sus pixeles poseen propiedades similares) o a bordes (líneas que separan dos regiones). Tanto la detección de regiones como la de bordes implican una manipulación de la imagen original, donde los valores de los pixeles originales son modificados mediante ciertas operaciones de transformación u operadores. Esta etapa terminará cuando. Figura 1.10: Operaciones individuales.. B. IB. LI O. TE. se hayan detectado todas las regiones de interés para la aplicación.. La segmentación de las imágenes digitales es una parte muy importante para el procesamiento digital de imágenes, pero a su vez es la parte más difícil de realizar ya que esta etapa determina el éxito o el fracaso del proyecto. Existen cuatro grandes grupos dentro de las técnicas de segmentación: Técnicas basadas en los valores de píxel, técnicas basadas en el área, las basadas en bordes y,. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.4 Procesamiento Digital de Imágenes.. 10. finalmente, técnicas basadas en la física (Análisis de señales). Dentro de las técnicas mencionadas anteriormente, destacan algunas que son men-. S. cionadas a continuación.. A. Técnicas de umbralización. Basadas en valores de pixel, toman decisiones con. SI C. base en la información de un pixel local. Son muy eficientes cuando los niveles de intensidad de los objetos caen fuera del ángulo recto del fondo de la imagen.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Métodos basados en esquinas. Basados en los bordes, se centran en la detección de contornos, son muy eficientes cuando todos los bordes están completos. Métodos basados en regiones. Basados en el área, particionan la imagen en regiones conectadas, agrupando pixeles vecinos con un nivel de intensidad similar.. 1.4.2.. Suavizado.. Los filtros de suavizado espacial es una de las diversas técnicas enfocadas a mejorar la calidad de una imagen. Su finalidad es reducir el ruido y la borrosidad. Conocidos también como filtros de promedio, trabajan de una forma muy simple,. TE. sustituyen el valor del pixel por el promedio de su vecindario. La vecindad se delimita por una máscara de promediado, la cual se indica en la Figura 1.11. La máscara es. B. IB. LI O. colocada sobre cada uno de los pixeles, quedando sobre el pixel a modificar.. Figura 1.11: Máscara de suavizado.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 Relaciones Básicas entre Píxeles.. 1.5.. 11. Relaciones Básicas entre Píxeles.. Un pixel o píxel (acrónimo del inglés picture element, “elemento de la imagen”). SI C. una fotografía, un fotograma de vídeo o un gráfico.. A. S. es la menor unidad homogénea que forma parte de una imagen digital, ya sea esta. Las imágenes se forman como una sucesión de píxeles. La sucesión marca la co-. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. herencia de la información presentada, siendo su conjunto una matriz coherente de información para el uso digital.. El área donde se proyectan estas matrices suelen ser rectangulares, los elementos de esta matriz es una imagen en escala de grises y son de orden de 28 o 256 niveles de gris (que van de negro a blanco), por lo tanto, pueden ser representados como caracteres en la mayoría de los lenguajes de programación.. B. IB. LI O. TE. Figura 1.12: Escala de gris.. Figura 1.13: Imagen en escala de grises. Las columnas y los renglones de las matrices de imágenes digitales, por tanto, tienen un rango de: 0 ≤ i ≤ N − 1,. 0≤j ≤M −1. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 Relaciones Básicas entre Píxeles.. 12. En un arreglo de este tipo, los índices i, j de un sistema coordenado en una matriz corresponden a los ejes x e y respectivamente. Una imagen binaria es una imagen que contiene pixeles de valor 1 y una región de. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. color negro. Comúnmente se conoce como imágenes blanco y negro.. A. S. fondo con pixeles de valor 0. Es decir, el uno representa el color blanco y el cero el. Figura 1.14: Imagen Binaria.. Vecinos de un Píxel.. TE. 1.5.1.. Un píxel p en las coordenadas (x, y) tiene cuatro vecinos horizontales y cuatro. LI O. vecinos verticales (los píxeles A, B, C y D tiene contacto tanto horizontal como. B. IB. vertical con el píxel “p”) cuyas coordenadas están dadas por: (x + 1, y), (x − 1, y), (x, y + 1), (x, y − 1). Este grupo de píxeles se nota como N4 (p).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 13. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. 1.5 Relaciones Básicas entre Píxeles.. Figura 1.15: Vecinos de un píxel.. Donde:. 1.5.2.. A = (x, y − 1);. B = (x − 1, y). C = (x + 1, y);. D = (x, y + 1). Diagonales de un Píxel.. Un pixel p en coordenadas (x, y) tiene vecindades diagonales y se denota como. TE. ND (p) cuyas coordenadas están dadas por:. LI O. (x + 1, y + 1), (x + 1, y − 1), (x − 1, y + 1), (x − 1, y − 1). B. IB. Donde:. A = (x − 1, y − 1);. C = (x + 1, y − 1). F = (x − 1, y + 1);. H = (x + 1, y + 1). Así mismo, para definir de forma adecuada el concepto de vecindad, es necesario revisar el de adyacencia.. 1.5.3.. Adyacencia de Píxeles (Conectividad).. Dos píxeles son adyacentes si, y solo si, tienen en común una de sus fronteras o al menos una de sus esquinas. La figura 1.17 muestra píxeles adyacentes.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 14. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. 1.5 Relaciones Básicas entre Píxeles.. Figura 1.16: Diagonales de un píxel.. Figura 1.17: Píxeles adyacentes.. Es decir dos píxeles son vecinos si cumplen con la definición de adyacencia.. TE. Si los píxeles comparten una de sus fronteras, se dice que los mismos son vecinos. LI O. directos; si solo se tocan en una de sus esquinas, se llaman vecinos indirectos.. Conectividad.. IB. 1.5.4.. B. Para cualquier píxel p en la imagen S, el conjunto de píxeles en S que están. conectados a p, se le llama componente conexo de S. Si S solo tiene un componente conexo entonces S se llama conjunto conexo.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 Relaciones Básicas entre Píxeles.. 1.5.5.. 15. Rutas.. SI C. (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ). A. coordenadas (s, t) es una secuencia de píxeles distintos con coordenadas:. S. Una ruta (trayectoria) de un pixel p con coordenadas (x, y) a otro píxel q con. Donde (x0 , y0 ) = (x, y), (xn , yn ) = (s, t), y (xi , yi ) es adyacente a (xi−1 , yi−1 ), para. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 1 ≤ i ≤ n, donde n es el tamaño de la ruta.. Por otro lado, si (x0 , y0 ) = (xn , yn ) la ruta es cerrada.. 1.5.6.. Bordes o Fronteras.. Sea R un subconjunto de píxeles en una imagen. Se llama a R una región, si R es un conjunto conexo.. Una frontera (boundary, contorno) de una región R, es un conjunto de píxeles en la región que tienen por lo menos un vecino (o más) que no está en R. Un borde (edge) puede ser una región bordeada (en imágenes binarias).. Medida de Distancia.. TE. 1.5.7.. LI O. Desafortunadamente, no existe un método único para definir una distancia en imágenes digitales. La definición dependerá de la métrica utilizada. Sin embargo,. IB. para todo píxel p, q y r, cualquier métrica debe satisfacer la siguiente condición:. B. Para los píxeles p, q y r con coordenadas (x, y), (s, t) y (u, v) respectivamente, D es. una función distancia o métrica si cumple: D(p, q) ≥ 0 (D(p, q) = 0 si y solo si p = q) D(p, q) = D(q, p) D(p, r) ≤ D(p, q) + D(q, r). Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 Relaciones Básicas entre Píxeles.. 16. Sin duda la distancia más utilizada en todos los campos es la distancia geométrica o distancia euclídiana. Se define la distancia euclídiana entre el píxel p de coordenadas (x, y) y el píxel q de coordenadas (s, t) como la raíz cuadrada de la suma de las. A. p (x − s)2 + (y − t)2 .. SI C. d(p, q) =. S. diferencias de sus coordenadas al cuadrado. Es decir:. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. A efecto de comparar distancias, se puede prescindir del cálculo de la raíz cuadrada, lo que redundará en una mayor velocidad de cálculo.. Otra relación de distancia usual es la distancia Manhattan o distancia del taxista, que se define entre los mismos puntos p y q como:. d(p, q) = |x − s| + |y − t|. También puede citarse la distancia del tablero de ajedrez o distancia chessboard que se define como:. IB. LI O. TE. d(p, q) = máx(|x − s|, |y − t|).. Figura 1.18: Representación gráfica de la distancia Manhattan y la distancia. B. euclidiana entre dos puntos.. Ejemplo 1.2 1. Distancia Euclideana: dE = ([i1 , j1 ], [i2 , j2 ]) =. p. (i1 − i2 )2 + (j1 − j2 )2. Por ejemplo: Si: P1 (3, 2) y P2 (6, 7) entonces. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 17. dE =. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. 1.5 Relaciones Básicas entre Píxeles.. p. (3 − 6)2 + (2 − 7)2 =. p. (9 + 25) = 5, 83. 2. Distancia Manhattan o Distancia del Taxista: dCity = |i1 − i2 | + |j1 − j2 |. B. IB. LI O. TE. Por ejemplo:. Si: P1 (3, 2) y P2 (6, 7) entonces. dcity = |3 − 6| + |2 − 7| = 3 + 5 = 8. 3. Distancia Tablero de Ajedrez o Distancia Chessboard dChess = max(|i1 − i2 |, |j1 − j2 |). Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 18. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. 1.5 Relaciones Básicas entre Píxeles.. Por ejemplo. Si: P1 (3, 2) y P2 (6, 7) entonces. B. IB. LI O. TE. dChess = máx(|3 − 6|, |2 − 7|) = máx(3, 5) = 5. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. Capítulo 2 Elementos de la Teoría de Reticulados. En matemática, un conjunto parcialmente ordenado es un conjunto dotado de una relación de orden parcial; esta relación formaliza el concepto intuitivo de orden, secuencia o arreglo de los elementos del conjunto. Un orden no necesariamente debe ser total, es decir, no se necesita comparar unos con otros todos los elementos del conjunto; esto sin embargo puede ocurrir en algunos casos (en otras palabras, el. Conjuntos Parcialmente Ordenados.. LI O. 2.1.. TE. orden total es un caso particular del orden parcial).. Los conjuntos parcialmente ordenados constituyen un marco abstracto apropiado. B. IB. para modelar una enorme cantidad de fenómenos, resultando así, una herramienta teórica de mucha utilidad en la fundamentación de la ciencia de la computación. Definición 2.1.1 Una relación 4 en un conjunto L es un orden parcial si 4. satisface las siguientes propiedades: (1) ∀ x ∈ L, x 4 x. (Reflexividad). (2) ∀ x, y ∈ L, x 4 y y y 4 x entonces x = y. (Antisimetría). Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.1 Conjuntos Parcialmente Ordenados.. (3) ∀ x, y, z ∈ L, x 4 y y y 4 z entonces x 4 z. 20. (Transitividad). Este conjunto L, junto con el orden parcial 4, es un conjunto parcialmente. A. S. ordenado, y se denotará por (L, 4).. SI C. Ejemplo 2.1. 1. Sea Z+ , el conjunto de enteros positivos. La relación usual ≤ (menor o igual. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. que) es un orden parcial en Z+ .. 2. La relación de divisibilidad (xRy si y solo si x|y) es un orden parcial en Z+ . Observación 2.1. 1. Es posible referirse al conjunto parcialmente ordenado L por la abreviatura POSET (abreviatura del inglés “Partially ordered set”).. 2. Si (L, 4) es un poset, los elementos x e y de L son comparables si x4y. o y 4 x.. 3. En un poset, cada pareja de elementos no necesita ser comparable. Por ejem-. TE. plo, consideremos el poset del ejemplo 2.1 − 2. Los elementos 2 y 7 no son comparables, ya que 2 . 7 y 7 . 2, así la palabra “parcial” en un POSET significa. LI O. que algunos elementos podrían no ser comparables.. B. IB. 4. Si cada pareja de elementos en un poset L es comparable, se dirá que L es un conjunto linealmente ordenado, y el orden parcial es un orden lineal. También se dice que L es una cadena.. Teorema 2.1.1 Si (L, 4) y (M, 4) son posets, entonces (L×M, 4) es un poset, con el orden parcial 4 definido por (x, y) 4 (x0 , y 0 ) si x 4 x0. en L e y 4 y 0. en M. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.1 Conjuntos Parcialmente Ordenados.. 21. Demostración Reflexividad: Si (x, y) ∈ (L × M, 4), entonces (x, y) 4 (x, y), ya que x 4 x en L e y 4 y en M;. A. S. de ese modo satisface la propiedad reflexiva en L × M.. SI C. Antisimetría:. Ahora supongamos que (x, y) 4 (x0 , y 0 ) y (x0 , y 0 ) 4 (x, y), donde x, x0 ∈ L e y, y 0 ∈ M. Entonces. y. y x0 4 x en L. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. x 4 x0. x4y. e y0 4 y. en M. Como L y M son posets, la antisimetría de los órdenes parciales en L y M implican que. x = x0. e y = y0.. Por lo tanto, 4 satisface la propiedad antisimétrica en L × M. Transitividad:. Supongamos que (x, y) 4 (x0 , y 0 ) y (x0 , y 0 ) 4 (x00 , y 00 ), donde x, x0 y x00 ∈ L e y, y 0 e y 00 ∈ M. Entonces x 4 x0 y x0 4 x00 de modo que x 4 x00 , por la propiedad transitiva. TE. del orden parcial en L. De manera análoga, y 4 y 0 e y 0 4 y 00 .. De igual manera, y 4 y 00 , por la propiedad transitiva del orden parcial en M, obtene-. LI O. mos (x, y) 4 (x00 , y 00 ).. Por lo tanto, la propiedad transitiva es válida para el orden parcial 4 en L × M, el. B. IB. cual es llamado orden parcial producto.. . Nota 2.1. El teorema 2.1.1 resulta útil, ya que muestra cómo construir un nuevo POSET a partir de dos conjuntos parcialmente ordenados dados. Definición 2.1.2 (Diagrama de Hasse) La relación de Hasse asociada al poset. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.1 Conjuntos Parcialmente Ordenados.. 22. L es la relación H(4) = {(x, y) ∈4: (@ t ∈ L)(x 4 t ∧ t 4 y)}. S. Ejemplo 2.2 Sea el conjuntos L = {1; 2; 3; 4; 12} considere el orden parcial de. el diagrama de Hasse del POSET (L, 4).. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Solución:. SI C. A. divisibilidad en L. Es decir, x, y ∈ L, x 4 y si y solo si x|y (x “divide a” y). Trace. En figura 2.1 se muestra el dígrafo del poset (L, 4). y en la figura 2.2 se muestra el correspondiente diagrama de Hasse.. B. IB. LI O. TE. Figura 2.1 Dígrafo del poset (L, 4).. Figura 2.2 Diagrama de Hasse de la relación “|”.. Definición 2.1.3 Si “4” es un orden parcial sobre L, entonces la relación binaria “40 ” dada por “X 40 Y si y sólo si X < Y ” también define un orden parcial, llamado. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.1 Conjuntos Parcialmente Ordenados.. 23. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. el orden parcial dual L0 .. Figura 2.3: Un par de POSETS mutuamente duales.. Ejemplo 2.3 La figura 2.4 (a) muestra el diagrama de Hasse de un poset (L, 4), donde L = {a, b, c, d, e, f }. La figura 2.4 (b) muestra el diagrama de Hasse del poset. LI O. TE. dual (L, <).. B. IB. Figura 2.4. Diagrama de Hasse (a) y su dual (b) del poset (L, <).. Definición 2.1.4 (Isomorfismo) Sean (L, 4) y (L0 , 40 ) posets y f : L → L0 una correspondencia uno a uno entre L y L0 . La función f es un isomorfismo de (L, 4) en (L0 , 40 ) si cualquier x, y ∈ L, x4y. si solo si f (x) 40 f (y).. Si f : L → L0 es un isomorfismo, entonces (L, 4) y (L0 , 40 ) son posets isomorfos.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Elementos Extremos de un Conjunto Parcialmente Ordenado.. 24. Ejemplo 2.4 Sea L = Z+ el conjunto de los enteros positivos, y sea ≤ el orden parcial usual en L. Sea L0 = 2Z+ el conjunto de los enteros pares positivos y sea ≤0. S. el orden parcial usual en L0 . La función f : L → L0 dada por. Probemos la inyectividad.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. f es uno a uno, es decir, si f (x) = f (y) ⇒ 2x = 2y ⇒ x = y.. SI C. es un isomorfismo de (L, ≤) a (L0 , ≤0 ).. A. f (x) = 2x. ∴ f es inyectiva.. Probemos la sobreyectividad. ∀ z ∈ L0 , ∃x =. z 2. ∈ L ⇒ f (x) = f ( z2 ) = 2( z2 ) = z ⇒ f (x) = z. ∴ f es sobreyectiva.. Por último, si x, y ∈ L ⇒ x ≤ y ⇔ 2x ≤0 2y ⇔ f (x) ≤0 f (y). En consecuencia, f es un isomorfismo.. 2.2.. Elementos Extremos de un Conjunto Parcialmente Ordenado.. TE. Ciertos elementos de un poset tienen una importancia particular para muchas propiedades y aplicaciones de los poset. En esta parte del trabajo se analizará estos. LI O. elementos, y más adelante se verá el importante papel que juegan.. IB. Definición 2.2.1 Un elemento x ∈ L es un elemento maximal de L, si no. B. existe un elemento z ∈ L tal que x ≺ z. Simbólicamente,. M axl(L) = {x ∈ L : (@ z ∈ L)(x ≺ z)} Definición 2.2.2 Un elemento x ∈ L es un elemento minimal de L, si no existe un elemento z ∈ L tal que z ≺ x. Simbólicamente, M inl(A) = {x ∈ A : (@ z ∈ A)(z ≺ x)}. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(40) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Elementos Extremos de un Conjunto Parcialmente Ordenado.. 25. Nota 2.2 Si (L, 4) es un poset y (L, <) es su poset dual, un elemento x ∈ L es un elemento maximal de (L, <) si y solo si x es un elemento minimal de (L, <). Además, x es un. A. S. elemento minimal de (L, <) si y solo si es un elemento maximal de (L, 4).. SI C. Ejemplo 2.5 Considere el poset L cuyo diagrama de Hasse aparece en la figura 2.5. Los elementos a1 , a2 , y a3 son elementos maximales de L, y los elementos b1 , b2 ,. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. y b3 son elementos minimales.. Figura 2.5. Elementos maximales y minimales del poset (L, 4).. Observación 2.2 Como no existe una arista entre b2 y b3 , se tiene que b2 y b3. TE. son elementos no comparables.. Teorema 2.2.1 Si L es un poset finito no vacío con orden parcial 4, entonces. LI O. L tiene al menos un elemento maximal y al menos un elemento minimal. Demostración.. B. IB. Sea x ∈ L un elemento cualquiera. Si x es maximal, es posible determinar un ele-. mento x1 ∈ L tal que x ≺ x1 . Si x1 no es maximal, puede determinarse un elemento x2 ∈ L tal que x1 ≺ x2 . Este argumento no puede continuar de manera indefinida, ya que L es un conjunto finito. Así, en cierto momento se obtendrá la cadena finita x ≺ x1 ≺ x2 ≺ . . . ≺ xk−1 ≺ xk que no puede extenderse. Por lo tanto, no es posible tener xk ≺ y para cualquier y ∈ L y xk es un elemento máximo de (L, 4).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(41) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Elementos Extremos de un Conjunto Parcialmente Ordenado.. 26. Por otro lado, sea x ∈ L un elemento cualquiera. Si x es minimal, es posible determinar un elemento x1 ∈ L tal que x1 ≺ x. Si x1 no es mínimo, puede determinarse un elemento x2 ∈ L tal que x2 ≺ x1 . Este argumento no puede continuar de manera. S. indefinida, ya que L es un conjunto finito. Así, en cierto momento se obtendrá la. SI C. A. cadena finita xk ≺ xk−1 ≺ . . . ≺ x2 ≺ x1 ≺ x que no puede extenderse. Por lo tanto,. no es posible tener y ≺ xk para cualquier y ≺ L y xk es un elemento mínimo de . C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. (L, 4).. Definición 2.2.3 (Máximo) Un elemento a ∈ L es un elemento máximo de L si x 4 a ∀ x ∈ L. Simbólicamente, se define como:. máx(L) = a ⇔ (a ∈ L) ∧ (∀ x ∈ L : x 4 a).. Definición 2.2.4 (Mínimo) Un elemento a ∈ L es un elemento mínimo de L si a 4 x ∀ x ∈ L. Simbólicamente, se define como:. mı́n(L) = a ⇔ (a ∈ L) ∧ (∀ x ∈ L : a 4 x).. Teorema 2.2.2 Un poset (L, 4) tiene a lo más un elemento máximo y a lo más un elemento mínimo.. TE. Demostración.. Supongamos que a y b son elementos máximos del poset L entonces, como b es un. LI O. elemento máximo, se tiene que a 4 b. Análogamente, como a es un elemento máximo, se tiene b 4 a entonces a = b.. (Antisimetría de 4). IB. Así, el poset L tiene a lo más un elemento máximo.. B. Ahora, supongamos que a y b son elementos mínimos del poset L entonces, como b es un elemento mínimo, se tiene que b 4 a. Análogamente, como a es un elemento. mínimo, se tiene a 4 b entonces a = b.. (Antisimetría de 4). Así, el poset L tiene a lo más un elemento mínimo. Por lo tanto, el poset L tiene un elemento máximo y un elemento mínimo y son únicos.. . Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(42) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Elementos Extremos de un Conjunto Parcialmente Ordenado.. 27. Nota 2.3 El elemento máximo de un poset L, si existe, se denota por I y con frecuencia es llamado elemento unidad. Análogamente, el elemento mínimo de un poset, si existe,. A. S. se denota por 0 y con frecuencia es llamado elemento cero.. SI C. Definición 2.2.5 (Cotas Superiores) Sea L un poset y un subconjunto A ⊂. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. L. Un elemento a ∈ L es una cota superior de A si x 4 a ∀ x ∈ A. Simbólicamente, cotsup(A) = {a ∈ L : ∀ x ∈ A : x 4 a}.. Definición 2.2.6 (Cotas Inferiores) Sea L es un poset y un subconjunto A ⊂ L. Un elemento a ∈ L es una cota superior de A sí a 4 x ∀ x ∈ A. Simbólicamente,. cotinf (A) = {a ∈ L : ∀ x ∈ A : a 4 x}.. Ejemplo 2.6 Considere el poset L = {a, b, c, d, e, f, g, h}, cuyo diagrama de Hasse aparece en la figura 2.6. Determine todas las cotas superiores e inferiores de los siguientes subconjuntos de L: (a) A1 = {a, b};. B. IB. LI O. TE. (b) A2 = {c, d, e}.. Figura 2.6. Diagrama de Hasse del poset (L, 4).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(43) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Elementos Extremos de un Conjunto Parcialmente Ordenado.. 28. Solución: (a) A1 no tiene cotas inferiores; sus cotas superiores son c, d, e, f, g y h.. A. S. (b) Las cotas superiores de A2 son f, g y h; sus cotas inferiores son c, a y b.. SI C. Nota 2.4. Como se muestra en el ejemplo 2.6, un subconjunto A de un poset (L, 4) puede o. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. no tener cotas superiores e inferiores (en L). Además, una cota superior o inferior de A puede o no pertenecer a A.. Definición 2.2.7 (Supremo) Sea L un poset y A ⊂ L. Un elemento a ∈ L es un supremo de A si a es una cota superior de A y a 4 a0 , siempre y cuando a0 sea una cota superior de A.. Así, a = sup(A) si x 4 a ∀ x ∈ A, y si a0 ∈ L es también una cota superior de A, entonces a 4 a0 .. Definición 2.2.8 (Ínfimo) Sea L un poset y A ⊂ L. Un elemento a ∈ L es un ínfimo de A si a es una cota inferior de A y a0 4 a, siempre y cuando a0 sea una cota inferior de A.. Así, a = ı́nf(A) si a 4 x ∀ x ∈ A, y si a0 ∈ L es también una cota inferior de A,. TE. entonces a0 4 a.. LI O. Ejemplo 2.7 Si L, es el poset del ejemplo 2.6 con los subconjuntos A1 y A2 .. IB. Determine:. B. (a) sup(A1 ). (b) ı́nf(A1 ) (c) sup(A2 ) (d) ı́nf(A2 ) Solución: Observando la figura 2.6 se tiene que:. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(44) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Elementos Extremos de un Conjunto Parcialmente Ordenado.. 29. (a) sup(A1 ) = c (b) @ı́nf(A1 ). A. S. (c) @ sup(A2 ). SI C. (d) ı́nf(A2 ) = c. Teorema 2.2.3 Si L es un poset entonces L tiene a lo más un supremo y a lo. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. más un ínfimo.. Demostración:. Supongamos que µ y µ0 son los supremos del poset L entonces, tenemos que µ 4 µ0 y µ0 4 µ ⇔ µ = µ0. (Pues µ y µ0 son supremos). . Por otro lado, supongamos que ω y ω 0 son ínfimos del poset L entonces, tenemos que. ω0 4 ω y ω 4 ω0 ⇔ ω = ω0. (Pues ω y ω 0 son ínfimo). . Ejemplo 2.8 Sea L = {1, 2, 3, 4, 5, . . . , 11}, el poset cuyo diagrama de Hasse aparece en la figura 2.7. Determine el ínfimo y el supremo de A = {6, 7, 10} si. B. IB. LI O. TE. existen.. Figura 2.7 Diagrama de Hasse del poset (L, 4).. Solución: Como se puede observar en las trayectorias hacia arriba desde los vértices 6,7 y 10 determinan que sup(A) = 10. De manera análoga, al analizar todas las trayectorias. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(45) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Elementos Extremos de un Conjunto Parcialmente Ordenado.. 30. hacia abajo desde 6,7 y 10, se determinó que ı́nf(A) = 4.. S. Nota 2.5.. ^. A. SI C. ı́nf(A) o. A. 1. El ínfimo de un subconjunto A ⊂ L, si este existe, es único, y es denotado por. por. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 2. El supremo de un subconjunto A ⊂ L, si este existe, es único, y es denotado. sup(A) o. _. A. 3. Si A ⊂ L contiene solamente un número finito de elementos x1 , x2 , . . . , xn , entonces escribimos. ∧x1 , ∧x2 , ∧ . . . , ∧xn ,. ∨x1 , ∨x2 , ∨ . . . , ∨xn ,. en lugar de. en lugar de. ∧ {x1 , x2 , . . . , xn },. y. ∨ {x1 , x2 , . . . , xn },. Además, si xi ∈ L ∀ i en algún conjunto de índices I , entonces escribimos ^. xi. i∈I. LI O. TE. En lugar de. ^. {xi /i ∈ I},. _. xi. i∈I. En lugar de. B. IB. y. _. {xi /i ∈ I}.. Definición 2.2.9 Un poset L es llamado un retículo si cada subconjunto finito de L tiene un supremo y un ínfimo. Definición 2.2.10 Un poset L es llamado un retículo completo si cada subconjunto de L tiene un ínfimo y un supremo.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(46) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Elementos Extremos de un Conjunto Parcialmente Ordenado.. 31. Nota 2.6 1. El ínfimo y supremo son nociones duales en el sentido del principio de dualidad.. S. Es decir, dado A ⊂ L con ínfimo β entonces β es el supremo de A con respecto. SI C. A. al poset dual L0 ; denotamos esto como ∧A = ∨0 A.. 2. Sea (L, 4) un poset tal que cada subconjunto A = {a, b}, de dos elementos tienen supremo e ínfimo. Y se denota:. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. sup(A) = a ∨ b, y se llama unión de a y b.. ı́nf(A) = a ∧ b, y se llama conjunción de a y b. Ejemplo 2.9 Para cualquier conjunto E, el conjunto potencia P(E) con el ordenamiento dado por la inclusión “⊆”, es un reticulado completo.. El ínfimo esta dado por el conjunto intersección y el supremo esta dado por el conjunto unión.. El menor elemento es el “∅”, y el mayor elemento E.. En efecto, debemos probar que la relación de inclusión “⊆” es Reflexiva, Antisimétrica y Transitiva.. Para ello presentemos algunas propiedades de la inclusión de conjuntos.. TE. Propiedad 1: Sea A un conjunto cualquiera en E, entonces ∅ ⊆ A.. LI O. Propiedad 2: Sea A un conjunto cualquiera en E, entonces A ⊆ A.. B. IB. Propiedad 3: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera de E. Entonces. A = B ⇔ A ⊆ B y B ⊆ A. Propiedad 4: Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera de E. Si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C.. Ahora bien, dada estas propiedades podemos establecer: La Reflexividad: ∀ A ∈ P(E). Se cumple que A ⊆ A.. (Propiedad 2). Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(47) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Elementos Extremos de un Conjunto Parcialmente Ordenado.. 32. La Antisimetría: ∀ A, B ∈ P(E). Si A ⊆ B ∧ B ⊆ A se tiene A = B.. (Propiedad 3). Por lo tanto diremos que el par (P(E), ⊆) es un poset.. (Propiedad 4). SI C. ∀ A, B y C ∈ P(E). Si A ⊆ B ∧ B ⊆ C, entonces A ⊆ C.. A. S. La Transitividad:. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Por otro lado probemos que el poset (P(E), ⊆) tiene un supremo y un ínfimo representados por:. sup(A, B) = A ∪ B ı́nf(A, B) = A ∩ B. Probemos para el supremo.. Es decir probemos que A ∪ B es cota superior de {A, B} y que si C es cota superior de {A, B} se tiene que A ∪ B ⊆ C (Esto debido a que el supremo es la menor de todas las cotas superiores).. A ∪ B es cota superior de {A, B} porque A ⊆ A ∪ B ∧ B ⊆ A ∪ B. (Por ser este (A ∪ B) el menor conjunto que contiene a ambos, A y B).. Sea C una cota superior de {A, B}, entonces se tiene que A ⊆ C ∧ B ⊆ C lo que (Propiedad de Unión de conjuntos). TE. implica que A ∪ B ⊆ C.. En consecuencia sup({A, B}) = A ∪ B. Es la menor de las cotas superiores.. LI O. Análogamente probemos para el ínfimo.. Es decir probemos que A ∩ B es cota inferior de {A, B} y que si C es cota inferior. IB. de {A, B} se tiene que C ⊆ A ∩ B (Esto debido a que el ínfimo es la mayor de todas. B. las cotas inferiores). A ∩ B es cota inferior de {A, B} porque A ∩ B ⊆ A ∧ A ∩ B ⊆ B. (Por ser este (A ∩ B) el menor conjunto que esta contenido en ambos, A y B). Sea C una cota inferior de {A, B}, entonces se tiene que C ⊆ A ∧ C ⊆ B lo que implica que C ⊆ A ∩ B.. (Propiedad de Intersección de conjuntos). En consecuencia Inf ({A, B}) = A ∩ B. Es la mayor de las cotas inferiores. Finalmente concluimos diciendo que el par (P(E), ⊆) es un reticulado completo.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(48) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Elementos Extremos de un Conjunto Parcialmente Ordenado.. 33. Ejemplo 2.10 1. El conjunto de los números reales R es un reticulado; aún más es una cadena.. S. No es completa por que no contiene un menor ni un mayor elemento. Para que. A. sea completa tenemos que añadir −∞ (como menor elemento), y +∞ (como. por R. Análogamente. Z = Z ∪ {−∞, +∞}.. SI C. mayor elemento). De aquí en adelante, el conjunto R ∪ {−∞, +∞} se denotará. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 2. El conjunto R+ y Z+ , que comprenden, respectivamente, el conjunto de los números reales positivos y el conjunto de los números enteros positivos incluido, ∞ también son cadenas completas. Ejemplo 2.11. 1. Dado el conjunto A = {x ∈ N : x ≤ 12} se define la relación de divisibilidad como a \ b ⇔ (∃ k ∈ N)(b = k.a). Hallar: a) El diagrama de Hasse del POSET.. b) Dado B = {2, 3, 4, 6}, encuentre sup(B),ı́nf(B). Respuesta (a). B. IB. LI O. TE. A continuación se muestra el diagrama de Hasse. Figura 2.8: Diagramas de Hasse del conjunto A. Respuesta (b). Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(49) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Elementos Extremos de un Conjunto Parcialmente Ordenado.. 34. B = {2, 3, 4, 6} : sup(B) = 12, ı́nf(B) = 1. Además, podemos notar que el conjunto de cotas superiores de B está. S. dada por el conjunto {12, 0}, y el máx(B) = {4, 6}.. A. En los siguientes ejercicios la relación de orden “4” es definida por los diagra-. SI C. mas.. 2. Sea (A, 4) un poset y X = {c, d, e} un subconjunto A tal como se muestra en. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. la gráfica.. Figura 2.9. Ínfimo de X : ∧X = f. Supremo de X : ∨X = c. Elementos minimales: minl(A) = {f, g}. TE. Elementos maximales: maxl(A) = {a, b}. LI O. 3. Sea (A, 4) un poset y X = {d, e, f } un subconjunto A tal como se muestra en. B. IB. la gráfica.. Figura 2.10. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(50) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Elementos Extremos de un Conjunto Parcialmente Ordenado.. 35. Ínfimo de X : ∧X = f Supremo de X : ∨X = c Elementos minimales: minl(A) = {h}. A. S. Elementos maximales: maxl(A) = {a, b}. SI C. 4. Sea (A, 4) un poset y X = {2, 3, 4} un subconjunto A tal como se muestra en. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. la gráfica.. Figura 2.11. Ínfimo de X: No existe. TE. Supremo de X: sup(X) = 2. Elementos minimales: minl(A) = {5, 6}. LI O. Elementos maximales: maxl(A) = {1}. Ejemplo 2.12 Un reticulado finito L puede representarse gráficamente de la. B. IB. siguiente manera. Si A ≺ B, y si no hay ningún elemento X ∈ L con A ≺ X ≺ B, entonces ponemos B superior a A, y dibujamos un segmento de línea que une los. dos elementos. El diagrama resultante se denomina diagrama de Hasse. Algunos ejemplos se muestran en la figura 2.12. Solución. En (e) por ejemplo uno tiene Z < X, Y ∨ Z = Y ∨ X = I y Y ∧ X = Y ∧ Z = 0. El reticulado en (a) es una cadena, por ejemplo, dado A = {0; 1; 2; 3}, con el orden. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(51) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 36. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. 2.2 Elementos Extremos de un Conjunto Parcialmente Ordenado.. Figura 2.12: Diagramas de Hasse.. usual. (b) y (c) representan el conjunto potencia de un conjunto de dos y tres elementos, respectivamente.. Definición 2.2.11 Sean L, M dos reticulados. La aplicación ψ : L → M es llamado un isomorfismo entre reticulados además si ψ es una biyección (uno a uno y sobre), además ψ preserva el orden, es decir, X4Y. si y solo si ψ(X) 4 ψ(Y ),. ∀ X, Y ∈ L.. TE. Además si ψ tiene inverso este será denotado como ψ −1 .. LI O. Teorema 2.2.4 Un reticulado entre isomorfismos preserva ínfimo y supremo, es. B. IB. decir,. ψ(X ∧ Y ) = ψ(X) ∧ ψ(Y ),. ∀ X, Y ∈ L. (i). ψ(X ∨ Y ) = ψ(X) ∨ ψ(Y ),. ∀ X, Y ∈ L. (ii). Prueba: Probemos la relación (i). De X ∧ Y 4 X, se deduce que ψ(X ∧ Y ) 4 ψ(X).. (Definición 2.2.11). Análogamente, de X ∧ Y 4 Y , se deduce que ψ(X ∧ Y ) 4 ψ(X). (Definición 2.2.11) De esto resulta que. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.