Optimización de los radios de un cable trifásico

Los cables trifásicos aislados en gas comprimido son de uso creciente debido a sus ventajas económicas sobre los conductores monofásicos; también se pueden encontrar estas geometrías en cables con aislamiento sólido [24]. De manera similar al cable monofásico, es importante determinar las relaciones óptimas con las cuales se tiene el mínimo esfuerzo eléctrico en el medio aislante y de esta manera evitar el envejecimiento prematuro en el mismo.

Siguiendo la metodología descrita en el ejemplo anterior, se buscan los valores óptimos de los radios de un cable trifásico, en donde los centros de los conductores están ubicados a 120° uno con respecto del otro y sus centros separados con respecto al origen con la misma distancia. La Figura 5.8 muestra la geometría del cable y las variables involucradas en el problema de optimización.

Página 77 donde:

R: Distancia de separación del centro al centro del conductor.

Rc: Radio del conductor

Re: Distancia del centro a la periferia del material aislante, 1[m].

Este caso cuenta con dos variables de diseño (R y Rc), y como lo que se busca es una relación de estas dos variables con respecto a Re, esta última se mantendrá constante en la unidad. En conjunto estas variables determinan la distribución del campo eléctrico en el cable.

El problema de optimización está limitado por ciertos valores que las variables de diseño no pueden alcanzar, es decir, valores que restringen la geometría. Los límites de las variables se muestran en la Tabla 5.2. Con estos valores se asegura que los conductores no se toquen entre sí o lleguen a interferir con la periferia del medio aislante durante en el proceso de optimización.

Tabla 5.3. Límites de la geometría del cable trifásico.

limites superior inferior

Rc 0.3 0.1

R 0.65 0.35

Las condiciones de frontera en los conductores están determinadas por la relación de magnitudes de tensión existentes en un sistema trifásico en un instante de tiempo; cuando una fase se encuentra en su valor máximo 1, las otras 2 fases se encontraran a -0.5. La Figura. 5.9 muestra las relaciones de magnitudes de tensión en un sistema trifásico.

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Figura 5.9. Ondas de tensión trifásicas.

Tomando un valor máximo de 1 V, al conductor superior se le aplica un potencial de 1 V y a los otros dos conductores un potencial de -0.5 V. El material aislante se encuentra aterrizado y con una permitividad relativa de 1. De manera similar al caso del cable monofásico, el mallado del arreglo trifásico es más denso en las fronteras de los conductores, debido a que es la zona de mayor interés y donde la solución debe ser lo más precisa posible. Se mantiene un tamaño de elemento constante en la periferia de 2 mm, con el objeto de que en cada iteración y cambio de geometría llevada a cabo por el proceso de optimización el tamaño de elemento sea siempre el mismo. La Figura. 5.10 muestra el mallado utilizado en la simulación.

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Figura 5.10. Mallado del cable trifásico.

Debido a las condiciones de frontera y a los radios, la máxima intensidad de campo eléctrico se concentra en zonas específicas, como se puede apreciar en la Figura 5.11.

Página 80 La cercanía de superficies equipotenciales indica un incremento de potencial en una distancia reducida, registrando valores altos de campo eléctrico. Las zonas de mayor concentración de campo se censan por medio de líneas, como se muestra en la Figura 5.11. Una vez más la función objetivo es el máximo campo eléctrico; por lo tanto, las gráficas de las líneas 1, 2, 3 y 4 se guardan en cuatro vectores para ser comparados entre sí y de esta forma obtener el valor máximo de campo (Emax).

Partiendo de un diseño inicial cuyo máximo campo eléctrico es de Emax=6.831 V/m, se aplicó la función de optimización fminsearch, que es una función multivariable sin restricciones basada en el algoritmo Nelder Mead (el proceso lógico se observa en el anexo C). Los resultados del proceso de optimización se presentan en la Tabla 5.3 (solo se muestran los primeros y últimos resultados debido a la gran cantidad de iteraciones).

Tabla 5.4. Iteraciones cable trifásico.

Iteraciones Emax _[V/m] 0 7.59963 1 7.30352 2 7.08545 3 6.64667 4 6.09388 5 5.87369 6 5.70423 7 5.70423 8 5.55259 29 5.2204 30 5.21999 31 5.21999 32 5.21999 33 5.21999 34 5.21999

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Tabla 5.5(continuación) Iteraciones cable trifásico. 35 5.21999 36 5.21999 37 5.21999 38 5.21999 39 5.21999 40 5.21997 41 5.21997

Con respecto a la Tabla 5.3, se determina que el campo eléctrico mínimo se alcanza en la iteración 42, y los valores de los radios que provocan esta condición son = 0.17505 m y = 0.51012m. Para = 1 m, se puede establecer la

relación óptima de la geometría de la siguiente forma.

=. 17505[ ]

1[ ] = .17505 =. 51012[ ]

1[ ] = .51012

Los resultados obtenidos tienen gran similitud con dos artículos. En la referencia [2] se indica que las relaciones óptimas son de de 0.1839 y 0.5, mientras que en [33] se señala que las relaciones óptimas son de 0.17462 y 0.51061.

Con anterioridad se indicó que el proceso de optimización emprende la búsqueda de las variables óptimas a partir de un diseño inicial de Emax=6.831 V/m (Figura 5.12). La distribución de campo eléctrico en el diseño óptimo del cable trifásico se muestra en la Figura 5.13 con Emax=5.22 V/m.

Comparando las Figuras 5.12 y 5.13, es posible apreciar que la intensidad de campo no sólo disminuye en las periferias del conductor, sino que también se redujo en las vecindades de los conductores. Implementando las variables óptimas encontradas por el esquema de optimización, se consigue reducir 23.58% de la máxima intensidad de campo eléctrico en relación con el diseño original.

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Figura 5.12. Distribución de campo eléctrico del diseño inicial, Emax=6.831 V/m.

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5.6 Optimización de la conductividad del recubrimiento atenuador de