Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Unidad Profesional “Adolfo López Mateos”
Ingeniería Eléctrica
“
OPTIMIZACIÓN EN EL DISEÑO DIELÉCTRICO DE
CABLES SUBTERRÁNEOS”
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
INGENIERO ELECTRICISTA
PRESENTAN
Gómez González Alejandro
Luna López Zaid
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELECTRICA
UNIDAD PROFESIONAL "ADOLFO LÓPEZ MATEOS"
TEMA DE TESIS
QUE PARA OBTENER EL TITIJLO DE INGENIERO ELECTRICISTA
t
POR LA OPCIÓN DE TITULACIÓN TESIS COLECTIVA y EXAMEN ORAL INDIVIDUAL
DEBERA(N) DESARROLLAR C. ALEJANDRO GÓMEZ GONZÁLEZ
C. ZAID LUNA LÓPEZ
"OPTIMIZACIÓN EN EL DISEÑO DIELÉCTRICO DE CABLES SUBTERRÁNEOS."
UTILIZAR TÉCNICAS DE OPTIMIZACIÓN PARA MINÍMIZAR EL ESFUERZO ELÉCTRICO PRODUCIDO POR DISTINTAS CONFIGURACIONES DE CABLES SUBTERRÁNEOS DE MEDIA Y ALTA TENSIÓN EMPLEANDO EL MÉTODO DE ELEMENTO FINITO.
ｾ INTRODUCCIÓN.
ｾ CABLES ELÉCTRICOS SUBTERRÁNEOS.
ｾ CONCEPTOS FÍSICOS FUNDAMENTALES Y ANÁLISIS DE LA DISTRIBUCIÓN DE CAMPO
ELÉCTRICO.
ｾ OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DIELÉCTRICO A TRAVÉS DE LA MINIMIZACIÓN DEL
CAMPO ELÉCTRICO.
ｾ CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS.
MÉXICO D.F., 15 OCTUBRE DE 2012. ASESORES
Página I
Contenido
Resumen ... 1
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN ... 3
1.1 Objetivos ... 4
1.1.1 Objetivo general ... 4
1.1.2 Objetivos particulares ... 4
1.2 Justificación ... 4
1.3 Estado del arte ... 5
1.4 Alcances y limitaciones ... 8
1.5 Estructura de la tesis ... 8
CAPITULO 2. CABLES ELÉCTRICOS SUBTERRÁNEOS ... 10
2.1 Introducción ... 10
2.2 Historia de los cables eléctricos subterráneos ... 11
2.3 Estructura general de un cable eléctrico subterráneo ... 13
2.3.1 Conductores ... 14
2.3.1.1 Resistencia DC ... 15
2.3.1.2 Peso ... 15
2.3.1.3 Regulación de tensión ... 15
2.3.1.4 Corto circuito ... 16
2.3.2 Forma ... 16
2.4 Aislamiento ... 17
2.4.1 Aislamientos de papel impregnado con aceite ... 18
2.4.2 Aislamientos sólidos ... 18
2.4.2.1 Etileno propileno (EPR) ... 19
2.4.2.2 Polietileno (PE) ... 20
2.4.2.3 Polietileno de cadena cruzada (XLPE) ... 20
2.4.2.3.1 Arborescencias en aislamientos extruidos ... 21
2.5 Pantallas eléctricas ... 25
2.5.1 Pantalla semiconductora sobre el conductor ... 25
Página II
2.5.2.1 Pantalla semiconductora sobre el aislamiento ... 27
2.5.2.2 Pantalla metálica ... 27
2.6 Armadura ... 28
2.7 Cubierta protectora ... 28
2.8 Terminales de media tensión ... 29
2.8.1 Principio de operación ... 30
2.8.2 Métodos de control de esfuerzos eléctricos ... 31
2.8.2.1 Método geométrico (cono de alivio) ... 31
2.8.2.2 Método de la resistividad variable ... 32
2.8.2.3 Método capacitivo ... 33
CAPITULO 3. CONCEPTOS FÍSICOS FUNDAMENTALES Y ANÁLISIS DE LA DISTRIBUCIÓN DE CAMPO ELÉCTRICO ... 34
3.1 Ley de coulomb y definición de campo eléctrico ... 34
3.1.2 Clasificación de los campos eléctricos ... 36
3.2 Superficies equipotenciales ... 36
3.3 Potencial eléctrico ... 37
3.4 Relación entre campo eléctrico (�) y potencial eléctrico (V) ... 39
3.5 Corrientes de desplazamiento y de conducción. ... 41
3.6 Polarización en los dieléctricos ... 41
3.7 Constante y rigidez dieléctricas ... 43
3.8 Condiciones en la frontera... 45
3.9. Capacitor cilíndrico ... 45
3.10 Análisis de la distribución de campo eléctrico... 49
CAPÍTULO 4. OPTIMIZACIÓN ... 55
4.1 Introducción ... 55
4.2 Localización de raíces y optimización ... 55
4.3 Problema de optimización ... 57
4.3.1 Función objetivo ... 58
4.3.2 Variables ... 58
Página III
4.4 Clasificación de los problemas de optimización ... 58
4.5 Optimización con MATLAB® ... 59
4.6 Fminbnd... 60
4.6.1 Ejemplos de optimización con fminbnd ... 61
4.7 Fminsearch ... 62
4.7.1 Ejemplo de optimización con fminsearch ... 63
4.8 Proceso de optimización COMSOL® y MATLAB® ... 64
CAPITULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DIELÉCTRICO A TRAVÉS DE LA MINIMIZACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO ... 66
5.1 Introducción ... 66
5.2 Relación óptima de radios en un cable con arreglo coaxial ... 66
5.3 Optimización bruta ... 68
5.4 Optimización del arreglo coaxial utilizando COMSOL® y MATLAB® ... 72
5.5 Optimización de los radios de un cable trifásico ... 76
5.6 Optimización de la conductividad del recubrimiento atenuador de esfuerzos (RAE) para una terminal ... 83
CAPITULO 6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS 95 6.1 Recomendaciones para trabajos futuros ... 97
REFERENCIAS ... 98
I. Anexo A. Método del elemento finito ... 101
Discretización de los elementos [15] ... 101
Ecuaciones que rigen los elementos [15] ... 103
Reunión de todos los elementos [15] ... 107
Resolución de ecuaciones resultantes [15] ... 109
II. Anexo B. Representación de un punto P en coordenadas Cilíndricas ... 111
III. Anexo C. Método de la sección dorada, interpolación parabólica y proceso lógico del método Nead Mead ... 112
Método de búsqueda de la sección dorada ... 112
Interpolación parabólica ... 114
Página IV
Extensión usando el punto E ... 116
Contracción utilizando el punto C1 ... 117
Encogimiento hacia O ... 117 IV. Anexo D. Tablas de permitividad y rigidez dieléctrica en distintos materiales
119
Página IV
ÍNDICE DE FIGURAS
CAPITULO 2. CABLES ELÉCTRICOS SUBTERRÁNEOS
Figura 2.1. Estructura de un cable eléctrico subterráneo [3]. ... 13
Figura 2.2. Forma y medida de los conductores usados en cable. Área efectiva 507 mm2. (a) Redondo concéntrico, (b) redondo compacto, (c) compacto simple, (d) anular y (e) segmentado [2]. ... 16
Figura 2.3. Cable de 500 kV aislamiento XLPE , 2500 mm2 [7]. ... 21
Figura 2.4. Cable de XLPE de 1000 V, en presencia de una cavidad con agua. ... 22
Figura 2.5. Aumento del campo eléctrico en presencia de agua. ... 22
Figura 2.6. Arborescencias en aislamientos (a) tipo venteada, (b) tipo corbata de moño [3]. ... 24
Figura 2.7. (a) Arborescencia eléctrica [1], (b) árbol de agua en un cable con aislamiento polimérico [8]. ... 24
Figura 2.8. Distribución del campo eléctrico con pantalla semiconductora sobre el conductor [11]. ... 26
Figura 2.9. Líneas equipotenciales al retirar la pantalla sobre el aislamiento. 1-Conductor, 2- Aislamiento, 3- Semiconductora sobre el aislamiento, 4- Aire, 5- Superficies equipotenciales. ... 31
Figura 2.10. Control de esfuerzos eléctricos por medio del cono de alivio. 1- Conductor, 2- Pantalla sobre el aislamiento, 3- Aislamiento, 4- Pantalla sobre el aislamiento, 5- Base del cono de alivio, 6- Plano de tierra [3]. ... 32
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CAPITULO 3. CONCEPTOS FÍSICOS FUNDAMENTALES Y ANÁLISIS DE LA DISTRIBUCIÓN DE CAMPO ELÉCTRICO
Figura 3.1. Líneas de campo eléctrico para una carga positiva. ... 35
Figura 3.2.Superficies equipotenciales. ... 37
Figura 3.3. Desplazamiento de una carga puntual q en un campo electrostático �. ... 38
Figura 3.4. Naturaleza conservativa de un campo electrostático. ... 40
Figura 3.5. Polarización de un átomo... 42
Figura 3.6. Polarización de una molécula polar (a) dipolo permanente (E=0), (b) alineación del dipolo permanente. ... 43
Figura 3.7. Capacitor cilíndrico... 46
Figura 3.8. Distribución de campo eléctrico. ... 50
Figura 3.9. Distribución de campo eléctrico un cable de arreglo coaxial. ... 50
Figura 3.10. Distribución de campo eléctrico en varias permitividades. ... 51
Figura 3.11. Campo eléctrico en las distintas capas de dieléctrico. ... 52
Figura 3.12. Intensidad de campo eléctrico en dieléctrico no lineal. ... 53
CAPÍTULO 4. OPTIMIZACIÓN Figura 4. 1. Raíces y puntos óptimos en una función de una variable. ... 56
Figura 4. 2. Mínimo de = sen . ... 61
Figura 4. 3. Mínimo de la función = ( −3)2−1. ... 62
Figura 4. 4. Esquema del proceso de optimización mediante COMSOL® y MATLAB®. ... 65
Página VI
Figura 5.2. Mallado del cable coaxial. ... 70
Figura 5.3. Radio interno contra máximo campo eléctrico. ... 71
Figura 5. 4 . Relaciones de radios contra máximo campo eléctrico. ... 72
Figura 5.5. Emax contra radio del conductor. ... 74
Figura 5.6. Cable 69 kV, Re/Ri=2.9251, Emax=7.381x106 V/m. ... 75
Figura 5.7. Cable 69 kV con relación óptima Re/Ri= 2.71779, Emax=6.875x106 V/m. ... 75
Figura 5.8. Cable trifásico. ... 76
Figura 5.9. Ondas de tensión trifásicas. ... 78
Figura 5.10. Mallado del cable trifásico. ... 79
Figura 5.11. Superficies equipotenciales y zonas de concentración de campo. ... 79
Figura 5.12. Distribución de campo eléctrico del diseño inicial, Emax=6.831 V/m. ... 82
Figura 5.13. Diseño optimo, Ri/Re=.51012 y Rc/Re=.17505, Emax=5.22 V/m. ... 82
Figura 5.14. Cable 25 kV. (a) Extremo sin recubrimiento, (b) extremo con recubrimiento semiconductor. ... 86
Figura 5.15. (a) Imagen termográfica del extremo sin recubrimiento. (b) Imagen termográfica del extremo con recubrimiento. ... 86
Figura 5.16. Geometría terminal 25 kV. ... 88
Figura 5.17. Terminal sin ningún método de alivio. ... 89
Figura 5.18.Terminal diseño original, 0 = 2.7x10−11 S y �= 7.54x10−6, Emax=2.7641x106 V/m. ... 91
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ANEXO A
Figura I.1. Subdivisión del elemento finito representativo de un dominioirregular. ... 102
Figura I.2. Elemento triangular representativo. La numeración local de los nodos 1, 2, 3 debe seguir la dirección contraria de las manecillas del reloj, como lo indica la flecha.... 104
Figura I.3. Funciones de forma de un elemento triangular (α1 y α2). ... 105
Figura I.4. Reunión de tres elementos. ... 108
ANEXO B
Figura II.1. Punto P y vectores unitarios en el sistema de coordenadas cilíndricas. ... 111ANEXO C
Figura III.1. El primer paso del método consiste en elegir dos puntos satisfaciendo las condiciones de las expresiones (C.1) y (C.2). ... 113Figura III.2. Proceso de decisión en el método de búsqueda dorada. ... 114
Figura III.3. Triángulo inicial y reflexión hacia R. ... 116
Figura III.4. Extensión hacia el punto E. ... 116
Figura III.5. Contracción hacia el punto C. ... 117
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ÍNDICE DE TABLAS
CAPITULO 2. CABLES ELÉCTRICOS SUBTERRÁNEOS
Tabla 2.1. Resistividad de metales a 20°C. ... 14
Tabla 2.2.Ventajas y desventajas de aislamientos más utilizados. ... 19
CAPITULO 5. OPTIMIZACIÓN DEL DISEÑO DIELÉCTRICO A TRAVÉS DE LA MINIMIZACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO Tabla 5.1. Iteraciones de la optimización del arreglo coaxial. ... 73
Tabla 5.1. (Continuación) Iteraciones de la optimización del arreglo coaxial. ... 74
Tabla 5.2. Límites de la geometría del cable trifásico. ... 77
Tabla 5.3. Iteraciones cable trifásico. ... 80
Tabla 5.3(continuación) Iteraciones cable trifásico. ... 81
Tabla 5.4. Ventajas y desventajas de tipos de recubrimientos para la atenuación de esfuerzo eléctrico. ... 84
Tabla 5.5. Dimensiones del cable de 25 kV. ... 87
Tabla 5.6. Propiedades de los elementos de la terminal. ... 88
ANEXO D Tabla IV.1. Constante dieléctrica de algunos materiales comunes [16]. ... 119
Página 1
Resumen
Las exigencias en la demanda de energía eléctrica en los grandes centros urbanos obligan a las compañías suministradoras a mantener altos índices de calidad y continuidad en el suministro de energía. Para poder cumplir con tales requerimientos las compañías suministradoras exigen a los fabricantes de dispositivos eléctricos diseñar equipos que se adecuen a propósitos cada vez más específicos. En la actualidad el diseño de estos dispositivos es afrontado desde diversos enfoques, sin embargo todos persiguen el mismo objetivo que es garantizar la confiabilidad, durabilidad y eficiencia de estos dispositivos. Uno de estos enfoques está dirigido hacia la reducción de campo eléctrico, en el cual se requiere de la evaluación simultánea de un gran número de variables para concebir un diseño óptimo.
Actualmente esta perspectiva de optimización ha tomado gran importancia debido a que la alta concentración de campo eléctrico es un problema recurrente en los dispositivos empleados para la transmisión de energía eléctrica a altos niveles de tensión. Estas concentraciones se presentan donde existe un cambio de material o la geometría del dispositivo se modifica, por ejemplo en empalmes de cables de media y alta tensión, en conexiones para una transición de línea aéreo-subterránea (terminales), en cadenas de aisladores, y en boquillas de transformadores, por mencionar algunos.
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sometida a algoritmos de optimización procedentes de toolbox de MATLAB® con el propósito de minimizar el campo eléctrico. Con esta lógica se presenta la geometría óptima de un cable monofásico y trifásico.
Página 3
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Ante el complejo panorama de la creciente demanda de energía eléctrica, los cables subterráneos constituyen una opción para la transmisión y distribución de energía en lugares donde las condiciones ambientales ocasionan daños de manera frecuente a los conductores aéreos. Las líneas subterráneas son también una de las mejores opciones para distribuir energía en los lugares que se encuentran densamente poblados y donde los derechos de vía son cada vez más difíciles de conseguir o donde la exposición de los conductores a la intemperie representa un peligro para las personas que habitan en sus cercanías.
Página 4 1.1 Objetivos
1.1.1 Objetivo general
Utilizar técnicas de optimización para minimizar el esfuerzo eléctrico producido por distintas configuraciones de cables subterráneos de media y alta tensión empleando el método de elemento finito.
1.1.2 Objetivos particulares
Revisión del estado del arte relacionado con distintas geometrías y materiales empleados en la fabricación de cables subterráneos de media y alta tensión.
Aplicación del programa de simulación de campos electromagnéticos COMSOL para analizar la distribución de campo eléctrico de diversos arreglos de cables.
Aplicación del software COMSOL y su interfaz con MATLAB para la implementación de técnicas de optimización enfocadas a la minimización de campo eléctrico.
1.2 Justificación
En la actualidad el medio más empleado para la transmisión de energía eléctrica desde las fuentes de generación hasta la distribución a los usuarios es mediante las líneas aéreas, las cuales son utilizadas en gran medida debido a su bajo costo de instalación. Una de las características de este tipo de líneas que favorecen la reducción de costos es el utilizar como medio aislante el aire.
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la necesidad de derecho de vía, la seguridad de las personas y la contaminación visual.
Cada día son mayores los retos tecnológicos para lograr la transmisión de energía a los lugares de consumo ubicados en los centros comerciales y bursátiles de las grandes ciudades. Para enfrentar estos retos, se requiere que la transmisión de energía eléctrica se realice a mayores niveles de tensión o corriente. Los cables subterráneos se están convirtiendo en una opción para la transmisión de energía eléctrica, especialmente en aquellos lugares que presentan los problemas anteriormente expuestos.
Un cable subterráneo se compone básicamente de un material conductor cubierto por un material aislante y un blindaje exterior. La mayoría de los nuevos sistemas de potencia de media y alta tensión utilizan cables con capas de aislamiento sólido. Los cables y sus accesorios al igual que otros dispositivos eléctricos sufren envejecimiento de los materiales que los constituyen, aumentando la probabilidad de presentar fallas a medida que aumenta su tiempo de servicio. Los altos esfuerzos eléctricos presentes en los cables junto con imperfecciones en puntos discretos, tales como impurezas de laminación de la pantalla semiconductora y protuberancias producidas durante la fabricación del aislamiento son las principales causa de fallas. Por esta razón existe en la actualidad un gran incentivo por parte de fabricantes de cables subterráneos para el desarrollo de métodos o diseños que permitan reducir los esfuerzos eléctricos en los puntos susceptibles de cables y terminales.
1.3 Estado del arte
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Estados Unidos de América quien en 1960, preocupado por el medio ambiente y la seguridad de sus habitantes, convirtió el lujo de los sistemas subterráneos en una necesidad y entonces se llevaron a cabo los trabajos necesarios para construir sistemas de distribución de energía eléctrica subterráneos, estimando que la vida útil de estos sistemas se prolongaría por un tiempo no menor a los 100 años. El sistema subterráneo instalado en los años 60 funcionó sin inconvenientes hasta 1970 cuando comenzaron a surgir reportes de falla en el sistema eléctrico. Estos reportes fueron incrementándose de manera gradual hasta que en 1976 eran tantos que el servicio público de los EUA confirmó que los cables aislados a través de polímeros salían de servicio cada vez con mayor frecuencia. Dichos acontecimientos provocaron la reacción de los diversos sectores encargados de la fabricación e instalación de los cables subterráneos iniciando así una minuciosa investigación para determinar la razón del corto tiempo de operación. Inicialmente se supuso que las fallas eran debidas al maltrato de conductores durante la instalación pero Investigaciones realizadas posteriormente mostraron que además de una mala instalación las fallas en cables son debidas a las altas concentraciones de campo eléctrico en las zonas donde el dieléctrico del cable presenta humedad, impurezas e intersticios, y en las terminales del cable que no son instaladas correctamente por lo que resulta de suma importancia establecer maneras de reducir las concentraciones de campo eléctrico en dichas zonas [1]. Algunas de las investigaciones realizadas recientemente entorno a lo anterior se enlistan a continuación.
1. Electric Field Distribution Distorted by Voids Inside Power Cables [26].
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2. Electrical Field Calculation of 500kV Cable Terminal and Structural Optimization of Stress Cone [27].
Artículo publicado en el año 2006 en el cual se calcula y analiza con un modelo axialsimétrico de una terminal la influencia de un método de control de esfuerzo eléctrico (cono de alivio). Mediante resultados del análisis de método del elemento finito se concluye que existe una alta concentración de campo eléctrico en la interfaz entre el cono de alivio y el aislamiento del cable de XLPE y que es posible reducir la intensidad de campo en esta zona empleando materiales con alta permitividad.
3. Numerical Simulation of Electric Field Distribution in Cable Terminations [28].
Artículo publicado en Serbia en el año 2003 en el cual se lleva a cabo el análisis de la distribución de campo eléctrico a través de la simulación del modelo de una terminal, concluyendo que la concentración de campo eléctrico puede disminuir si se implementa en la terminal del cable un material de alta permitividad.
4. Electric Field Computation in Wet Cable Insulation Using Finite Element Approach [10].
En este artículo publicado en diciembre del año 2005 se analiza el comportamiento de campo eléctrico en un cable aislado con XLP con presencia de humedad. La obtención del campo eléctrico se llevó a cabo a través del método de elemento finito y se concluye que la presencia de humedad en los aislamientos intensifica el campo en zonas discretas del material donde se localiza la humedad.
5. Diseño óptimo de dispositivos electromagnéticos [24].
Página 8 1.4 Alcances y limitaciones
Los alcances de este trabajo de tesis pueden resumirse en los siguientes:
A partir del enfoque de minimización de campo eléctrico; se utilizó una metodología que consiste en combinar los programas computacionales COMSOL® y MATLAB® para obtener la relación geométrica óptima en cables subterráneos y la conductividad óptima para el material de control de esfuerzo eléctrico comúnmente conocido como recubrimiento atenuador de esfuerzos (RAE).
Las limitaciones con las que se encuentra son:
El modelo de cable empleado en el proceso de optimización es un modelo simplificado basado en el análisis de campo eléctrico en un capacitor cilíndrico, por esta razón no es posible evaluar de manera integral cada una de las variables de las cuales es función el campo eléctrico. Sin embargo se debe de mencionar que esta metodología se puede aplicar a diseños más complicados.
1.5 Estructura de la tesis
La presente tesis se compone de 6 capítulos:
Capitulo 1: Introducción. En este capítulo se describen los objetivos y la justificación. De igual forma se presenta el estado del arte, es decir, los trabajos o artículos los cuales se desarrollaron, aplicaron conceptos o utilizaron herramientas basadas en el método del elemento finito para el análisis del aislamiento en cables y terminales.
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Capitulo 3: Conceptos físicos fundamentales y análisis de la distribución de campo eléctrico, explica los conceptos físicos fundamentales para la comprensión de los resultados obtenidos en el presente trabajo, así como el comportamiento natural del campo eléctrico en diversos medios.
Capitulo 4: Optimización, expone la base teórica de los algoritmos empleados por el software MATLAB® para solucionar problemas de optimización, además explica
el funcionamiento básico de las herramientas de optimización del software y presenta en forma de diagrama de flujo el proceso de optimización empleado en el presente trabajo de tesis.
Capitulo 5: Optimización del diseño dieléctrico a través de la minimización del campo eléctrico. En este capítulo se presentan las relaciones geométricas óptimas conductor/aislante de un cable monofásico y trifásico. De igual forma la conductividad optima de un recubrimiento atenuador de esfuerzos eléctricos (RAE) para minimizar el campo eléctrico en una terminal de un cable de 25 kV. Todo lo anterior se realiza por medio de la interfaz COMSOL®-MATLAB®.
Capitulo 6: Conclusiones, resalta la importancia del uso de modelos y simulaciones en el diseño de dispositivos electromagnéticos y enuncia recomendaciones para trabajos futuros.
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CAPITULO 2. CABLES ELÉCTRICOS SUBTERRÁNEOS
2.1 Introducción
El objetivo principal de un cable eléctrico es transportar la energía eléctrica de manera eficiente, cumpliendo con los parámetros de tensión y corriente para los que fue diseñado y garantizando la continuidad en el servicio. Considerando que los conductores eléctricos son el medio a través del cual se transporta la energía eléctrica desde las fuentes generadoras hasta los centros de consumo, resulta de suma importancia que esta energía no tome otro camino que no sea el conductor, y es por esta razón que todos los conductores se encuentran aislados de alguna manera. El caso de un conductor eléctrico aislado a través de aire, tal como una línea de transmisión aérea, es el caso de aislamiento más simple, y aunque funcionan en general de manera correcta y eficiente, tienen una limitante muy importante: el espacio. Los cables aislados en aire requieren de grandes distancias para evitar que el campo eléctrico que se genera en el cable sea tan intenso que genere nuevos caminos por los cuales pueda fluir la corriente eléctrica, por lo tanto esta limitante ha hecho necesario que se implementen materiales aislantes distintos del aire.
La confiabilidad de un cable eléctrico depende en esencia de los siguientes factores:
a) Las propiedades dieléctricas del material aislante. b) La calidad en la fabricación del cable.
c) El proceso de instalación del cable.
Página 11 2.2 Historia de los cables eléctricos subterráneos
Han pasado ya casi doscientos años desde que en el mundo se llevaron a cabo los primeros experimentos de cables eléctricos subterráneos que fueron elaborados para el desarrollo de líneas de telégrafo y para algunas aplicaciones en la minería. Entre algunos de estos experimentos se encuentran los siguientes [1]:
Cable aislado con tiras de goma de la india, utilizado en 1812 por el Barón Schilling para detonar una carga explosiva a través de un pulso eléctrico en San Petersburgo.
Cables de cobre aislado con algodón empapado con goma laca encerradas en tubos de vidrio que eran colocados en cajones de madera tratada con creosota, utilizado en 1816 por Francisco Ronalds para una línea subterránea de telegrafía.
Cables de cobre aislados con algodón saturado de resina instalados en ranuras separadas por un trozo de madera cubiertos de resina, utilizados en Londres como parte de un proyecto de una línea de telegrafía subterránea.
Cable cubierto por gutapercha introducida en Europa por el Doctor Montgomery en el año 1842 y adoptado por recomendación del Doctor Werner Siemens para el sistema de telégrafos.
Cable aislado con caucho vulcanizado utilizado por primera vez en el año de 1860.
Página 12
mayoría de los casos anteriores la falla era tan grave que la instalación tenía que ser abandonada por completo.
Aún cuando los primeros sistemas eléctricos subterráneos estaban pensados para el uso del telégrafo, en 1879 Thomas A. Edison desarrolló un sistema de distribución de energía eléctrica subterráneo para abastecer un sistema de iluminación, y un año después Ferranti en Londres desarrolló también un sistema de iluminación aprovechando la energía eléctrica [2]. Ambos sistemas de iluminación utilizaban los llamados cables rígidos que estaban formados por barras de cobre aisladas con envoltura de yute. Estos tipos de cables tenían una confiabilidad aceptable y sus principales fallas eran debidas a la gran cantidad de uniones necesarias para este sistema.
A pesar de que los cables rígidos representaron un gran avance, seguían teniendo problemas debido al envejecimiento prematuro de los materiales aislantes utilizados en su fabricación, principalmente por la humedad del terreno donde se instalaban, por lo que Ferranti en 1890 se dio a la tarea de realizar un nuevo diseño de aislamiento de papel impregnado con cera ozokerita, capaz de soportar 10 kV [1]. Este cable estaba formado por dos conductores aislados entre sí por medio de papel impregnado con una cubierta externa del mismo tipo de papel y fueron instalados dentro de un tubo de hierro que funcionaba como cubierta protectora. Este nuevo cable para transmisión de energía cubría una distancia de 12 km; funcionó con muy pocas fallas durante 45 años y sólo fue necesario remplazarlo por el aumento en la demanda de energía [2].
En los años posteriores, Investigaciones realizadas por las distintas cableras y el avance en los materiales dieléctricos nos llevan al uso de los polímeros como materiales dieléctricos en 1941 con la implementación del polietileno. De entre los avances que permitieron un desarrollo de sistemas subterráneos viable y sustentable se encuentran los siguientes:
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b) El proceso de extrusión desarrollado e introducido al mercado entre 1965 y 1975, el cual permitió tener menos fallas en los cables debidas a la fabricación [3].
c) El uso del XLPE o polietileno de cadena cruzada que, aunque fue patentado desde 1950, no se utilizó de manera comercial en esos años debido a que los aditivos para el reticulado eran bastante costosos, y fue utilizado hasta 1980 [1].
d) La introducción en el proceso de curado en seco que elimina en gran medida la presencia de agua en el material aislante del cable [3].
e) La introducción al mercado del TR-XLPE, que es una mejora del XLPE que retarda la aparición de arborescencias [3].
2.3 Estructura general de un cable eléctrico subterráneo
La función primordial de un cable eléctrico subterráneo es transmitir energía eléctrica a niveles de corriente y tensión preestablecidos de manera eficiente. Es por esto que sus elementos constitutivos deben estar diseñados para soportar los efectos combinados de estos parámetros. Las características eléctricas del cable son en gran medida provenientes de los materiales metálicos y dieléctricos utilizados en su construcción [3,4]. La Figura. 2.1 muestra los elementos constitutivos de un cable eléctrico subterráneo.
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1- Conductor
2- Capa semiconductora sobre el conductor 3- Aislamiento
4- Capa semiconductora sobre aislamiento 5- Pantalla metálica
6- Capa protectora general
2.3.1 Conductores
La elección del material del conductor, el tamaño y el diseño deben tomar en consideración elementos tales como [1]:
La ampacidad
El estrés de tensión en el conductor La regulación de voltaje
Las pérdidas en el conductor El radio de curvatura y flexibilidad
La mayoría de los conductores del cable están hechos de cobre porque posee una baja resistividad y excelentes propiedades mecánicas. La conductividad eléctrica del cobre se determina por su contenido de impureza, así como el grado de hibridación que ha sufrido para cambiar su estructura cristalina [4].En la Tabla 2.1 se presentan ejemplos de algunos metales según su resistividad [1].
Tabla 2.1. Resistividad de metales a 20°C.
Metal Ohm-mm2/m×10−8 Ohm-cmil/ft×10−6
Plata 1.629 9.80 Cobre recocido 1.724 10.371
Cobre duro 1.777 10.69 Aluminio suave 2.803 16.82
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Teniendo en cuenta los valores de resistividad de la Tabla 2.1 y el costo de cada uno de estos materiales, el cobre y aluminio son la elección lógica. Como tales, son los metales utilizados predominantemente en la industria del cable en la actualidad. La elección entre conductores de cobre y aluminio debe tomar en cuenta la propiedades de los dos metales, ya que cada uno tiene ventajas que pueden superar a los otros en ciertas condiciones. Las propiedades más importantes para la elección entre estos dos metales se presentan a continuación [1].
2.3.1.1 Resistencia DC
La conductividad del aluminio es de 61.2 % a 62 % la del cobre, por lo tanto, un conductor de aluminio debe tener aproximadamente una sección transversal de 1.6 veces la del cobre para tener una resistencia en DC equivalente a éste.
2.3.1.2 Peso
La principal ventaja del aluminio sobre el cobre es su menor peso, ya que cuenta
con una densidad 2.70 g/cm 3contra 8.89 g/cm3 del cobre. Una unidad de longitud de cable de aluminio desnudo pesa 48% menos que un cable de longitud y de resistencia DC equivalente hecho de cobre.
2.3.1.3 Regulación de tensión
Página 16 2.3.1.4 Corto circuito
Se deben tomar en cuenta las posibles condiciones de corto circuito, ya que los conductores de cobre tienen mayores capacidades de operación de corto circuito. Sin embargo, se debe tener precaución al hacer la comparación de los límites térmicos de los materiales en contacto con el conductor (semiconductor, aislamientos).
2.3.2 Forma
Las formas de los conductores usados en cables son las que se muestran en la Figura 2.2.
Figura 2.2. Forma y medida de los conductores usados en cable. Área efectiva 507 mm2.
(a) Redondo concéntrico, (b) redondo compacto, (c) compacto simple, (d) anular y (e) segmentado [2].
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conductores tiene menor resistencia a la corriente alterna que los conductores redondos por tener un menor efecto pelicular [3,2].
2.4 Aislamiento
La función del aislamiento es confinar la corriente eléctrica en el conductor y contener el campo eléctrico dentro de su masa. El diseño de estos materiales excede los requisitos que demanda su aplicación, pero los efectos de operación, el medio ambiente, las altas concentraciones de campo eléctrico en zonas específicas pueden contribuir a que el aislamiento pierda sus propiedades rápidamente. Todo esto aumenta la probabilidad de que se presente una falla, por lo que es importante seleccionar el más adecuado para cada aplicación [3].
Hasta hace algunos años, el papel impregnado por sus características de confiabilidad y economía, fue el aislamiento utilizado en mayor escala. Cables de transmisión que operan a niveles de tensión por encima de los 46 kV han utilizado este tipo de aislamiento. La aparición y el desarrollo de materiales polímeros sintéticos como el polietileno y el XLPE han desplazado paulatinamente al papel impregnado como material aislante para tensiones de transmisión hasta los 230 kV. El XLPE se considera como el material preferido debido a su facilidad de procesamiento y manipulación, aunque los sistemas de papel/aceite tienen una historia más larga de uso y mucha más información sobre su fiabilidad [1].
Página 18 2.4.1 Aislamientos de papel impregnado con aceite
Los aislamientos de papel impregnado en aceite han sido utilizados desde el principio del desarrollo de cables y aun representan una forma viable de aislamiento. El papel debe ser impregnado con un dieléctrico líquido, que inicialmente era obtenido del petróleo y actualmente son dieléctricos sintéticos [1,4].
Las fibras de celulosa que se usan para fabricar cinta de papel para cables son derivados de la madera, comúnmente de abeto y de pino. El papel tendrá que pasar un adecuado secado al vacío antes de proceder a la impregnación del aceite ya que, de forma contraria, se reducirá de forma severa la resistencia eléctrica a la ruptura. El papel sin humedad es impregnado con un aceite dieléctrico para mejorar las características del aislante [2].
La elección del aceite dieléctrico dependerá directamente de la tensión de operación y la instalación del cable, pudiendo ser: aceite viscoso, aceite viscoso con resinas refinadas, aceite viscoso con polímeros de hidrocarburos, aceite de baja viscosidad y parafinas microcristalinas del petróleo. Las cintas de papel se envuelven en forma helicoidal y el aceite ocupa todos los intersticios, eliminando de esta forma las burbujas de aire en el papel y evitando descargas parciales en servicio [3].
2.4.2 Aislamientos sólidos
Página 19
Tabla 2.2.Ventajas y desventajas de aislamientos más utilizados.
Tipo de aislamiento Ventajas y desventajas
PE
Bajas pérdidas eléctricas
Sensible a la humedad bajo esfuerzo eléctrico
XLPE
Pérdidas eléctricas ligeramente mayores al PE
Menor edad que el PE y menos sensible
EPR
Mayores pérdidas dieléctricas vs XLPE o TRXLPE
Más flexible, menos sensible a la humedad que XLPE o PE
TR-XLPE Al igual que en XLPE, pero un poco más de pérdidas Debido a los aditivos, las pérdidas son menores al EPR.
PVC Mayores pérdidas dieléctricas No se quema, pero tiene bajo rendimiento a los gases tóxicos
A continuación se describen de manera breve los materiales más utilizados para media y alta tensión.
2.4.2.1 Etileno propileno (EPR)
El EPR se ha convertido en el principal contendiente del aislamiento de XLPE de cables de distribución hasta 35 kV, principalmente donde se requiere mayor flexibilidad mecánica. El EPR tiene buenas propiedades eléctricas, ya que tiene una resistividad volumétrica entre 1015 a 1017 ohm-cm, un factor de potencia de
0.007, una rigidez dieléctrica de 900 V/mm y una permitividad relativa de 3.2 [4].
Página 20 2.4.2.2 Polietileno (PE)
Es un material termoplástico producido por la polimerización del etileno como gas a presiones altas o bajas. Eléctricamente, el polietileno posee el mejor conjunto de cualidades que se pueden esperar en un aislamiento sólido, ya que tiene una alta rigidez dieléctrica de 500-700 V/mm y una resistividad volumétrica de > 106
ohm-cm. [4].Además, posee valores bajos de factor de potencia y constante dieléctrica de 0.0002 y 2.3 respectivamente [6]. Por sus propiedades, este material es recomendado para ser usado en la transmisión de energía en alta y mediana tensión, instalaciones submarinas, circuitos de control, medición y protección [5].
La principal desventaja del polietileno se encuentra en el hecho de que, al igual que todos los plásticos, es altamente susceptible a la degradación por descargas corona y, además, sufre una degradación adicional debido a la presencia arborescencias cuando está expuesto a altas tensiones eléctricas [4].
2.4.2.3 Polietileno de cadena cruzada (XLPE)
El polietileno de cadena cruzada se produce por la combinacion de un polietileno termoplastico y un peróxido orgánico bajo ciertas condiciones de presión y temperatura. Este material sin perder las caracteristicas del polietileno, presenta más dureza, rigidez dieléctrica y mayor resistencia mecánica [5,6].
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una renuencia a utilizar cables XLPE para tensiones mayores a 138 kV [4]. Sin embargo, en la actualidad numerosos cables de alta tensión con aislamiento XLPE con tensiones nominales de operación de 500 kV y hasta 40 km de longitud se encuentran en servicio en todo el mundo [7].
Figura 2.3. Cable de 500 kV aislamiento XLPE , 2500 mm2 [7].
2.4.2.3.1 Arborescencias en aislamientos extruidos
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la tensión necesaria para dar inicio a descargas parciales, lo que en conjunto lleva a una descomposición prematura del aislamiento [9].
La Figura 2.4 muestra la representación de un cable coaxial con aislamiento en XLPE, en presencia de una cavidad con agua en forma circular con un radio de
2.5 � ; geometría basada en la referencia [10]. En la Figura 2.5 se observa cómo
se intensifica el campo eléctrico cuando el aislamiento cambia a las propiedades del la burbuja.
Figura 2.4. Cablede XLPE de 1000 V, en presencia de una cavidad con agua.
Figura 2.5. Aumentodel campo eléctrico en presencia de agua.
2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
x 10-3 0
1 2 3 4 5x 10
5
Aislamiento XLPE [m]
C
am
po
e
lé
ctr
ico
[V
/m
Página 23
La transición del campo eléctrico de las propiedades del XLPE a las propiedades del agua ocasiona un aumento en la magnitud del campo, debido a que las permitividades relativas en ambos elementos son muy diferentes: 2.3 para el XLPE y 80 para el agua.
Las arborescencias se forman en el aislamiento de polietileno, polietileno de cadena cruzada y en el etileno propileno (EPR) y se consideran dos tipos [4]:
Arboles de agua, los cuales están influenciados por:
o Humedad (elemento esencial) o Esfuerzo eléctrico
o Vacíos
o Contaminantes o Impurezas iónicas o Temperatura
o Gradiente de temperatura o PH
Arborescencias eléctricas, siendo las posibilidades de desarrollo las siguientes:
o Calentamiento local y descomposición térmica
o Daños mecánicos debidos a esfuerzos eléctricos altos o Agrietamiento por cambios de polaridad
o Pequeños huecos
o Inclusión de aire alrededor de los contaminantes
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campo eléctrico. Los arboles de agua no están formados de canales permanentes, sino que son trayectorias finas a lo largo de los cuales se mueve la humedad impulsada por el gradiente de potencial [2]. La Figura 2.6 muestra dos tipos de arborescencias en aislamientos poliméricos.
Figura 2.6. Arborescencias en aislamientos (a) tipo venteada, (b) tipo corbata de moño [3].
La Figura 2.7 muestra una arborescencia eléctrica provocada por un contaminante en la pantalla sobre el conductor y un árbol de agua en un cable con aislamiento polimérico.
Página 25
La mayor parte de los esfuerzos para a minimizar las ramificaciones eléctricas y los arboles de agua se han concentrado en el empleo de resinas muy limpias y la eliminación de la contaminación, así como la implementación de materiales resistentes a su propagación, como arcilla y cuarzo pulverizados o carbón negro. También se ha intentado eliminar el crecimiento de arborescencias a partir de los huecos internos, llenando estos con SF6 o aceite [2].
2.5 Pantallas eléctricas
Cuando se aplica una tensión entre el conductor y el plano de referencia, el dieléctrico intermedio se ve sometido a esfuerzos eléctricos, los cuales, al ser de magnitud elevada y no darles una forma de control correcta, pueden producir una rápida degradación en el material dieléctrico o causar efectos indeseables en él. La importancia de las pantallas eléctricas radica en que confinan de forma adecuada el campo eléctrico dentro de la masa del aislamiento del cable [3].
Las pantallas eléctricas pueden ser descritas de acuerdo a su localización en la estructura del cable, teniendo así la pantalla semiconductora sobre el conductor y la pantalla sobre el aislamiento.
2.5.1 Pantalla semiconductora sobre el conductor
Página 26
[4,11]. La Figura 2.8 muestra la distribución del campo en un cable con pantalla semiconductora sobre el conductor, donde se puede apreciar que la distribución de campo es uniforme.
Figura 2.8. Distribución del campo eléctrico con pantalla semiconductora sobre el conductor [11].
En sistemas con tensiones a partir de los 2 kV se utiliza la pantalla semiconductora a base de cintas de papel CB (Carbon Black); esto en el caso de los cables con aislamiento de papel impregnado. En los cables que utilizan aislamiento sólido se maneja una pantalla extruida sobre el conductor compatible con el material utilizado en el aislamiento [3].
2.5.2 Pantalla sobre el aislamiento
Página 27
de prevenir la ionización dentro de los espacios de aire entre el aislamiento y la cubierta metálica exterior a tierra [4].
2.5.2.1 Pantalla semiconductora sobre el aislamiento
Esta capa de material semiconductor está en contacto inmediato con el aislante y es aplicada de manera extruida sobre él. Su objetivo es permitir el confinamiento homogéneo de las líneas de campo eléctrico al interior del aislamiento, complementando así la función de la pantalla semiconductora sobre el conductor. Está elaborada de polietileno semiconductor compatible con el aislante. Este material puede estar adherido de manera firme al aislamiento o puede ser de fácil remoción, siendo este último caso el más usado debido a que se debe retirar al momento de implementar una terminal o hacer un empalme [3, 11,12].
Para cables con aislamiento sólido, la pantalla semiconductora puede estar compuesta de una capa de material termofijo o termoplástico con propiedades semiconductoras, de igual forma pueden estar elaborados por cintas o barnices. En el caso de cables aislados con papel impregnado en aceite se manejan cintas de papel CB (Carbon Black) [3].
2.5.2.2 Pantalla metálica
La pantalla metálica puede estar constituida de alambres, cintas planas o corrugadas o la combinación de alambre y cintas. La pantalla metálica puede estar diseñada conforme a diversos propósitos, tales como [12]:
propósitos electrostáticos
para conducir corrientes de falla
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dentro del cable, además de proporcionar protección a tierra para el cable contra potenciales que pueden ser inducidos [4,6].
2.6 Armadura
La armadura en los cables es utilizada para proporcionar protección mecánica y para agregar cierta fuerza a la estructura del cable.
La construcción total del cable debe de ser lo suficientemente fuerte para soportar cualquier tipo de jalón y debe de ser capaz de sostener las presiones a las que es sometido. Con el propósito de proteger a los cables contra los daños mecánicos se emplean varias tipos de armaduras, pudiendo ser: armadura con fleje de acero aplicado en espiral abierta para cables que se instalan directamente enterrados, armadura de hilos de acero aplicados en forma de espiral con paso muy largo sobre el cable para cubrirlo completamente [4,5].
2.7 Cubierta protectora
Para que un cable cumpla con su función básica de transmitir energía de manera eficiente, las características de éste deben estar presentes durante el tiempo de instalación y operación, por lo cual es importante protegerlo contra agentes externos que puedan alterar su funcionamiento, siendo ésta la función primordial de las cubiertas.
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anteriores, la corrosión puede tener lugar debido a las corrientes galvánicas que se generan entre las diferentes superficies metálicas en contacto [4].
La cubierta es el elemento que cubre el cable, por esta razón el material debe cumplir con los siguientes aspectos [11]:
Resistencia a la humedad Comportamiento frente a llama Resistencia a los rayos UV
Resistencia al impacto y abrasión Resistencia a los hidrocarburos
Aquellos cables con aislamiento sólido y los cables armados usan por lo general cubiertas protectoras. Los primeros usan cubiertas que tengan el mismo coeficientes de dilatación, temperatura, etc., es decir, que sean compatibles con el aislamiento. Los materiales de las cubiertas pueden ser de cloruro de polivinilo (PVC), polietileno o neopreno. Los segundos se protegen de la corrosión principalmente por medio de una cubierta termoplástica [5].
2.8 Terminales de media tensión
El uso de las terminales en los sistemas de distribución subterránea tiene como objetivo principal controlar y reducir los esfuerzos eléctricos producidos en el aislamiento del cable al interrumpir y retirar la pantalla sobre el aislamiento. Como objetivo secundario se encuentra proporcionar al cable una distancia de fuga aislada adicional y un cierre hermético [3].
Página 30 2.8.1 Principio de operación
La terminal es una forma de preparar el extremo de un cable para proporcionarle las propiedades eléctricas y mecánicas necesarias. Cuando un cable de media o alta tensión termina, la pantalla sobre el aislamiento finaliza abruptamente y es cuando el aislamiento del cable cambia a aire. En esta condición, la concentración de esfuerzos eléctricos es de mayor intensidad en el límite del conductor y en la pantalla sobre el aislamiento [1].
Con el fin de reducir el esfuerzo eléctrico en el extremo del cable, la pantalla semiconductora sobre el aislamiento es retirada por una distancia lo suficientemente grande para proporcionar distancia de fuga entre el conductor y la pantalla sobre el aislamiento, es decir, se agrega una sección aislada adicional en aire. La distancia a la cual se corta la pantalla sobre el aislamiento depende de los niveles de tensión involucrados, así como de las condiciones ambientales. La eliminación de la pantalla sobre el aislamiento interrumpe la estructura del arreglo coaxial de conductores, de tal forma que la distribución de campo eléctrico no es uniforme, provocando en la mayoría de los casos que los esfuerzos eléctricos resultantes sean muy elevados. Lo anterior contribuye a la degradación de los materiales dieléctricos en el borde de la pantalla semiconductora, a menos que se adopten las medidas adecuadas para reducir la concentración de campo eléctrico [1].
Página 31
Figura 2.9. Líneasequipotenciales al retirar la pantalla sobre el aislamiento. 1-Conductor, 2- Aislamiento, 3- Semiconductora sobre el aislamiento, 4- Aire, 5- Superficies
equipotenciales.
2.8.2 Métodos de control de esfuerzos eléctricos
A continuación se describen de manera breve las características más importantes de las técnicas utilizadas para reducir el esfuerzo eléctrico en la sección donde se retira la pantalla sobre el aislamiento.
2.8.2.1 Método geométrico (cono de alivio)
Página 32
conductor y extiende el componente dieléctrico reduciendo la tensión por unidad de longitud. Este método de alivio da como resultado que las líneas equipotenciales estén más separadas reduciendo así la concentración de campo eléctrico [3,1].
La Figura 2.10 muestra la distribución de los esfuerzos eléctricos cuando se utiliza el cono de alivio
Figura 2.10. Control de esfuerzos eléctricos por medio del cono de alivio. 1- Conductor, 2- Pantalla sobre el aislamiento, 3- Aislamiento, 4- Pantalla sobre el aislamiento, 5- Base del
cono de alivio, 6- Plano de tierra [3].
2.8.2.2 Método de la resistividad variable
El método de la resistividad variable consta de una combinación de materiales resistivos y capacitivos que distribuyen las líneas equipotenciales, consiguiendo de esta forma reducir el esfuerzo eléctrico sobre el aislamiento del cable. Los materiales usados en este método son: cintas, pastas o materiales termocontráctiles [3].
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de campo eléctrico en el límite de la pantalla [1]. La Figura 2.11 muestra la distribución de los esfuerzos eléctricos utilizando este método.
Figura 2.11. Control de esfuerzos eléctricos utilizando el método de resistividad variable. 1- Conductor, 2- Aislamiento, 3- Semiconductora sobre el aislamiento, 4- Recubrimiento
atenuador de esfuerzo eléctrico. (RAE), 5- Aire, 6- Superficies equipotenciales.
2.8.2.3 Método capacitivo
Página 34
CAPITULO 3. CONCEPTOS FÍSICOS FUNDAMENTALES Y
ANÁLISIS DE LA DISTRIBUCIÓN DE CAMPO ELÉCTRICO
Para el análisis de la distribución del campo eléctrico que se presenta en los siguientes capítulos, resulta necesario tener presente algunos conceptos básicos como son: campo eléctrico, permitividad, rigidez dieléctrica, etc., los cuales permiten tener un entendimiento claro de los resultados obtenidos. A continuación se muestra una breve explicación de estos conceptos.
3.1 Ley de coulomb y definición de campo eléctrico
El espacio alrededor de una carga eléctrica presenta una condición muy particular, debido a la fuerza que caracteriza a dicha carga. Se dice que el campo eléctrico existe en cualquier región donde fuerzas eléctricas actúan, la idea para definir el campo eléctrico es que campos y fuerzas están ligados estrechamente [31,14].
La fuerza electrostática entre dos cargas puntuales y estacionarias denominadas
1 y 2 es proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que los separa ( ). La fuerza que las cargas ejercen una sobre la otra está dada por la ecuación (3.1) [30].
=
1 24 �0 2
(3.1)
Dicha fuerza ejercida sobre un cuerpo, por ejemplo una carga de prueba, no parece tener una existencia real si es separada del objeto sobre el que actúa. Sin embargo, en teoría electromagnética se utiliza el término de campo como la fuerza ejercida por unidad de carga, independientemente de si está o no causando algún efecto sobre cuerpos cercanos. Bajo esta lógica se define al campo eléctrico
Página 35
indicar que dicha carga de prueba es tan pequeña que no altera la distribución original de las cargas cuyo campo se desea medir. La ecuación 3.2 describe matemáticamente lo enunciado anteriormente [16].
= lim 0→0
0 (3.2)
Para N cargas puntuales q1, q2,…, qNsituadas en r1, r2,…, rN, la intensidad de
campo eléctrico en el punto r se obtiene con la ecuación (3.3) [15].
=
14 �0
− − 3 �
=1 (3.3)
La manera más común de construir una representación visual de un campo eléctrico es usar flechas o líneas de fuerza que apunten en dirección del campo en cada punto del espacio [31]. Si esta fuerza se debe sólo a una carga eléctrica, la representación las fuerzas experimentadas en la carga de prueba es simple. Las líneas son de tal naturaleza que el vector campo eléctrico es tangente a ellas en cada punto del campo, tal y como se muestra en la Figura 3.1.
Página 36 3.1.2 Clasificación de los campos eléctricos
De manera general la clasificación de campos eléctricos se realiza de acuerdo con la función que en ellos desempeña el tiempo. Así, se tienen cuatro tipos de campos diferentes [14].
1. Campos estáticos. En estos campos todos los fenómenos son independientes del tiempo. En ellos no circulan cantidades o magnitudes eléctricas: es decir, no puede circular una intensidad de corriente. El campo estático necesita energía para su formación pero no para su existencia.
2. Campos estacionarios. Este tipo de campo es característico de la corriente continua. En estos campos se presenta una circulación de corriente pero de magnitud constante e independiente del tiempo.
3. Campos cuasi-estacionarios. Las magnitudes que intervienen en este tipo de campos pueden variar con el tiempo. Estos campos son representativos de la corriente alterna siempre y cuando la emisión de energía electromagnética en forma de ondas y la velocidad de propagación asociada a ésta no tenga un papel determinante.
4. Campos no estacionarios. Son representativos de los campos de variación rápida en los cuales no tienen validez las limitaciones citadas en el campo 3.
3.2 Superficies equipotenciales
Página 37
se cortan ya que en ellas el potencial es constante y no varía [30]. En la Figura 3.2 se muestran las líneas equipotenciales (en color gris) trazadas para una configuración de una carga positiva y una carga negativa.
Figura 3.2.Superficies equipotenciales.
3.3 Potencial eléctrico
Suponiendo que se desea mover una carga puntual del punto A al punto B en un
campo eléctrico como se muestra en la Figura 3.3. De acuerdo con la ley de Coulomb, la fuerza en es = , de manera que el trabajo realizado para
desplazar la carga por l puede ser expresado a partir de la ecuación 3.4 [15].
Página 38
Figura 3.3. Desplazamiento de una carga puntual q en un campo electrostático � .
El signo negativo indica que el trabajo lo realiza un agente externo. En consecuencia, el trabajo total realizado o la energía potencial requerida para mover de A a B es
=
−
·
(3.5)Al dividir W entre en la ecuación (3.5) se obtiene la energía potencial por unidad
de carga. Esta cantidad que se designa por VAB, se conoce como la diferencia de
potencial entre los puntos A y B:
=
=
−
·
(3.6)
En la definición del potencial eléctrico anterior, es preciso hacer hincapié en los siguientes puntos [15].
1. En la determinación de VAB, A es el punto inicial y B es el punto final.
También VAB es independiente de la trayectoria tomada y se mide en
Joules por coulomb o Volts.
2. Si VAB es negativa, hay una pérdida de energía potencial al mover de A a
Página 39
positiva, hay una ganancia de energía potencial en el movimiento, lo que significa que un agente externo realiza el trabajo.
En general el potencial en cualquier punto se define como la diferencia de potencial entre ese punto y otro punto escogido. Con frecuencia se toma la función potencial como igual a cero en el punto infinito, con esta selección se puede decir que el potencial a una distancia r en un punto arbitrario es igual al trabajo
requerido por unidad de carga para llevar desde el infinito hasta el punto elegido una carga de prueba positiva [16]. Esto es:
=
−
∞·
(3.7)3.4 Relación entre campo eléctrico (� ) y potencial eléctrico (V)
La diferencia de potencial entre los puntos A y B es independiente de la trayectoria que se tome. Entonces
= − (3.8)
Es decir
+ = · = 0 (3.9)
· = 0 (3.10)
Esto quiere decir que la integral de línea a lo largo de una trayectoria cerrada, como la que se ilustra en la Figura 3.4, debe ser cero. Esto implica que no se realiza trabajo para mover una carga a lo largo de una trayectoria cerrada en un campo electrostático. Si se aplica el teorema de Stokes en la ecuación (3.10) se obtiene [15]:
Página 40
∇ × E = 0 (3.12)
Todo campo vectorial que satisface la ecuación (3.11) o la (3.12) se dice que es conservativo. Consecuentemente un campo electrostático es un campo conservativo. A la ecuación (3.11) o a la (3.12) se les conoce como ecuación de Maxwell para campos electrostáticos [15].
Figura 3.4. Naturaleza conservativa de un campo electrostático.
De acuerdo a la definición de potencial establecida en la ecuación (3.7), se deduce que [15]:
=−
·
=
− − − (3.13)Debido a que la derivada del potencial puede determinarse con la ecuación (3.14)
=�
� +
�
� +
�
� (3.14)
Al comparar las expresiones (3.13) y (3.14) de se tiene:
=−�
� , =− �
� , =− �
� (3.15)
Así
Página 41
La ecuación (3.16) expresa que para campos electrostáticos la intensidad de campo eléctrico es el gradiente de V. El signo menos indica que apunta en la
dirección decreciente de V, es decir, que el negativo de la rapidez de cambio del
potencial en una dirección es la componente de E en esa dirección [15,30].
La intensidad de campo E y el potencial eléctrico V son descripciones equivalentes
en electrostática. Entonces si el potencial en cierta región es conocido, la intensidad de campo eléctrico se puede calcular por medio de la ecuación (3.16) [30].
3.5 Corrientes de desplazamiento y de conducción.
La corriente de convección o de desplazamiento no implica conductores y por lo tanto no satisface la Ley de Ohm. Ocurre cuando la corriente fluye a través de un medio dieléctrico. Un haz de electrones a través de un tubo al vacío es una corriente de convección [15].
La corriente de conducción es provocada por el flujo de cargas y se puede definir como la cantidad de carga eléctrica que atraviesa la sección transversal de un conductor por unidad de tiempo. Sus unidades en el S.I es el ampere (A) y matemáticamente se puede expresar como
�
=
(3.17)3.6 Polarización en los dieléctricos
Página 42
rompe el equilibrio entre las fuerzas que actúan en el núcleo y las capas exteriores del átomo [15].
Considerando un dieléctrico compuesto de átomos neutrales, el cual se encuentra libre de la acción de campos eléctricos. En él las cargas positivas y negativas se mantienen en equilibrio de manera que hacia el exterior no actúa ningún momento dipolar, pero al aplicarle un campo eléctrico se observa un desplazamiento de cargas negativas y positivas como se observa en la Figura 3.5(a). Como resultado se crea un momento dipolar, el cual será más intenso mientras mayor sea el campo eléctrico en cuestión. Una vez que desaparezca el campo eléctrico lo hará también el momento dipolar [14].
Figura 3.5. Polarización de un átomo
Por momento dipolar se entiende: dos cargas eléctricas, iguales entre sí pero de signos opuestos (±Q), separadas por una distancia d, conforman el momento
dipolar p (Figura 3.5 (b)), donde
= (3.18)
Página 43
hidrogeno, etc. Las moléculas de dieléctricos no polares no poseen dipolos hasta la aplicación de un campo eléctrico. Otro tipo de moléculas como el agua, el dióxido de azufre y el acido clorhídrico poseen dipolos permanentes integrados de orientación aleatoria, como se muestra en la Figura 3.6 (a). A este tipo de moléculas se les conoce como moléculas polares. Cuando se aplica un campo eléctrico a una molécula polar el dipolo permanente de ésta experimenta un torque que tiende a alinear el dipolo de la molécula en paralelo con el campo eléctrico aplicado, tal y como se muestra en la Figura 3.6 (b) [15].
Figura 3.6. Polarización de una molécula polar (a) dipolo permanente (E=0), (b) alineación del dipolo permanente.
.
3.7 Constante y rigidez dieléctricas
Página 44
En la Tabla IV.1 del anexo C se muestran algunos valores de permitividad relativa de materiales comunes. Estos valores de permitividad son aplicables para campos estáticos o de baja frecuencia (>1000Hz).
Los dieléctricos de manera ideal son materiales en los cuales no puede haber una migración masiva de electrones ya que estos no se pueden mover libremente [32]. Sin embargo en la práctica ningún dieléctrico es ideal. Cuando el campo eléctrico en un dieléctrico es suficientemente grande comienza a arrebatar electrones a las moléculas y el dieléctrico se convierte en conductor, caso en el que se dice que ha ocurrido una ruptura dieléctrica. Ésta puede ser en cualquier tipo de materiales dieléctricos (gases, líquidos y sólidos) y depende de la naturaleza del material, la temperatura, la humedad y la duración del periodo de aplicación del campo. El valor mínimo del campo eléctrico en el que ocurre la ruptura dieléctrica se llama rigidez dieléctrica [15].
La rigidez dieléctrica de un material aislante se define como la máxima intensidad de campo eléctrico con la cual dicho material pierde sus propiedades aislantes y pasa a ser un material conductor. También puede definirse como el campo eléctrico necesario para que un material aislante sufra una ruptura dieléctrica. Sus unidades son en V/m, aunque muy comúnmente los fabricantes de cables expresan la rigidez del material dieléctrico del cable en kV/mm [6]. En cables de energía el valor de la rigidez dieléctrica suele ser de 4 a 5 veces mayor que el gradiente de operación normal. Aun con esta condición, los cables de energía presentan fallas con el paso del tiempo debido a que el material disminuye su rigidez dieléctrica por la exposición a un campo eléctrico constante y a otros agentes como la humedad y la temperatura [3].
Página 45 3.8 Condiciones en la frontera
El campo eléctrico no solo existe en un medio homogéneo, sino que también está presente en una región compuesta por dos medios distintos. El campo eléctrico es espacialmente continuo si no presenta cambios abruptos de magnitud o dirección en función de su posición en el espacio. Aun cuando el campo eléctrico sea continuo en cada uno de dos medios distintos, podría no ser así en la frontera entre ellos. Las condiciones de frontera especifican como están relacionadas las componentes normales y tangenciales del campo en un medio con los componentes del campo a través de la frontera en otro medio. Estas condiciones son útiles para determinar el campo en uno de los lados de la frontera si el campo en el otro lado es conocido. Obviamente tales condiciones son impuestas por el tipo de material con el que se han producido los medios sometidos al campo eléctrico. Generalmente pueden ubicarse las siguientes condiciones en la frontera como las más comunes para este tipo de estudios [15,32]:
Dieléctrico � 1 y dieléctrico � 2 Conductor y dieléctrico Conductor y vacío
3.9. Capacitor cilíndrico
En la práctica es común encontrar electrodos en forma de cilindros coaxiales, por ejemplo en cables subterráneos como pasa muros (bushings), en el bobinado de algunos transformadores etc. [24].
Página 46
presenta la deducción de dicho modelo, tomando como base la Figura 3.7 en la cual se muestra un arreglo coaxial (arreglo básico utilizado en cables).
Figura 3.7. Capacitor cilíndrico.
donde:
a) El círculo central representa el material conductor b) La zona sombreada representa el material dieléctrico c) Va : Potencial al cual se encuentra el conductor
d) Vb : Potencial al cual se encuentra el cilindro exterior (funda)
e) a : Radio interno del conductor
f) b : Distancia que existe del centro del conductor a el final del material
dieléctrico.
g) r : Radio variable (representa el punto en el cual se desea conocer la
intensidad de campo eléctrico).
Página 47
obtención del modelo (observar en el anexo A la representación en coordenadas cilíndricas de un punto).
Para dar solución al problema del tipo electrostático planteado se utiliza la ecuación de Laplace. La ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas para este caso es la siguiente:
2
=
1 �� �
�
+
1
2 �2 �∅2
+
�2
� 2
= 0
(3.19)Debido a que el arreglo presentado posee simetría radial (es decir, no existen variaciones de las componentes ∅ y z ) las derivadas parciales en la ecuación de
Laplace para estas componentes son constantes, por lo cual tenemos que:
1 �
� �
�
= 0
(3.20)Como la ecuación resultante depende únicamente de una variable podemos expresar la derivada parcial como una derivada total de la siguiente manera:
1
= 0
(3.21)De esta manera el paso siguiente es integrar de manera directa a V. En este punto
la solución del problema no es única pero se expresa bajo la forma de las constantes de integración desconocidas por determinar
= 0
= 0
= 0 + 1
