pero evitaremos los detalles t ´ecnicos.

Ley de los Grandes N ´umeros Un repaso te ´orico

La ley de los grandes n ´umeros

I_{ntuitivamente}: la ley de los grandes n ´umeros dice que si uno realiza

muchas veces un experimento aleatorio, al promediar los resultados

nos acercamos a la probabilidad de ´exito del experimento realizado.

Por ejemplo, si tiramos una moneda muchas veces, anotamos con1si

sale cara y0si sale n ´umero, obtenemos

f

n

=

cantidad de caras obtenidas

cantidad de lanzamientos

→

1

2

=P(“salga cara”)

Formalmente tenemos que hablar de convergencia en probabilidad y

convergencia casi segura, pero evitaremos los detalles t ´ecnicos.

Ley de los Grandes N ´umeros Un repaso te ´orico

Teorema 4.1 (Ley de Los Grandes N ´umeros)

SeanX

1, . . . ,

X

n, . . .

v.a. sobre un espacio(Ω,A,_P),

independientes

dos a dos y con esperanza com ´unE(X

n

)=µ. Entonces

X

1

+· · ·+X

n

n

→µ

¿En qu ´e sentido es la convergencia.?

Ley de los Grandes N ´umeros Un repaso te ´orico

Teorema 4.1 (Ley de Los Grandes N ´umeros)

SeanX

1, . . . ,

X

n, . . .

v.a. sobre un espacio(Ω,A,_{P), independientes}

dos a dos y con esperanza com ´unE(X

n

)=µ.

Entonces

X

1

+· · ·+X

n

n

→µ

¿En qu ´e sentido es la convergencia.?

Ley de los Grandes N ´umeros Un repaso te ´orico

Teorema 4.1 (Ley de Los Grandes N ´umeros)

SeanX

1, . . . ,

X

n, . . .

v.a. sobre un espacio(Ω,A,_{P), independientes}

dos a dos y con esperanza com ´unE(X

n

)=µ. Entonces

X

1

+· · ·+X

n

n

→µ

¿En qu ´e sentido es la convergencia.?

Ley de los Grandes N ´umeros Un repaso te ´orico

Teorema 4.1 (Ley de Los Grandes N ´umeros)

SeanX

1, . . . ,

X

n, . . .

v.a. sobre un espacio(Ω,A,_{P), independientes}

dos a dos y con esperanza com ´unE(X

n

)=µ. Entonces

X

1

+· · ·+X

n

n

→µ

¿En qu ´e sentido es la convergencia.?

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

Aplicaci ´on de la LGN al c ´alculo de ´areas

Intentemos de calcular el ´area del circulo de radio1:

C={_(x,_{y) :x}

2

_+y

2

≤₁}

Lo primero que vamos a hacer es hacer la gr ´afica de la regi ´onC

Notemos que basta con calcular el ´area en el primer cuadrante y multi- plicarla por4.

Por lo tanto nos concentramos en el primer cuadrante.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

Aplicaci ´on de la LGN al c ´alculo de ´areas

Intentemos de calcular el ´area del circulo de radio1:

C={_(x,_{y) :x}

2

_+y

2

≤₁}

Lo primero que vamos a hacer es hacer la gr ´afica de la regi ´onC

Notemos que basta con calcular el ´area en el primer cuadrante y multi- plicarla por4.

Por lo tanto nos concentramos en el primer cuadrante.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

Aplicaci ´on de la LGN al c ´alculo de ´areas

Intentemos de calcular el ´area del circulo de radio1:

C={_(x,_{y) :x}

2

_+y

2

≤₁}

Lo primero que vamos a hacer es hacer la gr ´afica de la regi ´onC

Notemos que basta con calcular el ´area en el primer cuadrante y multi- plicarla por4.

Por lo tanto nos concentramos en el primer cuadrante.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

Aplicaci ´on de la LGN al c ´alculo de ´areas

Intentemos de calcular el ´area del circulo de radio1:

C={_(x,_{y) :x}

2

_+y

2

≤₁}

Lo primero que vamos a hacer es hacer la gr ´afica de la regi ´onC

Notemos que basta con calcular el ´area en el primer cuadrante y multi- plicarla por4.

Por lo tanto nos concentramos en el primer cuadrante.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

Aplicaci ´on de la LGN al c ´alculo de ´areas

Intentemos de calcular el ´area del circulo de radio1:

C={_(x,_{y) :x}

2

_+y

2

≤₁}

Lo primero que vamos a hacer es hacer la gr ´afica de la regi ´onC

Notemos que basta con calcular el ´area en el primer cuadrante y multi- plicarla por4.

Por lo tanto nos concentramos en el primer cuadrante.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

Aplicaci ´on de la LGN al c ´alculo de ´areas

Intentemos de calcular el ´area del circulo de radio1:

C={_(x,_{y) :x}

2

_+y

2

≤₁}

Lo primero que vamos a hacer es hacer la gr ´afica de la regi ´onC

Notemos que basta con calcular el ´area en el primer cuadrante y multi- plicarla por4.

Por lo tanto nos concentramos en el primer cuadrante.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

El procedimiento consiste en:

1 _{Obtener realizaciones(u}

1,u0₁)del vector(U1,U₁0)∼Uni f[0,1]×[0,1]

2 _{Verificar si(u}

1,u0₁)“cae” en el cuarto de c´ırculoC∗.

3 _Anotar

(

1 si(u1,u0₁)∈ C∗

0 si(u1,u0₁)<C∗

4 _{Luego repetimos este razonamientonveces}

5 _{Por ´ultimo hallamos fnel promedio de las veces que quedamos en}C∗

. Seg ´un la LGN, tenemos que fn−→c.s. _p=_{P(“caer en}C∗

”)=“ ´area deC∗

”.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

El procedimiento consiste en:

1 _{Obtener realizaciones(u}

1,u0₁)del vector(U1,U₁0)∼Uni f[0,1]×[0,1]

2 _{Verificar si(u}

1,u0₁)“cae” en el cuarto de c´ırculoC∗.

3 _Anotar

(

1 si(u1,u0₁)∈ C∗

0 si(u1,u0₁)<C∗

4 _{Luego repetimos este razonamientonveces}

5 _{Por ´ultimo hallamos fnel promedio de las veces que quedamos en}C∗

. Seg ´un la LGN, tenemos que fn−→c.s. _p=_{P(“caer en}C∗

”)=“ ´area deC∗

”.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

El procedimiento consiste en:

1 _{Obtener realizaciones(u}

1,u0₁)del vector(U1,U₁0)∼Uni f[0,1]×[0,1]

2 _{Verificar si(u}

1,u0₁)“cae” en el cuarto de c´ırculoC∗.

3 _Anotar

(

1 si(u1,u0₁)∈ C∗

0 si(u1,u0₁)<C∗

4 _{Luego repetimos este razonamientonveces}

5 _{Por ´ultimo hallamos fnel promedio de las veces que quedamos en}C∗

. Seg ´un la LGN, tenemos que fn−→c.s. _p=_{P(“caer en}C∗

”)=“ ´area deC∗

”.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

El procedimiento consiste en:

1 _{Obtener realizaciones(u}

1,u0₁)del vector(U1,U₁0)∼Uni f[0,1]×[0,1]

2 _{Verificar si(u}

1,u0₁)“cae” en el cuarto de c´ırculoC∗.

3 _Anotar

(

1 si(u1,u0₁)∈ C∗

0 si(u1,u0₁)<C∗

4 _{Luego repetimos este razonamientonveces}

5 _{Por ´ultimo hallamos fnel promedio de las veces que quedamos en}C∗

. Seg ´un la LGN, tenemos que fn−→c.s. _p=_{P(“caer en}C∗

”)=“ ´area deC∗

”.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

El procedimiento consiste en:

1 _{Obtener realizaciones(u}

1,u0₁)del vector(U1,U₁0)∼Uni f[0,1]×[0,1]

2 _{Verificar si(u}

1,u0₁)“cae” en el cuarto de c´ırculoC∗.

3 _Anotar

(

1 si(u1,u0₁)∈ C∗

0 si(u1,u0₁)<C∗

4 _{Luego repetimos este razonamientonveces}

5 _{Por ´ultimo hallamos fnel promedio de las veces que quedamos en}C∗

. Seg ´un la LGN, tenemos que fn−→c.s. _p=_{P(“caer en}C∗

”)=“ ´area deC∗

”.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

El procedimiento consiste en:

1 _{Obtener realizaciones(u}

1,u0₁)del vector(U1,U₁0)∼Uni f[0,1]×[0,1]

2 _{Verificar si(u}

1,u0₁)“cae” en el cuarto de c´ırculoC∗.

3 _Anotar

(

1 si(u1,u0₁)∈ C∗

0 si(u1,u0₁)<C∗

4 _{Luego repetimos este razonamientonveces}

5 _{Por ´ultimo hallamos fnel promedio de las veces que quedamos en}C∗

.

Seg ´un la LGN, tenemos que fn−→c.s. _p=_{P(“caer en}C∗

”)=“ ´area deC∗

”.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

El procedimiento consiste en:

1 _{Obtener realizaciones(u}

1,u0₁)del vector(U1,U₁0)∼Uni f[0,1]×[0,1]

2 _{Verificar si(u}

1,u0₁)“cae” en el cuarto de c´ırculoC∗.

3 _Anotar

(

1 si(u1,u0₁)∈ C∗

0 si(u1,u0₁)<C∗

4 _{Luego repetimos este razonamientonveces}

5 _{Por ´ultimo hallamos fnel promedio de las veces que quedamos en}C∗

. Seg ´un la LGN, tenemos que fn−→c.s. _p=_{P(“caer en}C∗

”)=“ ´area deC∗

”.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

A continuaci ´on tenemos una lista para distintos valores den“suficientemente

grande”, n fn 10 0,60000 100 0,77000 1 000 0,79600 10 000 0,78850 100 000 0,78600 1 000 000 0,78593 10 000 000 0,78533 ... ...

Este proceso no nos da el valor exacto, pero al menos podemos tener una aproximaci ´on.

Recordemos que el ´area deC∗

es π₄ ≈₀,_7854.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

A continuaci ´on tenemos una lista para distintos valores den“suficientemente

grande”, n fn 10 0,60000 100 0,77000 1 000 0,79600 10 000 0,78850 100 000 0,78600 1 000 000 0,78593 10 000 000 0,78533 ... ...

Este proceso no nos da el valor exacto, pero al menos podemos tener una aproximaci ´on.

Recordemos que el ´area deC∗

es π₄ ≈₀,_7854.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

A continuaci ´on tenemos una lista para distintos valores den“suficientemente

grande”, n fn 10 0,60000 100 0,77000 1 000 0,79600 10 000 0,78850 100 000 0,78600 1 000 000 0,78593 10 000 000 0,78533 ... ...

Este proceso no nos da el valor exacto, pero al menos podemos tener una aproximaci ´on.

Recordemos que el ´area deC∗

es π₄ ≈₀,_7854.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

A continuaci ´on tenemos una lista para distintos valores den“suficientemente

grande”, n fn 10 0,60000 100 0,77000 1 000 0,79600 10 000 0,78850 100 000 0,78600 1 000 000 0,78593 10 000 000 0,78533 ... ...

Este proceso no nos da el valor exacto, pero al menos podemos tener una aproximaci ´on.

Recordemos que el ´area deC∗

es π₄ ≈₀,_7854.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

A continuaci ´on tenemos una lista para distintos valores den“suficientemente

grande”, n fn 10 0,60000 100 0,77000 1 000 0,79600 10 000 0,78850 100 000 0,78600 1 000 000 0,78593 10 000 000 0,78533 ... ...

Este proceso no nos da el valor exacto, pero al menos podemos tener una aproximaci ´on.

Recordemos que el ´area deC∗

es π₄ ≈₀,_7854.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

A continuaci ´on tenemos una lista para distintos valores den“suficientemente

grande”, n fn 10 0,60000 100 0,77000 1 000 0,79600 10 000 0,78850 100 000 0,78600 1 000 000 0,78593 10 000 000 0,78533 ... ...

Este proceso no nos da el valor exacto, pero al menos podemos tener una aproximaci ´on.

Recordemos que el ´area deC∗

es π₄ ≈₀,_7854.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

A continuaci ´on tenemos una lista para distintos valores den“suficientemente

grande”, n fn 10 0,60000 100 0,77000 1 000 0,79600 10 000 0,78850 100 000 0,78600 1 000 000 0,78593 10 000 000 0,78533 ... ...

Este proceso no nos da el valor exacto,

pero al menos podemos tener una aproximaci ´on.

Recordemos que el ´area deC∗

es π₄ ≈₀,_7854.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

A continuaci ´on tenemos una lista para distintos valores den“suficientemente

grande”, n fn 10 0,60000 100 0,77000 1 000 0,79600 10 000 0,78850 100 000 0,78600 1 000 000 0,78593 10 000 000 0,78533 ... ...

Este proceso no nos da el valor exacto, pero al menos podemos tener una aproximaci ´on.

Recordemos que el ´area deC∗

es π₄ ≈₀,_7854.

Ley de los Grandes N ´umeros Aplicaci ´on al c ´alculo de ´areas

A continuaci ´on tenemos una lista para distintos valores den“suficientemente

grande”, n fn 10 0,60000 100 0,77000 1 000 0,79600 10 000 0,78850 100 000 0,78600 1 000 000 0,78593 10 000 000 0,78533 ... ...

Este proceso no nos da el valor exacto, pero al menos podemos tener una aproximaci ´on.

Recordemos que el ´area deC∗

es π₄ ≈₀,_7854.

Un problema parad ´ojico Problema del castillo

El problema del castillo

In document Encuentro_oct_2011.pdf (página 109-137)