Pla de fases i estudi qualitatiu del moviment

Algunes de les propietats de les solucions d’una equaci´o diferencial es poden deduir de la pr`opia equaci´o sense resoldre-la. Hem vist que una equaci´o diferencial t´e, en general, infinites solucions. Tanmateix, si s’especifiquen les condicions inicials, ´es a dir, el valor de les inc`ognites a l’instant inicial, la soluci´o pot ser ´unica. Es demostra matem`aticament que, donada una equaci´o diferencial d’ordre n, la soluci´o ´es ´unica si s’especifiquen els valors inicials de la variable independent i de les seves n − 1 primeres derivades (n condicions inicials). De fet, aix`o es compleix nom´es sota certes condicions en les que no podem entrar aqu´ı, per`o que es verifiquen en la majoria de casos d’inter`es. Nom´es cal dir, que l’equaci´o 9.38 les compleix, per lo qual la soluci´o amb unes condicions θ(0) = θ0, ˙θ(0) = ˙θ0 ´es

´ unica.

La propietat d’unicitat del problema de valors inicials ens porta a definir l’anomenat pla de fases com el pla definit per tots els possibles valors de la coordenada del p`endol, θ, i de la seva derivada temporal, ˙θ. Notem que encara que quan conec θ(t), ˙θ(t) ja ´es conegut, els valors de θ, ˙θ es poden considerar com independents, doncs els puc escollir inicialment de forma arbitr`aria, ´es a dir, puc iniciar el moviment amb valors totalment arbitraris de la posici´_{o i velocitat inicials del p`endol. Llavors, pel teorema d’unicitat, si col·loco el p`endol} en un cert estat inicial, (θ0, ˙θ0), el moviment posterior, i per tant, la traject`oria al pla de

fases θ(t), ˙θ(t) que passa pel punt (θ0, ˙θ0) ´es ´unica. Per tant, les traject`ories no es poden

tallar i formen un conjunt de corbes anomenat mapa de fases. El mapa de fases ens d´ona el coneixement de tots els possibles moviments del sistema.

Exemple: Mapa de fases de l’oscil·lador harm`onic.

No cal saber l’expressi´o concreta de x(t). A partir de la conservaci´o de l’energia: 1 2kx 2₊1 2m ˙x 2 _{= E} 0 (9.42)

tenim que les traject`ories en el pla de fases s´<sub>on el·lipses centrades a l’origen, x = 0, ˙x = 0.</sub> El propi origen ´es una traject`oria, ja que representa la soluci´o de l’equaci´o del moviment quan la condici´o inicial ´es x0 = 0, ˙x0 = 0. ´Es una traject`oria molt especial que es redueix

a un punt. Aquestes traject`ories s’anomenen estats d’equilibri. S´on aquells punts del pla de fase pels quals si el sistema es col·loca inicialment all`a, s’hi queda per sempre m´es. Aix`o vol dir, x(t) = const., i per tant, ˙x(t) = 0 ¨x(t) = 0. Es determinen amb l’equaci´o del moviment, buscant els valors de x per els quals ˙x = 0 i ¨<sub>x = 0 . En el cas de l’oscil·lador</sub> harm`onic nom´es hi ha una posici´o d’equilibri, x = 0.

x

x .

Figura 9.20: Mapa de fases de l’oscil·lador harm`onic

Les altres traject`ories s´on corbes tancades. Aix`o vol dir, que s´on moviments peri`odics. El fet de que envoltin a (0, 0), vol dir que s´<sub>on oscil·lacions al voltant de l’equilibri, x = 0. El fet</sub> que totes les corbes siguin homot`etiques respecte (0, 0), vol dir que les possibles oscil·lacions s´_{on totes id`entiques a part de l’amplitud, A. Totes estan acotades per |x| ≤ A =}p2E0/k.

Hem posat les fletxes indicant el sentit d’avan¸cament en el temps.

Mirem ara el mapa de fases del p`endol. Primer buscarem els punts d’equilibri, buscant els valors de θ pels quals ˙θ = 0 i ¨θ = 0 , ´es a dir,

g

l sin θ = 0 (9.43)

Veiem que n’hi ha dos:

θ1= 0 , θ2= π (9.44)

En el primer equilibri la part´ıcula est`a en la posici´o m´es baixa i en el segon, est`a en la posici´o m´es alta. ( `Obviament, podem afegir 2nπ a cada un dels valors θ1, θ2 per`o no

obtindr´ıem res f´ısicament nou).

Com en el cas de l’oscil·lador harm`onic, obtindrem les altres traject`ories considerant la conservaci´o de l’energia:

1 2ml

2_˙θ2_{+ V (θ) = E}

0 (9.45)

amb V (θ) = mgl(1 − cos θ). Per tant, les traject`ories en el pla de fases estaran donades per

˙θ = ± r

2

ml2(E0− V (θ)) (9.46)

Com que l’energia potencial t´e un m`axim Vm = 2mgl per θ = θ2 = π, tindrem dos

comportaments diferents depenent del valor de l’energia, E0 i, per tant, de les condicions

1. Si E0 < Vm = 2mgl, el terme E0− V (θ) de l’arrel es pot fer negatiu, lo qual no t´e

sentit. Per tant, el moviment est`_{a acotat per −A ≤ θ(t) ≤ A on ±A ´es l’angle pel} qual l’arrel es fa zero (i ˙θ = 0), ´es a dir, la soluci´o de

E0− V (A) = E0− mgl(1 − cos A) = 0 (9.47)

2. Si E0 > Vm = 2mgl, el terme E0 − V (θ) de l’arrel ´es sempre positiu i no hi ha

limitaci´o sobre θ(t).

Tot aix`o es pot representar gr`aficament amb un diagrama simultani de l’energia potencial i el pla de fases. Representem dos valors de l’energia inicial, E1 i E2 corresponents a un

moviment del tipus 1 i del tipus 2 respectivament.

E

E

E

_{E = V( )}

2

1

θ

θ

θ

θ.

π

π

π

−

Figura 9.21: Diagrama de l’energia potencial i mapa de fases del p`endol.

Comparant amb el mapa de fases de l’oscil·lador harm`onic, els moviments del tipus 1 serien oscil·lacions d’amplitud A al voltant de l’equilibri θ = θ1 = 0. Ara, per`o, el moviment no

seria harm`onic, ´es a dir, no vindria donat per θ(t) = A sin(ωt + ϕ0). Els moviments del

tipus 2 s´on rotacions senceres del p`endol sempre en un mateix sentit, travessant les dues posicions d’equilibri. Tenen lloc nom´es si l’energia inicial ´es suficientment gran. Entre les traject`ories del tipus 1 i del tipus 2 hi hauria una traject`oria que uniria el punt (−π, 0) amb el punt (π, 0), que representen el mateix estat a la realitat f´ısica. Correspondria a un moviment que partint de la posici´o m´es alta, θ = π, amb velocitat inicial infinitesimal, tornaria a ella per t → ∞ despr´es de donar tota una volta sencera, ∆θ = 2π. Aquesta

traject`oria s’anomena separatriu, i n’hi ha una amb rotaci´o hor`aria i una altre amb rotaci´o anti-hor`aria.

Per tant, sense necessitat d’integrar l’equaci´o diferencial 9.38 ens hem fet una imatge precisa i rigorosa de com s´on els possibles moviments. Nom´es hi ha 7 tipus diferents:

1. Equilibri a θ = 0 2. Equilibri a θ = π

3. Oscil·lacions al voltant de θ = 0 4. Rotacions en sentit anti-horari 5. Rotacions en sentit horari 6. Separatriu en sentit anti-horari 7. Separatriu en sentit horari

Les t`ecniques emprades aqu´ı es poden generalitzar al cas de sistemes que no conservin l’energia o a sistemes amb n > 1 graus de llibertat. En aquest ´ultim cas es parla d’espai de fases, que ´es un espai de dimensi´o 2n. Tot aix`o s’estudia en els cursos avan¸cats d’equacions diferencials.