MECÀNICA RACIONAL Notes de classe

(1)

Notes de classe

Albert Falqu´

es

Joan S´

anchez Umbr´ıa

Francesc Marqu`

es

E.T.S.Enginyers de Camins, Canals i Ports

Departament de F´ısica

Universitat Polit`ecnica de Catalunya (UPC)

(2)

´Index

1 Cinem`atica de la part´ıcula 8

1.1 Vector de posici´o. Traject`oria. . . 8

1.2 Velocitat i acceleraci´o. . . 11

1.2.1 Velocitat . . . 11

1.2.2 Vector acceleraci´o . . . 14

1.3 Moviment uniformement accelerat. . . 15

1.4 Moviment circular. . . 18

1.5 Components intr´ınseques de l’acceleraci´o. . . 20

1.5.1 Curvatura i radi de curvatura . . . 22

1.5.2 Circumfer`encia osculadora . . . 23

1.6 Integraci´o de les equacions del moviment. . . 24

1.6.1 Cas m´es senzill: a = a(t) . . . 25

1.6.2 Acceleraci´o depenent de la posici´o: a = a(x) . . . 25

1.6.3 Acceleraci´o depenent de la velocitat: a = a(v) . . . 26

1.7 Translaci´o d’eixos de refer`encia. . . 26

1.8 Complements . . . 27

1.8.1 Coordenades cil´ındriques i esf`eriques . . . 27

1.8.2 C`alcul diferencial i integral per funcions vectorials de variable real . 28 1.8.3 Diferencial de ~r . . . 31

1.8.4 Significat del radi de curvatura i Triedre de Frenet . . . 32 1

(3)

2 Din`amica de la part´ıcula 35

2.1 For¸ca i massa. . . 35

2.2 Primera Llei de Newton: sistemes inercials. . . 36

2.3 Segona Llei de Newton. . . 38

2.4 Tercera Llei de Newton (acci´o i reacci´o). . . 38

2.5 Tipus de forces. . . 41

2.5.1 Forces a dist`ancia . . . 41

2.5.2 Forces de contacte . . . 42

2.5.3 Tipus de problema associats a les lleis de Newton. Forces de lligadura 44 2.6 Fregament per lliscament entre s`olids (Fregament sec o de Coulomb . . . . 46

2.7 Forces d’in`ercia. . . 50

2.8 Unitats, dimensions i par`ametres adimensionals. . . 51

2.8.1 Homogeneitat dimensional . . . 51

2.8.2 Magnituts fonamentals i dimensions . . . 52

2.8.3 Par`ametres adimensionals . . . 53

2.9.1 Teorema π de Buckingham . . . 54

3 Sistemes de forces 56 3.1 Equilibri de la part´ıcula i del s`olid r´ıgid. . . 56

3.1.1 Equilibri de la part´ıcula. . . 56

3.1.2 Equilibri del s`olid r´ıgid. . . 57

3.1.3 Moment d’un vector respecte d’un punt. . . 59

3.1.4 Resultant i moment resultant. Condicions d’equilibri del s`olid r´ıgid. 60 3.2 Equival`encia de sistemes. . . 61

3.3 Eix central i trinomi invariant. . . 61

(4)

3.5 Sistemes plans. . . 67

3.6 _{Sistemes de forces paral·leles. . . 68}

4 Est`atica 70 4.1 Moviment imminent. . . 71

4.2 Problemes hiperest`atics. . . 73

4.3 Sistemes de s`olids. . . 76

4.3.1 Tipus de contacte entre s`olids. . . 76

4.4 Distribucions cont´ınues de forces. Tensions. . . 78

4.4.1 Forces distribu¨ıdes en una linia . . . 79

4.4.2 Forces distribu¨ıdes en un volum . . . 80

4.4.3 Forces distribu¨ıdes en una superf´ıcie. Tensions . . . 80

4.5 Forces d’origen hidrost`atic. . . 82

4.6.1 Fregament entre una corda i una superf´ıcie. . . 86

5 Est`atica d’estructures 89 5.1 Estructures articulades. . . 89

5.2 Condicions d’equilibri. . . 89

5.3 Nusos en condicions especials. . . 93

5.4 M`etode d’an`alisi dels nusos. . . 94

5.5 Estructures simples. . . 96

5.6 M`etode d’analisi de les seccions. . . 97

6 Canvis de sistema de refer`encia 100 6.1 Rotaci´o d’eixos. Vector velocitat angular. . . 100

6.2 Transformaci´o de velocitats i acceleracions . . . 105

(5)

6.2.2 Significat de l’acceleraci´o de Coriolis . . . 108

6.3 Forces d’in`ercia . . . 109

6.3.1 Interpretaci´o f´ısica de la for¸ca centr´ıfuga . . . 110

6.3.2 Interpretaci´o f´ısica de la for¸ca de Coriolis . . . 110

6.4 Moviment respecte de la Terra . . . 111

6.4.1 Efecte de la for¸ca centr´ıfuga . . . 112

6.4.2 Efecte de la for¸ca de Coriolis . . . 114

7 Cinemàtica del sòlid 120 7.1 Graus de llibertat d’un sòlid. . . 120

7.2 Camp de velocitats. . . 121

7.3 Camp d’acceleracions. . . 123

7.4 Composici´o de rotacions. . . 124

7.5 Eix instantani de rotaci´o i lliscament. . . 124

7.6 Moviment pla. . . 126

7.7 Derivada d’angles i velocitat angular. . . 128

8 Din`amica de sistemes de part´ıcules 131 8.1 Moment lineal . . . 131

8.2 Centre de masses . . . 133

8.3 Forces percussives . . . 138

8.4 Moment angular . . . 139

8.5 Teorema del moment angular . . . 142

8.6 Din`amica 2D del s`olid rigid . . . 145

9 Treball i energia per una part´ıcula 150 9.1 Treball i energia cin`etica . . . 150

(6)

9.2.1 Camp de forces. . . 159

9.2.2 Camp de forces conservatiu. . . 160

9.2.3 Teorema de l’energia. . . 163

9.2.4 Forces centrals. . . 164

9.3 _{Estabilitat de l’equilibri i petites oscil·lacions. . . 167}

9.3.1 An`alisi de corbes d’energia potencial. Estabilitat. . . 167

9.3.2 _{Petites oscil·lacions . . . 171}

9.4.1 Pla de fases i estudi qualitatiu del moviment . . . 173

9.4.2 _{Oscil·lacions de gran amplitud del p`endol. . . 176}

10 Treball i energia per un sistema. 178 10.1 Energia cin`etica. . . 178

10.2 Teorema de les forces vives. . . 179

10.3 Aplicaci´o al s`olid r´ıgid. . . 182

10.3.1 Energia cin`etica. . . 182

10.3.2 Pot`encia i treball . . . 184

10.4 Energia potencial. . . 185

11 Geometria de masses i tensor d’in`ercia 187 11.1 C`alcul del centre de masses . . . 188

11.1.1 Propietats de simetria . . . 189

11.1.2 Teoremes de Pappus (Guldin) . . . 190

11.1.3 Cossos compostos . . . 192

11.1.4 Cossos amb forats . . . 193

11.1.5 Centre de pressions: for¸ca hidrost`atica sobre una superficie plana. . 193

11.2 Tensor d’in`ercia d’un cos respecte d’un punt. . . 193

(7)

11.3.1 Moment angular . . . 196

11.3.2 Energia cin`etica . . . 197

11.4 Propietats del tensor d’in`ercia. . . 198

11.4.1 Direccions i moments principals d’in`ercia. . . 198

11.4.2 Propietats de degeneraci´o. . . 200

11.4.3 Propietats de simetria. . . 201

11.4.4 Cossos plans. . . 202

11.4.5 Teorema de Steiner. . . 203

11.4.6 Propietat extremal. . . 204

11.5 C`alcul del tensor d’in`ercia. . . 205

11.5.1 Cossos continus . . . 205

11.5.2 Tensor d’in`ercia d’una vareta . . . 207

11.5.3 Tensor d’in`ercia d’un disc . . . 207

11.5.4 Car`acter aditiu . . . 208

11.5.5 Tensor d’in`ercia d’un rectangle . . . 209

11.5.6 Tensor d’in`ercia d’un paral·lelep´ıpede . . . 211

11.5.7 Tensor d’in`ercia d’un cilindre . . . 211

11.5.8 Tensor d’in`ercia d’una esfera . . . 212

11.6 Moments d’in`ercia de seccions planes. . . 214

11.7 Complements: . . . 215

11.7.1 Algunes demostracions. . . 215

12 Din`amica 3D del s`olid r´ıgid. 218 12.1 Equacions del moviment . . . 218

12.2 Rotaci´o al voltant d’un eix principal d’in`ercia . . . 220

12.2.1 Estabilitat de la rotaci´o al voltant dels eixos principals . . . 221

(8)

12.4 Moviment del s`olid lliure de moments . . . 222

12.5 La baldufa . . . 225

12.5.1 La baldufa: an`alisi simplificat . . . 225

12.5.2 La baldufa: moviments de precessi´o sense nutaci´o . . . 226

13 Oscil·lador lineal 229 13.1 For¸ca recuperadora lineal: oscil·lador harm`onic . . . 229

13.2 Amortiment . . . 234

13.2.1 Tipus d’oscil·lador amortit . . . 236

13.2.2 P`erdua d’energia de l’oscil·lador . . . 240

13.3 Oscil·lador for¸cat. Resson`ancia . . . 240

13.3.1 Oscil·lador for¸cat . . . 240

13.3.2 Resson`ancia . . . 242

14 Vectors 247 14.1 Vectors fixes i vectors lliures. . . 247

14.2 Coordenades cartesianes i components d’un vector. . . 248

14.3 Suma de vectors i producte per escalars. . . 250

14.3.1 Propietats de la suma i el producte: . . . 251

14.4 Bases cartesianes . . . 253

14.5 Producte escalar de vectors . . . 254

14.6 Producte vectorial. . . 256

14.6.1 Producte mixt . . . 257

14.6.2 Doble producte vectorial . . . 258

(9)

Cinem`

atica de la part´ıcula

La Mecànica és la ciència (part de la F´ısica) que estudia el moviment i per la seva meto-dologia es pot dividir en dues parts:

1. Cinem`atica. Descripci´o del moviment sense analitzar-ne les causes.

2. Dinàmica. Estudi del moviment en relació a les seves causes. L’Estàtica o estudi del repòs o equilibri (absència de moviment) es pot considerar com una part de la Dinàmica.

En la Realitat F´ısica rellevant per l’enginyer civil, tots els cossos, solids o fluids, són extensos i la descripció del moviment pot ser molt complicada. Per exemple, imaginem-nos el moviment d’una onada del mar. Si seguim el moviment d’un volum d’aigua de la onada, es trasllada, però a la vegada es deforma. En certs moments pot girar sense quasi deformar-se. Llavors, el primer pas per descriure qualsevol moviment és aprendre a descriure el moviment d’un punt a l’espai (o part´ıcula). Això és la Cinemàtica del punt (o de la part´ıcula). Malgrat la simplificació, és útil per dos motius:

1. Quan les distàncies rellevants per el moviment són grans en comparació amb el tamany del cos del qual s’està descrivint el moviment, aquest cos es pot representar per un punt (exemple: moviment de la Terra al voltant del Sol).

2. Qualsevol medi material, ja sigui sòlid o fluid, es pot considerar format per punts materials (és a dir, punts geomètrics a l’espai als que se’ls assigna una certa massa).

1.1 Vector de posici´

o. Traject`

oria.

No entrarem aqu´ı a definir el que ´es l’espai i el temps, simplement considerem que es-pai i temps s´on magnituts fonamentals definides per el conjunt de regles i operacions

(10)

necessàries per mesurar-les. En poques paraules, temps és el que es mesura amb els re-llotges i cronòmetres, i espai és el que es mesura amb regles, telèmetres, teodolits, etc. Ens és suficient saber que el temps es pot representar matemàticament per un espai af´ı unidimensional i l’espai per un espai af´ı tridimensional euclidià. Aix´ı, fixat un origen de temps representarem el temps per una variable real t ∈ ℜ . Anàlogament, donada una referència cartesiana a l’espai, Ox1x2x3, representem cada punt P de l’espai per una

terna de nombres reals (x1, x2, x3) ∈ ℜ3 que anomenem coordenades del punt. Les

coordenades s´on les components de l’anomenat vector de posici´o. (Veure la figura 1.1) ~r = ~OP = x1eˆ1+ x2eˆ2+ x3eˆ3 (1.1)

Llavors, anomenem moviment d’un punt a qualsevol aplicaci´o

I −→ ℜ3 (1.2)

t −→ ~r(t) (1.3)

on, I ⊂ ℜ és un interval real, que a cada instant l’hi assigna un punt de l’espai. La trajectòria és el conjunt de punts de l’espai ocupats succesivament per la part´ıcula, {~r(t) | t ∈ I }. (Veure la figura 1.2) ´Es important tenir ben present que tot moviment és relatiu: sempre s’ha d’especificar una referència respecte de la qual la part´ıcula es mou. Per exemple, un viatger assegut a un vagó de metro es pot trobar en repòs respecte del vagó, però moure’s respecte de la via. El seu moviment depèn del sistema de referència: en un cas està en repòs, en l’altre està en moviment.

3

x

₂

x

₁

P

r

O

Figura 1.1: Vector de posici´o

r

(11)

Exemple 1: Les equacions:

x = R cos ωt , y = R sin ωt , z = 0 (1.4)

a on R, ω són dues constants, representen un moviment circular en el pla z = 0. En efecte, x2 + y2 = R2, que és l’equació d’una circumferència de radi R centrada a l’origen de coordenades. L’angle del vector de posició amb l’eix x, θ va augmentant uniformement en el temps: θ = ωt, doncs tan θ = y/x = tan ωt. •

r

θ

y

x

Figura 1.3: Exemple 1:Vector de posici´o i traject`oria

Exemple 2: Considerem ara les equacions:

x = ut cos ωt , y = ut sin ωt , z = ut

on u, ω són dues constants. Ara, el moviment és més complicat. Si prescindim de la coordenada z obtindrem la projecció del moviment sobre el pla x − y. Observem que x2_{+ y}2 _{= u}2_t2_{, és a dir, la dist`}_{ancia a l’origen, ρ, no és constant sin`}_{o que va augmentant}

uniformement en el temps ρ = ut. Al mateix temps, la part´ıcula va girant a ritme constant al voltant de l’origen, θ = ωt, igual que a l’exemple anterior. Per tant, la projecció del moviment sobre el pla x − y és una mena d’espiral que surt de l’origen i va girant en sentit anti-horari. Si ara mirem la coordenada z i ens adonem que va augmentant uniformement amb el temps, veiem finalment que la trajectòria és una espiral que sortint de l’origen va girant i pujant al mateix temps, continguda en un con invertit amb vèrtex a l’origen i semiangle 45o_{. •}

Els dos exemples exposats són molt simples, però ens donen una idea de que, en gene-ral, la interpretació de les equacions d’un moviment particular pot ser molt complicada. L’ús de coordenades diferents de les cartesianes ens pot facilitar aquesta tasca (veure el complement 1.8.1)

(12)

θ

ρ

y

x

y

Figura 1.4: Exemple 2:Vector de posici´o i traject`oria

1.2 Velocitat i acceleraci´

o.

1.2.1 Velocitat

Un dels conceptes fonamentals de la cinemàtica és el de velocitat o rapidesa del moviment que en cursos elementals es defineix com l’espai recorregut per unitat de temps. A més a més d’aquesta informació, és convenient també afegir la direcció i sentit de moviment. Tot això bé incorporat en la noció de vector velocitat que definim tot seguit.

(13)

∆

s

r (t )

2

∆

r

x

1 2 3

Figura 1.5: Vector despla¸cament ∆~r i espai recorregut ∆s.

Comencem definint el vector despla¸cament, ∆~r i espai recorregut, ∆s. entre dos instants t1 i t2, com ∆~r = ~r2− ~r1 i el vector velocitat mitjana com:

∆~r ∆t =

~r(t2) − ~r(t1)

t2− t1

Notem que, si ∆s ´es l’espai recorregut entre t1 i t2, la celeritat mitjana, ∆s/∆t, no

coincideix amb el m`_{odul del vector velocitat mitjana, |∆~r/∆t| en contra del que podria} semblar. A més a més, un mòbil pot anar molt depressa en uns moments i després córrer molt poc o inclús invertir el sentit de moviment. Aix´ı, el vector velocitat mitjana no ens diu gran cosa. Necessitem una noció de velocitat instantània que ens ve donada per el vector velocitat instantània definit com:

~v(t1) = lim ∆t→0 ~r(t2) − ~r(t1) ∆t = d~r dt(t1) (1.5)

´es a dir, com el l´ımit de la velocitat mitjana entre t1 i t1+ ∆t quan ∆t → 0.

r (t )2

∆r

∆t r (t )₁

v (t )1

Figura 1.6: Vector velocitat instant`ania

Les nocions de l´ımit, derivada i integral de funcions vectorials s’estudien amb detall al complement 1.8.2.

El vector velocitat (normalment s’omet el qualificatiu ’intant`ania’, que se sobrenten) es calcula derivant les coordenades (mentres no es digui el contrari, considerarem que els

(14)

vectors de la base són constants i no es deriven): ~v = d dt( 3 X i=1 xi(t)êi) = 3 X i=1 dxi(t) dt êi = 3 X i=1 ˙xi(t)êi

Indiquem la derivada respecte al temps per un punt damunt de la funció. Això equival a dir, que cada component és la velocitat del moviment projectat damunt l’eix corresponent. El mòldul del vector velocitat s’anomena celeritat i es calcula com:

|~v| = |ds_dt| = (

3

X

i=1

˙x2_i)12

Quin significat té el vector velocitat? Què té a veure amb el ’número que marca el con-taquilòmetres’ ? Per veure tot això definirem el paràmetre arc corresponent a qualsevol punt P de la corba, com la longitud de l’arc de corba s entre P i un punt de referència, Q, que el·legim arbitràriament. El·legim també un sentit positiu per s, de tal manera que, s(Q) = 0, cap a una banda de Q, s > 0, i cap l’altre, s < 0. Llavors, usant la regla de la cadena (derivada de funció de funció) podem fer:

~v = d~r dt = d~r ds ds dt = ds dtτˆ

El vector ˆ_{τ = d~r/ds és unitari (|ˆτ| = 1), per definició de longitud d’una corba} (intuitiva-ment es veu que quan ∆s → 0, l’arc i la corda, ∆s i |∆~r| tendeixen a coincidir). A més a més, per la definició de tangent a una corba, ˆτ és tangent a la trajectòria amb sentit segons d’augment del par`_{ametre s (intuitivament, ja es veu que quan ∆s → 0, ∆~r ha de} ser tangent a la trajectòria). Llavors, si aquell sentit coincideix amb el sentit de moviment (com és habitual), ds/dt > 0 i ˆτ = ~v/v. En cas que el sentit d’augment de s sigui contrari al moviment, ds/dt < 0 i ˆ_{τ = −~v/v. En qualsevol dels dos casos, el sentit de ~v és el} d’avan¸cament del punt mòbil. Llavors, concluim que:

• ~v ´es tangent a la traject`oria

• El seu sentit ´es el sentit d’avan¸cament

• El seu mòdul, |~v| = |ds/dt|, i per tant, indica l’espai recorregut per unitat de temps. Aquest espai recorregut per unitat de temps, que és el mòdul del vector velocitat, s’ano-mena celeritat.

Si el càlcul de ~v a partir de ~r és un problema de derivació, el problema invers, és a dir, el càlcul de ~r(t) a partir de ~v(t), és un problema d’integració:

~r(t2) = ~r(t1) +

Z t2

t1

~v(t) dt

L’espai recorregut (que no t´e perqu`e coincidir amb |~r(t2)−~r(t1)|) es calcula amb l’integral:

∆s = Z t2 t1 |~v(t)| dt = Z t2 t1 ( 3 X i=1 ˙x2_i)12 dt

(15)

Moviment uniforme

Moviment amb velocitat constant, ~v = cnt. Per tant: ~r(t2) − ~r(t1) = Z t2 t1 ~vdt = ~v Z t2 t1 dt = ~v(t2− t1) (1.6) o b´e, ~v = ~r(t2) − ~r(t1) t2− t1 = ∆~r ∆t , ∆~r = ~v∆t (1.7) i, per tant, ~r(t) = ~r0+ ~v0t (1.8) 1.2.2 Vector acceleraci´o

Anomenem vector acceleraci´o al vector: ~a = d~v(t) dt |t=t1 = lim∆t→0 ~v(t1+ ∆t) − ~v(t1) ∆t = d2~r(t) dt2 |t=t1

que medeix les variacions del vector velocitat amb el temps. (Variacions del vector velocitat, no ´unicament del m`_{odul |~a| 6= d|~v|/dt = d}2s/dt2)

Exemple 3:

1. En un moviment rectilini, l’acceleració va en la direcció del moviment, ja que aquesta és la direcció de ∆~v. Veure la figura 1.7

v(t ) v(t )

1 2

v(t )₃

Figura 1.7: Moviment rectilini

2. En un moviment no rectilini amb |~v| = cnt, existeix acceleració? Quina direcció tindrà? (Veure la figura 1.8)

v v v ∆ v ∆ v v v

Figura 1.8: Moviment no rectilini

~a 6= 0, ~a aproximadament perpendicular a la trajectòria, perquè ∆~v ⊥ a la tra-jectòria •

(16)

Les components cartesianes de l’acceleració són: d dt( 3 X i=1 vieî) = 3 X i=1 dvi dteî és a dir, ax= ˙vx = ¨x, ay = ˙vy = ÿ, az = ˙vz = ¨z

Problema invers: coneixent l’acceleraci´o, trobar la velocitat: ~v(t2) − ~v(t1) =

Z t2

t1

~a(t)dt Notem que pel moviment uniforme, ~a = 0.

Exemple 4: (tornant a l’exemple 2)

~v(t) = u(~i cos(ωt) + ~j sin(ωt) + ~k) + (−~i sin(ωt) + ~j cos(ωt))uωt (1.9) ~a(t) = d~v(t)_dt _{= 2uω(−~i sin(ωt) + ~j cos(ωt)) − uω}2t(~i cos(ωt) + ~j sin(ωt)) (1.10) Notem que az = 0, que és conseqüència de vz = cnt •

Unitats

SI CGS

velocitat m/s cm/s 1 m/s = 102 cm/s acceleraci´o m/s2 cm/s2 1 m/s2 = 102 cm/s2

Altres unitats de velocitat s´on el Km/h ( 1 m/s = 3.6 Km/h) i el nus = 1 milla/h, que s’utilitza en Enginyeria Mar´ıtima (1 nus = 1.852 Km/h = 0.514 m/s).

1.3 Moviment uniformement accelerat.

Un moviment molt simple i for¸ca freqüent, almenys com a aproximació, és el moviment uniformament accelerat, és a dir, amb acceleració constant. Sigui ~a = cnt l’acceleració. Tindrem: ~v(t) = ~v0+ Z t t0 ~adt′ = ~v0+ (t − t0)~a (1.11) és a dir, ~v(t) = ~v0+ (t − t0)~a (1.12)

(17)

~r(t) = ~r0+ Z t t0 ~vdt′= ~r0+ (t − t0)~v0+ 1 2(t − t0) 2_~a _(1.13) ´es a dir, ~r(t) = ~r0+ (t − t0)~v0+ 1 2(t − t0) 2_~a _(1.14)

Cas particular: moviment uniforme, ~a = 0

Traject`oria del moviment amb acceleraci´o constant

1. Si ~vo = 0 ´o ~vo k ~a ⇒ ~r(t) descriu una recta de vector director ~a que passa per ro

(varietat linial generada per ~a, veure figura 1.9)

x

3

x

2

cas a)

x

1 0

r

v

0

a

Figura 1.9: Moviment amb acceleraci´o constant

2. Si ~v0 6= 0 i ~v0 no ´es k ~a ⇒ ~r(t) pertany al pla generat per ~a, ~v0 que passa per ~r0.

De fet ´es sempre una par`abola (veure figura 1.10)

x

1 3

x

2

cas b)

r

0

a

v

0

Figura 1.10: Moviment amb acceleraci´o constant

(18)

2~a · (~r − ~r0) = 2(t − t0)~a · ~v0+ (t − t0)2a2

v2= v2₀_{+ 2(t − t}0)~v0· ~a + (t − t0)2a2

restant v2_{− v}₀2 _{= 2(~r − ~r}0) · ~a

Exemple 5: Moviment en el camp gravitatori, suposat constant.

Prenem uns eixos adequats: el pla x - y com el pla de la traject`oria, amb l’eix y vertical, cap amunt. Aleshores:

~a = ~g = −g~j = cnt Aplicant el qu`e acabem de veure:

~v(t) = ~v0− g(t − t0)~j → vx= v0x vy = v0y− g(t − t0) ~r(t) = ~r0+ (t − t0)~v0+1 2g(t − t0) 2_{~j →} x = x0+ v0x(t − t0) y = y0+ v0y(t − t0) −1₂g(t − t0)2 x y 0 r v0 g

Figura 1.11: Tir parab`olic `

Obviament, si v0x = 0, la trajectòria és una recta vertical. Si v0x 6= 0, és una paràbola:

t − t0= x − x0 vox ⇒ y − y0 = v0y v0x(x − x0) − g 2v2_0x(x − x0) 2

Això, és independent del sistema d’eixos fixes escollit. Aix´ı, en el cas general la trajectòria és també, una recta o una paràbola.

x

θ

y

m

y

x

m

(19)

Prenent ~r0 = (0, 0) i ~v0 = v0(cos θ~i + sin θ~j), trobem algunes f´ormules ´utils per l’al¸cada

màxima i l’abast, en el cas d’un tir damunt d’un terra horitzontal: • Trajectòria: y = x tan θ − g 2v₀2cos2_θx 2 • Altura màxima dy dx = 0 ⇒ x = v2₀ g sin θ cos θ ⇒ ym= v2₀ 2gsin 2_θ • Abast

y(xmax) = 0 ⇒ x tan θ −

g 2v2 0cos2θ x2_{= 0 ⇒ x}m= v₀2 g sin 2θ

Notem que els moviments horitzontals i verticals són independents, és a dir, les projeccions sobre x, y són moviments rectilinis, un uniforme i l’altre uniformament accelerat, amb condicions incials x0, v0x, y0, v0y •

1.4 Moviment circular.

Anomenem moviment circular al moviment segons una trajetòria circular. Aquest movi-ment, encara que sembli molt restringit, té molta aplicació, especialment en la cinemàtica del sòlid r´ıgid. En efecte, tal i com veurem, el moviment més general d’un sòlid és la su-perposició d’una translació i una rotació, i en el cas d’una rotació, cada part´ıcula descriu un moviment circular. (Veure figura 1.13)

z

y

x

θ

r

v

w

Figura 1.13: Moviment circular

Considerem uns eixos x - y en el pla del moviment, i amb origen al centre de la tra-jectòria. Aleshores, l’eix z serà l’eix de rotació. Ara obtindrem expressions per la velocitat

(20)

i l’acceleraci´o. Sigui θ l’angle entre ~r i l’eix x. Si definim el vector unitari en la direcci´o radial:

ˆ er= ~r

r = (cos θ, sin θ, 0) podrem calcular la velocitat com:

~v = d~r dt = r dêr dt Però dêr

dt = ˙θ(− sin θ, cos θ, 0) = ˙θˆeθ

on êθ és un vector unitari, tangent a la trajectòria, en el sentit d’aument de l’angle θ.

Llavors, tindrem:

~v = r ˙θêθ = r ˙θêz× êr= ~ω × ~r

a on hem definit el vector velocitat angular com: ~ω = ˙θˆez. Aquest vector es caracteritza

per:

1. - M`odul: | ˙θ|, angle girat per unitat de temps (rad/s) 2. - Direcci´o: segons l’eix de rotaci´o

3. - Sentit: segons la regla del cargol Notem que la celeritat ve donada per

v = r| ˙θ| = rω r v w y x s θ

Figura 1.14: Moviment circular

Tornant a derivar obtenim l’acceleraci´o: d~v dt = d~ω dt × ~r + ~ω × d~r dt = d~ω dt × ~r + ~ω × (~ω × ~r) = (1.15)

(21)

dω dt × ~r + (~ω · ~r)_{| {z }} 0 ~ ω − |~ω|2~r = d~ω dt × ~r − |~ω| 2_~r _(1.16)

a on hem usat la identitat: ~_{ω×(~ω×~r) = (~ω·~r)~ω−(~ω·~ω)~r . Anomenem vector acceleraci´}o angular al vector: ~ α = d~ω dt = d dt( ˙θˆez) = ¨θˆez caracteritzat per:

1. - M`odul: derivada de ω (varicaci´o de ω respecte el temps) en valor absolut 2. - Direcci´o: eix de rotaci´o

3. - Sentit: segons l’augment o disminuci´o de ω Aleshores, ˜ a = ~_{α × ~r} | {z } 1 −ω2~r | {z } 2 amb: 1. component tangencial at= r ¨θ 2. component normal an= ω2r Unitats

La unitat d’angle és el radian (rad). La unitat de la velocitat angular és el rad/s i la d’acceleració angular és el rad/s2.

1.5 Components intr´ınseques de l’acceleraci´

o.

L’acceleració es pot descomposar en una component tangent a la trajectòria i un altre normal (Fig. 1.15). Ara veurem que la component tangencial mesura la variació del mòdul de la velocitat (celeritat) i que la component normal mesura la variació de la direcció de la velocitat. Considerarem en aquesta secci´_{o, que |~v| 6= 0. Llavors, en un entorn del punt} que ens interessa, sempre podem el·legir s de tal manera que ds/dt > 0.

(22)

a

a v

Figura 1.15: Components intr´ınseques de l’acceleraci´o

Sigui ˆ_{τ = d~r/ds = ~v/|~v|, el vector unitari tangent a la traject`oria, en el sentit d’avan¸cament} (veure la figura 1.16). Designem |~v| per v. Tindrem:

~a = d~v dt = d dt(vˆτ ) = dv dtτ + vˆ dˆτ dt v v v v ∆ + = 0 ∆s

Figura 1.16: Vector velocitat

El primer terme de l’ùltima igualtat és un vector tangent a la trajectòria, i el segon és normal a la trajectòria, ja que conté la derivada de ~τ, vector de mòdul constant. En efecte, la derivada de qualsevol funció vectorial ~w(t) que manté constant el seu mòdul i només varia de direcci´_{o és perpendicular al propi vector, doncs Si | ~}_{w| = const., llavors:}

~

w · ~w = const. =⇒ _dtd( ~_{w · ~}w) = 2 ~_{w ·} d ~w dt = 0

lo qual implica que d ~w/dt i ~w són perpendiculars. Per tant, les components tangencial i normal de l’acceleració seràn:

~a_k = dv

dtˆτ , ~a⊥= v dˆτ dt

Resulta obvi, que l’acceleració tangencial dóna la variació del mòdul de ~v, ja que, conté dv/dt. Mirem el significat de l’acceleració normal:

dˆτ dt = ds dt dˆτ ds = v dˆτ ds El vector: dˆτ ds = lim∆s→0 ∆ˆτ ∆s

(23)

no depèn del temps, és a dir, de la celeritat a la qual es recorre la trajectòria. Depèn només de la geometria de la trajectòria. (Notem que si invertim el sentit del moviment, canvia el signe de ˆτ , però canvia també l’ordre en que hem de prendre l’increment:

∆ˆτ = ˆτ2− ˆτ1= −ˆτ1− (−ˆτ2) = invariant

Com que ∆s > 0, resulta que dˆ_{τ /ds també és invariant). Com que |ˆτ| = 1 = cnt, dˆτ/ds} serà perpendicular a ˆτ i, clarament veiem que el sentit que pren és cap a l’interior de la corba.

τ

∆

Figura 1.17: Vector tangent a la traject`oria ˆτ

1.5.1 Curvatura i radi de curvatura

Aix´ı, si ˆn és un vector unitari normal a la trajectòria, cap endins, dˆτ /ds serà proporcional a ˆn, amb constant de proporcionalitat positiva:

dˆτ

ds = κ(s)ˆn, → ˆn =

dˆτ ds

|dˆdsτ|

La constant de proporcionalitat, κ(s), que depèn generalment del punt, s’anomena cur-vatura (Veure la figura 1.18). Notem que quant més varia ˆτ per unitat de longitud, més gran és κ(s). A més a més, si ˆτ = cnt, κ = 0

κ

1

κ

2

Figura 1.18: Curvatura

A l’invers de la curvatura se l’anomena radi de curvatura, ρ = 1/κ. Aix´ı, finalment, obtenim per l’acceleraci´o:

~a = dv dtˆτ + v dˆτ dt = dv dtτ + vˆ 2dˆτ ds = dv dtτ +ˆ v2 ρ nˆ (1.17) o sigui: ~a = dv dtτ +ˆ v2 ρnˆ (1.18)

(24)

d’on queda clar que: at= dv dt = d2_s dt2

és l’acceleració tangencial i mesura la variació del mòdul de ~v. atτ va en el sentitˆ

d’avan¸cament si |~v| est`a augmentant, i en sentit contrari si est`a disminuint. Similarment, an= v

2

ρ

és l’acceleració normal i medeix la variació de la direcció de ~v. ann té el sentit cap alˆ

centre de la trajectòria i per això s’anomena, també, acceleració centr´ıpeta. Exemple: 6

Examinem els conceptes de curvatura i radi de curvatura en el cas d’una circumfer`encia. (Veure la figura 1.19)

~r = R(~i cos θ + ~j sin θ) = R(~i cos s

R + ~j sin s R) (1.19) Llavors, dˆτ ds = d2_~r ds2 = 1 R(−~i cos s R − ~j sin s R) = ˆ n R (1.20) ⇒ κ = _R1, ρ = R (1.21) n τ y x s θ

Figura 1.19: Concepte de curvatura en una circumfer`encia

Aix´ı, el radi de curvatura d’una circumferència és el radi. Això justifica la definició general.

1.5.2 Circumfer`encia osculadora

(25)

n

τ

Q

ρ

Figura 1.20: Circumfer`encia osculadora

Donat el punt P sobre la corba, anomenem pla osculador al pla per P paral·lel a ˆτ i ˆn. Anomenem circumferència osculadora a la circumferència continguda en el pla osculador, amb centre a Q = P + ρˆn (Q, centre de curvatura) i radi ρ. Aquesta circumferència és la que millor aproxima a la corba, de totes les circumferències que passen per P.

El significat del radi de curvatura es veu amb m´es profunditat al complement 1.8.4.

1.6 Integraci´

o de les equacions del moviment.

Coneixent el moviment d’un punt, ~r = ~r(t), es calculen fàcilment la velocitat i l’acceleració, derivant un o dos cops respecte del temps. Però molt sovint es planteja el problema invers: coneixent l’acceleració, trobar la velocitat i el moviment, ~r = ~r(t). Aquest és un problema d’integració i sol ser bastant més dif´ıcil de resoldre. De fet aquest és el problema més interessant, ja que segons la segona llei de Newton (tema 2): ~a = ~F /m a on la for¸ca,

~

F és una funció de t, ~r, ~v. Llavors, coneixent aquesta funció, com serà el moviment que produeix? Per exemple, sabent la llei de la gravitació universal, com podem saber que les trajectòries dels planetes s´_{on el·l´ıptiques? El corresponent problema matemàtic s’anomena} resolució d’una equaci´_{o diferencial: ’coneixent una rel·lació entre una funció incògnita i} les seves derivades (primera, segona, etc. fins a un cert ordre), quina ha de ser la funció?’. En general aquest no és un problema gens elemental i s’estudia detalladament en cursos avan¸cats de Matemàtiques. Aqui considerarem només alguns cassos particulars dintre de la classe dels moviments rectilinis, per els quals v = dx/dt, a = d2x/dt2.

Recordat`ori matem`atic: ’regla de la cadena’.

Per derivar una funci´o de funci´o s’utilitza l’anomenada regla de la cadena: z = g(y) = g(f (x)) =⇒ _dxdz = g′(f (x))f′(x) = dz

dy dy

(26)

i per el canvi de variable en una integral tenim: Z g(y)dy = Z g(y(x))dy dxdx (1.23)

1.6.1 Cas m´es senzill: a = a(t)

a = a(t) ⇒ v(t) =R a(t)dt + C1 (1.24)

x(t) =Rv(t)dt + C2 (1.25)

De fet aqui no és necessari que el moviment sigui rectilini, tot això es pot fer amb el vector acceleració.

Exemple:

a(t) = sin 3t amb x(0) = 2 ; _{v(0) = −1} (1.26)

v(t) =R sin 3tdt + C1 (1.27) v(t) = −13cos 3t + C1 → −1 = −13 + C1 ⇒ C1 = −23 (1.28) v(t) = −23 − 1 3cos 3t (1.29) x(t) =R₍₋2₃₋1₃cos 3t)dt + C2= −2₃t − 1₉sin 3t + C2 (1.30) 2 = C2 ⇒ x(t) = 2 −2₃t −1₉sin 3t (1.31)

Hem tingut en conte: Z

sin 3tdt = 1 3

Z

3 sin 3tdt = −1₃cos 3t

1.6.2 Acceleraci´o depenent de la posici´o: a = a(x)

dv dt = a(x) ⇒ dv dx dx dt = a(x) ⇒ (1.32) vdv dx = a(x) ⇒ 1 2 d dxv 2 = a(x) ⇒ (1.33) 1 2v 2 ₌Z _{a(x)dx + C} 1 ⇒ dx dt = 2C1+ 2 Z a(x)dx 1/2 ⇒ (1.34) Z dx q 2C1+ 2R a(x)dx = t + C2 (1.35)

(27)

1.6.3 Acceleraci´o depenent de la velocitat: a = a(v) dv dt = a(v) ⇒ Z dv a(v) | {z } Φ(v) = t + C1 (1.36) v = Φ−1_{(t + C}₁_{) ⇒} dx dt = Φ−1(t + C1) ⇒ (1.37) x =RΦ−1(t + C1)dt + C2 (1.38)

NOTA: el cas general de moviment rectilini, a = a(t, x, v), no és fàcil en general i el mètode d’integració depèn de la forma de la funció a(t, x, v).

1.7 Translaci´

o d’eixos de refer`

encia.

OO’ 3

x’

₂

x’

₁

x’

O’ P r’ 3

x

₂

x

1 O r

Figura 1.21: Translaci´o d’eixos de refer`encia

El moviment és relatiu, però fins ara hem considerat sempre un mateix sistema de re-ferència. Però com canvia la velocitat o l’acceleració d’un cos al canviar de sistema de referència? Aquesta és una qüestió que cal resoldre abans d’entrada en la Dinàmica. Per al cas en que el moviment d’un sistema respecte l’altre sigui només traslació, sense rotació, això és molt simple. (Més endavant considerarem el cas general).

Considerem, doncs, un sistema cartesi`a, O′, x′₁, x′₂, x′₃, que es mou respecte un altre, O, x1, x2, x3, sense rotar. ´Es a dir, mantenint els eixos constantment paral·lels a si

matei-xos. Considerem un punt m`obil, P. Tindrem: ~ OP = ~OO′_{+ ~}_O′_{P ⇒ ~r = ~}_OO′_{+ ~r}′ Derivant respecte t: d~r dt = d dtOO~ ′+ d~r′ dt ⇒ ~v = ~vO′O+ ~v ′ _(1.39) d~v dt = d dt~vO′O+ d~v′ dt ⇒ ~a = ~aO′O+ ~a′ (1.40)

(28)

La velocitat ~v s’anomena velocitat absoluta, la velocitat ~v′ s’anomena velocitat rela-tiva, i la velocitat d’un sistema respecte de l’altre s’anomena velocitat d’arrosegament (i similarment per les acceleracions).

La transformaci´o de velocitats tamb´e es pot escriure: ~vP O= ~vP O′+ ~v_O′_O

que es llegeix: ’velocitat de P respecte O ´es igual a velocitat de P respecte O’ + velocitat de O’ respecte O, i similarment per les accelerac´ıons.

Diem que el canvi de sistema de referència és una transformació galileana quan ~vO′_O = cnt, és a dir, si a_O′_O = 0. En aquest cas tenim que les acceleracions en els dos

sistemes coincideixen, ~a = ~a′.

1.8 Complements

1.8.1 Coordenades cil´ındriques i esf`eriques

Coordenades cil´ındriques

Fixada una refer`encia cartesiana Oxyz es defineixen les coordenades cil´ındriques ρ, θ, z mitjan¸cant la figura adjunta. La rel·laci´o amb les cartesianes be donada per:

x = ρ cos θ , y = ρ sin θ , z = z o b´e per la inversa:

ρ = px2_{+ y}2 _, _{θ = arctan(y/x) ,} _{z = z}

Contrariament al que passa amb les coordenades cartesianes, les coordenades cil´ındriques

r

θ ρ

z

z y x

Figura 1.22: Coordenades cil´ındriques

(29)

El moviment de l’exemple 2 es descriu f`acilment amb coordenades cil´ındriques com: ρ = ut , θ = ωt , z = ut .

Coordenades esf`eriques

Es defineixen les coordenades esf`eriques r, φ, θ mitjan¸cant la figura adjunta. La relaci´o amb les cartesianes be donada per

x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ o b´e per la inversa:

r = px2_{+ y}2_{+ z}2 _, _{φ = arctan(y/x) ,} _{θ = arcos(} z

p

x2_{+ y}2_{+ z}2)

Les limitacions s´_{on: r ≥ 0, 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ θ ≤ π.}

r

z y x ψ θ

Figura 1.23: Coordenades esf`eriques

En coordenades esf`eriques, el moviment de l’exemple 2 es descriu com: r = √2 ut , φ = ωt , θ = π/4 .

1.8.2 C`alcul diferencial i integral per funcions vectorials de variable real

Hem vist com l’estudi del moviment d’una part´ıcula ens porta, de forma natural, a consi-derar funcions vectorials d’una variable real:

~

f : ℜ −→ ℜ3 (1.41)

t _{−→ ~}f (t) (1.42)

Necessitem, per tant, les nocions de l´ımit, continuitat, derivaci´o i integraci´o per aquest tipus de funcions.

(30)

L´ımit

Donada una funció ~f (t) i un n´_{umero a ∈ ℜ definim el l´ımit de ~}_{f (t) per t → a a partir de} la noció coneguda de l´ımit d’una funció real de variable real: (Veure figura 1.24)

lim t→a ~ f (t) = ~v _⇔ lim t→a| ~f (t) − ~v| = 0 v f(t) v f(t)

Figura 1.24: L´ımit d’una funci´o vectorial

Propietats:

(demostraci´o en un curs de matem`atiques)

1. lim_t→af (t) = ~v~ _⇔ lim_t→afi(t) = vi , i = 1, 2, 3

(Suposem que els vectors de la base s´on constants). 2. lim( ~f (t) + ~g(t)) = (lim ~f (t)) + (lim ~g(t))

3. lim(f (t)~g(t)) = (lim f (t))(lim ~g(t)) 4. lim( ~_{f (t) · ~g(t)) = (lim ~}_{f (t)) · (lim ~g(t))} 5. lim( ~_{f (t) × ~g(t)) = (lim ~}_{f (t)) × (lim ~g(t))} 6. lim | ~f (t)| = | lim ~f (t)|

Derivada

Definim la derivada de ~f (t) respecte a t com: d ~f (t)

dt |t=t1 = lim∆t→0

~

f (t1+ ∆t) − ~f (t1)

∆t (La demostraci´o d’aquestes propietats es d´ona a part).

Propietats:

(evidents a partir de les propietats del l´ımit) d dt ( ~f + ~g) = d ~f dt + d~g dt (1.43)

(31)

d dt (f~g) = df dt~g + f d~g dt (1.44) d dt ( ~f · ~g) = d ~f dt · ~g + ~f · d~g dt (1.45) d dt ( ~f × ~g) = d ~f dt × ~g + ~f × d~g dt (1.46) d dt ( P3 i=1fi(t)ˆei) =P3i=1 fi(t) dt ˆei (1.47)

la última igualtat és vàlida si êi són constants.

Components paralel·la i perpendicular de la derivada

El producte (d ~f /dt) ∆t dóna aproximadament l’increment de ~f (t) durant un petit in-crement de la variable, ∆t → 0. Si descomposem el vector (d ~f /dt) ∆t en components paralel·la i perpendicular a ~f (t), veiem que la component paral·lela fa variar el mòdul de ~f (t) i la perpendicular fa variar la direcció de ~_{f (t). Aix´ı, la component paralel·la de} (d ~f /dt) , (d ~f /dt)_k dóna la variació del mòdul i la component perpendicular (d ~f /dt)_⊥ dóna la variació de direcció.(Veure la figura 1.25)

df dt ∆t

f(t)

Figura 1.25: Components de la derivada

Anal´ıticament, d dt( ~f (t) · ~f (t)) = 2 ~f (t) · d ~f (t) dt = d dt| ~f (t)| 2 = 2| ~f (t)|_dtd| ~f (t)| d’on treiem: d dt| ~f (t)| = ~ f (t) | ~f (t)| · d ~f (t) dt (1.48)

(32)

és a dir, confirmem que la projecció de d ~f /dt sobre ~_{f , és a dir, la component paral·lela} dóna la variació del mòdul de ~f .

Conseqüència de tot això és que:

• d ~f /dt k ~f ⇔ ~f (t) té direcció constant, només varia el mòdul. • d ~f /dt ⊥ ~f ⇔ ~f (t) té mòdul constant, només varia la direcció. Integral

Finalment, donada una funci´o ~f (t) es defineix la seva integral definida a l’interval (t1, t2)

com: Z t2 t1 ~ f (t) dt = lim |P|→0 X j∈P ~ f (tj) ∆tj

de forma totalment an`aloga a l’integral de funcions de variable real i amb propietats an`_{alogues ( P → 0 representan particions cada cop m´es fines de l’interval (t}1, t2) ). Per

exemple, tenim tamb´e:

~ f (t2) − ~f (t1) = Z t2 t1 d ~f (t) dt dt

Prenent una base de vectors constants, podem calcular la integral vectorial mitjan¸cant les 3 integrals escalars: Z t2 t1 ( 3 X i=1 fi(t)ˆei) dt = 3 X i=1 ( Z t2 t1 fi(t) dt) ˆei 1.8.3 Diferencial de ~r

Qualsevol moviment, en cada interval suficientment petit, es pot considerar aproximada-ment uniforme. Suposem que el punt m`obil estigui a ~r0, a l’instant t0, amb velocitat ~v0, i

(33)

∆

r

t

v

0 0 0

dr = v dt

0

r(t)= r + v t

₀ ₀ Figura 1.26: Vectors ∆~r i d~r

Anomenem diferencial de ~r a l’instant t0, d~r, a l’aplicaci´o lineal:

ℜ −→ ℜ3 ∆t −→ d~r = ~v(to)∆t Significat de d~r: 1. Si ~v = cnt: ∆~r = d~r = ~v(t0)∆t 2. Si ~v 6= cnt: ∆~r ≃ d~r = ~v(t0)∆t, si ∆t −→ 0

Aix`_{o sembla una trivialitat, perquè quan ∆t −→ 0 tots dos, ∆~r −→ 0, d~r −→ 0, però no} ho és, perquè la diferència ∆~r − d~r tendeix a 0 més depressa que cada un d’ells. En efecte,

∆~r − d~r = ∆~r − ~v(to)∆t = ( ∆~r ∆t − ~v(to)) | {z } −→0 ∆t |{z} −→0

tendeix a 0 m´es r`apid que ∆t.

1.8.4 Significat del radi de curvatura i Triedre de Frenet

Significat del radi de curvatura

Aproximem el segment de traject`oria recorregut des de S1 fins a S1+ ∆S per un arc de

circumfer`encia, de radi ρ.

(34)

τ(s )1 (s )1 τ τ(s )2 s = s + s2 1 ∆ ∆s s=0 ρ ∆ ∆θ

Figura 1.27: Radi de curvatura

D’una banda, ∆s = ρ∆θ ⇒ ∆θ_∆s = 1 ρ de l’altre: |∆~τ| ≃ 1 · ∆θ ⇒ lim |∆ˆ∆θτ| = 1 (1.49) lim |∆ˆ∆sτ| = 1ρ (1.50)

Aix´ı, ρ = radi de la circumfer`encia que aproxima localment a la traject`oria.

τ

(s )

τ

(s )

∆θ

1 2 Figura 1.28: Variaci´o de ˆτ en un ∆θ. Triedre de Fr´enet τ n b

(35)

Definim el vector binormal com ˆb = ˆ_{τ × ˆn, aleshores ˆτ, ˆn, ˆb formen una base ortonormal i} dextr`ogira. dˆb ds = d ds(ˆτ × ˆn) = dˆτ ds × ˆn | {z } 1 +ˆ_{τ ×} dˆn ds = ˆτ × dˆn ds

On 1 és el terme dˆ_{τ /ds × ˆn que s’anula perquè els vectors tenen la mateixa direcció.} Aix´ı, dˆb/ds ⊥ ˆτ. A més a més, com que |ˆb| = 1,

dˆb

ds ⊥ ˆb ⇒ dˆb

ds = −T ˆn T = torsi´o, _T1 = radi de torsi´o.

A m´es a m´es,

dˆn

ds = dsd(ˆb × ˆτ) = dˆbds × ˆτ + ˆb ×dˆdsτ = (1.51)

−T ˆn × ˆτ + κˆb × ˆn = Tˆb − κˆτ (1.52)

Per tant, tenim les F´ormules de Fr´enet - Serret dˆτ ds = κˆn (1.53) dˆn ds = Tˆb − κˆτ (1.54) dˆb ds = −T ˆn (1.55)

1. ρ = +∞, ⇔ κ = 0 ⇔ La corba ´es una recta. 2. T = 0 ⇔ La corba ´es plana.

(36)

Din`

amica de la part´ıcula

Fins aqu´ı hem estudiat la cinemàtica o descripció del moviment. Ara tractarem les causes del moviment i, per tant, la forma de preveure i controlar els moviments dels cossos (de moment dels punts materials). Tot el que hem fet fins ara, vectors i cinemàtica, era en realitat per a preparar el terreny de la Dinàmica. No cal dir, que la Dinàmica és fonamental per a la l’Enginyeria Civil. Però, a més a més, el problema de les causes del moviment és una de les qüestions que més ha intrigat als cient´ıfics de tots els temps i la primera solució acceptable, donada per Newton al segle XVII, és sens dubte un dels elements més brillants i fonamentals del coneixement humà.

Nota: Aqu´ı ens limitem a l’àmbit de l’anomenada Mecànica Clàssica, és a dir, exclu¨ım les extencions Relativista i Quàntica de la Mecànica. Aquestes extensions són necessàries quan es treballa amb velocitats properes a la de la llum o quan volem descriure el moviment microscòpic, a l’escala atòmica o subatòmica.

2.1 For¸ca i massa.

Perquè es mouen els cossos? La resposta de la Dinàmica, que ve ampliament avalada per l’experiència, és: ’perquè altres cossos actuen sobre ells’, o en altres paraules: ’perquè altres cossos fan forces sobre ells’. Aix´ı, es defineix la for¸ca com l’acció d’un cos sobre un altre, acció capa¸c de produir o modificar el seu moviment. La for¸ca és una magnitud primitiva, que ve definida per la forma de mesurar-la (per exemple amb dinamòmetres) i per les seves propietats deduïdes de l’experiència (definició operativa).

Propietats emp´ıriques de la for¸ca

• Les forces són vectors. Tenen mòdul o intensitat (mesura del dinamòmetre), direcció i sentit.

(37)

• Superposició. La for¸ca que fan un conjunt de cossos sobre un altre és la suma (vectorial) de les forces que fan cada un per separat. Aix´ı la resultant de la for¸ca sobre una part´ıcula i serà :

~ Fi = N X j=1 ~ Fij

• Sempre s´on d’un cos sobre un altre. Aix`o ho indiquem per ~FAB = for¸ca de A sobre

B.

A

B

FAB

Figura 2.1: For¸ca del cos A sobre el cos B

• Les forces es poden exercir per contacte o a distància (ho veurem amb més detall una mica més endavant), però en qualsevol cas, totes les forces conegudes disminueixen amb la distà ncia entre els cossos.

Una altre magnitud fonamental, que no es defineix a partir d’altres, sino per les seves propietats i la forma de mesurar-la, és la massa. La massa és un escalar positiu que s’associa a cada cos i mesura la seva inèrcia o resistència a modificar el seu estat de repòs o de moviment. Es mesura amb les balances.

Propietats emp´ıriques de la massa

• Es conserva. No es modifica pel moviment del cos, ni depèn del sistema de referència. No es crea ni es destrueix (excepte en els processos radioactius o en les reaccions nuclears, que no són descrits per la Mecànica Clàssica).

• És additiva. Si dos cossos tenen masses m1 i m2, el cos unió d’amdos té massa

m = m1+ m2

2.2 Primera Llei de Newton: sistemes inercials.

Hem dit que la causa del moviment són les forces. Però, sobre quina caracter´ıstica part´ıcular del moviment influeixen les forces? Una part´ıcula en un instant donat té una posició ~r(t), una velocitat ~v = d~r/dt, una acceleració ~a = d2~r/dt2, té una derivada tercera d3_~r/dt3_{, etc . Llavors, si sobre ella actua una for¸ca, ~}_{F , quina d’aquestes variables est`}_a

(38)

directament relacionada amb ~F ? O bé ~F , en l’instant present, actua sobre el valor d’al-guna magnitud en el futur, o en el passat? S’accepta que ~F , ara, actua directament sobre les magnituds actuals de la part´ıcula. Però sobre quina caracter´ıstica del moviment ac-tua? Sobre ~r(t) no pot ser. L’acció d’una for¸ca no provoca una determinada i instantània localització de la part´ıcula. Actua sobre ~v(t)? Això ja és més plausible. L’experiència quotidiana sembla recolzar aquest punt de vista. Per moure un armari, quan més for¸ca fem, més ràpid es mourà . Aristòtil, el pensador del s. IV a. de C. va basar la dinàmica en aquest postulat: ~v és directament proporcional a ~F . De fet, a Galileo (s. XVII) li va costar bastant convèncer a la gent que això no podia ser aix´ı. La Primera Llei de Newton descarta aquesta possibliltat, diu que per mantenir un cos amb velocitat constant no cal cap for¸ca.

Primera Llei de Newton (enunciat cl`assic)

Tot cos a¨ıllat ( ~F = 0) o es manté en repòs, o si ja està en moviment, manté constant el seu vector velocitat.

Això no es va veure abans de Galileo per la dificultat pràctica de tenir un cos a¨ıllat. Els fregaments emmarcaran aquesta llei en el cas dels moviments damunt de la Terra. De fet això de cos a¨ıllat té sentit com a l´ımit. Afortunadament, les forces disminueixen amb la distància, sinó no existirien cossos a¨ıllats, ni aproximadament a¨ıllats.

Notem, però, que la Primera Llei no pot ser certa en tots els sistemes de referència. Considerem un cos a¨ıllat i un sistema de referència S = Ox1x2x3. Segons aquesta llei,

~v = cnt, ´es a dir, ~a = 0. Considerem ara, un altre sistema de refer`encia S′ _{= Ox}′ 1x′2x′3,

accelerat respecte al primer amb ~a 6= 0. Aleshores, el cos tindrà acceleració respecte S’: ~a′ _{= ~a − ~a}o′_o6= 0, i, per tant, no es verificarà la Primera Llei respecte al sistema S’.

Aleshores, anomenem sistema de refer`encia inercial a tot sistema respecte al qual es verifica la Primera Llei de Newton (en el seu enunciat cl`assic).

Primera Llei de Newton (enunciat correcte)

Existeixen sistemes de referència, anomenats inercials, en els quals tot cos a¨ıllat es mou amb velocitat constant o està en repòs.

Llavors, si S ´es inercial, que ha de complir S’ per ser inercial?

(~a = 0 ⇔ ~a′ = 0) _{⇒ ~a = ~a}′+ ~ao′_o ⇒ ~a_o′_o = 0

´

Es a dir, s’ha de passar d’un sistema a l’altre per una transformaci´o galileana.

A la pràctica, com sabem si S és inercial? Mirant si l’acceleraci´_{o d’un cos a¨ıllat és nul·la.} En realitat no es coneixen sistemes exactament inercials, sinó només aproximadament inercials, en els quals els cossos a¨ıllats (aproximadament) es mouen amb a ≃ 0. Indicant B més inercial que A, per A < B tenim:

Sistema solidari a la Terra < Sistema solidari al centre de la Terra (sense rotaci´o)< Sistema solidari al sol < Sistema de les ’estrelles fixes’

(39)

2.3 Segona Llei de Newton.

Si les forces a l’instant t no actuen directament sobre ~r(t) o sobre ~v(t), sobre què actuen? Sobre l’acceleració, ~a(t) = d2~r/dt2. Aquest és el gran descobriment de Newton (de fet la Primera Llei de Newton la va descobrir Galileo). Sigui una part´ıcula de massa m i un sistema de referència inercial. Suposem que actuen unes forces ~F1, ~F2, ... sobre la part´ıcula

en un instant donat. Llavors, la seva acceleraci´o en aquest instant ve donada per: m~a = ~F

on tenim ~F =P ~Fi ´es la for¸ca resultant.

F F F F 1 4 2 3 x1 x2 x₃ a

Figura 2.2: Segona Llei de Newton

Unitats

SI CGS

massa Kg g 1 g = 10−3 Kg

for¸ca _{N (=newton) = 1Kg · m/s}2 _{dina = 1g · cm/s}2 1 dina = 10−5 N Altres unitats:

• 1 Kp o Kg-pes = 9,8 N ≃ pes d’un Kg a la superficie de la terra • 1 tonelada-pes = 103 Kp

2.4 Tercera Llei de Newton (acci´

o i reacci´

o).

Les forces sempre són d’algú sobre algú, i la Tercera Llei de Newton afirma que sempre van per parelles: acció i reacci´o. Si A fa una for¸ca ~FAB sobre B, B fa una for¸ca ~FBAsobre

(40)

A, igual, per`o de sentit contrari: ~ FBA= − ~FAB A B AB F_BA F

Figura 2.3: Acci´o i reacci´o

Podem dir que ~FAB és l’acció i ~FBA la reacció, o a la inversa. La Tercera Llei s’anomena

també, Principi d’acció i reacció. Exemple 1:

D’acord amb la Llei de la Gravitació Universal, la Terra m’atrau exercint la meva for¸ca pés, sobre mi. D’acord amb la Tercera Llei, jo faig la mateixa for¸ca sobre la Terra, canviada de signe. Llavors perquè jo em moc com a resultat d’aquesta for¸ca, mentre que la Terra no s’altera? És degut a que la massa de la Terra és molt més gran que la meva, i per tant la seva acceleració és insignificant.

~a = F~ m, ~a′ = ~ F′ MT , a′= m MT a << a _⇒ a′ = menyspreable i inobservable F = − F’ F F’

Figura 2.4: Masses diferents

En canvi, per a dues estrelles bessones, que s´on estrelles de massa semblant que orbiten una al voltant de l’altra:

~a1=~|F|

m1

, ~a2 =~|F|

m2

(41)

Figura 2.5: `_{Orbites de dues estrelles bessones •}

Un aspecte important del principi d’acció i reacció és que posa de manifest que una for¸ca pot ser ’molt passiva’. Per exemple, si algú em dona un cop de puny, fa una for¸ca sobre la meva cara. En la percepció habitual de la gent, tothom estarà d’acord que la part activa és l’agressor, i el que reb el cop de puny és totalment passiu. Però segons la Tercera Llei de Newton, la cara de qui reb el cop de puny fa exactament la mateixa for¸ca sobre el puny de l’agressor! El mal sobre l’agredit és degut a la major resistència del puny respecte la cara. Anàlogament, si un camió embesteix a un cotxe que està parat a la carretera, la for¸ca que fa el camió sobre el cotxe és idèntica a la que fa el cotxe sobre el camió. Si els desperfectes del cotxe són més importants, és degut només a que el para-xocs i la plantxa del camió són més resistents que no pas les del cotxe. Si fossin iguals, encara que el camió s’endugui per davant al cotxe, els desperfectes d’un i de l’altre serien similars.

Un altre aspecte molt important de l’acció i reacció és que mai s’equilibren mutuament, doncs actuen sobre cossos diferents.

Exemple 2:

Quan faig una for¸ca ~F sobre la paret, la pert me’n fa una sobre mi igual a ~_{−F . (veure la} figura 2.6) Si elimino el fregament, aleshores me’n vaig endarrera.(veure la figura 2.7)

(42)

Figura 2.7: Exemple de la Tercera Llei. En abs`encia de fregament, la persona es despla¸ca cap enrera degut a la for¸ca que li fa la paret •

2.5 Tipus de forces.

Podem agrupar totes les forces de la Naturalesa en dues grans families: forces a dist`ancia i forces de contacte.

2.5.1 Forces a dist`ancia

Són les forces que actuen a distància, sense contacte directe entre els cossos. Són les fonamentals, ja que veurem que les altres es redueixien a aquestes. Hi ha 4 tipus de forces a distància:

Gravitat`oria

For¸ca d’atracci´o entre tots els cossos, responsable del pes i dels moviments dels astres. Donades dues part´ıcules de masses m1, m2 amb vectors de posici´o ~r1, ~r2, la for¸ca de 1

sobre 2 ´es: ~ F12= − Gm1m2 |~r2− ~r1|3 (~r2− ~r1) i, `obviament, ~F21= − ~F12. F F = − F₂₁ ₁₂ 12 1 2

Figura 2.8: For¸ca gravitat`oria

Aix´ı la for¸ca és proporcional a les masses i a l’invers de la distància entre les part´ıcules al quadrat. La constant de proporcionalitat (constant universal de la gravitació) és: G = 6, 67 × 10−11_{N m}2_/kg2_.

(43)

Si la variació relativa de ~r2−~r1durant el moviment és petita, és a dir, ∆|~r2−~r1|/|~r2−~r1| <<

1, podem suposar:

~

F ≃ cnt ⇒ ~F12= m2~g amb ~g = cnt

~g = intensitat del camp gravitat`ori degut a m1.

Electromagn`etica

For¸ca deguda a la càrrega elèctrica que tenen els cossos. S’estudia a la part d’Electro-magnetisme de l’assignatura de F´ısica. En condicions normals és molt més intensa que la gravitatòria. Per exemple, la for¸ca de repulsió de 2 protons és 1036 vegades més gran que la seva atracció gravitatòria.

Nuclear forta i Nuclear feble

La primera és la for¸ca que manté units els nuclis dels àtoms. Si no hi fos, la repulsió elèctrica entre els protons destruiria els nuclis. La segona és la responsable de certes desintegracions radioactives.

2.5.2 Forces de contacte

Són les forces que actúen a través del contacte directe entre els cossos i apareixen continu-ament en la vida quotidiana. Per exemple, les meves sabates fan una for¸ca sobre el terra, o els meus dits fan forces sobre el teclat de l’ordinador. Les parets de l’edifici fan una for¸ca sobre la teulada per sostenirla, la màquina de tren fa una for¸ca sobre el primer vagò per arrosegarlo, l’aire fa una for¸ca sobre la meva cara a través de la pressió atmosfèrica. A l’interior dels cossos també existeixen forces de contacte. Per exemple, en la paret que sostè l’edifici, si analitzo qualsevol secció horitzontal, la part de sobre fa una for¸ca de contacte sobre la de sota, i la de sota fa una for¸ca igual i contrària sobre la de sobre. Per exemple, la pressió en un fluid actúa internament a través de cada secció imaginaria en que podem dividir el volum fluid.

Però, en realitat les forces de contacte no existeixen, ja que no hi ha contactes reals entre les mol·lècules. Quan dos cossos s’aproximen, les forces elèctriques produeixen una repulsió molt forta que fa que no arribin mai a tocar-se. Aix´ı, les anomenades forces de contacte són combinacions complexes de forces electromagnètiques. Afortunadament, normalment no és necessari considerar aqueste forces electromagnètiques, i les forces de contacte es poden estudiar mitjan¸cant lleis emp´ıriques macroscòpiques (és a dir, sense considerar l’estructura molecular de la materia). N’hi ha diferents tipus i de moment n’esmentarem només dos:

(44)

Figura 2.9: Forces de contacte, repulsió deguda a forces atòmiques i moleculars d’origen electromagnètic.

Forces de contacte entre s`olids.

Depenen de la deformació, la velocitat relativa, etc. Tenen una component normal a la superficie de contacte, ~N , i una component tangencial ~R. La component normal pot ser de compressió, és a dir, empeny, o de tracció, és adir, estira. Si els cossos estàn soldats, la component normal pot ser tan de compressió com de tracció, depenent de la reste de forces aplicades al cos. En el cas que els sòlids no estàn soldats, és a dir, només es recol¸cen, la component normal només pot ser a compressió i s’oposa a la penetració. La component tangencial s’oposa al lliscament i quan els sòlids no estàn soldats s’anomena fricció o fregament. Pel cas dels sòlids r´ıgids aquestes forces són desconegudes a priori (forces de lligadura, veure secció 2.5.3).

B v

F_AB F_BA

v_A

Figura 2.10: Forces de contacte

Forces el`astiques. Molles lineals.

Molts materials sòlids, quan sel’s sotmet a forces es deformen amb una deformació que és aproximadament proporcional a les forces. Això s’estudia a les assignatures d’Estructures i de Mecànica dels Medis Continus i s’anomena comportament elàstic. Un model senzill del comportament elàstic en una dimensió (la descripció tridimensional per cossos extensos és bastant complicada) és el cas d’una molla elàstica. Cada molla (per una temperatura donada, que suposem constant) té una longitud, l0, que és la seva longitud si no se li aplica

cap for¸ca i que s’anomena longitud natural. Llavors, si se l’estira o se la comprimeix amb dues forces ~_{F i − ~}F per els dos extrems, adopta una nova longitud l. S’observa que si l’allargament o escursament, |l − l0|, no ´es molt gran, resulta ser proporcional a la for¸ca:

| ~F | = k|l − l0| a òn k és la constant elàstica de la molla. En la disposició de la figura

adjunta, a òn l’extrem esquerra de la molla est`_{a fix al punt x = −l}0 i l’altre és mòbil per

l’eix x, la for¸ca que fa la molla per el seu extrem m`obil ´es: ~

(45)

ja que x = l − l0. Notem que la for¸ca que se li fa externament, ´es igual a aquella per`o de

signe contrari.

x = 0

r

x

Figura 2.11: For¸ca d’una molla

Tensi´o d’una corda.

Si estirem una corda pels seus dos extrems i pensem en una secci´o qualsevol de la corda, que la separa en dues parts, A i B, llavors, cada part fa una for¸ca sobre l’altre. Per la Tercera Llei de Newton, aquestes forces son iguals i de sentit contrari:

~

TAB = − ~TBA

El seu m`odul s’anomena tensi´_{o de la corda: T = | ~}TAB| = | ~TBA|, i es pot mesurar tallant

la corda per aquesta secció i unint les dues parts A i B amb un dinamòmetre. Notem que una corda només pot treballar a tracció. Notem també, que quan parlem de ”tensió de la corda”en realitat no ens referim a una sola for¸ca, sinó a les dues forces de mòdul T i signe contrari, ~TAB, ~TBA. Per això veurem en els problemes que la tensió d’una mateixa corda

pot tenir un sentit o el contrari, depenent de sobre quina part del sistema act´ua.

2.5.3 Tipus de problema associats a les lleis de Newton. Forces de

lligadura

En relaci´o a la Segona Llei de Newton hi ha tres tipus b`asics de problema:

1) Coneixent el moviment trobar la for¸ca. Exemple 3:

Una màquina de tren arrossega tres vagons idèntics per una via horitzontal. Les peces d’unió entre vagons està n deteriorades, totes tres per igual. El tren arrenca bruscament i una de les peces es trenca. Quin?

(46)

m m m

T T T

a

3 2 1

Figura 2.12:

Suposem que arrenquen tots amb la mateixa acceleraci´o a (veure figura

T T T T T3 2 1 2 3 Figura 2.13:

L’aplicaci´o de la Segona Llei de Newton pel tercer, segon i primer vag`o, respectivament dona:

T3 = ma , T2− T3 = ma , T1− T2 = ma

de on obtenim:

T1 = 3ma , T2 = 2ma , T3 = ma

Aix`o vol dir que es trenca la primera pe¸ca d’uni´o, ja que: T1 = 3/2T2 = 3T3. Fixem-nos

que en aquest problema, a partir de saber que el tren es movia amb acceleraci´o a, hem trobat les forces que es feien els vagons a trav´es dels enlla¸cos entre ells •

2) Coneixent la for¸ca trobar el moviment.

Això és trivial si la for¸ca és constant, però en general la for¸ca no és constant sinó que és una funció ~F (~r, ~v, t). A més a més, poden haver-hi varies part´ıcules i el moviment d’una depèn del moviment de les altres. En general, la resolució implica resoldre un sistema d’equacions diferencials, lo qual pot ser molt complicat. Un exemple senzill d’això és el problema 1.9 de la col·lecció, en que s’estudia el moviment d’una part´ıcula sotmesa a una for¸ca inversament proporcional al cub de la distància a una altre.

(47)

3) Problema mixt.

Hi ha un tercer cas intermig entre els altres dos: coneixent part del moviment i part de les forces, trobar la part del moviment i la part de les forces que són desconeguts a priori. A aquestes forces, que inicialment són desconegudes i que només es poden determinar a partir dels efectes que causen sobre el moviment, se’ls hi diu genericament forces de lligadura.

Exemple 4:

Considerem un cos de massa m que baixa per un plà inclinat sota l’acció de la gravetat, suposada constant, sense cap for¸ca de fregament. A priori coneixem la for¸ca pes, ~P = m~g, i l’acceleració normal, an = 0, però desconeixem la for¸ca ~N , normal a la superf´ıcie, que

fa el pla sobre el cos i l’acceleraci´o tangencial, at. La situaci´o es pot representar amb la

taula: conegut desconegut moviment an at forces mg N θ Ν mg at an

Figura 2.14: Forces de lligadura

Escribint la Segona Llei de Newton i descomposant els vectors en la direcci´o tangent i normal al pla tenim:

mat= −mg sin θ man= N − mg cos θ = 0

de on podem determinar les inc`ognites sobre el moviment i les inc`ognites sobre la for¸ca, at= −g sin θ i N = mg cos θ •

2.6 Fregament per lliscament entre s`

olids (Fregament sec o

de Coulomb

La for¸ca de contacte entre dos sòlids no soldats entre si té una component normal a la superf´ıcie, que s’oposa a la penetració (sempre és compressiva) i una tangencial que

(48)

s’oposa al lliscament, i que apareix perquè les superficies en contacte no són perfectament llises. Anomemem for¸ca de fregament per lliscament a aquesta component tangencial. Aquestes dues forces són forces de lligadura, és a dir, no es coneixen a priori: depenen del moviment del sistema i de les altres forces. (veure figures 2.16 i 2.15)

R N

−N −R

Figura 2.15: Forces normals i tangencials

R F

Figura 2.16: Fregament

Per introduir els conceptes bàsics sobre el comportament emp´ıric de la for¸ca de frega-ment, considerem un bloc que descansa sobre el terra, horitzontal, sotmés inicialment al seu pés, ~P , i a la for¸ca de contacte que li fa el terra. Inicialment, aquestes dues forces s’equilibren mutuament, i el bloc es manté en repós. Ara excercim una altre for¸ca , ~F , horitzontal per intentar posar-lo en moviment. Si la for¸ca ~F és petita, el bloc no es mou degut a que el fregament amb el terra ho impedeix, fent-li una for¸ca horitzontal oposada,

~ R .

(49)

R

N P

F

Figura 2.17:

Si la for¸ca de fregament sobre el bloc ´es ~R, la Segona Llei de Newton ens diu:

F − R = 0 ; N − P = 0 ⇒ R = F ; N = P

Veiem, per tan, que ~R dep`en de les forces exteriors.

Si ~F segueix augmentant, ~R la va seguint fins a un cert l´ımit, RM, en que ja no augmenta

més, per més que ~F segueixi augmentant. Superat aquest l´ımit, hi ha lliscament i, suposant que la for¸ca de fregament es manté igual al valor l´ımit, RM, la Segona Llei de Newton ens

diu:

F − RM = ma ; N − P = 0

de on l’acceleraci´o ´es:

a = F − RM m

La gràfica de la for¸ca de fregament ~R en funció de la for¸ca ~F és:

RM

RM F

R

Figura 2.18: For¸ca de fregament en funci´o de la for¸ca F aplicada: simplificaci´o

Aix´ı, per F ≤ RM hi ha equilibri i per qualsevol F > RM no hi ha equilibri i es produeix

lliscament. En realitat quan es produeix lliscament, la for¸ca de fregament disminueix respecte de RM i val R = Rc < RM, com s’il·lustra a la figura adjunta:

(50)

R R R F C M

Figura 2.19: For¸ca de fregament en funci´o de la for¸ca F aplicada.

De qu`e depenen RM i Rc?

1. S´on proporcionals a la component normal N de la for¸ca de contacte RM = µeN , Rc = µcN

amb coeficients de proporcionalitat, µe, µc anomenats coeficient est`atic i

coefi-cient din`amic de fregament, que depenen dels tipus de material de les superficies en contacte (µe≥ µc).

2. No depenen de l’`area de la superficie de contacte (aproximadament).

3. µc ´es aproximadament independent de la velocitat relativa de lliscament entre les

superf´ıcies (si aquesta velocitat no ´es molt elevada).

Alguns coeficients de fregament (Notem que els valors només tenen una xifra signifi-cativa, lo qual indica el grau d’incertesa elevat de les mesures. Això són només valors aproximats)

µe µc

Neum`atic - paviment (sec) 0.9 0.8 Metall - metall (sec) 0.2 0.1 Metall - metall (engrassat) 0.1 0.05

Goma - fusta 0.4 0.3

Metall - gel - 0.02

Terra - terra 0.2 - 1 ? Corda met`_{al·lica - politja met`al·lica 0.2} 0.15 Observaci´o:

Un error molt freqüent és assignar al fregament el valor R = µN independentment de que hi hagi repòs o lliscament. Si estem segurs de que hi ha lliscament entre les superf´ıcies, llavors, efectivament, R = µcN . Però en problemes d’Estàtica, a on no sabem si hi haurà

(51)

lliscament o no entre les superf´ıcies, R és desconegut a priori, té el valor necessari perquè no es produeixi lliscament, sempre que aquest valor necessari no superi el valor màxim, R ≤ µeN .

Exemple 5: forma de mesurar el coeficient µe i angle de rep`os.

Considerem un cos damunt d’un plà inclinat un angle α respecte de l’horitzontal, sotmés a la for¸ca pés i a la for¸ca de contacte del plà inclinat. Comencem amb α = 0 i anem inclinant el plà .

α N

R P

Figura 2.20: Forces sobre un cos en un pl`a inclinat.

Si la inclinació és suficientment petita hi haurà equilibri, i el cos no llisca, és a dir, ~a = 0. Per tan: R − P sin α = 0 N − P cos α = 0 →    R = P sin α N = P cos α R/N = tan α

Aquesta situació només és possible si el valor de R necessari perquè es mantingui l’equilibri no supera el valor màxim, RM. Per tan, el lliscament s’inicia quan R = RM, és a dir,

quan:

R/N = tan α = RM/N = µe ⇒ µe= tan αM

Aix´ı doncs, mesurant αM podem determinar µe. Sovint (per exemple a Geot`ecnia,

Engi-nyeria Mar´ıtima, etc.) enlloc de donar µe es dona αM, que s’anomena angle de rep´os.

2.7 Forces d’in`

ercia.

Què passa amb la Segona Llei de Newton, quan el sistema de referència no és inercial? Sigui (S) un sistema inercial i, sigui (S’) un sistema accelerat respecte a l’anterior. Considerem una part´ıcula de massa m sotmesa a una for¸ca resultant ~F .

(52)

O O’ x x x (S) (S’) x’ x’ x’ a 3 2 1 1 3 o’o 2 m F Figura 2.21: Sistemes S i S’

Per la Segona Llei de Newton, en el sistema inercial S tindrem: m~a = ~F

L’acceleraci´o del cos en el sistema (S’) ser`a :

~a′ _{= ~a − ~a}o′_o ⇒ m~a′ = m~a − m~a_o′_o = ~F − m~a_o′_o

O sigui que, en el sistema de refer`encia S’ trobem: m~a′ = ~_{F − m~a}o′_o

i per tan m~a′ no ´es igual a la for¸ca, sin´o a ~_{F − m~a}o′_o. Aix´ı, la Segona Llei de Newton no

es compleix en el sistema no inercial S’. No obstant, formalment, la podem recuperar si imaginem que ~FI = −m~ao′_o ´es una for¸ca, amb lo qual:

m~a′ = ~F + ~FI

Aix´ı, en un sistema no inercial, i per cada part´ıcula de massa m, a la for¸ca f´ısica real, ~

F , hem d’afegir la for¸ca fict´ıcia ~FI = −m~ao′_o, anomenada for¸ca d’in`ercia. Les forces

d’inèrcia no són reals en el sentit que no les fa ningú, apareixen només degut a que el sistema de referència ”no és un bon sistema de referència”. Un exemple senzill d’aquest concepte el tenim en el problema 2.16 de la Colecció.

2.8 Unitats, dimensions i par`

ametres adimensionals.

2.8.1 Homogeneitat dimensional

Tota equaci´o de la F´ısica expressa una igualtat entre valors d’una mateixa magnitud, ´es a dir, els dos membres de la igualtat han d’expressar valors de la mateixa magnitud. Per