La política de rescheduling propuesta se fundamenta a partir de un enfoque periódico con cantidad de puntos de rescheduling variables, los cuales se determinarán a partir de una simulación del arribo de nuevos trabajos para cada tamaño de problema, con el fin de encontrar el costo mínimo para la realización del rescheduling de acuerdo con la siguiente función de costo esperado:
𝐶̅ =𝑙 1 𝑅∑ [𝑘𝑙 + 𝑐 ( 1 𝑣 ∑ 𝑊𝑗 𝑁+𝑣 𝑗=𝑁+1 )] 𝑅 𝑅=1 ∀𝑙 ∧ ∀ 𝑚 × 𝑛
Donde 𝑅 corresponde al número de réplicas de la simulación, 𝑘 corresponde al costo fijo asociado a la planeación de la reprogramación del schedule inicial, 𝑙 corresponde a la cantidad de puntos de rescheduling, 𝑐 corresponde al costo de espera por trabajo por unidad de tiempo, equivalente a un costo de oportunidad por desatender un trabajo, 𝑊𝑗 corresponde al tiempo que el trabajo 𝑗 espera desde su arribo hasta el punto de rescheduling y 𝑣
corresponde al número de trabajos que arriban en el intervalo de tiempo determinado por 𝑙. Para el desarrollo de esta política se tendrán en cuenta las siguientes consideraciones:
Inicialmente se genera una variable aleatoria exponencial 𝑡𝑎𝑗 que representa el tiempo entre arribos por medio de:
𝑡𝑎𝑗 = −
1
𝜆𝑙𝑛(𝑢) ∀ 𝑚 × 𝑛
Donde 1⁄𝜆 representa el parámetro de la distribución exponencial que describe los tiempos entre arribos seleccionado para cada tamaño de problema en el numeral 9.2 y 𝑢
representa un número aleatorio.
Posteriormente se calcula el valor acumulado de los tiempos entre arribos, es decir el tiempo de arribo 𝑟𝑗 hasta que se alcanza el baseline para el makespan propuesto en las instancias de Taillard, 𝐶𝑚𝑎𝑥𝑏𝑠𝑙 , este valor se tomará como límite dentro del cual se generará el arribo de nuevos trabajos, con el fin de establecer un punto de referencia para la evaluación de las medidas de desempeño y como criterio de la política de rescheduling:
𝑟0 = 0
𝑟𝑗 = 𝑟𝑗−1+ 𝑡𝑎𝑗 ∀ 𝑚 × 𝑛 𝑟𝑣 < 𝐶𝑚𝑎𝑥𝑏𝑠𝑙 ∀ 𝑚 × 𝑛
Con el fin de determinar 𝑊𝑗, se propone calcular el número esperado de trabajos en el sistema a largo plazo dentro del baseline, el cual representara la máxima cantidad de puntos de rescheduling a analizar en la simulación:
𝐿 = 𝜆𝐶𝑚𝑎𝑥𝑏𝑠𝑙 ∀ 𝑚 × 𝑛
Al hacer uso del makespan baseline, propuesto por Taillard, en el establecimiento de la presente política se debe tener claro que dicha referencia es equivalente al schedule
generado con los valores esperados de los tiempos de procesamiento estocásticos del presente proyecto.
De esta manera es posible plantear ventanas de tiempo 𝑡𝑣𝑙 para la realización de la reprogramación, a partir de una cantidad determinada de puntos de rescheduling,
𝑙 = {1, 2, 3, … , 𝐿}:
𝑡𝑣𝑙 =
𝐶𝑚𝑎𝑥𝑠𝑐ℎ
En donde 𝐶𝑚𝑎𝑥𝑠𝑐ℎ representa el makespan del schedule inicial del problema 𝑚 × 𝑛. Así mismo, de la anterior expresión se establece que un número óptimo de 𝑙 para un problema basado en Taillard lo será de igual manera para los problemas tratados en el presente proyecto.
Para finalizar, se tiene que:
𝑊𝑗 = 𝑡𝑣𝑙− 𝑟𝑗 ∀𝑟𝑗 < 𝑡𝑣𝑙 ∧ ∀ 𝑙 ∧ ∀ 𝑚 × 𝑛
La simulación se realizará únicamente para la primera ventana de tiempo, ya que el arribo del trabajo 𝑗 no depende del arribo del trabajo 𝑗 − 1, y por ende las ventanas de tiempo se consideran independientes, esto dada la propiedad de pérdida de memoria de la distribución exponencial que caracteriza el arribo de nuevos trabajos.
11.1.
Justificación de costos
La presente sección establece una descripción más detallada de los costos descritos en la política de rescheduling y su respectiva estimación. Inicialmente, se trata el costo fijo
𝑘 asociado a la planeación de la reprogramación, como el costo en el que se incurre por reorganizar todo el sistema productivo para el procesamiento de nuevos trabajos, es decir, dicho costo pretende cuantificar el impacto que tiene el hacer rescheduling sobre la programación inicial. En la vida real el costo 𝑘 puede llegar a representar un impacto en la estabilidad del sistema productivo dado que se incurre en el realistamiento de la línea productiva, la planeación de requerimiento de materiales, la gestión logística y operativa de los nuevos trabajos, así como el impacto en la promesa de valor de los ya programados.
Por otra parte, el costo 𝑐 definido como un costo de espera por trabajo y por unidad de tiempo corresponde a un costo de oportunidad en el que se incurre por dejar de percibir utilidades en tanto que el nuevo trabajo no sea considerado dentro de la programación. Dicho costo presentará una tendencia decreciente a medida que la cantidad de puntos de
rescheduling 𝑙 aumente, pues de esta manera los trabajos esperarán menos tiempo en ser programados.
Como es de esperar, el costo fijo 𝑘 es considerado mucho más grande que el costo de espera 𝑐 en tanto que éste se encuentra asociado a una labor de planeación la cual consume un número considerable de recursos productivos como los anteriormente enunciados. El presente proyecto estimará el costo 𝑐 como máximo un 5% del costo 𝑘 y ambos serán generados aleatoriamente de la siguiente manera:
▪ Costo de espera 𝑐: ~𝑈 [1, 5]
▪ Costo de planeación del rescheduling 𝑘:~𝑈 [100, 200]
La relación entre ambos costos se da de manera inversa lo cual permite determinar no solo una cantidad óptima de puntos de reprogramación sino también una política de
11.2.
Resultados
La simulación para la estimación de la política de rescheduling fue replicada un total de 1000 veces por cada tamaño de problema con costo de espera 𝑐 = 2 y costo fijo de planeación de la reprogramación 𝑘 = 167. El análisis de la cantidad de puntos de
rescheduling 𝑙 se realizó hasta 𝑙 = 26 dado que se evidencia en la función de costo una tendencia incremental una vez obtenido el costo mínimo, razón por la cual se hace suficiente el análisis hasta dicha cantidad.
Los resultados obtenidos por tamaño de problema se presentan en la siguiente tabla:
Tabla 9. Resultados política de rescheduling propuesta
Tamaño de problema (𝒏 × 𝒎) Cantidad óptima de puntos de rescheduling 𝑙∗ Costo esperado mínimo 𝐶̅𝑙 ∗ 𝟐𝟎 × 𝟓 3 790.98 𝟐𝟎 × 𝟏𝟎 3 804.67 𝟐𝟎 × 𝟐𝟎 4 1066.72 𝟓𝟎 × 𝟓 4 1158.82 𝟓𝟎 × 𝟏𝟎 4 1257.87 𝟓𝟎 × 𝟐𝟎 5 1427.54 𝟏𝟎𝟎 × 𝟓 6 1766.40 𝟏𝟎𝟎 × 𝟏𝟎 6 1712.51 𝟏𝟎𝟎 × 𝟐𝟎 6 1899.11 𝟐𝟎𝟎 × 𝟏𝟎 8 2505.33 𝟐𝟎𝟎 × 𝟐𝟎 8 2560.14 𝟓𝟎𝟎 × 𝟐𝟎 13 4030.73
Fuente: Elaboración propia
A manera detallada se describirá los resultados obtenidos para el tamaño de problema
100 × 20, los demás resultados serán incluidos en el anexo 1 y su interpretación será la misma que la dada a continuación.
La función de costo esperado se representa en la figura 6 en la cual se hace evidente que el implementar una política de rescheduling reactiva basada en fifo genera el costo más alto en los diferentes escenarios analizados. De igual manera se evidencia gráficamente que el costo esperado mínimo se obtiene haciendo 𝑙 = 5 para lo cual se debe hacer rescheduling
cada 𝑡𝑣5 unidades de tiempo, calculadas a partir del makespan obtenido de la generación del
Figura 6. Política de rescheduling propuesta para el tamaño de problema 100 x 20
Fuente: Elaboración propia