Dada una circunferencia de centro O y radio r, podría asociarse a cada punto P del plano, excepto O, una recta, de tal manera que dicha recta corte a OP perpendicularmente en P’, el inverso de P, como se muestra en la Figura 10.1.
Figura 10.1
Al punto P se le llama polo de p y a la recta p, polar de P. Es claro que si P es interior, p no tiene puntos de intersección con la circunferencia, mientras que si P es exterior p es una secante de la circunferencia. Consecuentemente, si P está en la circunferencia, p será la tangente a ella trazada por P; éste, es el único caso en que P pertenece a su polar o que p contiene a su polo.
p
p
O P' P
136
Teorema: Si se toma cualquier punto Q de una recta p, la polar q de Q contendrá al polo P de p y viceversa. A las rectas p y q, se les llama conjugadas y, similarmente, a los puntos P y Q se les denomina conjugados.
Para demostrar el teorema anterior vamos a usar la Figura 10.2. Empecemos por suponer que q es la polar de Q, un punto de p, supongamos que q cortara a OP en un punto X, los triángulos OP’Q y OQ’X son semejantes, ya que tienen dos ángulos respectivamente iguales, luego, OQ×OQ’=OP’×OX, lo cual implica que X=P, es decir, la polar de Q pasa por P.
Figura 10.2
Por lo anterior podemos decir que el polo de una recta es el dual de su polar y viceversa.
Los puntos conjugados tienen las siguientes propiedades:
a. De dos puntos conjugados de una secante a un círculo uno es interior y el otro exterior al círculo.
b. Un punto de la circunferencia es conjugado de todos los puntos de la tangente que lo contiene.
p q
O P' X
Q'
137 Y de las rectas conjugadas que:
a. De dos rectas conjugadas que se intersequen en el exterior de un círculo, una es secante de él y la otra no.
b. Toda recta tangente a una circunferencia tiene como conjugadas a todas las rectas que pasan por el punto de tangencia.
Las demostraciones de estas propiedades se dejarán como ejercicios.
Figura 10.3
Una propiedad interesante que se deriva del teorema anterior es la siguiente: si una recta corta a una circunferencia O en los puntos A y B, y C es un punto cualquiera de dicha recta, por el conjugado armónico de C, llamémoslo D, pasa la polar de C.
Para demostrarlo, veamos que AB es la polar del punto de intersección de las tangentes por A y por B, llamémoslo S, por otra parte, como la polar de C es conjugada de AB, pasa por S y, como el polo de SC, C’, está en la polar de C, SC’ es la polar de C.
Ahora bien, como C y C’ son puntos inversos, el haz S{ABCC’}=-1; como por hipótesis {ABCD}=-1=S{ABCD}, entonces S{ABCD}= S{ABCC’}, luego, la polar de C contiene a D.
Supongamos que tenemos un punto y una recta, ¿podríamos decir para qué circunferencia son polo y polar? ¿Cuántas soluciones tiene este problema? O A B S C D C'
138
En Figura 10.4, supongamos que A es el punto dado y que BC es un segmento en la recta dada. Digamos que el centro de la circunferencia buscada es un punto H; puesto que la polar de B debe pasar por A y ser perpendicular a BH y la polar de C también debe pasar por A y ser perpendicular a CH, se deduce que H es el ortocentro del triángulo ABC. Entonces sólo queda por determinar el valor del radio, pero como el vértice A, polo, y el pie de la altura D al lado que pertenece a la polar son puntos inversos r= AH×DH y el problema está resuelto. Al círculo encontrado se le llama círculo polar del triángulo ABC y obviamente es único.
Figura 10.4
A cualquier triángulo, necesariamente obtuso, que permita trazar un círculo para el cual un vértice sea polo de su lado opuesto se le llama triángulo autopolar, y presenta la siguiente propiedad:
Teorema: El circuncírculo de un triángulo autopolar y su circunferencia de los nueve puntos son mutuamente inversas con respecto al círculo polar.
Demostración: Recordemos que los puntos H, J y O son colineales y que JH/HO=-½, es decir, H es un centro de homotecia del círculo de los nueve puntos y del circuncírculo. Por otra parte, el inverso de A, que está en el circuncírculo, es su antihomólogo D, que está en el círculo de
A B C N M L H D O P R J Y Q F E X
139
los nueve puntos. Por lo tanto, el círculo autopolar es una de las circunferencias de antisimilitud de dichos círculos, lo cual implica que pasa por los puntos de intersección del circuncírculo y del círculo de los nueve puntos, X y Y en la Figura 10.4, y es entonces un elemento más del sistema coaxial que éstos determinan.
Supongamos que tenemos una hilera de cuatro puntos A, B, C y D tales que {ABCD}=k, ¿cómo serán las polares de estos puntos? Veamos la Figura 10.5:
Figura 10.5
Como cada polar pasa por P’, el polo de la recta que contiene a los puntos A, B, C y D, y además a es perpendicular a OA, b a OB, etc., tendremos que {ABCD}=O{ABCD}={ abcd}=k.
a b c d O A B C P P' D
140
Ejercicios:
1. Analice la siguiente afirmación y diga si es verdadera: “Los puntos y las rectas del plano pueden ponerse en correspondencia biunívoca a partir de un círculo dado y relacionando a cada punto con su polar y viceversa”.
2. Analice la siguiente afirmación y diga si es verdadera: “Dos puntos son conjugados si y sólo si sus polares son conjugadas”.
3. Sea CO una circunferencia con centro en un punto O y sea P un
punto cualquiera del plano diferente de O. Demuestre que la polar de P es el eje radical de CO y una circunferencia de diámetro OP.
4. Sean P y Q los polos de dos rectas conjugadas p y q, respectivamente, demuestre que el polo de la recta PQ es el punto de intersección de p y q.
5. Demuestre que uno de los ángulos entre las polares de los puntos P y Q, con respecto a una circunferencia de centro O, coincide con el ángulo POQ.
6. ¿Qué se obtiene si se construyen las polares de los vértices y los polos de los lados de un polígono inscrito en una circunferencia, con respecto a ella misma? Analice el caso particular en que el polígono sea un cuadrilátero rectángulo.
7. Dados tres puntos no colineales, construya la polar de un cuarto punto con respecto al círculo determinado por los tres puntos dados sin trazar dicho círculo ni alguno de sus arcos.
8.* Dados tres puntos colineales A, B y D, encontrar el punto C tal que {ABCD}=-1 usando las propiedades de polos y polares.
9.* Dadas tres rectas concurrentes a, b y c en un punto S, exterior a una
circunferencia, encontrar la recta d concurrente con a, b y c tal que S{abcd}=-1.
10.* Trazar la tangente a una circunferencia dada en un punto específico de ella usando sólo regla.
11. Sean A, B, C y D cuatro puntos concíclicos para los que {ABCD}=k y sea t la tangente al círculo en un punto T, diferente de ellos, demostrar que si se trazan tangentes por cada uno de los cuatro puntos dados, y las intersecciones con la tangente t, que pasa por T, son A’, B’, C’ y D’, se cumple que {A’B’C’D’}=k. Vea la siguiente figura:
141
12. Demuestre que de dos puntos conjugados de una secante a un círculo uno es interior y el otro exterior al círculo.
13. Demuestre que un punto de la circunferencia es conjugado de todos los puntos de la tangente que lo contiene.
14. Demuestre que de dos rectas conjugadas que se intersequen en el exterior de un círculo, una es secante y la otra no.
15. Demuestre que toda recta tangente a una circunferencia tiene como conjugadas a todas las rectas que pasan por el punto de tangencia. 16. Sean A, B, C y D los vértices de un cuadrángulo inscrito en una circunferencia y sean P, Q y R las intersecciones de los lados opuestos, según se muestra en la figura siguiente. Demuestre que el triángulo PQR, llamado triángulo diagonal del cuadrángulo, es autopolar con respecto a la circunferencia.
t
O
D
C
B
A
T
A'
B'
C'
D'
142
17. En el ejercicio anterior demuestre que las circunferencias cuyos diámetros son los lados PQ, QR y RP del triángulo diagonal son ortogonales a la circunferencia ABCD.
18. Sea abcd un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, demuestre que su triángulo diagonal, PQR en la siguiente figura, es autopolar con respecto a la circunferencia.
19.* Demuestre el siguiente teorema, que es conocido como Teorema de Brianchon: “Las líneas que unen vértices opuestos de un hexágono circunscrito a una circunferencia son concurrentes”. (Note que esta propiedad es el dual del Teorema del Hexagrama Místico de Pascal).
A B C D Q P R d b c a D C F E A B R Q P
143
20. Demuestre que si una circunferencia es cortada por un haz de cuatro rectas, cuyo vértice O no está en la circunferencia, en los puntos A, A’, B. B’, C, C’, D y D’, las rectas AB’ y A’B; AC’ y A’C; AD’ y A’D se intersecan en la polar de O y, por lo tanto, {ABCD}={A’B’C’D’}.
21.* (Teorema de la Mariposa): Sea AB una cuerda diferente del diámetro de una circunferencia, sea M el punto medio de dicha cuerda, sean PQ y RS dos cuerdas concurrentes en M tales que PS y RQ intersequen a AB en E y F, respectivamente. Demuestre que EM=MF. (Este ejercicio coincide con el 7-25, sólo que ahora se requiere resolverlo usando las propiedades de polos y polares)
A' B' C' D' E' F' P C B D E F Q R A O A A' D C B D' C' B'
144
22. Sea A, B, C, H un grupo ortocéntrico de puntos, demuestre que las circunferencias polares correspondientes a los tres triángulos obtusos del grupo son ortogonales por pares y que se intersecan en los lados del cuadrángulo que pasan por el vértice común a los ángulos obtusos.
P A M B Q R S E F K L A C B H D E F
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23. Demuestre que si un triángulo tiene un círculo polar, entonces el inverso de uno de sus lados con respecto al círculo es una circunferencia cuyo diámetro es el segmento que une al vértice opuesto con el ortocentro.
24. Sean P y P’ dos puntos variables contenidos respectivamente en dos rectas fijas l y l’, tales que el ángulo que el segmento PP’ subtienda desde un punto fijo O sea constante, demuestre que el lugar geométrico del polo de PP’ con respecto a cualquier círculo de centro O es una circunferencia.
25. Encuentre el lugar geométrico de un punto P cuyas polares con respecto a dos circunferencias dadas forman un ángulo fijo entre ellas. 26. Demuestre que si PQ es una cuerda de una circunferencia C y R es el polo de dicha cuerda, con respecto a C, si se traza cualquier secante de C que pase por R, de tal manera que S sea el punto medio de la cuerda determinada por dicha secante, entonces RS es bisectriz del ángulo PSQ.
27. Sean P y P’ dos puntos variables en un círculo tales que el diámetro de éste biseca al ángulo PAP’, donde A es un punto fijo exterior. Demuestre que la línea PP’ pasa por un punto fijo.
28. Sea H el ortocentro de un triángulo ABC en el cual el ángulo A es obtuso; sean AD, BE y CF las alturas de dicho triángulo. Si la circunferencia polar corta al lado AC en P y en Q, demuestre que el hexágono H, F, P, D, B y Q es inscriptible.
29. Demuestre que si un par de vértices opuestos de un cuadrado son puntos conjugados con respecto a una circunferencia, entonces los otros lo son también.
30. Una tangente común a dos circunferencias las toca en P y Q, respectivamente, demuestre que P y Q son puntos conjugados con respecto a las intersecciones con la tangente y cualquier circunferencia coaxial con las circunferencias dadas que la corte.
31. Dados un punto y una recta, construya la circunferencia con respecto a la cual son polo y polar, respectivamente. ¿Es única la solución?
32. Sea O el centro de una circunferencia dada Co, sea l una recta que no corte a Co y sean P y Q dos puntos en l; se trazan tangentes a la circunferencia Co desde P y Q. Demuestre que uno de los puntos diagonales del cuadrángulo cuyos vértices son los puntos de tangencia es el polo de l.
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33. Encuentre las polares de los otros puntos diagonales del ejercicio anterior.
34. Dados un círculo y dos rectas, cuyo punto de intersección es inaccesible, trace con regla únicamente las tangentes al círculo que contienen al punto de intersección de las rectas.
35. Sean P y Q puntos conjugados con respecto a una circunferencia, demuestre que PQ² es igual a la suma de las potencias de P y de Q con respecto a la propia circunferencia.
36. Sean P y Q dos puntos variables en una circunferencia, tales que la cuerda PQ contenga a un punto fijo A, demuestre que los puntos de intersección de las tangentes trazadas por P y por Q son colineales. 37. Sea CO una circunferencia ortogonal a tres circunferencias dadas tales que sus centros no sean colineales, demuestre que las polares de cualquier punto en CO con respecto a las tres circunferencias dadas son concurrentes.
38. Sea CO la circunferencia circunscrita a un triángulo ABC, sea t la tangente a CO en A y sea S el punto de intersección entre t y BC. Si t se prolonga hasta un punto P tal que SP=AS, demuestre que A y P son puntos conjugados con respecto a cualquier circunferencia que pase por B y C.
39. Sea ABC un triángulo rectángulo en B, sea M el punto medio de la hipotenusa, demuestre que A y C son puntos conjugados con respecto a cualquier circunferencia que sea tangente a BM en B.
40. Sea CO una circunferencia de centro O y sean P y Q dos puntos distintos de O, demuestre que las distancias OP y OQ son proporcionales a las de P a q y de Q a p, donde p y q son las polares de P y Q respectivamente.
41. Sea AB una cuerda de una circunferencia dada y sea CD la cuerda conjugada de AB. Demuestre que {ABCD}=-1.
42. Sea ABC un triángulo y sean A’, B’ y C’ las intersecciones de las polares de sus vértices con respecto a una circunferencia dada. Demuestre que las polares de A’, B’ y C’, con respecto a la misma circunferencia, son los lados del triángulo ABC (A los triángulos ABC y A’B’C’ se les llama copolares).
43. Demuestre que dos triángulos copolares siempre pueden ponerse en perspectiva.
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44*. Demuestre que si dos pares de vértices opuestos de un cuadrilátero completo son conjugados con respecto a una circunferencia, los otros dos vértices también lo son.
45. Sea ABC un triángulo y sean X, Y y Z los puntos de contacto del incírculo con los lados BC, CA y AB, respectivamente y sea P el punto del incírculo diametralmente opuesto a X. Si L es el punto medio de BC, demuestre que AL, PX y YZ son concurrentes.
46. Sea C una circunferencia ortogonal a tres circunferencias dadas; sea P un punto en C. Demuestre que las polares de P con respecto a cada una de las circunferencias dadas son concurrentes.
47. En el Ejercicio 45 sea K el punto donde YZ corta a BC. Demuestre que {BCXK}=-1.
48. Sean P y Q dos puntos conjugados con respecto a una circunferencia de centro O y exteriores a ella, sean t1 y t2 las longitudes de las tangentes a la circunferencia O trazadas respectivamente desde P y Q. Demuestre que las circunferencia de centro P y radio t1 y la circunferencia de centro Q y radio t2 son ortogonales.
49.* En el Ejercicio 45 trace PA, PZ y PY hasta cortar a BC en Q, R y S, respectivamente. Demuestre que SQ=QR.
50. Sean P y Q dos puntos conjugados con respecto a una circunferencia de centro O y ambos exteriores a ella. Sea U la proyección de O en la recta PQ. Demuestre que PU×UQ=UT², donde T es el punto de contacto entre la circunferencia y la tangente trazada desde U.
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